الطاقة الكهربائية في فيزياء HSC: استخدام E = Pt

يمكن لمصباح قدرته 60 W وسخان قدرته 1200 W أن يعملا كلاهما لمدة 10 دقائق. إنهما يعملان للمدة نفسها، فهل ينقلان المقدار نفسه من الطاقة الكهربائية؟

لا. ينقل السخان الطاقة بمعدل أسرع 20 مرة. وإذا عمل كلاهما بصورة مستقرة للمدة نفسها، فإن السخان ينقل أيضًا طاقة أكبر 20 مرة. هذه الفكرة البسيطة هي ما تعبّر عنه \(E = Pt\).

قبل النظر إلى المعادلة، توقّع الآتي: إذا تركت المصباح نفسه مضاءً لمدة أطول بمرتين، فما الذي يتضاعف: قدرته أم الطاقة التي ينقلها؟

تتضاعف الطاقة. يظل المصباح ينقل الطاقة بالمعدل نفسه، ولذلك تبقى قدرته ثابتة. لكنه يستمر في أداء ذلك لمدة أطول.

01القدرة تخبرك بمدى سرعة انتقال الطاقة

تخيّل ملء دلو من صنبور. يخبرك معدل التدفق بمدى سرعة دخول الماء. وتعتمد كمية الماء في الدلو على كلٍّ من معدل التدفق والمدة التي يظل فيها الصنبور مفتوحًا.

تلعب القدرة الكهربائية دور معدل التدفق. أما الطاقة الكهربائية فهي المقدار المتراكم.

هذا التشبيه مفيد، لكنه محدود. فالطاقة ليست مادة تتدفق داخل الأسلاك مثل الماء. إنما تصف القدرة ببساطة المعدل الذي تنتقل أو تتحول به الطاقة.

تُعرَّف القدرة بالعلاقة

\[ P = \frac{E}{t} \]

حيث:

• \(P\) هي القدرة بالواط (\(\text{W}\))
• \(E\) هي الطاقة المنتقلة بالجول (\(\text{J}\))
• \(t\) هو الزمن بالثواني (\(\text{s}\))

وبإعادة ترتيب المعادلة نحصل على العلاقة التي ستحتاج إليها كثيرًا:

\[ E = Pt \]

يعني الواط الواحد جولًا واحدًا في الثانية:

\[ 1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1} \]

لذلك ينقل مصباح قدرته 60 W مقدار 60 J من الطاقة كل ثانية ما دام يعمل عند هذه القدرة.

بعد ثانية واحدة، يكون قد نقل 60 J. وبعد 10 ثوانٍ، 600 J. وبعد 100 ثانية، 6000 J.

ولهذا فإن ضرب القدرة في الزمن يعطي الطاقة.

03ربط الطاقة بالجهد والتيار

في الدائرة الكهربائية، لن تُعطى القدرة مباشرة دائمًا. بدلًا من ذلك، قد تكون لديك قيمة التيار وفرق الجهد.

القدرة الكهربائية هي

\[ P = VI \]

حيث:

• \(V\) هو فرق الجهد بالفولت (\(\text{V}\))
• \(I\) هو التيار بالأمبير (\(\text{A}\))

يمكنك مراجعة هذه العلاقة في دليل tutorgum عن القدرة الكهربائية و\(P = VI\).

عوّض \(P = VI\) في \(E = Pt\):

\[ E = Pt \]

\[ E = (VI)t \]

إذن

\[ \boxed{E = VIt} \]

تخبرك هذه المعادلة بأن الطاقة الكهربائية المنتقلة تعتمد على ثلاثة أشياء:

• فرق الجهد عبر الجهاز
• التيار المار عبر الجهاز
• المدة التي يستمر خلالها انتقال الطاقة

ماذا تعني \(VIt\) فعليًا؟

يخبرك التيار بمقدار الشحنة التي تمر في كل ثانية:

\[ I = \frac{q}{t} \]

إذن

\[ q = It \]

حيث \(q\) هي الشحنة بالكولوم (\(\text{C}\)).

يخبرك فرق الجهد بمقدار الطاقة المنتقلة لكل كولوم من الشحنة:

\[ V = \frac{E}{q} \]

وبإعادة ترتيبها نحصل على

\[ E = qV \]

والآن استبدل \(q\) بـ \(It\):

\[ E = (It)V = VIt \]

إذًا فإن \(E = VIt\) ليست قاعدة منفصلة ظهرت من العدم. بل تجمع بين فكرتين فيزيائيتين:

1. يخبرك \(It\) بمقدار الشحنة التي تمر.
2. يخبرك \(V\) بمقدار الطاقة المنتقلة لكل كولوم.

