الأنظمة المغلقة في التصادمات: متى يُحفظ الزخم؟

يتصادم عربتان ديناميكيتان على مسار. أثناء التصادم، تتعرض كل عربة لقوة كبيرة من العربة الأخرى. فلماذا يمكننا القول غالبًا إن الزخم الكلي يظل ثابتًا؟

تعتمد الإجابة على ما تختاره ليكون النظام.

إذا كان نظامك يتضمن عربة واحدة فقط، فإن القوة المؤثرة من العربة الأخرى تكون قوة خارجية، ولذلك يتغير زخم تلك العربة. أما إذا كان نظامك يتضمن العربتين معًا، فإن قوى التصادم تكون قوى داخلية. ويمكن لهذه القوى أن تنقل الزخم بين العربتين من دون أن تغيّر الزخم الكلي لنظام العربتين.

وهذا يقودنا إلى السؤال الحقيقي الذي ينبغي طرحه في مسائل التصادم:

ما الذي يقع داخل حدود النظام، وهل يوجد أي دفع خارجي مؤثر يعبر تلك الحدود؟

01ابدأ برسم حدود النظام

تخيّل عربتين، A وB، تتحركان على مسار أفقي.

قبل التفكير في المعادلات، تخيّل أنك ترسم خطًا مغلقًا يحيط بالعربتين معًا.

كل ما يقع داخل هذا الخط ينتمي إلى النظام. وتُسمّى القوى بين الأجسام الموجودة داخل الخط قوى داخلية. أما القوى الناتجة عن شيء يقع خارج الخط فتُسمّى قوى خارجية.

افترض أن العربة A تصطدم بالعربة B. أثناء التلامس:

• تدفع A العربة B.
• تدفع B العربة A.
• تتساوى القوتان في المقدار وتتعاكسان في الاتجاه، وفقًا لقانون نيوتن الثالث.

قد يقول أحد الطلاب الآن: «القوتان تتلاشيان، لذا لا يتغير زخم أي من العربتين».

وهذا هو الخطأ المغري.

القوتان لا تتلاشيان بالنسبة إلى كل عربة على حدة. تتأثر العربة A بالقوة الناتجة عن B، ولذلك يتغير زخمها. وتتأثر العربة B بالقوة الناتجة عن A، ولذلك يتغير زخمها هي أيضًا.

لا تتلاشى القوتان إلا عندما ننظر إلى التغير الكلي في زخم النظام المركب A + B.

وهنا تكمن أهمية اختيار حدود النظام بعناية.

02يمكن للقوى الداخلية إعادة توزيع الزخم

الزخم هو

\[ p = mv \]

حيث:

• \(p\) هو الزخم بوحدة \(\text{kg m s}^{-1}\).
• \(m\) هي الكتلة بوحدة \(\text{kg}\).
• \(v\) هي السرعة المتجهة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\).

الزخم كمية متجهة، لذا فإن الاتجاه مهم. في المسائل أحادية البعد، نختار عادةً أحد الاتجاهات ليكون موجبًا، ونستخدم السرعات السالبة للحركة في الاتجاه المعاكس.

بالنسبة إلى نظام مكوّن من جسمين، يكون الزخم الكلي

\[ p_{\text{total}} = m_Av_A + m_Bv_B \]

أثناء التصادم، قد تفقد العربة A جزءًا من زخمها بينما تكتسب العربة B زخمًا. ولا يعني حفظ الزخم أن زخم كل جسم يظل دون تغيير.

بل يعني أنه، عند تحقق الشروط المناسبة،

\[ \Delta p_A + \Delta p_B = 0 \]

ومن ثم

\[ p_{\text{total, initial}} = p_{\text{total, final}} \]

يُعاد توزيع الزخم داخل النظام بدلًا من أن يُنشأ أو يُدمَّر.

تخيّل شخصين يحوّلان المال بين حسابيهما المصرفيين. ينخفض رصيد أحدهما بينما يرتفع رصيد الآخر. وإذا لم يدخل أي مال إلى الحسابين أو يخرج منهما، فسيظل رصيدهما المشترك ثابتًا.

