طاقة الوضع الثقالية بالقرب من الأرض لفيزياء HSC
تعلّم كيفية استخدام العلاقة \\(\\Delta U = mg\\Delta h\\)، واختيار مستوى مرجعي مناسب، وتفسير التغيّرات الموجبة والسالبة في طاقة الوضع الثقالية.
ترجمة tutorgum: طاقة الوضع الثقالية بالقرب من الأرض لفيزياء HSC
ارفع حقيبة ظهر كتلتها 5 kg من الأرض إلى مقعد ارتفاعه 1.2 m. هل تكون الحقيبة قد «اكتسبت 59 J من طاقة الوضع الثقالية»، أم أن الإجابة تعتمد على الموضع الذي تقرر أن تكون عنده طاقة الوضع صفرًا؟
توقّع الإجابة قبل مواصلة القراءة. إذا اعتبرت الأرض مستوى الصفر، فستكون طاقة الوضع الثقالية للحقيبة موجبة على المقعد. أما إذا اعتبرت المقعد مستوى الصفر، فستكون طاقة وضعها الثقالية عنده صفرًا. إذن، أي الوصفين صحيح؟
كلاهما صحيح. تعتمد القيمة الفعلية لطاقة الوضع الثقالية على المستوى المرجعي الذي تختاره. أما الكمية المهمة فيزيائيًا فهي عادةً التغيّر في طاقة الوضع الثقالية:
\[ \Delta U = mg\Delta h \]
ولا يعتمد هذا التغيّر على الموضع الذي تحدد عنده الصفر.
01ابدأ بتصوّر ما يحدث فيزيائيًا
تخيّل أنك تمسك كتابًا دراسيًا فوق الأرض. إذا أفلته، فإن الجاذبية تستطيع زيادة سرعته أثناء سقوطه. وكلما رفعت الكتاب إلى ارتفاع أكبر، زادت المسافة التي تستطيع الجاذبية أن تبذل شغلًا خلالها.
هذه هي الفكرة الأساسية المفيدة لفهم طاقة الوضع الثقالية بالقرب من سطح الأرض. فعندما تغيّر موضع جسم رأسيًا بعيدًا عن موضع أدنى، يكتسب نظام الجسم والأرض القدرة على نقل الطاقة بينما تسحب الجاذبية الجسم إلى أسفل.
يمكن تصوّر ذلك بسهولة باستخدام درج. فالتحرك أفقيًا على درجة واحدة لا يغيّر ارتفاعك، لكن الصعود إلى الدرجة التالية يفعل ذلك. بالقرب من سطح الأرض، تعتمد طاقة الوضع الثقالية على التغيّر الرأسي في الارتفاع، وليس على المسافة التي قطعتها للوصول إلى موضعك.
هذا النموذج مفيد، لكنه مبسّط بعض الشيء. ففي الواقع، ترتبط طاقة الوضع الثقالية بالتفاعل الثقالي بين الجسم والأرض، وليس بالجسم وحده. وفي مسائل HSC التي تتناول الأجسام بالقرب من سطح الأرض، يُعدّ القول إن «الجسم يكتسب طاقة وضع ثقالية» تعبيرًا مختصرًا ملائمًا.
02المعادلة المهمة
في الحركة بالقرب من سطح الأرض، حيث يمكن اعتبار شدة مجال الجاذبية ثابتة تقريبًا، نستخدم المعادلة:
\[ \Delta U = mg\Delta h \]
حيث:
- \(\Delta U\) هو التغيّر في طاقة الوضع الثقالية، ويُقاس بالجول (J).
- \(m\) هي كتلة الجسم، وتُقاس بالكيلوغرام (kg).
- \(g\) هو مقدار شدة مجال الجاذبية، ويساوي تقريبًا \(9.8\ \text{m s}^{-2}\) بالقرب من سطح الأرض.
- \(\Delta h\) هو التغيّر في الارتفاع الرأسي، ويُقاس بالمتر (m).
يُحسب التغيّر في الارتفاع باستخدام:
\[ \Delta h = h_f-h_i \]
حيث \(h_i\) هو الارتفاع الابتدائي، و\(h_f\) هو الارتفاع النهائي، وكلاهما مقاس بالنسبة إلى المستوى المرجعي نفسه.
