القوة والحركة والتمثيلات البيانية في فيزياء HSC

تُ tutorgum: القوة والحركة والتمثيلات البيانية لفيزياء شهادة HSC

تتحرك سيارة نحو اليمين، لكن محصلة القوة المؤثرة عليها تتجه نحو اليسار. في أي اتجاه تتحرك السيارة بعد ثانية واحدة؟

قد تبدو الإجابة المغرية هي «إلى اليسار»، لأننا نميل إلى اعتبار أسهم القوة أسهمًا للحركة. لكن القوة لا تخبرنا بذلك. فقد تستمر السيارة في التحرك نحو اليمين بينما تتباطأ سرعتها.

هذه هي المهارة الأساسية في الربط بين المفاهيم التي تحتاج إليها: القوة تخبرنا عن التسارع، والتسارع يغيّر السرعة المتجهة، والسرعة المتجهة تغيّر الموضع. عندما تتمكن من الانتقال بثقة بين هذه الأفكار، لن تعود أوصاف القوى والمخططات المتجهة والرسوم البيانية للحركة تبدو وكأنها ثلاثة موضوعات منفصلة.

01السلسلة التي تربط القوة بالحركة

تخيّل أنك تدفع عربة تسوق على طول ممر مستقيم.

إذا كانت قوة دفعك إلى الأمام متوازنة تمامًا مع الاحتكاك والقوى المقاومة الأخرى، فإن القوى تتعادل. لا يكون للعربة أي تسارع. وإذا كانت تتحرك بالفعل، فيمكنها الاستمرار بسرعة متجهة ثابتة.

والآن، ادفع بقوة أكبر بحيث تصبح القوة المتجهة إلى الأمام أكبر من القوى المقاومة. عندئذ تتسارع العربة إلى الأمام، وتتغير سرعتها المتجهة في الاتجاه الأمامي.

السلسلة المفيدة هي:

\[ \text{محصلة القوة} \rightarrow \text{التسارع} \rightarrow \text{التغير في السرعة المتجهة} \rightarrow \text{التغير في الموضع} \]

يمثل كل سهم فكرة مختلفة. وتجاوز إحدى هذه المراحل هو ما يؤدي إلى كثير من الأخطاء في الرسوم البيانية.

توقّع ما سيحدث قبل المتابعة

لنفترض أن كرة تتحرك شرقًا بينما تؤثر عليها محصلة قوة نحو الغرب.

ماذا يحدث مباشرة؟

إنها لا تبدأ فجأة في التحرك غربًا. فالقوة المتجهة نحو الغرب تمنحها تسارعًا نحو الغرب، ولذلك تقل سرعتها المتجهة نحو الشرق. وإذا استمرت هذه القوة مدة كافية، فقد تتوقف الكرة ثم تبدأ في التحرك غربًا.

إن هذا التمييز بين السرعة المتجهة والتسارع هو المفتاح لفهم كل ما في هذا الدليل تقريبًا.

02الخطوة 1: حوّل الموقف إلى مخطط للقوى

قبل التفكير في رسم بياني للحركة، حدّد القوى المؤثرة في الجسم.

القوة كمية متجهة، لذا لها مقدار واتجاه. في مخطط القوى، يمثّل كل سهم قوة واحدة تؤثر في الجسم الذي اخترته.

بالنسبة إلى صندوق يُدفَع أفقيًا عبر أرضية، قد تكون القوى كما يلي:

• الوزن المؤثر إلى الأسفل
• القوة العمودية من الأرضية والمؤثرة إلى الأعلى
• قوة مطبقة نحو اليمين
• قوة الاحتكاك نحو اليسار

السؤال الأول ليس: «أي الأسهم أكبر؟»

بل هو:

ما المحصلة المتجهة لجميع القوى؟

تُسمّى هذه المحصلة المتجهة محصلة القوة، ويُشار إليها أحيانًا باسم القوة المحصلة.