في هذا التشبيه، يمثّل رصيد كل حساب زخم أحد الجسمين، بينما يمثّل الرصيد المشترك الزخم الكلي للنظام.

لكن لهذا التشبيه حدودًا: فالزخم كمية متجهة، وليس مالًا، ولذلك يجب مراعاة الإشارات والاتجاهات.

03ما الذي يحدد فعليًا ما إذا كان الزخم محفوظًا؟

من الشائع سماع القاعدة التالية:

يُحفظ الزخم في نظام مغلق.

لكننا نحتاج إلى صياغة أكثر دقة عند إجراء حسابات التصادم.

العلاقة بين الدفع والزخم لنظام هي

\[ \Delta p_{\text{system}} = J_{\text{external}} \]

حيث إن \(J_{\text{external}}\) هو الدفع الخارجي المحصّل المؤثر في النظام.

ويُحسب الدفع وفقًا للعلاقة

\[ J = F_{\text{net}}\Delta t \]

عندما تكون القوة المحصّلة ثابتة، حيث:

• \(J\) هو الدفع بوحدة \(\text{N s}\)، وهي مكافئة لوحدة \(\text{kg m s}^{-1}\).
• \(F_{\text{net}}\) هي القوة المحصّلة بوحدة \(\text{N}\).
• \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية بوحدة \(\text{s}\).

لذلك، فإن قاعدة التصادم الأكثر فائدة هي:

\[ J_{\text{external}} \approx 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta p_{\text{system}} \approx 0 \]

وبالتالي

\[ p_{\text{initial}} \approx p_{\text{final}} \]

للحفظ الدقيق، يجب أن يكون الدفع الخارجي المحصّل مساويًا للصفر. أما في التجارب الواقعية، فكثيرًا ما نستخدم حفظ الزخم بوصفه تقريبًا جيدًا جدًا، لأن الدفع الخارجي أثناء التصادم القصير يكون ضئيلًا مقارنةً بالزخم المتضمن في التصادم.

وهذا التمييز مهم.

04قد توجد قوة من دون أن تُبطل نموذج التصادم

افترض أن عربتين تتصادمان على مسار توجد عليه كمية صغيرة من الاحتكاك.

هل يعني وجود الاحتكاك أن حفظ الزخم ممنوع تلقائيًا؟

لا.

الكمية ذات الصلة ليست مجرد وجود قوة خارجية من عدمه، بل الدفع الخارجي خلال الفترة الزمنية التي تحللها.

تخيّل أن قوة الاحتكاك المؤثرة في نظام العربتين تساوي \(0.20\text{ N}\)، وأن التصادم يستمر مدة \(0.010\text{ s}\) فقط. عندئذ يكون الدفع

\[ J = F\Delta t = (0.20)(0.010) = 0.0020\text{ N s} \]

إذا كان زخم كل عربة في حدود \(1\text{ kg m s}^{-1}\)، فإن دفعًا خارجيًا مقداره \(0.0020\text{ kg m s}^{-1}\) يكون صغيرًا جدًا.

لا يكون الزخم محفوظًا بصورة تامة، لكن التعامل معه على أنه محفوظ قد يكون تقريبًا ممتازًا خلال التصادم نفسه.

والآن، لاحظ ما يحدث إذا حللت الحركة على مدى عشر ثوانٍ. ستنتج قوة الاحتكاك نفسها دفعًا أكبر بكثير.

لذلك، تعتمد فائدة نموذج حفظ الزخم على كلٍّ من حدود النظام والفترة الزمنية.

05تتغير الإجابة بتغيّر حدود النظام

افترض أن عربة A كتلتها \(0.80\text{ kg}\) تصطدم بعربة B ساكنة كتلتها \(1.20\text{ kg}\).

انظر إلى نظامين محتملين.

النظام 1: العربة A وحدها

تؤثر القوة الناتجة عن العربة B في العربة A من خارج هذا النظام.