وهذا يقود إلى قاعدة مهمة تتعلق بالإشارة:
| الحركة | \(\Delta h\) | \(\Delta U\) |
|---|---|---|
| يتحرك الجسم إلى أعلى | موجب | موجب |
| يتحرك الجسم إلى أسفل | سالب | سالب |
| يبقى الجسم عند الارتفاع نفسه | صفر | صفر |
توضح الإشارة ما حدث لطاقة التفاعل الثقالي. فالحركة إلى أعلى تزيد طاقة الوضع الثقالية، بينما الحركة إلى أسفل تقللها.
03لماذا يمكن اختيار المستوى المرجعي بحرية؟
لنفترض أن جسمًا كتلته 2 kg يستقر على رف ارتفاعه 3 m فوق الأرض.
إذا اعتبرت الأرض عند \(h=0\)، فإن:
\[ U = mgh = (2)(9.8)(3)=58.8\ \text{J} \]
والآن، تخيّل أنك اخترت الرف نفسه ليكون عند \(h=0\). عندئذٍ تصبح طاقة الوضع الثقالية للجسم نفسه:
\[ U=0\ \text{J} \]
لم يتغير أي شيء فيزيائي. ولم يفقد الجسم فجأةً مقدار 58.8 J لمجرد أنك غيّرت نظام الإحداثيات.
قد يبدو هذا غريبًا إلى أن تقارنه بالارتفاع. فارتفاع الشخص عن مستوى سطح البحر قد يختلف عدديًا عن ارتفاعه عن الأرض خارج منزله، لكن موقع الشخص الفعلي لم يتغير؛ الذي تغيّر هو المستوى المرجعي فقط.
وتعمل طاقة الوضع الثقالية بطريقة مشابهة.
لكن لهذا التشبيه حدودًا. فالارتفاع إحداثي يحدد الموضع، بينما تصف طاقة الوضع الثقالية تفاعلًا وتعتمد على الكتلة بالإضافة إلى الموضع. ومع ذلك، تبقى فكرة المستوى المرجعي واحدة.
ما الذي يبقى دون تغيير؟
لنفترض أن الجسم انتقل من رف ارتفاعه 3 m فوق الأرض إلى طاولة ارتفاعها 1 m فوق الأرض.
باستخدام الأرض مستوىً مرجعيًا، نحصل على:
\[ U_i=(2)(9.8)(3)=58.8\ \text{J} \]
و
\[ U_f=(2)(9.8)(1)=19.6\ \text{J} \]
وبالتالي:
\[ \Delta U=U_f-U_i=19.6-58.8=-39.2\ \text{J} \]
والآن، اختر الطاولة مستوىً مرجعيًا بدلًا من ذلك. يصبح الرف الابتدائي على ارتفاع 2 m فوق المستوى المرجعي، بينما يكون الموضع النهائي عند \(0\ \text{m}\):
\[ U_i=(2)(9.8)(2)=39.2\ \text{J} \]
\[ U_f=0\ \text{J} \]
ومرة أخرى:
\[ \Delta U=0-39.2=-39.2\ \text{J} \]
تغيّرت القيم الفردية لـ \(U\)، لكن التغيّر \(\Delta U\) لم يتغير.
لهذا السبب، تهتم مسائل HSC عادةً بـ \(\Delta U\) أكثر بكثير من اهتمامها بقيمة منفردة لـ \(U\).
04كيفية اختيار مستوى مرجعي مناسب
من الناحية الرياضية، يمكنك تحديد \(U=0\) عند أي موضع تختاره. لكن من الناحية العملية، تجعل بعض الخيارات المسألة أسهل كثيرًا في الفهم.
اختر مستوىً مرجعيًا يجعل الارتفاعات المهمة بسيطة.
تشمل الخيارات المناسبة غالبًا:
- سطح الأرض.
- أرضية غرفة أو سطح طاولة.
- أدنى نقطة في الحركة.
- الموضع الابتدائي للجسم.
- أي مستوى أفقي محدد بوضوح ويُستخدم مرارًا في المسألة.
على سبيل المثال، إذا قُذفت كرة إلى أعلى من شرفة، وكان اهتمامك مقتصرًا على تغيّرات الطاقة انطلاقًا من الشرفة، فإن اختيار الشرفة عند \(h=0\) قد يزيل أرقامًا غير ضرورية.