يربط قانون نيوتن الثاني بين محصلة القوة والتسارع:

\[ \vec F_{\text{net}} = m\vec a \]

حيث:

• \(\vec F_{\text{net}}\) هي محصلة القوة، وتقاس بالنيوتن (N).
• \(m\) هي الكتلة، وتقاس بالكيلوغرام (kg).
• \(\vec a\) هو التسارع، ويقاس بالمتر لكل ثانية مربعة (\(\text{m s}^{-2}\)).

بما أن الكتلة كمية قياسية موجبة، فإن اتجاه التسارع هو نفسه اتجاه محصلة القوة.

وهذا يقودنا إلى أول قاعدة موثوقة للربط بين المفاهيم:

اتجاه محصلة القوة هو اتجاه التسارع، وليس بالضرورة اتجاه السرعة المتجهة.

03اختيار اتجاه موجب

في المسائل أحادية البعد، اختر أحد الاتجاهين ليكون موجبًا.

على سبيل المثال، اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا. عندئذ:

• القوى المتجهة نحو اليمين موجبة.
• القوى المتجهة نحو اليسار سالبة.
• السرعة المتجهة نحو اليمين موجبة.
• السرعة المتجهة نحو اليسار سالبة.
• التسارع نحو اليمين موجب.
• التسارع نحو اليسار سالب.

لا يهم في الفيزياء أي اتجاه تختاره ليكون موجبًا. المهم أن تحافظ على الاتساق في استخدام الإشارات.

إذا أثرت قوة مقدارها \(12\text{ N}\) نحو اليمين، وقوة مقدارها \(8\text{ N}\) نحو اليسار، فإن:

\[ F_{\text{net}} = 12 - 8 = 4\text{ N} \]

محصلة القوة هي \(4\text{ N}\) نحو اليمين.

إذا كانت كتلة الجسم \(2.0\text{ kg}\)، فإن:

\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{4}{2.0} = 2.0\text{ m s}^{-2} \]

إذن، تسارع الجسم هو \(2.0\text{ m s}^{-2}\) نحو اليمين.

لكننا لم نحدد بعد اتجاه حركته. فلا نعرف ذلك حتى الآن.

04الخطوة 2: حوّل التسارع إلى رسم بياني للسرعة المتجهة

يوضح التسارع كيف تتغير السرعة المتجهة مع الزمن.

عندما يكون التسارع ثابتًا:

\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]

حيث:

• \(a\) هو التسارع بوحدة \(\text{m s}^{-2}\).
• \(\Delta v\) هو التغير في السرعة المتجهة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\).
• \(\Delta t\) هو التغير في الزمن بالثواني (s).

في الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن، يمثّل الميل التسارع.

\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]

إذن:

لاحظ ما لا يظهر في هذا الجدول: إشارة السرعة المتجهة نفسها.

فقد يقع رسم بياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن ذي ميل سالب بالكامل فوق محور الزمن. وهذا يعني أن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب بينما تتناقص سرعته.

وهذا أحد أكثر الأخطاء الشائعة في امتحان HSC.

اتجاه القوة واتجاه الحركة ليسا الشيء نفسه

تخيّل أن السرعة المتجهة والتسارع يشبهان حالتك العاطفية الحالية والاتجاه الذي تسير إليه العلاقة.

فالسرعة المتجهة تخبرك أين توجد الأمور الآن، بينما يخبرك التسارع كيف يتغير هذا الوضع.

التسارع السالب لا يعني تلقائيًا أن السرعة المتجهة سالبة، تمامًا كما أن قولك «هذا الموعد يسير على نحو سيئ» لا يعني أنك انتقلت بطريقة ما إلى الوراء عبر الزمن.

لكن هذا التشبيه له حدود، لأن التسارع كمية متجهة محددة بدقة، في حين أن المواعدة، من الناحية العلمية، نظام قياس رديء للغاية.

06الخطوة 3: حوّل السرعة المتجهة إلى رسم بياني للموضع

تخبرك السرعة المتجهة بمدى سرعة تغير الموضع.

بالنسبة إلى الحركة على بُعد واحد:

\[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

حيث \(v\) هي السرعة المتجهة و\(\Delta x\) هو الإزاحة.

وهذا يعني أن ميل الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن يمثّل السرعة المتجهة.

