انكسار الموجات: تغيّرات السرعة والطول الموجي والاتجاه

تعرّف على كيفية تأثير التغيّرات في سرعة الموجة في طولها الموجي واتجاهها أثناء الانكسار، من خلال شروحات واضحة وأمثلة محلولة وتدريبات بأسلوب امتحانات شهادة التعليم الثانوي العالي (HSC).

تصل مجموعة من جبهات موجات مائية مستقيمة إلى منطقة ضحلة بزاوية مائلة. يدخل أحد طرفَي كل جبهة إلى الماء الضحل أولًا. تتباطأ تلك النهاية، بينما تستمر النهاية الأخرى في الحركة بسرعة أكبر داخل الماء العميق.

توقّع ما سيحدث. هل ستواصل الموجة حركتها في الاتجاه نفسه، أم ستنحرف نحو الحد الفاصل، أم ستنحرف نحو الخط العمودي على الحد الفاصل؟

إنها تنحرف نحو الخط العمودي، الذي يُسمّى العمود المقام. وفي الوقت نفسه، تصبح المسافات بين جبهات الموجة أصغر.

ينشأ هذان التغيّران، في الاتجاه والطول الموجي، عن السبب نفسه: تغيّرت سرعة الموجة.

01ابدأ بالتغيّر في السرعة

افترض أن موجة تنتقل من الوسط 1 إلى الوسط 2.

هناك ثلاث كميات أساسية يجب أخذها في الحسبان مباشرةً:

• \(v\)، سرعة الموجة، وتُقاس بالأمتار في الثانية (\(\text{m s}^{-1}\))
• \(f\)، التردد، ويُقاس بالهرتز (\(\text{Hz}\))
• \(\lambda\)، الطول الموجي، ويُقاس بالأمتار (\(\text{m}\))

ترتبط هذه الكميات بالعلاقة:

\[ v = f\lambda \]

يبيّن التردد عدد دورات الموجة الكاملة التي تمر بنقطة معينة كل ثانية. أما الطول الموجي، فيبيّن المسافة بين نقطتين متماثلتين متتاليتين على موجتين متعاقبتين، مثل المسافة من قمة إلى القمة التالية.

تخيّل الآن أن الموجة تصل إلى حد فاصل ثابت وتتباطأ. ما الذي يمكن أن يتغيّر في العلاقة \(v=f\lambda\)؟

لا يتغيّر التردد فجأة. فالموجة الساقطة تؤثر في الحد الفاصل بمعدل معين، ولذلك تتولد الموجة المنتقلة بالمعدل نفسه. في حالة الحدود الفاصلة الساكنة التي ندرسها في فيزياء HSC،

\[ f_1 = f_2 \]

إذا بقي \(f\) ثابتًا وانخفضت \(v\)، فلا بد أن ينخفض \(\lambda\) أيضًا.

إذًا:

هذه أول قاعدة ينبغي أن ترسخ في ذهنك:

عند حد فاصل ساكن، يؤدي التغيّر في سرعة الموجة إلى تغيّر متناسب في الطول الموجي بالنسبة نفسها، بينما يبقى التردد ثابتًا.

رياضيًا،

\[ v_1=f\lambda_1 \]

و

\[ v_2=f\lambda_2 \]

ومن ثم،

\[ \frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{v_2}{v_1} \]

إذا كانت السرعة الجديدة تساوي 70% من السرعة الأصلية، فإن الطول الموجي الجديد يساوي أيضًا 70% من الطول الموجي الأصلي.

02لماذا يتغيّر الاتجاه؟

يسهل تفسير تغيّر الطول الموجي من خلال تغيّر السرعة. أما الانحراف فيحتاج إلى خطوة إضافية.

تخيّل شخصين يحملان أنبوبًا طويلًا من الإسفنج المستخدم في أحواض السباحة، بينما يركضان قطريًا من سطح خرساني إلى عشب كثيف. يصل أحدهما إلى العشب أولًا فيتباطأ، بينما يستمر الآخر في الحركة بسرعة أكبر على السطح الخرساني.

لبعض الوقت، تتحرك إحدى النهايتين مسافة أكبر من الأخرى، فيدور الأنبوب.

