HSC भौतिकी में विद्युत शक्ति: P = VI और उसके समतुल्य रूपों का उपयोग

12 V का एक उपकरण 0.50 A धारा लेता है। एक दूसरा उपकरण भी 12 V पर चलता है, लेकिन वह 2.0 A धारा लेता है। विद्युत रूप से कौन-सा उपकरण अधिक कार्य कर रहा है?

आपको यह कहने का मन हो सकता है कि दोनों समान हैं क्योंकि वोल्टेज समान है। लेकिन वोल्टेज केवल यह बताता है कि प्रति इकाई आवेश कितनी विद्युत ऊर्जा स्थानांतरित होती है। हमें यह भी जानना होगा कि आवेश उपकरण से कितनी तेज़ी से गुजर रहा है।

दूसरा उपकरण चार गुना धारा लेता है, इसलिए हर सेकंड उसमें से चार गुना अधिक आवेश गुजरता है। समान वोल्टेज पर, इसका अर्थ है कि विद्युत ऊर्जा चार गुना तेज़ दर से स्थानांतरित हो रही है।

ऊर्जा स्थानांतरण की यही दर विद्युत शक्ति है।

01विद्युत शक्ति वास्तव में क्या मापती है

शक्ति वह दर है जिस पर ऊर्जा स्थानांतरित होती है:

\[ P = \frac{E}{t} \]

जहाँ:

• \(P\) शक्ति है, जिसकी इकाई वाट (W) है,
• \(E\) स्थानांतरित ऊर्जा है, जिसकी इकाई जूल (J) है,
• \(t\) समय है, जिसकी इकाई सेकंड (s) है।

एक वाट का अर्थ है हर सेकंड एक जूल ऊर्जा का स्थानांतरण:

\[ 1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1} \]

इसलिए 60 W का उपकरण हर सेकंड 60 J की दर से ऊर्जा स्थानांतरित करता है।

इसका यह अर्थ नहीं है कि पूरे 60 J उपयोगी ऊर्जा में बदलते हैं। एक मोटर कुछ विद्युत ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में और कुछ को ऊष्मीय ऊर्जा में बदल सकती है। हीटर को जानबूझकर इस तरह बनाया जाता है कि ऊष्मीय ऊर्जा उसका उपयोगी आउटपुट हो।

किसी उपकरण में प्रवेश करने वाली विद्युत शक्ति की गणना करने के लिए, हमें उन दो विचारों को जोड़ना होगा जिन्हें आप पहले से जानते हो सकते हैं:

• वोल्टेज हमें प्रति इकाई आवेश स्थानांतरित ऊर्जा बताता है,
• धारा हमें प्रति इकाई समय प्रवाहित होने वाला आवेश बताती है।

यदि इनमें से कोई भी विचार स्पष्ट न हो, तो \(W=qV\) का उपयोग करके विभवांतर और विद्युत कार्य और \(I=q/t\) का उपयोग करके आवेश-प्रवाह की दर के रूप में धारा को दोबारा देखना उपयोगी होगा।

02\(P = VI\) क्यों

मान लीजिए कि आवेश \(q\), विभवांतर \(V\) वाले किसी उपकरण से गुजरता है।

किया गया विद्युत कार्य है:

\[ E = qV \]

शक्ति प्रति इकाई समय स्थानांतरित ऊर्जा है, इसलिए:

\[ P = \frac{E}{t} \]

\(E=qV\) को प्रतिस्थापित करें:

\[ P = \frac{qV}{t} \]

लेकिन धारा है:

\[ I = \frac{q}{t} \]

अतः:

\[ \boxed{P = VI} \]

जहाँ:

• \(P\) विद्युत शक्ति है, जिसकी इकाई वाट (W) है,
• \(V\) उपकरण के सिरों के बीच विभवांतर है, जिसकी इकाई वोल्ट (V) है,
• \(I\) उपकरण से गुजरने वाली धारा है, जिसकी इकाई ऐम्पियर (A) है।

यह समीकरण केवल याद करने वाला सूत्र नहीं है। यह बताता है:

विद्युत शक्ति प्रत्येक कूलॉम आवेश को स्थानांतरित की जाने वाली ऊर्जा और हर सेकंड गुजरने वाले कूलॉमों की संख्या, दोनों पर निर्भर करती है।

03समतुल्य रूप: \(P = I^2R\) और \(P = \frac{V^2}{R}\)