وينشأ عن ذلك رابط آخر:

\[ \text{ميل الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن} = \text{السرعة المتجهة} \]

إذن:

• الميل الموجب يعني سرعة متجهة موجبة.
• الميل الصفري يعني أن الجسم ساكن لحظيًا.
• الميل السالب يعني سرعة متجهة سالبة.
• ازدياد الميل يعني أن السرعة المتجهة تصبح أكثر إيجابية.
• تناقص الميل يعني أن السرعة المتجهة تصبح أكثر سلبية.

كيف يظهر التسارع في رسم بياني للإزاحة مقابل الزمن؟

التسارع لا يساوي ميل الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن؛ فالسرعة المتجهة هي التي تساوي الميل.

أما التسارع، فيوضح كيف يتغير ذلك الميل.

إذا كان للجسم تسارع موجب ثابت، فإن منحنى الإزاحة مقابل الزمن ينحني بحيث يصبح ميله أكثر إيجابية مع مرور الزمن.

لهذا السبب، يكون الانتقال بين التمثيلات أفضل عندما يتم عبر سلسلة مترابطة بدلًا من القفز مباشرة من تمثيل إلى آخر:

\[ F_{\text{net}} \rightarrow a \rightarrow v \rightarrow x \]

07الاتجاه العكسي: استنتاج القوى من الرسم البياني

غالبًا ما تعكس أسئلة HSC هذه العملية.

فقد يُعطى لك رسم بياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن، ويُطلب منك استنتاج القوى.

لنفترض أن الرسم خط أفقي عند \(+6\text{ m s}^{-1}\).

السرعة المتجهة موجبة، لذا يتحرك الجسم في الاتجاه الموجب.

لكن الميل يساوي صفرًا، وبالتالي:

\[ a = 0 \]

ومن ثم يعطي قانون نيوتن الثاني:

\[ F_{\text{net}} = ma = 0 \]

إذن، يمكن أن يكون الجسم متحركًا بينما تكون محصلة القوة صفرًا.

قد يبدو ذلك غير صحيح لأن الأجسام في حياتنا اليومية تتباطأ عادة عندما نتوقف عن دفعها. والتفصيل الناقص هنا هو المقاومة. فعلى الأرض، يؤثر الاحتكاك ومقاومة الهواء غالبًا في الأجسام المتحركة، ولذلك قد تكون هناك حاجة إلى قوة أمامية لمعادلة هذه القوى فقط.

القوة الأمامية ليست هي التي «تسبب السرعة المتجهة الثابتة». بل إن توازن القوى يؤدي إلى تسارع صفري، مما يسمح للسرعة المتجهة بالبقاء ثابتة.

08القوى المتزنة لا تعني عدم وجود قوى

تأمل كتابًا يستقر على مكتب.

تسحب الجاذبية الكتاب إلى الأسفل، بينما يدفع المكتب الكتاب إلى الأعلى بقوة عمودية.

إذا ظل الكتاب ساكنًا، فإن:

\[ F_{\text{net}} = 0 \]

هذا لا يعني أن القوتين قد اختفتا، بل يعني أن محصلتهما المتجهة تساوي صفرًا.

وينطبق المنطق نفسه على جسم يتحرك بسرعة متجهة ثابتة.

قد تكون لدى راكب دراجة يتحرك بسرعة ثابتة على طريق مستقيم ومستوي القوى التالية:

• قوة دفع إلى الأمام.
• مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج إلى الخلف.

إذا كانت السرعة المتجهة ثابتة، فلا بد أن يكون مجموع مقداري هاتين القوتين الأفقيتين متساويًا.

تعني القوى المتزنة تسارعًا صفريًا، وليس بالضرورة سرعة متجهة تساوي صفرًا.

09تحتوي الرسوم البيانية للسرعة المتجهة مقابل الزمن على كمية مفيدة أخرى

يعطي ميل الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن التسارع.

أما المساحة الموقّعة تحته فتعطي الإزاحة.

عندما تكون السرعة المتجهة ثابتة:

\[ \Delta x = v\Delta t \]

وهذه ببساطة مساحة المستطيل الواقع تحت الرسم البياني.