تتصرف جبهة الموجة بطريقة مشابهة. فإذا دخل جزء من جبهة الموجة إلى الوسط الجديد قبل بقية أجزائها، تتغيّر سرعة ذلك الجزء أولًا. ويؤدي اختلاف الحركة إلى دوران جبهة الموجة.

هذا التشبيه مفيد، لكن لا تأخذه حرفيًا. فجبهة الموجة ليست أنبوبًا صلبًا من الإسفنج، بل هي خط يصل بين نقاط الموجة التي تكون في المرحلة نفسها من التذبذب.

يكون اتجاه انتشار الموجة عموديًا على جبهاتها. وغالبًا ما نمثّل هذا الاتجاه باستخدام شعاع.

وهكذا تصبح قاعدة الانحراف واضحة:

• إذا تباطأت الموجة، فإن الشعاع ينحرف نحو العمود المقام.
• إذا تسارعت الموجة، فإن الشعاع ينحرف بعيدًا عن العمود المقام.

العمود المقام خط وهمي يُرسم بزاوية \(90^\circ\) على الحد الفاصل.

وهذا مهم لأن زوايا الانكسار تُقاس انطلاقًا من العمود المقام، لا من السطح.

الاستثناء المهم: السقوط العمودي

افترض أن الموجة تقترب من الحد الفاصل مباشرةً على امتداد العمود المقام.

تصل جميع أجزاء جبهة الموجة إلى الحد الفاصل في الوقت نفسه. فلا يسبق أي جانب الآخر، ولذلك لا يحدث دوران لجبهة الموجة.

ومع ذلك، يمكن أن تتغيّر السرعة، ويمكن أن يتغيّر الطول الموجي، لكن الاتجاه لا يتغيّر.

لذلك، فإن العبارة المختصرة «يؤدي تغيّر السرعة إلى انحراف الموجة» غير مكتملة.

والصياغة الأفضل هي:

يتغيّر اتجاه الموجة عندما تعبر حدًا فاصلًا بزاوية مائلة وتتغيّر سرعتها.

03تحويل الرسم إلى قانون سنيل

لتكن:

• \(\theta_1\) زاوية السقوط، مقاسة من العمود المقام.
• \(\theta_2\) زاوية الانكسار، مقاسة من العمود المقام.
• \(v_1\) و\(v_2\) سرعتي الموجة في الوسطين.

في حالة الانكسار،

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} \]

وبما أن التردد يبقى ثابتًا وأن \(v=f\lambda\)، فإن

\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \]

لذلك يمكننا أيضًا كتابة

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \]

تربط هذه المعادلة الجوانب الثلاثة للعملية الفيزيائية نفسها.

إذا كانت \(v_2\theta_1\).

الخطوة 2: طبّق قانون سنيل.

\[ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 \]

إذًا،

\[ \sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \frac{1.49}{1.33}\sin50.0^\circ \]

\[ \sin\theta_2\approx0.858 \]

ومن ثم،

\[ \theta_2\approx59.1^\circ \]

لقد ازدادت الزاوية، ولذلك ينحرف الشعاع بعيدًا عن العمود المقام.

الخطوة 3: اربط الطول الموجي بالسرعة.

بما أن

\[ v=\frac{c}{n} \]

فإن نسبة السرعتين هي

\[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{1.49}{1.33} \]

وبما أن التردد لم يتغيّر، فإن الطول الموجي يتغيّر بالنسبة نفسها:

\[ \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1.49}{1.33} \]

إذًا،

\[ \lambda_2 = 410\ \text{nm}\times\frac{1.49}{1.33} \approx459\ \text{nm} \]

يبلغ الطول الموجي للضوء في الماء نحو \(459\ \text{nm}\).

لاحظ ما لم يحدث: لم يبدأ المصدر فجأةً في التذبذب بتردد مختلف. فقد بقي التردد ثابتًا، بينما تغيّر الطول الموجي بسبب تغيّر سرعة الموجة.

04المفاهيم الخاطئة التي تتسبب في معظم أخطاء الانكسار

«تتباطأ الموجة، ولذلك ينخفض ترددها»

قد تبدو هذه الفكرة منطقية لأن السرعة والتردد يظهران معًا في العلاقة \(v=f\lambda\).