لذلك تكون قوة التلامس قوة خارجية بالنسبة إلى نظام العربة A، ولا يكون زخم العربة A محفوظًا.

النظام 2: العربتان A وB معًا

أصبحت الآن القوة التي تؤثر بها A في B والقوة التي تؤثر بها B في A كلتاهما داخل حدود النظام.

وهما قوتان داخليتان.

إذا كانت الدفعات الخارجية الناتجة عن الاحتكاك ومقاومة الهواء والعوامل المحيطة الأخرى ضئيلة أثناء التصادم، فإن الزخم الكلي للنظام A + B يكون محفوظًا.

ولهذا السبب، فإن كتابة عبارة «الزخم محفوظ» من دون تحديد النظام تُعد إجابة غير مكتملة.

06قاعدة سريعة لاتخاذ القرار

قبل استخدام معادلة حفظ الزخم، تحقّق من ثلاثة أمور.

بعد إجراء هذه التحققات فقط، اكتب

\[ \sum p_i = \sum p_f \]

09أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: «وجود قوة خارجية يعني عدم حفظ الزخم»

هذه القاعدة مبسطة أكثر من اللازم:

«إذا أثرت قوة خارجية، فلن يكون الزخم محفوظًا».

والصياغة الأفضل هي:

يتغير الزخم الكلي وفقًا للدفع الخارجي المحصّل.

وهذا يقودنا إلى عدة حالات مهمة.

إذا كانت القوة الخارجية المحصّلة تساوي صفرًا طوال الفترة الزمنية، فإن الدفع الخارجي يساوي صفرًا، وبالتالي يكون الزخم محفوظًا.

إذا وُجدت قوى خارجية لكنها تتلاشى محصلتها بحيث تصبح القوة الخارجية المحصّلة صفرًا، فيمكن أن يظل الزخم محفوظًا.

إذا أثرت قوة خارجية صغيرة مدة زمنية قصيرة جدًا، فقد يكون الزخم محفوظًا تقريبًا.

أما إذا أثرت قوة خارجية كبيرة مدة كافية لإنتاج دفع مؤثر، فلن يكون الزخم محفوظًا لهذا النظام المختار خلال تلك الفترة الزمنية.

10لا تخلط بين القوى الرأسية والزخم الأفقي

تأمل تصادم عربتين أفقيًا على مسار مستوٍ.

تؤثر الجاذبية إلى الأسفل، بينما تؤثر القوة العمودية للمسار إلى الأعلى.

هل ينبغي أن تمنعنا هاتان القوتان من حفظ الزخم الأفقي؟

عادةً لا.

قد تتوازن القوتان الرأسيّتان تقريبًا، بحيث يكون الدفع الرأسي المحصّل ضئيلًا. والأهم من ذلك أننا إذا كنا نحلل الزخم الأفقي، فإن ما يهمنا هو الدفع الخارجي في الاتجاه الأفقي.

لذلك، تكون الصياغة الأحادية البعد الأكثر دقة هي

\[ \Delta p_x = J_{\text{external},x} \]

إذا كان الدفع الخارجي الأفقي المحصّل ضئيلًا،

\[ p_{x,i} \approx p_{x,f} \]

حتى مع وجود قوى رأسية كبيرة، مثل الوزن والقوة العمودية.

ولهذا السبب، لا ينبغي التعامل مع مخططات القوى ومعادلات الزخم كما لو كانتا موضوعين منفصلين لا علاقة بينهما.

11التصادم نفسه ليس قوة خارجية

يرى بعض الطلاب قوة تصادم كبيرة، فيستنتجون أن الزخم لا يمكن أن يكون محفوظًا لأن «هناك قوة هائلة».

اسأل: قوة هائلة ناتجة عن ماذا؟

إذا كانت العربتان A وB داخل النظام معًا، فإن القوة التي تؤثر بها A في B والقوة التي تؤثر بها B في A تكونان قوتين داخليتين.