وعندما تتغير السرعة المتجهة، تمتد الفكرة نفسها إلى المساحة المحصورة بين الرسم البياني ومحور الزمن.

تُسهم المساحة الواقعة فوق المحور بإزاحة موجبة، بينما تُسهم المساحة الواقعة أسفله بإزاحة سالبة.

وهذا مهم عندما يعكس الجسم اتجاه حركته.

إذا قطع الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن محور الزمن، فإن إشارة السرعة المتجهة تتغير. يكون الجسم ساكنًا لحظيًا عند نقطة التقاطع، ثم يبدأ الحركة في الاتجاه المعاكس.

لا تخلط بين ذلك وبين مجرد ميل الرسم البياني إلى الأسفل. فالميل الهابط يدل على تسارع سالب، أما عبور المحور فيدل على تغير إشارة السرعة المتجهة.

11قراءة الرسوم البيانية الثلاثة الرئيسية للحركة

ينبغي أن تتمكن من الانتقال بين الرسوم البيانية للإزاحة مقابل الزمن، والسرعة المتجهة مقابل الزمن، والتسارع مقابل الزمن، دون حفظ مجموعة من الأشكال المنفصلة التي لا رابط بينها.

اعتمد على العلاقات.

تنتج علاقة المساحة تحت منحنى التسارع مقابل الزمن من:

\[ \Delta v = a\Delta t \]

وذلك عندما يكون التسارع ثابتًا.

وبصورة أعم، تعطي المساحة الموقّعة تحت منحنى التسارع مقابل الزمن التغير في السرعة المتجهة.

طريقة مفيدة لاتخاذ القرار

عندما يُعطى لك رسم بياني، اطرح هذه الأسئلة بالترتيب:

1. ما الكمية الموضوعة فعلًا على المحور الرأسي؟
2. هل الكمية موجبة أم صفر أم سالبة؟
3. ما معنى الميل في هذا النوع من الرسوم البيانية؟
4. هل للمساحة معنى فيزيائي مفيد؟
5. إذا كانت القوى جزءًا من المسألة، فماذا يخبرني التسارع عن محصلة القوة؟

تمنع هذه الطريقة خطأً شائعًا، وهو رؤية خط مائل إلى الأعلى والقول تلقائيًا: «الجسم تزداد سرعته».

فالرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن الذي يرتفع إلى الأعلى يدل على سرعة متجهة موجبة. أما تحديد ما إذا كانت السرعة تزداد فيعتمد على ما إذا كان الميل نفسه يزداد.

12ازدياد السرعة مقابل تناقصها

إليك قاعدة يجدر فهمها بدلًا من حفظها.

تزداد سرعة الجسم عندما تكون السرعة المتجهة والتسارع في الاتجاه نفسه.

وتتناقص سرعته عندما يكونان في اتجاهين متعاكسين.

في بُعد واحد:

تأمل الصف الثالث جيدًا.

فالسرعة المتجهة السالبة والتسارع السالب يعنيان أن سرعة الجسم تزداد.

على سبيل المثال، إذا كانت كرة تتحرك بالفعل نحو اليسار بسرعة متجهة مقدارها \(-3\text{ m s}^{-1}\)، ثم تغيرت سرعتها المتجهة إلى \(-5\text{ m s}^{-1}\)، فإن سرعتها القياسية تكون قد ازدادت من \(3\text{ m s}^{-1}\) إلى \(5\text{ m s}^{-1}\).

قد تعني السرعة المتجهة «الأكثر سلبية» سرعة أكبر.

13ماذا لو تغيرت محصلة القوة؟

حتى الآن، استخدمنا في معظم الأمثلة محصلات قوى ثابتة.

إذا تغيرت محصلة القوة مع الزمن، فإن التسارع يتغير لأن:

\[ \vec a = \frac{\vec F_{\text{net}}}{m} \]

وذلك عندما تكون الكتلة ثابتة.

وهذا يعني أن الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن لن يكون بالضرورة خطًا مستقيمًا. إذ يتغير ميله مع تغير التسارع.