لكن المشكلة هي أن هناك كميتين يمكن أن تتغيّرا. عند حد فاصل ساكن، يحدّد التذبذب الوارد التردد. أما الطول الموجي فهو الذي يتكيّف.

لذلك، إذا انخفضت السرعة إلى النصف،

\[ v_2=\frac{1}{2}v_1 \]

فإن

\[ \lambda_2=\frac{1}{2}\lambda_1 \]

بينما

\[ f_2=f_1 \]

«الاتجاه نحو العمود المقام يعني الاتجاه نحو السطح»

من الناحية الهندسية، المعنى هو العكس.

يمتد العمود المقام بزاوية \(90^\circ\) على السطح. وعندما ينحرف الشعاع نحو العمود المقام، تصبح زاويته المقاسة من العمود المقام أصغر.

إذا انخفضت الزاوية من \(50^\circ\) إلى \(30^\circ\)، فهذا يعني أن الشعاع انحرف نحو العمود المقام.

«تنحرف الموجة الأبطأ لأنها تفقد الطاقة»

يرتبط الانكسار أساسًا بتغيّر سرعة الموجة عند عبور الحد الفاصل، وليس بمجرد فقدان الطاقة.

قد تمتص بعض المواد الحقيقية جزءًا من طاقة الموجة، لكن قانون سنيل لا يصف الامتصاص. ويمكن أن تنكسر الموجة حتى عندما تكون خسائر الطاقة ضئيلة للغاية.

«إذا تغيّرت السرعة، فلا بد أن يتغيّر الاتجاه»

ليس عند السقوط العمودي.

إذا وصلت الموجة إلى الحد الفاصل عموديًا، فإن جبهة الموجة بأكملها تتغيّر سرعتها معًا. ويتغيّر طولها الموجي، لكن شعاعها يواصل مساره في خط مستقيم.

«لا بد أن يتغيّر لون موجة الضوء لأن طولها الموجي يتغيّر»

يتغيّر الطول الموجي داخل المادة، لكن التردد يبقى ثابتًا.

في حالة الضوء المرئي العادي، يُعدّ التردد كمية أكثر فائدة لتحديد موضع الضوء ضمن الطيف الكهرومغناطيسي. وإذا عاد الضوء لاحقًا إلى وسطه الأصلي، فإن سرعته وطوله الموجي يعودان إلى القيمتين المناظرتين لهما في ذلك الوسط.

05طريقة مختصرة لاتخاذ القرار

عندما يتضمّن سؤال عن الانكسار حدًا فاصلًا بين وسطين، اتبع الخطوات الآتية بالترتيب:

1. قارن السرعتين. هل تتسارع الموجة أم تتباطأ؟
2. توقّع الانحراف. السرعة الأقل تعني الانحراف نحو العمود المقام، والسرعة الأعلى تعني الانحراف بعيدًا عنه.
3. أبقِ التردد ثابتًا. في حالة الحدود الفاصلة الساكنة التي ندرسها هنا، \(f_1=f_2\).
4. غيّر الطول الموجي بما يتناسب مع السرعة. استخدم \(v=f\lambda\) أو \(\lambda_2/\lambda_1=v_2/v_1\).
5. احسب الزاوية إذا لزم الأمر. استخدم قانون سنيل.
6. تحقّق من توافق النتيجة مع توقّعك. إذا أظهر الحساب أن موجة أبطأ تنحرف بعيدًا عن العمود المقام، فينبغي أن يثير ذلك شكّك فورًا.

يساعد هذا التحقّق الأخير على اكتشاف كثير من أخطاء الآلة الحاسبة وإعادة ترتيب المعادلات.

06الأسئلة والحلول

السؤال 1

تنتقل موجة مائية مستمرة ترددها \(12\ \text{Hz}\) بسرعة \(0.48\ \text{m s}^{-1}\) قبل أن تعبر عموديًا إلى منطقة تبلغ فيها سرعتها \(0.30\ \text{m s}^{-1}\).

احسب طولها الموجي في كل منطقة، واذكر ترددها بعد العبور، وصف أي تغيّر في الاتجاه.