وقد تكون هاتان القوتان أكبر من قوة الاحتكاك بآلاف المرات. لكن ذلك لا يمنع حفظ الزخم الكلي للنظام.

بل إن هذه القوى الداخلية الكبيرة هي تحديدًا ما يسمح بنقل الزخم بسرعة من جسم إلى آخر.

لا يتغير الزخم الكلي للنظام إلا بسبب دفع يأتي من خارج حدوده.

12الأسئلة والحلول

السؤال 1

تصطدم عربة كتلتها \(2.0\text{ kg}\)، تتحرك إلى اليمين بسرعة \(1.5\text{ m s}^{-1}\)، بعربة ساكنة كتلتها \(1.0\text{ kg}\). تلتصق العربتان معًا. ويكون الدفع الأفقي الخارجي أثناء التصادم ضئيلًا.

أوجد سرعة العربتين مباشرةً بعد التصادم.

الحل 1

تتحرك العربتان المتصلتان بسرعة \(1.0\text{ m s}^{-1}\) إلى اليمين.

تدخل العربتان كلتاهما ضمن النظام، ويكون الدفع الأفقي الخارجي ضئيلًا، لذا فإن الزخم الكلي محفوظ.

باعتبار الاتجاه إلى اليمين موجبًا،

\[ \begin{aligned} p_i &= m_1v_1+m_2v_2 \\ &= (2.0)(1.5)+(1.0)(0) \\ &= 3.0\text{ kg m s}^{-1} \end{aligned} \]

بعد التصادم، تصبح الكتلة الكلية \(3.0\text{ kg}\). لذلك،

\[ \begin{aligned} p_i &= p_f \\ 3.0 &= (3.0)v \\ v &= 1.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

تعني النتيجة الموجبة أن نظام العربتين المتصلتين يتحرك إلى اليمين.

النقطة الأساسية هي أن زخم أي من العربتين على حدة ليس محفوظًا. بل إن الزخم الكلي للعربتين معًا هو المحفوظ.

السؤال 2

يتدافع متزلجان مبتعدين أحدهما عن الآخر، وكانا ساكنين في البداية على جليد شبه خالٍ من الاحتكاك. كتلة المتزلج A هي \(55\text{ kg}\)، ويتحرك غربًا بسرعة \(2.4\text{ m s}^{-1}\) بعد التدافع. أما كتلة المتزلج B فهي \(75\text{ kg}\).

أوجد سرعة المتزلج B. ثم وضّح لماذا لا يكون زخم المتزلج A وحده محفوظًا، رغم أن زخم نظام المتزلجين معًا محفوظ تقريبًا.

الحل 2

يتحرك المتزلج B شرقًا بسرعة \(1.76\text{ m s}^{-1}\)، ولا يكون زخم A وحده محفوظًا لأن القوة الناتجة عن B تكون خارجية بالنسبة إلى نظام يتضمن A وحده.

اعتبر الاتجاه شرقًا موجبًا. لذلك تكون سرعة المتزلج A هي \(-2.4\text{ m s}^{-1}\).

يبدأ النظام من السكون، لذا

\[ p_i=0 \]

بالنسبة إلى المتزلجين معًا، يكون الدفع الأفقي الخارجي ضئيلًا. وبالتالي،

\[ \begin{aligned} 0 &= m_Av_A+m_Bv_B \\ 0 &= (55)(-2.4)+(75)v_B \\ 0 &= -132+75v_B \\ v_B &= \frac{132}{75} \\ &=1.76\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

تعني السرعة الموجبة أن المتزلج B يتحرك شرقًا.

إذا اخترنا A وحده ليكون النظام، فإن B يقع خارج الحدود. لذلك يكون دفع B المؤثر في A قوة خارجية بالنسبة إلى نظام A وحده، مما يمنح A دفعًا ويغيّر زخمه.

أما إذا ضممنا المتزلجين معًا إلى النظام، فإن القوى التي يؤثر بها كل منهما في الآخر تكون قوى داخلية. وتنقل هذه القوى كميتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الاتجاه من الزخم بينهما، بينما يظل الزخم الكلي قريبًا من الصفر.