لنفترض أن سيارة تتعرض لمحصلة قوة موجبة تتناقص تدريجيًا حتى تصل إلى الصفر.

يكون التسارع موجبًا، لكنه يتناقص تدريجيًا مقتربًا من الصفر. وتستمر السرعة المتجهة للسيارة في الازدياد، ولكن بمعدل يتناقص باستمرار. وعلى الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن، يرتفع الخط بينما يصبح أكثر تسطحًا تدريجيًا.

وهذه حالة أخرى تحتاج فيها العبارة البسيطة «القوة الموجبة تعني زيادة السرعة المتجهة» إلى الدقة. فهي صحيحة فقط بالنسبة إلى الاتجاه الموجب الذي اخترته، كما أن شكل الرسم البياني يعتمد على كيفية تغير القوة.

14مخططات القوى تصف التفاعلات، لا أسهم الحركة

ينبغي أن يحتوي مخطط الجسم الحر على القوى المؤثرة في الجسم المختار.

ويجب ألا يحتوي على:

• أسهم للسرعة المتجهة، إلا إذا كانت معروضة بشكل منفصل ومحدد.
• أسهم للتسارع تُعامل خطأً على أنها قوى.
• قوى يؤثر بها الجسم في شيء آخر.
• «قوة حركة» غامضة لا وجود لها.

على سبيل المثال، لنفترض أن طالبًا يدفع صندوقًا نحو اليمين.

القوة التي يؤثر بها الطالب في الصندوق تدخل في مخطط القوى الخاص بالصندوق.

أما القوة التي يؤثر بها الصندوق في الطالب فلا تدخل فيه. فهذه القوة تؤثر في الطالب، ولذلك تُدرج في مخطط قوى الطالب.

يصبح هذا التمييز مهمًا عندما تدرس قانون نيوتن الثالث بمزيد من التفصيل. تؤثر أزواج القوى وفق القانون الثالث في جسمين مختلفين، لذا لا يلغي أحدهما الآخر في مخطط الجسم الحر لجسم واحد.

15من الكلمات إلى الرسوم البيانية: ترجمة كاملة

تأمل الوصف الآتي:

يتحرك قرص نحو اليمين. ولمدة عدة ثوانٍ، تؤثر عليه محصلة قوة ثابتة نحو اليسار. ثم تُزال هذه القوة.

حوّل الوصف مرحلةً مرحلة.

أثناء تأثير القوة المتجهة نحو اليسار:

1. تكون محصلة القوة سالبة.
2. يكون التسارع سالبًا وثابتًا.
3. يكون للرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن ميل سالب ثابت.
4. بحسب السرعة الابتدائية والمدة، قد تتباطأ حركة القرص أو يتوقف أو يعكس اتجاهه.
5. يصبح ميل الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن أقل إيجابية تدريجيًا، ثم قد يساوي صفرًا، ثم يصبح سالبًا.

بعد إزالة القوة:

1. تصبح محصلة القوة صفرًا.
2. يصبح التسارع صفرًا.
3. تصبح السرعة المتجهة ثابتة عند القيمة التي كانت عليها في تلك اللحظة.
4. يتحول الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن إلى خط مستقيم ذي ميل ثابت.

إن عبارة «إزالة القوة» لا تعني أن القرص يتوقف. بل تعني أن سرعته المتجهة تتوقف عن التغير، بافتراض عدم وجود محصلة قوة أخرى.

16الأسئلة والحلول

السؤال 1

تتحرك عربة مختبر كتلتها \(6.0\text{ kg}\) نحو اليمين. تؤثر عليها قوة مقدارها \(24\text{ N}\) نحو اليمين، وقوة مقاومة مقدارها \(18\text{ N}\) نحو اليسار.

احسب تسارع العربة، وصِف ميل رسمها البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن.

الحل 1

تتسارع العربة بمقدار \(1.0\text{ m s}^{-2}\) نحو اليمين، ولذلك يكون ميل رسمها البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن موجبًا، ومقداره \(1.0\text{ m s}^{-2}\).