الحل 1

ينخفض الطول الموجي من \(0.040\ \text{m}\) إلى \(0.025\ \text{m}\)، ويبقى التردد \(12\ \text{Hz}\)، ولا يتغيّر اتجاه الموجة.

قبل الحد الفاصل،

\[ \lambda_1=\frac{v_1}{f} =\frac{0.48}{12} =0.040\ \text{m} \]

بعد الحد الفاصل،

\[ \lambda_2=\frac{v_2}{f} =\frac{0.30}{12} =0.025\ \text{m} \]

الحد الفاصل ساكن، ولذلك يبقى التردد \(12\ \text{Hz}\).

على الرغم من تغيّر سرعة الموجة، فإنها تصل إلى الحد الفاصل بسقوط عمودي. وتصل جبهة الموجة بأكملها إلى الحد الفاصل في الوقت نفسه، لذلك لا يحدث دوران لجبهة الموجة، ومن ثم لا يتغيّر الاتجاه.

الخطأ المغري هنا هو افتراض أن أي تغيّر في السرعة لا بد أن يؤدي إلى انحراف ملحوظ.

السؤال 2

تنتقل موجة بسرعة \(3.2\ \text{m s}^{-1}\) في الوسط A وبسرعة \(2.4\ \text{m s}^{-1}\) في الوسط B. يبلغ ترددها \(8.0\ \text{Hz}\)، وتصطدم بالحد الفاصل بزاوية \(45^\circ\) مع العمود المقام.

احسب الطول الموجي في كلا الوسطين وزاوية الانكسار.

الحل 2

ينخفض الطول الموجي من \(0.40\ \text{m}\) إلى \(0.30\ \text{m}\)، وتنحرف الموجة بالانكسار إلى زاوية تقارب \(32^\circ\) مع العمود المقام.

الأطوال الموجية هي

\[ \lambda_A=\frac{v_A}{f} =\frac{3.2}{8.0} =0.40\ \text{m} \]

و

\[ \lambda_B=\frac{v_B}{f} =\frac{2.4}{8.0} =0.30\ \text{m} \]

لحساب الزاوية،

\[ \frac{\sin\theta_A}{\sin\theta_B} = \frac{v_A}{v_B} \]

ومن ثم،

\[ \sin\theta_B = \frac{2.4}{3.2}\sin45^\circ \approx0.530 \]

إذًا،

\[ \theta_B = \sin^{-1}(0.530) \approx32.0^\circ \]

تنخفض السرعة، كما تنخفض الزاوية من \(45^\circ\) إلى \(32^\circ\). لذلك تكون الموجة قد انحرفت نحو العمود المقام، وهو ما يتوافق مع التوقّع الفيزيائي.

السؤال 3

يراقب طالب موجة تدخل وسطًا ثانيًا. يبلغ الطول الموجي في الوسط الثاني \(75\%\) من قيمته الأصلية. وزاوية السقوط هي \(50^\circ\).

يقول الطالب: «يعني قِصر الطول الموجي أن التردد لا بد أن يكون قد ازداد».

قيّم هذه العبارة واحسب زاوية الانكسار.

الحل 3

عبارة الطالب غير صحيحة. يبقى التردد ثابتًا، وتنخفض سرعة الموجة إلى \(75\%\) من قيمتها الأصلية، وتبلغ زاوية الانكسار نحو \(35^\circ\).

عند حد فاصل ساكن،

\[ f_2=f_1 \]

و

\[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} =0.75 \]

إذًا، ينشأ قِصر الطول الموجي عن انخفاض السرعة، وليس عن زيادة التردد.

وباستخدام صيغة قانون سنيل التي تعتمد على السرعة،

\[ \sin\theta_2 = \frac{v_2}{v_1}\sin\theta_1 \]

نحصل على

\[ \sin\theta_2 = 0.75\sin50^\circ \approx0.575 \]

ومن ثم،

\[ \theta_2 \approx35.1^\circ \]

ينحرف الشعاع نحو العمود المقام لأنه يدخل وسطًا أبطأ.

ينشأ هذا المفهوم الخاطئ من التعامل مع العلاقة \(v=f\lambda\) كما لو أن تغيّر إحدى الكميات يحدّد تلقائيًا أيًّا من الكميتين الأخريين قد تغيّر. يجب أن تعرف شرط الحد الفاصل، \(f_1=f_2\)، قبل اتخاذ هذا القرار.