على سبيل المثال، إذا مرت شحنة مقدارها 20 C عبر جهاز فرق الجهد عليه 6 V، فإن كل كولوم ينقل 6 J:

\[ E = qV = 20 \times 6 = 120\text{ J} \]

ويجب أن نحصل على النتيجة نفسها باستخدام \(E = VIt\) إذا أعطى التيار والزمن قيمة \(q = 20\text{ C}\).

لإلقاء نظرة أكثر تفصيلًا على سبب قياس فرق الجهد للطاقة المنتقلة لكل وحدة شحنة، راجع فرق الجهد والشغل الكهربائي: استخدام \(W = qV\).

05سلسلة المعادلات المفيدة

تتكامل هذه العلاقات معًا بدلًا من أن تتنافس فيما بينها.

ومن القواعد المفيدة لاتخاذ القرار:

• لديك \(P\) و\(t\)؟ استخدم \(E = Pt\).
• لديك \(V\) و\(I\) و\(t\)؟ استخدم \(E = VIt\).
• لديك \(q\) و\(V\)؟ استخدم \(E = qV\).
• لديك المقاومة بدلًا من \(V\) أو \(I\)؟ استخدم أولًا علاقة مناسبة للقدرة، ثم استخدم \(E = Pt\).

06ربط الطاقة بالمقاومة

بالنسبة إلى مقاوم في ظروف تنطبق فيها العلاقة \(V = IR\)، يمكن إعادة كتابة معادلة القدرة.

نبدأ من

\[ P = VI \]

وبالتعويض عن \(V = IR\):

\[ P = I(IR) \]

إذن

\[ P = I^2R \]

وبطريقة أخرى، عوّض \(I = \frac{V}{R}\):

\[ P = V\left(\frac{V}{R}\right) \]

فنحصل على

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

ولذلك يمكن أيضًا كتابة الطاقة الكهربائية على الصورة

\[ E = I^2Rt \]

أو

\[ E = \frac{V^2}{R}t \]

هذه الصور مفيدة، لكن لا تحفظها باعتبارها معادلات غير مترابطة. ابدأ بالكميات التي تعرفها بالفعل.

وهناك أيضًا شرط مهم ضمني هنا: لا يمكنك أن تفترض دون تفكير أن \(R\) تظل ثابتة. بالنسبة إلى موصل أومي في ظروف فيزيائية ثابتة، قد يكون هذا نموذجًا جيدًا. أما بالنسبة إلى مكوّن تتغير درجة حرارته ومقاومته بدرجة كبيرة، فقد يؤدي استخدام قيمة واحدة للمقاومة طوال الفترة الزمنية إلى نتيجة خاطئة.

08أكبر مفهوم خاطئ: القدرة ليست طاقة

لنفترض أن طالبين يقارنان بين جهاز قدرته 20 W وجهاز قدرته 100 W.

يقول أحدهما: «الجهاز ذو القدرة 100 W يستهلك طاقة أكبر».

هل هذا صحيح دائمًا؟

لا. فهو ينقل الطاقة بمعدل أسرع، لكن إجمالي الطاقة يعتمد أيضًا على الزمن.

لنفترض أن الجهاز ذو القدرة 100 W يعمل لمدة 10 s:

\[ E = 100 \times 10 = 1000\text{ J} \]

والآن لنفترض أن الجهاز ذو القدرة 20 W يعمل لمدة 100 s:

\[ E = 20 \times 100 = 2000\text{ J} \]

ينقل الجهاز الأقل قدرة ضعف إجمالي الطاقة لأنه يعمل لمدة أطول بكثير.

فكّر في القدرة باعتبارها سرعة إنفاق المال في موعد. قد يبدو إنفاق $100 في الساعة مثيرًا للإعجاب أو مقلقًا، حسب طبيعة الموعد. لكن شخصًا ينفق $20 في الساعة لمدة ست ساعات سيظل ينفق مبلغًا أكبر إجمالًا. القدرة هي المعدل. والطاقة هي الإجمالي.

ينهار التشبيه لأن الجولات ليست دولارات، ولأن الدائرة الكهربائية لا تتحقق من رصيدها البنكي، لكن التمييز بين المعدل والمقدار الكلي هو نفسه تمامًا.