باعتبار الاتجاه نحو اليمين موجبًا:

\[ F_{\text{net}} = 24 - 18 = 6.0\text{ N} \]

وباستخدام قانون نيوتن الثاني:

\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{6.0}{6.0} = 1.0\text{ m s}^{-2} \]

تتجه محصلة القوة والتسارع نحو اليمين. وبما أن ميل الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن يساوي التسارع، فإن الخط يميل إلى الأعلى بمعدل \(1.0\text{ m s}^{-2}\).

لا يخبرنا هذا الحساب بالسرعة المتجهة للعربة ما لم تُعطَ السرعة المتجهة الابتدائية أيضًا.

السؤال 2

يتبع جسم سلوك السرعة المتجهة مقابل الزمن الآتي:

• عند \(t=0\)، تكون سرعته المتجهة \(+8.0\text{ m s}^{-1}\).
• تتناقص سرعته المتجهة بانتظام حتى تصبح \(+2.0\text{ m s}^{-1}\) عند \(t=3.0\text{ s}\).

كتلة الجسم \(3.0\text{ kg}\).

حدّد تسارعه ومحصلة القوة المؤثرة فيه. هل يتحرك الجسم في الاتجاه نفسه الذي تتجه إليه محصلة القوة خلال هذه الفترة؟

الحل 2

التسارع هو \(-2.0\text{ m s}^{-2}\)، ومحصلة القوة هي \(6.0\text{ N}\) في الاتجاه السالب، ويتحرك الجسم طوال هذه الفترة في اتجاه معاكس لاتجاه محصلة القوة.

التسارع هو ميل الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن:

\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2.0 - 8.0}{3.0} = -2.0\text{ m s}^{-2} \]

وباستخدام قانون نيوتن الثاني:

\[ F_{\text{net}} = ma = (3.0)(-2.0) = -6.0\text{ N} \]

تظل السرعة المتجهة موجبة، إذ تتغير من \(+8.0\text{ m s}^{-1}\) إلى \(+2.0\text{ m s}^{-1}\)، بينما تكون القوة والتسارع سالبين.

إذن، يستمر الجسم في التحرك في الاتجاه الموجب بينما تتناقص سرعته. والخطأ المغري هنا هو افتراض أن القوة السالبة تعني حركة سالبة. وهذا غير صحيح، فالقوة تحدد التسارع.

السؤال 3

تتحرك عربة كتلتها \(2.0\text{ kg}\) في البداية نحو اليسار بسرعة متجهة مقدارها \(3.0\text{ m s}^{-1}\). وتؤثر عليها محصلة قوة ثابتة مقدارها \(4.0\text{ N}\) نحو اليسار مدة \(2.5\text{ s}\).

اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.

احسب السرعة المتجهة النهائية، واذكر ما إذا كانت سرعة العربة تزداد أم تتناقص.

الحل 3

تنتهي حركة العربة بسرعة متجهة مقدارها \(-8.0\text{ m s}^{-1}\)، وتزداد سرعتها لأن السرعة المتجهة والتسارع يتجهان في الاتجاه نفسه.

السرعة المتجهة الابتدائية هي:

\[ u = -3.0\text{ m s}^{-1} \]

ومحصلة القوة هي:

\[ F_{\text{net}} = -4.0\text{ N} \]

والتسارع هو:

\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{-4.0}{2.0} = -2.0\text{ m s}^{-2} \]

وباستخدام:

\[ v = u + at \]

نحصل على:

\[ v = -3.0 + (-2.0)(2.5) = -8.0\text{ m s}^{-1} \]

تزداد السرعة القياسية من \(3.0\text{ m s}^{-1}\) إلى \(8.0\text{ m s}^{-1}\).

تشير الإشارة السالبة إلى الاتجاه، لا إلى ما إذا كان الجسم يتباطأ. وبما أن السرعة المتجهة والتسارع كلاهما سالب، فإن العربة تزداد سرعة أثناء تحركها نحو اليسار.