السؤال 4

أثناء تجربة، تقيس مجموعة من الطلاب موجة تعبر حدًا فاصلًا ساكنًا.

وقد حصلوا على القياسات الآتية:

• زاوية السقوط \(=40^\circ\)
• زاوية الانكسار \(=25^\circ\)
• الطول الموجي الساقط \(=12\ \text{cm}\)
• الطول الموجي المنكسر \(=8.0\ \text{cm}\)

حدّد ما إذا كانت قياسات الزوايا وقياسات الأطوال الموجية متوافقة تقريبًا مع نموذج الانكسار نفسه.

الحل 4

نعم. تعطي مجموعتا القياسات نسبتين للسرعة تقاربان \(1.52\) و\(1.50\)، ولذلك فهما متوافقتان تقريبًا.

من قانون سنيل،

\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\sin40^\circ}{\sin25^\circ} \]

\[ \frac{v_1}{v_2} \approx \frac{0.643}{0.423} \approx1.52 \]

وبالاعتماد على الأطوال الموجية، وبما أن التردد لا يتغيّر،

\[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{12}{8.0} =1.50 \]

تختلف القيمتان اختلافًا طفيفًا، وهو أمر معقول بالنسبة إلى قياسات تجريبية قُرّبت إلى درجة الدقة المحددة.

وتشير القياسات أيضًا إلى التفسير الفيزيائي نفسه. فسرعة الموجة في الوسط 2 أقل، وطولها الموجي أقصر، وينحرف الشعاع نحو العمود المقام.

يتطلّب التحليل الأقوى التحقّق من اتفاق الأدلة المستقلة بعضها مع بعض، بدلًا من تطبيق معادلة واحدة والتوقف عند ذلك.

السؤال 5

تمر موجة عبر ثلاث مناطق. تحتوي المنطقتان A وC على الوسط نفسه، وتبلغ سرعة الموجة فيهما \(6.0\ \text{m s}^{-1}\). وبينهما لوح ذو سطحين متوازيين مصنوع من الوسط B، حيث تبلغ سرعة الموجة \(4.0\ \text{m s}^{-1}\).

تبلغ قيمة تردد الموجة \(10\ \text{Hz}\)، وتدخل الوسط B قادمةً من A بزاوية \(50^\circ\) مع العمود المقام.

احسب ما يأتي:

• زاوية الموجة داخل B
• زاوية الموجة بعد دخولها C
• الطول الموجي في كل منطقة

يدّعي أحد الطلاب: «لأن الحد الفاصل الثاني يعكس الانكسار الأول، فإن الموجة تخرج تمامًا كما لو أن اللوح لم يكن موجودًا أصلًا». قيّم هذا الادعاء.

الحل 5

تبلغ الزاوية داخل B نحو \(30.7^\circ\)، وتخرج الموجة إلى C بزاوية \(50^\circ\)، وتبلغ أطوالها الموجية \(0.60\ \text{m}\) و\(0.40\ \text{m}\) و\(0.60\ \text{m}\) في A وB وC على التوالي. ادعاء الطالب صحيح جزئيًا فقط، لأن الشعاع الخارج يكون موازيًا للشعاع الساقط، لكنه قد يكون مزاحًا جانبيًا.

عند الحد الفاصل الأول،

\[ \sin\theta_B = \frac{v_B}{v_A}\sin\theta_A \]

ومن ثم،

\[ \sin\theta_B = \frac{4.0}{6.0}\sin50^\circ \]

\[ \theta_B\approx30.7^\circ \]

تتباطأ الموجة، ولذلك تنحرف نحو العمود المقام.

عند الحد الفاصل الثاني، تعود الموجة إلى وسط له السرعة الأصلية. وباستخدام قانون سنيل مرة أخرى،

\[ \frac{\sin30.7^\circ}{\sin\theta_C} = \frac{4.0}{6.0} \]

نحصل على

\[ \theta_C\approx50^\circ \]

لذلك يكون الشعاع الخارج موازيًا للشعاع الساقط.