09فخ ثانٍ: تحتاج \(E = Pt\) إلى القدرة الصحيحة

إذا كان جهاز يعمل بقدرة ثابتة مقدارها 50 W لمدة 20 s،

\[ E = 50 \times 20 = 1000\text{ J} \]

الأمر سهل.

لكن افترض أن قدرته تتغير:

• 50 W خلال أول 10 s
• 80 W خلال الـ10 s التالية

لا يمكنك استخدام \(E = 50 \times 20\)، لأن الجهاز لا يعمل بقدرة 50 W طوال الفترة.

احسب كل جزء:

\[ E_1 = 50 \times 10 = 500\text{ J} \]

\[ E_2 = 80 \times 10 = 800\text{ J} \]

إذن

\[ E_{\text{total}} = 500 + 800 = 1300\text{ J} \]

ويمكنك أيضًا استخدام القدرة المتوسطة لهذه الفترة تحديدًا:

\[ P_{\text{avg}} = \frac{50 + 80}{2} = 65\text{ W} \]

لأن قيمتي القدرة تنطبقان كل منهما لمدة زمنية متساوية.

وعندئذٍ

\[ E = P_{\text{avg}}t = 65 \times 20 = 1300\text{ J} \]

الفكرة العامة هي أن الطاقة الكهربائية تمثل القدرة المتراكمة بمرور الزمن. وفي منحنى القدرة مقابل الزمن، تكون الطاقة المنتقلة مساوية للمساحة الواقعة تحت المنحنى.

لذلك عندما ترى \(E = Pt\)، فاقرأها ذهنيًا على أنها:

الطاقة = القدرة الثابتة × الزمن

أو، عندما تتغير القدرة،

الطاقة = القدرة المتوسطة × الزمن

على أن يكون المتوسط قد حُسب بصورة صحيحة لتلك الفترة.

10فحوص الوحدات التي تكشف كثيرًا من الأخطاء

يمكن للمعادلة أن تخبرك غالبًا ما إذا كانت وحداتك منطقية.

بما أن

\[ E = Pt \]

فإن الوحدات هي

\[ \text{J} = \text{W} \times \text{s} \]

لأن

\[ 1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1} \]

وبالمثل، من

\[ E = VIt \]

تكون الوحدات

\[ \text{V} \times \text{A} \times \text{s} \]

وبما أن \(\text{V}\times\text{A}=\text{W}\)،

\[ \text{V}\times\text{A}\times\text{s} = \text{W}\times\text{s} = \text{J} \]

ومن التحويلات الشائعة:

• \(1\text{ min} = 60\text{ s}\)
• \(1\text{ kW} = 1000\text{ W}\)
• \(1\text{ kJ} = 1000\text{ J}\)

إذا أعطاك السؤال 5 دقائق وعوّضت \(t=5\) في معادلة تستخدم الواط، فقد خلطت بين الدقائق والجولات في الثانية. وهذا يؤدي عادةً إلى خطأ بمعامل 60.

11أسئلة وحلول

السؤال 1

يعمل مصباح للمذاكرة قدرته 40 W لمدة 15 دقيقة. احسب الطاقة الكهربائية المنتقلة.

الحل 1

ينقل المصباح \(\boxed{3.6\times10^4\text{ J}}\)، أو \(36\text{ kJ}\)، من الطاقة الكهربائية.

القدرة هي معدل انتقال الطاقة، لذلك استخدم

\[ E = Pt \]

حوّل الزمن أولًا:

\[ t = 15\times60 = 900\text{ s} \]

ثم

\[ E = 40\times900 = 36\,000\text{ J} \]

إذن،

\[ \boxed{E = 3.6\times10^4\text{ J}} \]

الفخ الرئيسي هو استخدام 15 مباشرة باعتبارها الزمن. فالواط يساوي جولًا في الثانية، لذلك يجب تحويل الزمن من دقائق إلى ثوانٍ.

السؤال 2

يعمل جهاز عبر فرق جهد مقداره 9.0 V. ويمر خلاله تيار مقداره 0.40 A لمدة 5.0 دقائق.

احسب:

a. قدرة الجهاز
b. الطاقة الكهربائية المنتقلة
c. الشحنة التي تمر عبر الجهاز

ثم استخدم \(E=qV\) للتحقق من إجابتك عن الطاقة.