لا يتعلق هذا الاختيار بالعثور على مستوى الصفر «الصحيح»، إذ لا يوجد مستوى صفر وحيد لطاقة الوضع الثقالية بالقرب من الأرض. الشرط الأساسي هو الاتساق.
بمجرد اختيار مستوى مرجعي، يجب قياس جميع الارتفاعات في ذلك الحساب انطلاقًا من المستوى نفسه.
05مثال محلول: رفع صندوق أدوات
يُرفع صندوق أدوات كتلته \(6.0\ \text{kg}\) رأسيًا من الأرض إلى طاولة عمل ارتفاعها \(1.5\ \text{m}\) فوق الأرض. احسب التغيّر في طاقة الوضع الثقالية لنظام صندوق الأدوات والأرض.
الخطوة 1
باعتبار الأرض مستوىً مرجعيًا:
\[ h_i=0\ \text{m}, \qquad h_f=1.5\ \text{m} \]
إذن:
\[ \Delta h=h_f-h_i=1.5-0=1.5\ \text{m} \]
الخطوة 2
\[ \Delta U=mg\Delta h \]
بالتعويض عن \(m=6.0\ \text{kg}\)، و\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)، و\(\Delta h=1.5\ \text{m}\)، نحصل على:
\[ \Delta U=(6.0)(9.8)(1.5)=88.2\ \text{J} \]
الخطوة 3
\[ \boxed{\Delta U=+88\ \text{J}} \]
وذلك إلى رقمين معنويين.
تعني الإشارة الموجبة أن طاقة الوضع الثقالية قد ازدادت، لأن صندوق الأدوات انتهى عند ارتفاع أكبر من ارتفاعه الابتدائي.
لاحظ أننا لم نحتج إلى معرفة سرعة رفع صندوق الأدوات، كما لم نحتج إلى معرفة المسار الدقيق الذي سلكته يدا الشخص. ففي هذا الحساب، لا يهم سوى التغيّر الرأسي في الموضع.
06طول المسار ليس هو التغيّر في الارتفاع
لنفترض أنك تحمل صندوقًا صعودًا على منحدر يرتفع بمقدار \(2.0\ \text{m}\). يبلغ طول المنحدر نفسه \(8.0\ \text{m}\).
أي المسافتين يجب استخدامها في المعادلة:
\[ \Delta U=mg\Delta h \]
توقّع الإجابة قبل المتابعة.
المسافة هي \(2.0\ \text{m}\)، وليست \(8.0\ \text{m}\).
تتضمن المعادلة \(\Delta h\)، أي الإزاحة الرأسية، وليس المسافة المقطوعة على طول المسار.
يكتسب صندوق كتلته \(10\ \text{kg}\) رُفع بمقدار \(2.0\ \text{m}\) طاقة وضع ثقالية مقدارها:
\[ \Delta U=(10)(9.8)(2.0)=196\ \text{J} \]
سواء تحرك الصندوق:
- رأسيًا إلى أعلى مباشرةً،
- على طول منحدر،
- صعودًا على درج، أو
- عبر مسار متعرج مبالغ في تعقيده دون أي ضرورة.
قد تبذل القوى الأخرى مقادير مختلفة من الشغل على مسارات مختلفة، خاصةً عند وجود احتكاك. لكن التغيّر في طاقة الوضع الثقالية يعتمد فقط على ارتفاعي البداية والنهاية.
وهذه إحدى نتائج كون الجاذبية قوة محافظة.
07مثال محلول: اختيار مستوى صفر مناسب
يرتفع طائر مسيّر كتلته \(0.80\ \text{kg}\) من منصة تقع على ارتفاع \(12\ \text{m}\) فوق الأرض إلى موضع يقع على ارتفاع \(27\ \text{m}\) فوق الأرض. احسب التغيّر في طاقة وضعه الثقالية. ثم بيّن أن اختيار المنصة عند \(U=0\) يعطي النتيجة نفسها.
الخطوة 1
\[ \Delta h=h_f-h_i=27-12=15\ \text{m} \]
الخطوة 2
\[ \begin{aligned} \Delta U &= mg\Delta h\\ &=(0.80)(9.8)(15)\\ &=117.6\ \text{J} \end{aligned} \]
إذن:
\[ \boxed{\Delta U\approx +1.2\times10^2\ \text{J}} \]
تزداد طاقة الوضع الثقالية للطائر المسيّر لأنه يرتفع إلى أعلى.