कभी-कभी किसी प्रश्न में वोल्टेज और धारा दोनों के बजाय प्रतिरोध दिया होता है।

ऐसे चालक के लिए, जहाँ कार्यरत अवस्था पर \(V=IR\) संबंध का उपयोग किया जा सकता है, हम इसे निम्न समीकरण के साथ जोड़ सकते हैं:

\[ P = VI \]

पहले \(V\) के स्थान पर \(IR\) रखें:

\[ P = I(IR) \]

इसलिए:

\[ \boxed{P = I^2R} \]

वैकल्पिक रूप से, ओम के नियम को पुनर्व्यवस्थित करें:

\[ I = \frac{V}{R} \]

और इसे \(P=VI\) में प्रतिस्थापित करें:

\[ P = V\left(\frac{V}{R}\right) \]

जिससे मिलता है:

\[ \boxed{P = \frac{V^2}{R}} \]

ये तीनों रूप अलग-अलग परिस्थितियों में उपयोगी हैं:

महत्वपूर्ण आदत यह नहीं है कि “ऐसा सूत्र चुनो जिसमें सही अक्षर हों”। यह पूछें कि भौतिक रूप से किस राशि को स्थिर रखा जा रहा है।

यह बात विशेष रूप से तब महत्वपूर्ण हो जाती है जब प्रतिरोध बदलता है।

04एक सामान्य जाल: क्या अधिक प्रतिरोध का अर्थ अधिक शक्ति है?

यहाँ एक पूर्वानुमान करना उपयोगी है।

मान लीजिए किसी उपकरण का प्रतिरोध बढ़ता है। क्या उसकी शक्ति बढ़ेगी या घटेगी?

इसका कोई एक उत्तर नहीं है।

यह थोड़ा परेशान करने वाला लग सकता है क्योंकि:

\[ P=I^2R \]

ऐसा प्रतीत होता है कि \(R\) बढ़ाने पर \(P\) बढ़ता है।

लेकिन:

\[ P=\frac{V^2}{R} \]

ऐसा प्रतीत होता है कि \(R\) बढ़ाने पर \(P\) घटता है।

दोनों सही हैं। वे अलग-अलग प्रतिबंधों वाली परिस्थितियों का वर्णन करते हैं।

यदि धारा स्थिर रखी जाए

इसका उपयोग करते हुए:

\[ P=I^2R \]

यदि \(I\) स्थिर रहता है, तो \(R\) बढ़ाने से शक्ति बढ़ती है।

उदाहरण के लिए, \(I\) को स्थिर रखते हुए \(R\) को दोगुना करने पर \(P\) भी दोगुना हो जाता है।

यदि वोल्टेज स्थिर रखा जाए

इसका उपयोग करते हुए:

\[ P=\frac{V^2}{R} \]

यदि \(V\) स्थिर रहता है, तो \(R\) बढ़ाने से शक्ति घटती है।

\(V\) को स्थिर रखते हुए \(R\) को दोगुना करने पर \(P\) आधा हो जाता है।

इसे ऐसे समझें जैसे कोई पूछे कि डेट पर तीसरे व्यक्ति को साथ लाने से बातचीत तेज़ होगी या धीमी। उत्तर काफी हद तक इस बात पर निर्भर करता है कि आप और क्या स्थिर मान रहे हैं। केवल प्रतिरोध की जानकारी पर्याप्त नहीं है।

यह उपमा एक बिंदु पर विफल हो जाती है, क्योंकि विद्युत प्रतिरोध का वोल्टेज और धारा के साथ एक सटीक मात्रात्मक संबंध होता है, जबकि असहज डिनर बातचीत का नहीं।

05वोल्टेज बदलने का प्रभाव आश्चर्यजनक रूप से बड़ा क्यों हो सकता है

एक आदर्श प्रतिरोधक की कल्पना करें जिसका प्रतिरोध स्थिर रहता है।

यदि उसका वोल्टेज दोगुना हो जाए, तो उसकी शक्ति का क्या होगा?

पहला अनुमान यह हो सकता है कि “शक्ति दोगुनी होगी” क्योंकि \(P=VI\) में \(V\) है।

लेकिन वोल्टेज बढ़ाने से धारा भी बढ़ती है।

क्योंकि:

\[ I=\frac{V}{R} \]

इसलिए \(R\) स्थिर रहने पर \(V\) को दोगुना करने से \(I\) भी दोगुना हो जाता है।

अतः:

\[ P=VI \]

में दोनों गुणक दोगुने हो जाते हैं:

\[ P_{\text{नया}}=(2V)(2I)=4VI \]

शक्ति चार गुना हो जाती है।

यही परिणाम सीधे इस समीकरण से भी मिलता है:

\[ P=\frac{V^2}{R} \]