السؤال 3

يتصادم عربتان على مسار أفقي. يقيس أحد الطلاب الزخم الكلي للعربتين مباشرةً قبل التصادم، فيجده \(0.84\text{ kg m s}^{-1}\)، ثم يجده \(0.81\text{ kg m s}^{-1}\) مباشرةً بعد التصادم.

يستمر التصادم مدة \(0.025\text{ s}\).

يقول الطالب: «لقد فشل حفظ الزخم، ولذلك لا بد أن قوانين نيوتن لا تنطبق تمامًا أثناء التصادمات».

حدّد متوسط القوة الخارجية المحصّلة المؤثرة في نظام العربتين خلال الفترة المقاسة، بافتراض أن القياسات دقيقة. واشرح الخطأ في استنتاج الطالب.

الحل 3

يبلغ متوسط القوة الخارجية المحصّلة \(1.2\text{ N}\) في الاتجاه المعاكس للاتجاه الموجب الأصلي، ولا تدل القياسات على أي إخفاق في قوانين نيوتن. بل إنها تدل على أن النظام المختار تلقى دفعًا خارجيًا.

التغير في الزخم هو

\[ \begin{aligned} \Delta p &= p_f-p_i \\ &=0.81-0.84 \\ &=-0.030\text{ kg m s}^{-1} \end{aligned} \]

وباستخدام العلاقة

\[ \Delta p=F_{\text{avg}}\Delta t \]

نحصل على

\[ \begin{aligned} F_{\text{avg}} &=\frac{\Delta p}{\Delta t}\\ &=\frac{-0.030}{0.025}\\ &=-1.2\text{ N} \end{aligned} \]

تشير الإشارة السالبة إلى أن القوة الخارجية المتوسطة أثرت في الاتجاه المعاكس للاتجاه الموجب المختار.

يتمثل خطأ الطالب في افتراض أن الزخم الكلي يجب أن يظل ثابتًا في كل تصادم. لا يُحفظ الزخم في نظام ما إلا عندما يكون الدفع الخارجي المحصّل صفرًا، أو يكون محفوظًا تقريبًا عندما يكون هذا الدفع ضئيلًا.

إن تغيرًا مقداره \(0.030\text{ kg m s}^{-1}\) يتفق تمامًا مع قوانين نيوتن إذا أثّر في النظام دفع خارجي مقداره \(-0.030\text{ N s}\).

السؤال 4

تتحرك عربة نحو جدار صلب ثم ترتد عنه. يريد أحد الطلاب استخدام قانون حفظ الزخم لإيجاد سرعة العربة بعد التصادم.

يعرّف الطالب النظام بأنه العربة وحدها، ويقول:

«يؤثر الجدار بقوة في العربة، لكن العربة تؤثر في الجدار بقوة مساوية ومعاكسة. تتلاشى القوتان، ولذلك يجب أن يكون زخم العربة محفوظًا».

اشرح لماذا هذه الحجة غير صحيحة. ثم صِف نظامًا أكبر يمكن أن يكون حفظ الزخم صالحًا له، بافتراض أن الدفع الخارجي المؤثر في هذا النظام الأكبر ضئيل.

الحل 4

الحجة غير صحيحة لأن القوة التي تؤثر بها العربة في الجدار لا تؤثر في نظام العربة وحدها. بالنسبة إلى العربة وحدها، تكون قوة الجدار قوة خارجية، ولذلك تتلقى العربة دفعًا ويتغير زخمها.

تؤثر قوتا الفعل ورد الفعل وفق قانون نيوتن الثالث في جسمين مختلفين:

• يدفع الجدار العربة.
• تدفع العربة الجدار.

إذا كان النظام يتضمن العربة وحدها، فإن القوة الأولى فقط من هاتين القوتين تؤثر في جسم داخل الحدود. ولذلك لا يحدث أي تلاشي للقوتين داخل نظام العربة وحدها.