الخطوة 3
عرّف الآن ارتفاع المنصة بأنه \(h=0\). يصبح الارتفاعان الابتدائي والنهائي في نظام الإحداثيات الجديد:
\[ h_i=0\ \text{m}, \qquad h_f=15\ \text{m} \]
وبالتالي:
\[ \begin{aligned} \Delta U &= mg(h_f-h_i)\\ &=(0.80)(9.8)(15-0)\\ &=117.6\ \text{J} \end{aligned} \]
لم تتغير الإجابة.
لقد غيّر المستوى المرجعي إحداثيات الارتفاع الفردية، لكنه لم يغيّر الفرق بينها.
08الاعتقاد الخاطئ المغري: لا يمكن أن تكون طاقة الوضع الثقالية سالبة
يرى أحد الطلاب المعادلة:
\[ U=mgh \]
ويستنتج أن طاقة الوضع الثقالية يجب أن تكون موجبة أيضًا، لأن الكتلة و\(g\) موجبتان.
يبدو ذلك منطقيًا إلى أن تتذكر أن \(h\) يُقاس بالنسبة إلى مستوى صفر مختار.
إذا عرّفت قمة عمود ارتفاعه \(4\ \text{m}\) بأنها عند \(h=0\)، فإن نقطة تقع أسفلها بمقدار \(3\ \text{m}\) يكون ارتفاعها:
\[ h=-3\ \text{m} \]
وسيكون لجسم كتلته \(2.0\ \text{kg}\) عند تلك النقطة طاقة وضع ثقالية مقدارها:
\[ U=(2.0)(9.8)(-3)=-58.8\ \text{J} \]
لا يوجد أي خطأ فيزيائي في هذه النتيجة.
القيمة السالبة لا تعني أن النظام يحتوي على مقدار مستحيل من الطاقة، بل تعني أن الجسم يقع أسفل المستوى الذي اخترت اعتباره صفرًا.
ما يهم فيزيائيًا هو كيفية تغيّر الطاقة بين المواضع.
09لا تخلط بين \(U\) و\(\Delta U\)
يؤدي هذا التمييز إلى كثير من الأخطاء التي يمكن تجنّبها.
يعطي التعبير:
\[ U=mgh \]
طاقة الوضع الثقالية بالنسبة إلى مستوى مرجعي مختار، بشرط أن يكون \(h\) هو ارتفاع الجسم بالنسبة إلى ذلك المستوى.
أما التعبير:
\[ \Delta U=mg\Delta h \]
فيعطي التغيّر بين موضعين.
على سبيل المثال، لنفترض أن كرة انتقلت من \(h=8\ \text{m}\) إلى \(h=3\ \text{m}\).
لا يزال ارتفاعها النهائي موجبًا، لذا تكون \(U_f=mg(3)\) موجبة إذا كان المستوى المرجعي عند \(h=0\).
لكن التغيّر في ارتفاعها هو:
\[ \Delta h=3-8=-5\ \text{m} \]
وبالتالي:
\[ \Delta U=mg(-5) \]
وتكون هذه القيمة سالبة.
إذن، يمكن أن تمتلك الكرة طاقة وضع ثقالية موجبة بينما تكون طاقة وضعها الثقالية آخذة في التناقص.
ولا يوجد أي تناقض بين العبارتين.
10طريقة موثوقة لحل مسائل HSC
في معظم حسابات طاقة الوضع الثقالية بالقرب من الأرض:
- اختر مستوىً مرجعيًا واضحًا إذا لم يكن محددًا مسبقًا.
- اكتب الارتفاعين الرأسيين الابتدائي والنهائي بالنسبة إلى ذلك المستوى.
- احسب \(\Delta h=h_f-h_i\).
- استخدم \(\Delta U=mg\Delta h\).
- احتفظ بإشارة \(\Delta h\). لا تستبدل بها مسافة موجبة.
- وضّح المعنى الفيزيائي للإشارة.
هذه الطريقة أكثر أمانًا من محاولة تحديد ما إذا كان ينبغي «إضافة» الطاقة أو «طرحها» مسبقًا.