الحل 2

القدرة هي \(\boxed{3.6\text{ W}}\)، والطاقة المنتقلة هي \(\boxed{1.08\times10^3\text{ J}}\)، والشحنة المنتقلة هي \(\boxed{120\text{ C}}\).

بالنسبة إلى الجزء a، استخدم

\[ P = VI \]

\[ P = 9.0\times0.40 = 3.6\text{ W} \]

بالنسبة إلى الجزء b، حوّل الزمن:

\[ t = 5.0\times60 = 300\text{ s} \]

ثم

\[ E = Pt \]

\[ E = 3.6\times300 = 1080\text{ J} \]

إذن

\[ \boxed{E = 1.08\times10^3\text{ J}} \]

بالنسبة إلى الجزء c،

\[ I = \frac{q}{t} \]

إذن

\[ q = It \]

\[ q = 0.40\times300 = 120\text{ C} \]

والآن تحقّق من الطاقة باستخدام

\[ E = qV \]

\[ E = 120\times9.0 = 1080\text{ J} \]

تتفق الطريقتان لأن \(q=It\). تصف المعادلتان \(E=qV\) و\(E=VIt\) انتقال الطاقة نفسه انطلاقًا من نقطتي بداية مختلفتين.

السؤال 3

يوصل عنصرا تسخين كل منهما عبر مصدر ثابت جهده 12 V لمدة 60 s.

مقاومة العنصر A هي \(6.0\,\Omega\). ومقاومة العنصر B هي \(24\,\Omega\).

يجادل أحد الطلاب بأن العنصر B يجب أن ينقل طاقة أكبر لأن مقاومته الأعلى «تعارض التيار بقوة أكبر ولذلك تنتج حرارة أكثر».

احسب الطاقة المنتقلة بواسطة كل عنصر وقيّم ادعاء الطالب.

الحل 3

ينقل العنصر A مقدار \(\boxed{1440\text{ J}}\)، بينما ينقل العنصر B مقدار \(\boxed{360\text{ J}}\). في ظل ظروف الجهد الثابت المذكورة، فإن ادعاء الطالب غير صحيح.

عند ثبات فرق الجهد، استخدم

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

بالنسبة إلى العنصر A:

\[ P_A = \frac{12^2}{6.0} = \frac{144}{6.0} = 24\text{ W} \]

إذن،

\[ E_A = P_At = 24\times60 = 1440\text{ J} \]

بالنسبة إلى العنصر B:

\[ P_B = \frac{12^2}{24} = \frac{144}{24} = 6.0\text{ W} \]

إذن،

\[ E_B = P_Bt = 6.0\times60 = 360\text{ J} \]

لذلك

\[ \boxed{E_A = 1440\text{ J}} \]

و

\[ \boxed{E_B = 360\text{ J}} \]

المفهوم الخاطئ المغري هنا هو الاعتقاد بأن زيادة المقاومة تعني تلقائيًا زيادة التسخين. لكن ذلك يتجاهل الكمية التي يجري تثبيتها.

عند ثبات الجهد،

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

لذلك تؤدي زيادة \(R\) إلى انخفاض القدرة.

أما إذا أُجبر التيار نفسه على المرور عبر المقاومين، فستكون العلاقة المناسبة هي

\[ P = I^2R \]

وعندئذٍ ستكون قدرة المقاومة الأكبر أعلى. يجب أن تتحقق من ظروف الدائرة قبل أن تقرر كيف تؤثر المقاومة في انتقال الطاقة.

السؤال 4

يعمل جهاز مختبري بقدرة 30 W لمدة 20 s، ثم بقدرة 75 W لمدة 40 s أخرى.

يحسب طالب إجمالي انتقال الطاقة باستخدام

\[ E = 30\times60 \]

لأن 30 W كانت القدرة عند بداية التجربة.

اشرح سبب فشل هذه الطريقة واحسب إجمالي الطاقة المنتقلة الصحيح.

الحل 4

ينقل الجهاز إجمالًا \(\boxed{3600\text{ J}}\). وتفشل طريقة الطالب لأن القدرة لا تساوي 30 W طوال مدة 60 s كاملة.