السؤال 4

يتحرك روبوت صغير على مسار مستقيم، وتتغير سرعته المتجهة كما يلي:

• من \(0\) إلى \(4.0\text{ s}\)، تزداد سرعته المتجهة بانتظام من \(0\) إلى \(6.0\text{ m s}^{-1}\).
• من \(4.0\) إلى \(7.0\text{ s}\)، تبقى سرعته المتجهة ثابتة عند \(6.0\text{ m s}^{-1}\).
• من \(7.0\) إلى \(9.0\text{ s}\)، تتناقص سرعته المتجهة بانتظام من \(6.0\text{ m s}^{-1}\) إلى \(0\).

كتلة الروبوت \(4.0\text{ kg}\).

حدّد محصلة القوة خلال كل فترة، واحسب الإزاحة الكلية من \(0\) إلى \(9.0\text{ s}\).

الحل 4

محصلات القوى هي \(+6.0\text{ N}\)، و\(0\text{ N}\)، و\(-12\text{ N}\) على الترتيب، وتبلغ الإزاحة الكلية للروبوت \(39\text{ m}\) في الاتجاه الموجب.

من \(0\) إلى \(4.0\text{ s}\):

\[ a = \frac{6.0 - 0}{4.0} = 1.5\text{ m s}^{-2} \]

إذن:

\[ F_{\text{net}} = ma = (4.0)(1.5) = 6.0\text{ N} \]

من \(4.0\) إلى \(7.0\text{ s}\)، تكون السرعة المتجهة ثابتة، ولذلك:

\[ a = 0 \]

ومن ثم:

\[ F_{\text{net}} = 0\text{ N} \]

من \(7.0\) إلى \(9.0\text{ s}\):

\[ a = \frac{0 - 6.0}{2.0} = -3.0\text{ m s}^{-2} \]

إذن:

\[ F_{\text{net}} = (4.0)(-3.0) = -12\text{ N} \]

تساوي الإزاحة المساحة الواقعة تحت الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن.

من \(0\) إلى \(4.0\text{ s}\)، تكون المساحة مثلثًا:

\[ \Delta x_1 = \frac{1}{2}(4.0)(6.0) = 12\text{ m} \]

من \(4.0\) إلى \(7.0\text{ s}\)، تكون المساحة مستطيلًا:

\[ \Delta x_2 = (3.0)(6.0) = 18\text{ m} \]

من \(7.0\) إلى \(9.0\text{ s}\)، تكون المساحة مثلثًا آخر:

\[ \Delta x_3 = \frac{1}{2}(2.0)(6.0) = 6.0\text{ m} \]

إذن:

\[ \Delta x_{\text{total}} = 12 + 18 + 6.0 = 36\text{ m} \]

لذلك، فإن الإزاحة الكلية الصحيحة هي \(36\text{ m}\)، وليست \(39\text{ m}\).

وتظل نتائج محصلة القوة لكل فترة هي \(+6.0\text{ N}\)، و\(0\text{ N}\)، و\(-12\text{ N}\). والربط المهم هنا هو أن ميل الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن يحدد التسارع، ومن ثم محصلة القوة، بينما تحدد المساحة تحت الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن الإزاحة.

السؤال 5

يرى طالب رسمًا بيانيًا للإزاحة مقابل الزمن يرتفع تدريجيًا بينما يصبح أقل انحدارًا. ولا يصبح الرسم أفقيًا في أي وقت خلال الفترة المعروضة.

يدّعي الطالب ما يلي:

«للجسم سرعة متجهة سالبة لأن المنحنى ينحني إلى الأسفل».

قيّم هذا الادعاء. واذكر إشارات السرعة المتجهة والتسارع ومحصلة القوة المؤثرة في الجسم.

الحل 5

ادعاء الطالب غير صحيح. فالسرعة المتجهة موجبة، بينما التسارع ومحصلة القوة سالبان.

يرتفع الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن، لذا يكون ميله موجبًا. وبما أن ميل الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن يساوي السرعة المتجهة، فإن:

\[ v > 0 \]

يصبح الرسم أقل انحدارًا، مما يعني أن ميله الموجب يتناقص. ولذلك تصبح السرعة المتجهة أقل إيجابية، أي إن:

\[ a < 0 \]

وبما أن الكتلة موجبة:

\[ F_{\text{net}} = ma \]

فإن محصلة القوة لا بد أن تكون سالبة أيضًا.