11متى تكون المعادلة تقريبية؟
تفترض المعادلة:
\[ \Delta U=mg\Delta h \]
أن \(g\) ثابتة.
وهذا تقريب ممتاز للتغيّرات المعتادة في الارتفاع بالقرب من سطح الأرض، لأن تلك التغيّرات صغيرة جدًا مقارنةً بنصف قطر الأرض.
لكنها ليست المعادلة العامة لطاقة الوضع الثقالية في جميع أنحاء الفضاء.
فعندما يبتعد جسم مسافة كبيرة جدًا عن الأرض، تنخفض شدة مجال الجاذبية بصورة ملحوظة مع المسافة. وفي هذه الحالات، يجب وصف طاقة الوضع الثقالية باستخدام نموذج الجاذبية العام:
\[ U=-\frac{GMm}{r} \]
حيث \(G\) هو ثابت الجاذبية العام، و\(M\) هي كتلة الأرض، و\(m\) هي كتلة الجسم، و\(r\) هي المسافة بين مركزي الأرض والجسم.
أما بالقرب من سطح الأرض، فتظل \(\Delta U=mg\Delta h\) هي العلاقة المحلية المفيدة.
12الأسئلة والحلول
السؤال 1
تُرفع حقيبة كتلتها \(3.5\ \text{kg}\) من كرسي يقع على ارتفاع \(0.50\ \text{m}\) فوق الأرض إلى رف يقع على ارتفاع \(1.70\ \text{m}\) فوق الأرض. احسب التغيّر في طاقة الوضع الثقالية لنظام الحقيبة والأرض.
الحل 1
تزداد طاقة الوضع الثقالية بمقدار يقارب \(41\ \text{J}\).
الكمية المهمة هي التغيّر في الارتفاع الرأسي:
\[ \Delta h=h_f-h_i=1.70-0.50=1.20\ \text{m} \]
وباستخدام:
\[ \Delta U=mg\Delta h \]
نحصل على:
\[ \begin{aligned} \Delta U&=(3.5)(9.8)(1.20)\\ &=41.16\ \text{J} \end{aligned} \]
إذن:
\[ \boxed{\Delta U\approx +41\ \text{J}} \]
توضح الإشارة الموجبة أن الحقيبة انتهت عند ارتفاع أكبر من ارتفاعها الابتدائي. ومن الأخطاء الشائعة استخدام \(1.70\ \text{m}\) بوصفه \(\Delta h\)، لكنه الارتفاع النهائي فوق الأرض، وليس التغيّر في الارتفاع.
السؤال 2
يُنقل صندوق كتلته \(4.0\ \text{kg}\) من منصة تحميل تقع على ارتفاع \(2.5\ \text{m}\) فوق الأرض إلى عربة ارتفاعها \(0.80\ \text{m}\) فوق الأرض.
احسب \(\Delta U\). ثم حدّد ما إذا كان اختيار منصة التحميل عند \(h=0\) سيغيّر نتيجتك.
الحل 2
يبلغ التغيّر في طاقة الوضع الثقالية \(-66.6\ \text{J}\)، ولن يؤدي اختيار منصة التحميل عند \(h=0\) إلى تغيير النتيجة.
باستخدام الأرض مستوىً مرجعيًا:
\[ \Delta h=0.80-2.5=-1.70\ \text{m} \]
وبالتالي:
\[ \begin{aligned} \Delta U&=mg\Delta h\\ &=(4.0)(9.8)(-1.70)\\ &=-66.64\ \text{J} \end{aligned} \]
إذن:
\[ \boxed{\Delta U\approx -67\ \text{J}} \]
تعني الإشارة السالبة أن طاقة الوضع الثقالية تنخفض أثناء انتقال الصندوق إلى أسفل.
إذا اخترنا المنصة مستوىً عند \(h=0\)، فسيبدأ الصندوق عند \(0\ \text{m}\)، وينتهي على ارتفاع \(1.70\ \text{m}\) أسفلها:
\[ h_i=0,\qquad h_f=-1.70\ \text{m} \]
وبالتالي:
\[ \Delta h=-1.70-0=-1.70\ \text{m} \]
وهذا يعطي القيمة نفسها تمامًا لـ \(\Delta U\).