تعكس العربة اتجاه حركتها، لذا يتغير زخمها بوضوح. على سبيل المثال، إذا تغير زخمها من \(+p\) قبل الاصطدام إلى \(-p\) بعده، فإن

\[ \Delta p=-p-(+p)=-2p \]

لا بد أن يكون الجدار قد منح العربة هذا الدفع.

يمكن أن يتضمن النظام الأكبر العربة والجدار والأرض. عندئذ تصبح القوة بين العربة والجدار قوة داخلية بالنسبة إلى النظام المختار. وبما أن الجدار متصل بالأرض، فإن الزخم الذي تنتقله العربة يؤدي في النهاية إلى تغير ضئيل للغاية في سرعة الأرض، لأن كتلة الأرض هائلة.

إذا كان الدفع الخارجي المحصّل المؤثر في هذا النظام الأكبر ضئيلًا، فإن الزخم الكلي للنظام الأكبر بأكمله يكون محفوظًا.

يكمن الخطأ الشائع في الاعتقاد بأن قوى قانون نيوتن الثالث تتلاشى دائمًا في حسابات الزخم. فهي تتلاشى بوصفها قوى داخلية فقط عندما يكون الجسمان اللذان تؤثر فيهما قوتا الفعل ورد الفعل داخل النظام المختار معًا.

السؤال 5

يتصادم عربتان على مسار. وخلال التصادم الذي يستمر \(0.015\text{ s}\)، تتغير القوة الأفقية الخارجية الكلية المؤثرة في نظام العربتين مع الزمن، لكن متوسطها يساوي صفرًا.

يقول أحد الطلاب: «لا يمكننا حفظ الزخم لأن القوة الخارجية لم تكن صفرًا في بعض اللحظات أثناء التصادم».

هل الطالب محق؟ اشرح باستخدام مفهوم الدفع بدلًا من الاعتماد على قاعدة محفوظة عن ظهر قلب.

الحل 5

لا. إذا كان الدفع الخارجي المحصّل خلال فترة التصادم يساوي صفرًا، فإن الزخم الكلي في نهاية الفترة يساوي الزخم الكلي في بدايتها، حتى لو لم تكن القوة الخارجية صفرًا في كل لحظة.

بالنسبة إلى القوة المتغيرة، يتحدد التغير في الزخم بواسطة الدفع الكلي:

\[ \Delta p_{\text{system}}=J_{\text{external}} \]

يعتمد الدفع على التأثير المتراكم للقوة مع الزمن. فإذا تلاشى الدفع الخارجي الموجب مع الدفع الخارجي السالب بحيث أصبح

\[ J_{\text{external}}=0 \]

فإن

\[ \Delta p_{\text{system}}=0 \]

وبالتالي

\[ p_f=p_i \]

الافتراض الضمني الخاطئ لدى الطالب هو أن القوة الخارجية يجب أن تساوي صفرًا في كل لحظة. هذا الشرط كافٍ لحفظ الزخم، لكنه أشد تقييدًا مما يلزم.

ما يهم فعليًا بين اللحظتين المختارتين للبداية والنهاية هو الدفع الخارجي المحصّل.

13ما الذي يمكنك فعله بعد ذلك؟

بمجرد أن تتمكن من تحديد حدود النظام، لن تعود معادلات التصادم شيئًا تطبّقه تلقائيًا.

بل ستتمكن من تحديد سبب وجوب حفظ الزخم، والأجسام التي يجب أن تظهر في معادلة الزخم، ومتى تكون القوة الخارجية صغيرة بما يكفي لتجاهلها.

ويصبح التفكير بالطريقة نفسها حول النظام مفيدًا على نحو خاص عند الانتقال إلى التصادمات ثنائية الأبعاد، والانفجارات، والارتداد، والرسوم البيانية للدفع مقابل الزمن. ففي كل حالة، يظل السؤال الأساسي كما هو: ما الذي يعبر حدود النظام، وما مقدار الزخم الذي ينقله؟