\(R\) स्थिर होने पर:

\[ P\propto V^2 \]

इसलिए:

• वोल्टेज को दोगुना करने पर शक्ति चार गुना हो जाती है,
• वोल्टेज को तीन गुना करने पर शक्ति नौ गुना हो जाती है,
• वोल्टेज को आधा करने पर शक्ति एक-चौथाई हो जाती है।

इस वर्ग संबंध को अनदेखा करना आसान है।

06जब प्रतिरोध स्थिर नहीं होता

वास्तविक उपकरणों का प्रतिरोध हमेशा स्थिर नहीं रहता।

उदाहरण के लिए, एक तापदीप्त फिलामेंट में धारा बढ़ने पर वह अधिक गर्म हो जाता है। तापमान के साथ उसका प्रतिरोध बदलता है। ऐसी स्थिति में आप यह नहीं मान सकते कि \(R\) का एक ही स्थिर मान हर वोल्टेज पर उपकरण का वर्णन करेगा।

यहीं पर बिना सोचे-समझे:

\[ P=\frac{V^2}{R} \]

का उपयोग करना समस्या पैदा कर सकता है।

समस्या स्वयं समीकरण में नहीं है। समस्या यह मान लेना है कि \(R\) नहीं बदला है, जबकि उपकरण का व्यवहार कुछ और बताता है।

स्थिर भौतिक परिस्थितियों में किसी ओमिक चालक के लिए \(V\), \(I\) के समानुपाती होता है, इसलिए प्रतिरोध स्थिर रहता है। इस संबंध के पीछे की मान्यताओं को HSC Physics में ओम का नियम में समझाया गया है।

किसी नॉन-ओमिक उपकरण के लिए, कार्यरत अवस्था पर वास्तविक वोल्टेज और धारा उपलब्ध हों तो उनका उपयोग करें:

\[ P=VI \]

एक उपयोगी निर्णय नियम

किसी उपकरण का विश्लेषण करते समय:

1. यदि आप \(V\) और \(I\) जानते हैं, तो \(P=VI\) का उपयोग करें।
2. यदि आपको \(R\) वाला कोई समतुल्य रूप चाहिए, तो जाँचें कि उस कार्यरत अवस्था के लिए प्रतिरोध ज्ञात है या नहीं।
3. “अधिक प्रतिरोध का अर्थ अधिक शक्ति है” जैसे कथन करने से पहले पहचानें कि किस राशि को स्थिर रखा गया है।
4. यदि उपकरण नॉन-ओमिक है, तो यह मानकर न चलें कि वोल्टेज या धारा बदलने पर भी एक ही स्थिर प्रतिरोध लागू होगा।

07शक्ति रेटिंग किसी कार्यरत अवस्था का वर्णन करती है

24 W के रूप में चिह्नित कोई उपकरण आपको उस दर के बारे में बता रहा है जिस पर वह निर्धारित परिस्थितियों में काम करते समय ऊर्जा स्थानांतरित करता है।

मान लें किसी उपकरण की रेटिंग है:

• 12 V,
• 24 W।

हम उसकी कार्यरत धारा की गणना कर सकते हैं:

\[ I=\frac{P}{V} \]

\[ I=\frac{24\text{ W}}{12\text{ V}} =2.0\text{ A} \]

यदि उस कार्यरत अवस्था पर वह \(6.0\ \Omega\) प्रतिरोध की तरह व्यवहार करता है, तो:

\[ R=\frac{V}{I} =\frac{12\text{ V}}{2.0\text{ A}} =6.0\ \Omega \]

तीनों राशियाँ एक-दूसरे के अनुरूप हैं:

\[ P=VI=(12)(2.0)=24\text{ W} \]

और:

\[ P=I^2R=(2.0)^2(6.0)=24\text{ W} \]

साथ ही:

\[ P=\frac{V^2}{R}=\frac{12^2}{6.0}=24\text{ W} \]

ये तीन अलग-अलग प्रकार की शक्ति नहीं हैं। ये ऊर्जा स्थानांतरण की एक ही दर को व्यक्त करने के तीन तरीके हैं।

08प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक पोर्टेबल पंखा 9.0 V पर चलता है और 0.40 A की धारा लेता है।

पंखे को दी जाने वाली विद्युत शक्ति की गणना करें और समझाएँ कि भौतिक रूप से आपके उत्तर का क्या अर्थ है।

समाधान 1

पंखे को \(3.6\text{ W}\) विद्युत शक्ति प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि उसे हर सेकंड \(3.6\text{ J}\) विद्युत ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

उपयोग करें:

\[ P=VI \]