يؤثر مستوى الصفر في القيم المخصصة لكل من \(U_i\) و\(U_f\)، لكنه لا يؤثر في الفرق بينهما.
السؤال 3
يبدأ جسمان متماثلان، كتلة كل منهما \(2.0\ \text{kg}\)، من سطح الأرض وينتهيان عند الشرفة نفسها، التي تقع على ارتفاع \(6.0\ \text{m}\) فوق الأرض. يُرفع الجسم A رأسيًا، بينما يُدفع الجسم B صعودًا على منحدر طوله \(20\ \text{m}\).
يدّعي أحد الطلاب أن الجسم B يكتسب طاقة وضع ثقالية أكبر لأنه يقطع مسافة أطول. حدّد ما إذا كان هذا الادعاء صحيحًا، واحسب مقدار طاقة الوضع الثقالية التي يكتسبها كل جسم.
الحل 3
الادعاء غير صحيح. يكتسب كلا الجسمين \(117.6\ \text{J}\) من طاقة الوضع الثقالية.
بالنسبة إلى كل جسم:
\[ \Delta h=6.0\ \text{m} \]
وبالتالي:
\[ \begin{aligned} \Delta U&=mg\Delta h\\ &=(2.0)(9.8)(6.0)\\ &=117.6\ \text{J} \end{aligned} \]
إذن:
\[ \boxed{\Delta U_A=\Delta U_B\approx 1.2\times10^2\ \text{J}} \]
تعتمد طاقة الوضع الثقالية على التغيّر في الموضع الرأسي، وليس على المسافة المقطوعة على طول المسار.
قد يكون طول المنحدر البالغ \(20\ \text{m}\) مهمًا عند حساب الشغل المبذول بواسطة قوى أخرى. فعلى سبيل المثال، قد يؤدي الاحتكاك على طول المنحدر إلى زيادة الطاقة المدخلة المطلوبة. لكنه لا يغيّر مقدار طاقة الوضع الثقالية المكتسبة بين الارتفاعين نفسيهما.
السؤال 4
يوجد مستشعر كتلته \(1.5\ \text{kg}\) في البداية على ارتفاع \(4.0\ \text{m}\) فوق أرضية مختبر. يختار أحد الفيزيائيين موضع المستشعر الابتدائي ليكون مستوى الصفر لطاقة الوضع الثقالية.
يُخفَّض المستشعر إلى موضع يقع على ارتفاع \(1.0\ \text{m}\) فوق الأرضية.
أوجد:
a. إحداثي الارتفاع النهائي بالنسبة إلى المستوى المرجعي المختار.
b. طاقة الوضع الثقالية النهائية بالنسبة إلى ذلك المستوى المرجعي.
c. التغيّر في طاقة الوضع الثقالية.
اشرح لماذا تكون القيمة السالبة في الجزء b مقبولة فيزيائيًا.
الحل 4
الإحداثي النهائي هو \(-3.0\ \text{m}\)، وطاقة الوضع الثقالية النهائية هي \(-44.1\ \text{J}\)، كما أن التغيّر في طاقة الوضع الثقالية يساوي أيضًا \(-44.1\ \text{J}\).
يقع المستوى المختار للصفر على ارتفاع \(4.0\ \text{m}\) فوق أرضية المختبر. وينتهي المستشعر على ارتفاع \(1.0\ \text{m}\) فوق الأرضية، أي على مسافة \(3.0\ \text{m}\) أسفل المستوى المرجعي المختار.
إذن:
\[ \boxed{h_f=-3.0\ \text{m}} \]
بما أن الموضع الابتدائي اختير عند \(h_i=0\)، فإن:
\[ U_i=0 \]
وتكون طاقة الوضع النهائية:
\[ \begin{aligned} U_f&=mgh_f\\ &=(1.5)(9.8)(-3.0)\\ &=-44.1\ \text{J} \end{aligned} \]
وبالتالي:
\[ \boxed{U_f=-44.1\ \text{J}} \]
أما التغيّر فهو:
\[ \begin{aligned} \Delta U&=U_f-U_i\\ &=-44.1-0\\ &=-44.1\ \text{J} \end{aligned} \]
إذن:
\[ \boxed{\Delta U=-44.1\ \text{J}} \]
القيمة السالبة لـ \(U_f\) مقبولة لأن مستوى الصفر لطاقة الوضع الثقالية اختير اعتباطيًا عند ارتفاع المستشعر الابتدائي. وتعني القيمة السالبة لـ \(U\) ببساطة أن المستشعر يقع أسفل ذلك المستوى المرجعي.