الأطوال الموجية هي

\[ \lambda_A=\frac{6.0}{10}=0.60\ \text{m} \]

\[ \lambda_B=\frac{4.0}{10}=0.40\ \text{m} \]

و

\[ \lambda_C=\frac{6.0}{10}=0.60\ \text{m} \]

يبقى التردد \(10\ \text{Hz}\) في جميع المناطق.

الطالب محق في أن زاوية الموجة الأصلية وطولها الموجي يُستعادان عندما تعود الموجة إلى النوع الأصلي من الوسط. لكن اللوح ذي السطحين المتوازيين يزيح الشعاع جانبيًا عمومًا، لأنه يتحرك بزاوية مختلفة أثناء وجوده داخل B. وهكذا يغيّر اللوح مسار الموجة، رغم استعادة اتجاهها النهائي.

السؤال 6

ينتقل الضوء من الزجاج، ذي معامل انكسار \(1.50\)، إلى الهواء، ذي معامل انكسار \(1.00\). تبلغ زاوية سقوطه داخل الزجاج \(50^\circ\).

يعوّض أحد الطلاب بالقيم في قانون سنيل، ويحصل على

\[ \sin\theta_2=1.15 \]

ويستنتج أن الآلة الحاسبة أو قانون سنيل لا بد أن يكون خاطئًا.

اشرح ما الذي تعنيه النتيجة في الواقع.

الحل 6

تشير هذه النتيجة إلى أنه لا يمكن أن يخرج شعاع منكسر عادي إلى الهواء عند هذه الزاوية. بل يتعرّض الضوء للانعكاس الداخلي الكلي، بدلًا من أن يعطي قانون سنيل زاوية انكسار حقيقية.

بدءًا من العلاقة

\[ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 \]

نحصل على

\[ \sin\theta_2 = \frac{1.50}{1.00}\sin50^\circ \approx1.15 \]

لكن جيب زاوية حقيقية لا يمكن أن يتجاوز 1.

هذا ليس عطلًا في الآلة الحاسبة. فعندما ينتقل الضوء من الزجاج ذي معامل الانكسار الأعلى إلى الهواء ذي معامل الانكسار الأقل، ينحرف بعيدًا عن العمود المقام. ومع زيادة زاوية السقوط، تقترب زاوية الانكسار من \(90^\circ\). وبعد تجاوز زاوية سقوط معينة تُسمّى الزاوية الحرجة، لا يعود هناك شعاع منكسر قادر على الانتشار إلى الوسط الثاني.

الدرس المفيد هنا هو أن للمعادلات حدودًا فيزيائية. وقد تكون النتيجة الرياضية المستحيلة دليلًا على أن الحالة انتقلت إلى نظام فيزيائي مختلف.

07ما الذي يساعدك فهم الانكسار على استيعابه لاحقًا؟

يصبح فهم الانكسار أسهل إذا تعاملت مع الاتجاه والطول الموجي بوصفهما نتيجتين لسبب واحد.

تصل موجة إلى حد فاصل، فتتغيّر سرعتها. ويبقى التردد ثابتًا بفعل الموجة الواردة. ولذلك يتغيّر الطول الموجي. وإذا عُبر الحد الفاصل بزاوية مائلة، فإن سرعة أجزاء جبهة الموجة تتغيّر في أوقات مختلفة، ما يؤدي إلى دوران جبهة الموجة وتغيّر اتجاه انتشارها.

انطلاقًا من هذه السلسلة الواحدة،

\[ \text{تغيّر السرعة} \rightarrow \text{تغيّر الطول الموجي} \rightarrow \text{دوران جبهة الموجة عند السقوط المائل} \]

يمكنك اشتقاق قانون سنيل بدلًا من حفظه بوصفه صيغة منفصلة.

والخطوة المفيدة التالية هي دراسة حالة الانحراف «بعيدًا عن العمود المقام» حتى الوصول إلى حدّها الأقصى. فعندما ينتقل الضوء من وسط بصري أبطأ إلى وسط أسرع، يمكن أن تصل زاوية الانكسار في النهاية إلى \(90^\circ\). ويقود ذلك مباشرةً إلى الزاوية الحرجة والانعكاس الداخلي الكلي، وهما يمثلان حالة حدّية لنموذج الانكسار نفسه.