मान प्रतिस्थापित करें:

\[ P=(9.0\text{ V})(0.40\text{ A}) \]

\[ P=3.6\text{ W} \]

एक वाट का अर्थ एक जूल प्रति सेकंड है, इसलिए परिणाम का अर्थ है कि पंखे को हर सेकंड 3.6 J विद्युत ऊर्जा प्राप्त होती है। यह ऊर्जा पंखों की गतिज ऊर्जा, ऊष्मीय ऊर्जा, ध्वनि और अन्य रूपों में बदल सकती है।

प्रश्न 2

एक \(50\ \Omega\) तापन तत्व में 0.30 A की धारा प्रवाहित होती है।

तत्व को स्थानांतरित विद्युत शक्ति की गणना करें।

यदि प्रतिरोध स्थिर रहते हुए धारा को दोगुना कर दिया जाए, तो नई शक्ति निर्धारित करें।

समाधान 2

मूल शक्ति \(4.5\text{ W}\) है, और धारा को दोगुना करने पर शक्ति बढ़कर \(18\text{ W}\) हो जाती है।

जब धारा और प्रतिरोध ज्ञात हों:

\[ P=I^2R \]

प्रारंभ में:

\[ P=(0.30\text{ A})^2(50\ \Omega) \]

\[ P=(0.090)(50)\text{ W} =4.5\text{ W} \]

धारा दोगुनी होने के बाद:

\[ I_{\text{नया}}=0.60\text{ A} \]

इसलिए:

\[ P_{\text{नया}}=(0.60\text{ A})^2(50\ \Omega) \]

\[ P_{\text{नया}}=(0.36)(50)\text{ W} =18\text{ W} \]

धारा दोगुनी हुई है, लेकिन शक्ति चार गुना बढ़ी है क्योंकि:

\[ P\propto I^2 \]

जब प्रतिरोध स्थिर हो।

प्रश्न 3

एक आदर्श \(30\ \Omega\) प्रतिरोधक को पहले 6.0 V के स्रोत और फिर 12 V के स्रोत से जोड़ा जाता है।

पहले गणना किए बिना अनुमान लगाएँ कि शक्ति कैसे बदलेगी। फिर दोनों स्थितियों में शक्ति की गणना करें।

समाधान 3

शक्ति चार गुना हो जाती है और \(1.2\text{ W}\) से बढ़कर \(4.8\text{ W}\) हो जाती है।

क्योंकि प्रतिरोध स्थिर रहता है:

\[ P=\frac{V^2}{R} \]

इसलिए \(V\) को दोगुना करने पर \(P\) निम्न गुणक से बढ़ता है:

\[ 2^2=4 \]

6.0 V पर:

\[ P_1=\frac{(6.0\text{ V})^2}{30\ \Omega} =\frac{36}{30}\text{ W} =1.2\text{ W} \]

12 V पर:

\[ P_2=\frac{(12\text{ V})^2}{30\ \Omega} =\frac{144}{30}\text{ W} =4.8\text{ W} \]

एक आकर्षक लेकिन गलत धारणा यह है कि वोल्टेज को दोगुना करने से शक्ति केवल दोगुनी होगी। इसमें इस तथ्य को अनदेखा किया जाता है कि स्थिर प्रतिरोध के लिए धारा भी दोगुनी हो जाती है।

प्रश्न 4

दो समान प्रतिरोधी तत्वों में से प्रत्येक का प्रतिरोध \(R\) है।

तत्व A को ऐसे स्रोत से जोड़ा गया है जो उसके सिरों के बीच वोल्टेज को स्थिर रखता है। तापमान बढ़ने के कारण उसका प्रतिरोध फिर 25 प्रतिशत बढ़ जाता है।

तत्व B को एक अलग परिपथ से जोड़ा गया है जो उसमें से गुजरने वाली धारा को स्थिर रखता है। उसका प्रतिरोध भी 25 प्रतिशत बढ़ जाता है।

निर्धारित करें कि प्रत्येक तत्व की शक्ति कैसे बदलती है।

समाधान 4

तत्व A की शक्ति 20 प्रतिशत घटती है, जबकि तत्व B की शक्ति 25 प्रतिशत बढ़ती है।

अलग-अलग परिणाम इसलिए मिलते हैं क्योंकि अलग-अलग राशियों को स्थिर रखा गया है।

तत्व A के लिए वोल्टेज स्थिर है, इसलिए:

\[ P=\frac{V^2}{R} \]

मान लें प्रारंभिक प्रतिरोध \(R\) है। 25 प्रतिशत वृद्धि के बाद:

\[ R_{\text{नया}}=1.25R \]