أما الفهم الخاطئ الأعمق، فهو تفسير \(U=0\) على أنه يعني «عدم وجود تفاعل ثقالي». فالجاذبية ما زالت تؤثر عند المستوى المرجعي؛ والصفر ليس سوى قيمة محددة للمقارنة.
السؤال 5
تنتقل كرة كتلتها \(0.60\ \text{kg}\) من النقطة P إلى النقطة Q. بالنسبة إلى الأرضية، تقع P على ارتفاع \(2.0\ \text{m}\)، وتقع Q على ارتفاع \(7.0\ \text{m}\).
يختار الطالب A الأرضية عند \(U=0\)، ويحسب:
\[ U_P=11.76\ \text{J}, \qquad U_Q=41.16\ \text{J} \]
أما الطالب B، فيختار النقطة Q عند \(U=0\)، ويقول إن طاقة الوضع الثقالية للكرة عند P تساوي \(-29.4\ \text{J}\).
يتجادل الطالبان، ويقولان إن نتائجهما لا يمكن أن تصف الموقف الفيزيائي نفسه.
قيّم هذا الخلاف.
الحل 5
حسابات كلا الطالبين متسقة مع الموقف الفيزيائي نفسه، لأن كلًا منهما اختار مستوىً مرجعيًا مختلفًا. ويتنبأ كلاهما بالزيادة نفسها في طاقة الوضع الثقالية، وهي \(+29.4\ \text{J}\).
بالنسبة إلى الطالب A:
\[ \begin{aligned} \Delta U&=U_Q-U_P\\ &=41.16-11.76\\ &=29.40\ \text{J} \end{aligned} \]
أما الطالب B، فقد عرّف النقطة Q بحيث تكون \(U_Q=0\). وبما أن النقطة P تقع أسفل Q بمقدار \(5.0\ \text{m}\)، فإن:
\[ h_P=-5.0\ \text{m} \]
وبالتالي:
\[ \begin{aligned} U_P&=mgh_P\\ &=(0.60)(9.8)(-5.0)\\ &=-29.4\ \text{J} \end{aligned} \]
ويكون التغيّر من P إلى Q عندئذٍ:
\[ \begin{aligned} \Delta U&=U_Q-U_P\\ &=0-(-29.4)\\ &=+29.4\ \text{J} \end{aligned} \]
إذن:
\[ \boxed{\Delta U=+29.4\ \text{J}} \]
في كلا الوصفين.
الاختبار المهم ليس ما إذا كان مراقبان يخصصان القيمة العددية نفسها لـ \(U\)، فليس من الضروري أن يفعلا ذلك. بل المهم فيزيائيًا هو ما إذا كانا يتنبآن بالتغيّر نفسه في الطاقة بين الموضعين نفسيهما.
13إلى أين تقودنا هذه الفكرة لاحقًا؟
بمجرد أن تتضح العلاقة \(\Delta U=mg\Delta h\)، يصبح تنظيم مسائل الطاقة الثقالية أسهل بكثير.
عندما يسقط جسم، تنخفض طاقة وضعه الثقالية. وإذا أمكن إهمال مقاومة الهواء والتأثيرات المبددة الأخرى، فقد يظهر هذا الانخفاض على شكل زيادة في الطاقة الحركية. وهذا يقود إلى الأداة الأساسية التالية:
\[ \Delta K+\Delta U=0 \]
وذلك لنظام محفوظة فيه الطاقة الميكانيكية.
يظل المستوى المرجعي غير مؤثر. فتغيير مستوى الصفر لـ \(U\) يزيح قيم طاقة الوضع، لكن تغيّرات الطاقة والسرعات المتوقعة والفيزياء نفسها تبقى دون تغيير.
لاحقًا، عندما تصبح المسافات كبيرة بما يكفي بحيث لا يعود من الممكن اعتبار \(g\) ثابتة، تبقى فكرة المستوى المرجعي صالحة، لكن التعبير البسيط \(mg\Delta h\) المستخدم بالقرب من الأرض يُستبدل بنموذج طاقة الوضع الثقالية الكامل.