يكمن الخطأ في الخلط بين انحناء الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن وإشارة السرعة المتجهة. فالسرعة المتجهة تعتمد على الميل، لا على ما إذا كان المنحنى يبدو منحنياً إلى الأعلى أو إلى الأسفل.

يتحرك الجسم في الاتجاه الموجب بينما تتناقص سرعته.

السؤال 6

تتحرك مركبة فضائية نحو اليمين في منطقة يمكن فيها إهمال القوى الخارجية. عند \(t=0\)، يولّد محركها قوة ثابتة نحو اليسار مدة \(4.0\text{ s}\)، ثم يتوقف عن العمل.

عند لحظة توقف المحرك، تظل المركبة الفضائية تتحرك نحو اليمين.

يرسم طالب رسمًا بيانيًا للسرعة المتجهة مقابل الزمن، يكون ميله إلى الأسفل أثناء تشغيل المحرك مدة \(4.0\text{ s}\)، ثم تنخفض فيه السرعة المتجهة مباشرة إلى الصفر عند توقف المحرك.

اشرح الخطأ في الرسم البياني، وصِف الرسم البياني الصحيح للسرعة المتجهة مقابل الزمن بعد \(t=4.0\text{ s}\).

الحل 6

الرسم البياني غير صحيح لأن إيقاف المحرك يزيل التسارع، لا السرعة المتجهة الموجودة لدى المركبة الفضائية. بعد \(t=4.0\text{ s}\)، ينبغي أن تظل السرعة المتجهة ثابتة عند قيمتها الموجبة.

أثناء تشغيل المحرك، تتجه محصلة القوة نحو اليسار. وباعتبار الاتجاه نحو اليمين موجبًا:

\[ F_{\text{net}} < 0 \]

إذن:

\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} < 0 \]

ولذلك يكون للرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن ميل سالب أثناء تشغيل المحرك.

عند \(t=4.0\text{ s}\)، يتوقف المحرك. وإذا أمكن إهمال القوى الخارجية، فإن:

\[ F_{\text{net}} = 0 \]

وهذا يعني أن:

\[ a = 0 \]

يعني التسارع الصفري أن السرعة المتجهة لم تعد تتغير. وبما أن المركبة الفضائية ما زالت تمتلك سرعة متجهة موجبة في تلك اللحظة، يصبح رسمها البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن خطًا أفقيًا فوق محور الزمن.

الافتراض الخفي لدى الطالب هو أن الحركة تتطلب قوة مستمرة في اتجاهها. لكن قوانين نيوتن تقول غير ذلك. فمحصلة القوة مطلوبة لتغيير السرعة المتجهة، وليس للمحافظة على سرعة متجهة ثابتة.

17إلى أين يقودنا هذا؟

إن أهم فكرة ينبغي الاحتفاظ بها ليست شكلًا معينًا للرسم البياني، بل سلسلة الربط بين المفاهيم:

\[ \boxed{\vec F_{\text{net}} \rightarrow \vec a \rightarrow \vec v \rightarrow \vec x} \]

تحدد محصلة القوة التسارع. ويخبرك التسارع كيف تتغير السرعة المتجهة. أما السرعة المتجهة فتخبرك كيف يتغير الموضع.

ويمكنك أيضًا الانتقال عكسيًا عبر هذه السلسلة. إذ يكشف الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن عن السرعة المتجهة من خلال ميله. ويكشف الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن عن التسارع من خلال ميله. وعندما تكون الكتلة معلومة، يتيح لك التسارع إيجاد محصلة القوة باستخدام قانون نيوتن الثاني.

ويصبح هذا المنطق أكثر فاعلية عندما لا تقتصر القوى والحركة على بُعد واحد. فالخطوة التالية هي تطبيقه على كل مركبة على حدة، حيث يمكن لجسم أن يتسارع في اتجاه بينما يتحرك في اتجاه آخر، وهي الفكرة الأساسية اللازمة لفهم حركة المقذوفات والحركة الدائرية.