अतः:

\[ P_{\text{नया}} = \frac{V^2}{1.25R} = \frac{1}{1.25}P_{\text{पुराना}} = 0.80P_{\text{पुराना}} \]

इसलिए उसकी शक्ति घटती है:

\[ 100\%-80\%=20\% \]

तत्व B के लिए धारा स्थिर है, इसलिए:

\[ P=I^2R \]

अतः:

\[ P_{\text{नया}} = I^2(1.25R) = 1.25P_{\text{पुराना}} \]

उसकी शक्ति 25 प्रतिशत बढ़ती है।

जाल यह है कि परिपथ की शर्त पहले जाँचे बिना यह कह दिया जाए कि “अधिक प्रतिरोध का अर्थ अधिक शक्ति है” या “अधिक प्रतिरोध का अर्थ कम शक्ति है”।

प्रश्न 5

एक विद्यार्थी किसी नॉन-ओमिक उपकरण की जाँच करता है और निम्न कार्यरत बिंदु दर्ज करता है:

विद्यार्थी कहता है:

“जब वोल्टेज 2.0 V से बढ़कर 6.0 V हो जाता है, तो वोल्टेज तीन गुना हो जाता है, इसलिए \(P=V^2/R\) के कारण शक्ति नौ गुना होनी चाहिए।”

2.0 V और 6.0 V पर शक्ति निर्धारित करें और विद्यार्थी के तर्क का आकलन करें।

समाधान 5

शक्ति \(0.80\text{ W}\) से बढ़कर \(4.92\text{ W}\) हो जाती है, जो \(6.15\) गुना वृद्धि है, नौ गुना नहीं। विद्यार्थी का तर्क गलत तरीके से स्थिर प्रतिरोध मान लेता है।

2.0 V पर:

\[ P=VI \]

\[ P=(2.0\text{ V})(0.40\text{ A}) =0.80\text{ W} \]

6.0 V पर:

\[ P=(6.0\text{ V})(0.82\text{ A}) =4.92\text{ W} \]

वृद्धि का गुणक है:

\[ \frac{4.92}{0.80}=6.15 \]

विद्यार्थी का नौ गुना होने का अनुमान केवल तभी सही होता यदि प्रतिरोध स्थिर रहता, क्योंकि तब:

\[ P=\frac{V^2}{R} \]

से मिलता:

\[ P\propto V^2 \]

लेकिन मापे गए आँकड़े दिखाते हैं कि वोल्टेज के तीन गुना होने पर धारा तीन गुना नहीं हुई है।

2.0 V पर कार्यरत प्रतिरोध है:

\[ R=\frac{V}{I} =\frac{2.0}{0.40} =5.0\ \Omega \]

6.0 V पर:

\[ R=\frac{6.0}{0.82} \approx7.3\ \Omega \]

प्रतिरोध बदल गया है, इसलिए स्थिर-\(R\) वाला पूर्वानुमान मान्य नहीं है।

इसीलिए किसी नॉन-ओमिक उपकरण के लिए वास्तविक वोल्टेज और धारा के मान दिए हों, तो \(P=VI\) अक्सर सबसे सुरक्षित प्रारंभिक समीकरण होता है।

09इससे आप आगे क्या विश्लेषण कर सकते हैं

विद्युत शक्ति परिपथ की राशियों को ऊर्जा स्थानांतरण से जोड़ती है। जब आप \(P=VI\), \(P=I^2R\) और \(P=V^2/R\) के बीच आत्मविश्वास से बदल सकते हैं, तो आप केवल वाट में कोई संख्या निकालने से कहीं अधिक कर सकते हैं।

आप अनुमान लगा सकते हैं कि स्रोत वोल्टेज बदलने पर कोई उपकरण कैसे प्रतिक्रिया देगा, अलग-अलग परिपथ परिस्थितियों में तापन की तुलना कर सकते हैं, शक्ति रेटिंग की व्याख्या कर सकते हैं और यह पहचान सकते हैं कि किसी गणना के भीतर स्थिर प्रतिरोध की मान्यता कब छिपी हुई है।

यह अंतिम बिंदु वास्तविक अवयवों का अध्ययन करते समय विशेष रूप से महत्वपूर्ण हो जाता है। उनका धारा-वोल्टेज व्यवहार बताता है कि स्थिर-प्रतिरोध मॉडल उपयुक्त है या नहीं, और इसलिए यह भी कि \(P\propto V^2\) जैसे सरल समानुपाती पूर्वानुमानों पर वास्तव में भरोसा किया जा सकता है या नहीं।