خلال الفترة الأولى،

\[ E_1 = P_1t_1 \]

\[ E_1 = 30\times20 = 600\text{ J} \]

خلال الفترة الثانية،

\[ E_2 = P_2t_2 \]

\[ E_2 = 75\times40 = 3000\text{ J} \]

إذن،

\[ E_{\text{total}} = E_1 + E_2 \]

\[ E_{\text{total}} = 600 + 3000 = 3600\text{ J} \]

لذلك

\[ \boxed{E_{\text{total}}=3.6\times10^3\text{ J}} \]

يفترض حساب الطالب قدرة ثابتة مقدارها 30 W. وهذه الفرضية تتعارض مع المعلومات الواردة في السؤال.

ويمكنك أيضًا حساب القدرة المتوسطة خلال مدة 60 s كاملة:

\[ P_{\text{avg}} = \frac{E_{\text{total}}}{t_{\text{total}}} = \frac{3600}{60} = 60\text{ W} \]

ثم تعطي \(E=P_{\text{avg}}t\) النتيجة نفسها.

لاحظ أن حساب المتوسط البسيط بين 30 W و75 W سيعطي 52.5 W، وهو خطأ هنا لأن الجهاز يقضي مددًا زمنية مختلفة عند القدرتين.

السؤال 5

تُوصَل فتيلة بفرق جهد ثابت. عندما تُشغَّل أول مرة، تكون مقاومتها \(10\,\Omega\). ومع ارتفاع درجة حرارة الفتيلة، تزداد مقاومتها.

يريد أحد الطلاب حساب الطاقة الكهربائية الدقيقة المنتقلة خلال أول 30 s، فيحسب

\[ E = \frac{V^2}{10}(30) \]

مستخدمًا المقاومة الابتدائية طوال الفترة.

ولا تتوافر أي معلومات إضافية عن كيفية تغير المقاومة.

هل يمكن تحديد الطاقة الدقيقة المنتقلة خلال مدة 30 s من المعلومات المعطاة؟ وضّح ما إذا كان من المرجح أن يكون حساب الطالب أكبر أم أصغر من الطاقة الفعلية.

الحل 5

لا يمكن تحديد الطاقة الدقيقة من المعلومات المعطاة، وسيبالغ حساب الطالب في تقدير الطاقة الفعلية إذا ظل فرق الجهد ثابتًا وارتفعت المقاومة فوق \(10\,\Omega\).

عند ثبات فرق الجهد،

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

يفترض حساب الطالب أن

\[ R=10\,\Omega \]

طوال مدة 30 s. لكن السؤال يذكر صراحةً أن المقاومة تزداد مع ارتفاع درجة حرارة الفتيلة.

ومع زيادة \(R\) بينما يظل \(V\) ثابتًا،

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

تنخفض القدرة.

لذلك تكون القدرة الابتدائية أكبر من القدرة لاحقًا. وإذا اعتُبرت هذه القدرة الابتدائية الأعلى مستمرة طوال مدة 30 s، فستكون قيمة الطاقة المحسوبة أكبر من اللازم.

لحساب الطاقة الدقيقة، نحتاج إلى معلومات كافية لتحديد القدرة طوال الفترة، مثل المقاومة أو التيار أو القدرة بوصفها دالة في الزمن، أو قياسات مناسبة على فترات زمنية أصغر.

وهذا هو الافتراض الضمني المهم وراء كثير من حسابات \(E=Pt\) البسيطة: يجب أن تمثل قيمة \(P\) الفترة الزمنية المعنية. فإذا تغيرت ظروف الدائرة، فلا يمكن استخدام قيمة واحدة للقدرة تلقائيًا طوال الزمن كله.

12ما الذي يساعدك هذا على فهمه بعد ذلك؟

الفكرة الأساسية ليست مجرد الصيغة \(E=Pt\)، بل التمييز بين المعدل والإجمالي.

تخبرك القدرة بمدى سرعة انتقال الطاقة الكهربائية:

\[ P = \frac{E}{t} \]

وتحدد كميات الدائرة ذلك المعدل:

\[ P = VI \]

ويحدد الزمن المدة التي يستمر خلالها انتقال الطاقة:

\[ E = VIt \]

وبمجرد أن يصبح هذا الترابط واضحًا، يصبح التفكير في الأسئلة المتعلقة بالتسخين، واستهلاك الأجهزة للطاقة، والمقاومة، وكفاءة الدوائر أسهل بكثير. والخطوة المفيدة التالية هي التساؤل عن المكان الذي تذهب إليه تلك الطاقة الكهربائية المنتقلة، بما في ذلك مقدار ما يتحول منها إلى خرج مفيد ومقدار ما يتبدد على صورة طاقة حرارية.