قياس حركة النجوم بانزياحات دوبلر: فيزياء HSC

يقع خط امتصاص للهيدروجين عند \(656.3\) nm في المختبر، لكنه يظهر عند طول موجي مختلف قليلًا في نجم. يمكن لهذا الانزياح أن يخبرنا بمدى سرعة تحرك النجم نحونا أو بعيدًا عنا. ولكن ماذا لو كان الخط نفسه أعرض بوضوح أيضًا من خط المختبر؟ هل هذا مجرد قياس أقل دقة، أم أن النجم يخبرنا بشيء آخر؟

تنبأ أولًا: إذا كان النجم بأكمله يتحرك مباشرة مبتعدًا عن الأرض، فهل ينبغي أن يتحرك خطه الطيفي أساسًا جانبيًا على رسم بياني للطول الموجي، أم أن يصبح أعرض؟

إنه يتحرك أساسًا جانبيًا. أما إذا كان النجم يدور، فإن أجزاء مختلفة من سطحه تتحرك نحونا وبعيدًا عنا في الوقت نفسه. وتتراكب انزياحات دوبلر المختلفة قليلًا الناتجة عنها، فتُنتج خطًا متسعًا.

وهذا يعطينا دليلين منفصلين من طيف واحد: يمكن لانزياح الخط أن يكشف السرعة الشعاعية، بينما يمكن لاتساع الخط أن يكشف السرعة الدورانية المسقطة.

01حركتان تتركان بصمتين مختلفتين

تخيل نجمًا غير محلول مكانيًا على هيئة قرص صغير يدور.

إذا كان النجم بأكمله يتحرك بعيدًا عن الأرض، فإن كل جزء مرئي منه يشترك في تلك الحركة الكلية. وتنزاح خطوطه الطيفية نحو أطوال موجية أطول. وإذا تحرك النجم نحونا، فإنها تنزاح نحو أطوال موجية أقصر.

أما الدوران فمختلف. يتحرك أحد جانبي النجم الدوار جزئيًا نحونا، بينما يتحرك الجانب المقابل جزئيًا بعيدًا عنا.

ينتج الجانب المقترب انزياحًا صغيرًا نحو الأزرق. وينتج الجانب المبتعد انزياحًا صغيرًا نحو الأحمر. أما المناطق الواقعة بين هذين الحدين فتكون لها سرعات وسطية على امتداد خط البصر، ولذلك تنتج انزياحات وسطية.

لا يستطيع التلسكوب عادةً فصل كل تلك الرقع على نجم بعيد. بل يجمع ضوءها معًا. والنتيجة ليست مجموعة مرتبة من الخطوط المنفصلة، بل خطًا طيفيًا واحدًا متسعًا.

لذلك، يكون النموذج الأول المفيد هو:

كلمة «الأول» مهمة. فالأتساع لا ينتج عن الدوران وحده. يمكن لدرجة الحرارة وحركة الغاز وتأثيرات الضغط وأداة القياس أيضًا أن توسع الخطوط الطيفية. ولا يمكننا الاستدلال على الدوران إلا عندما يكون الاتساع الدوراني قد حُدد، أو عندما تؤخذ المساهمات الأخرى في الحسبان.

إذا كنت بحاجة إلى مراجعة مصدر خطوط الامتصاص والانبعاث، فاقرأ الأطياف المستمرة وأطياف الانبعاث والامتصاص: فيزياء HSC.

02السرعة الشعاعية تأتي من موضع الخط

لنفترض أن عنصرًا معينًا ينتج خطًا عند طول موجي مختبري \(\lambda_0\). ونرصد الخط نفسه من نجم عند طول موجي \(\lambda_{\text{obs}}\).

يكون التغير في الطول الموجي

\[
\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}}-\lambda_0
\]

حيث:

• \(\lambda_0\) هو الطول الموجي المقاس للمصدر المختبري الساكن،
• \(\lambda_{\text{obs}}\) هو الطول الموجي المرصود من النجم، و
• \(\Delta\lambda\) هو انزياح دوبلر.

بالنسبة إلى السرعات الأصغر بكثير من سرعة الضوء، تكون علاقة دوبلر المفيدة في HSC هي

\[
\frac{v_r}{c}\approx\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

ومن ثم

\[
v_r\approx c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

هنا \(v_r\) هي السرعة الشعاعية للنجم، و\(c=3.00\times10^8\) m/s هي سرعة الضوء.

سنستخدم اصطلاح الإشارة الآتي:

• \(v_r>0\): يتحرك مبتعدًا عنا، ولذلك يكون الخط منزاحًا نحو الأحمر؛
• \(v_r<0\): يتحرك نحونا، ولذلك يكون الخط منزاحًا نحو الأزرق.

لماذا نقول السرعة «الشعاعية» بدلًا من مجرد «السرعة»؟

لأن التحليل الطيفي لا يقيس إلا مركبة الحركة على امتداد خط بصرنا. وقد يتحرك النجم أيضًا جانبيًا عبر السماء. وهذه المركبة الجانبية لا تنتج انزياح دوبلر البسيط هذا.

03الدوران يغير عرض الخط، وليس مركزه فقط

تخيل الآن النجم نفسه وهو يدور.

لتكن سرعته الدورانية الاستوائية \(v_{\text{eq}}\). ما لم نكن ننظر تمامًا على امتداد محور دورانه، فإن إحدى الحافتين لها مركبة من السرعة الدورانية نحونا، وللحافة المقابلة مركبة بعيدًا عنا.

فلماذا لا يلغي الانزياح نحو الأزرق من أحد الجانبين ببساطة الانزياح نحو الأحمر من الجانب الآخر؟

لأن التلسكوب يجمع شدات الضوء، لا انزياحات الأطوال الموجية. يساهم جزء من النجم بامتصاص عند طول موجي أقصر قليلًا، ويساهم جزء آخر بامتصاص عند طول موجي أطول قليلًا، وتساهم المناطق الأخرى بأطوال موجية تقع بينهما. وتتراكب هذه المساهمات لتكوّن سمة امتصاص أعرض.

يشبه الأمر قليلًا عشرة أشخاص يحاولون غناء النغمة نفسها بينما يقف بعضهم على ممر متحرك يتجه نحوك ويتحرك الآخرون بعيدًا عنك. لم تتغير النغمة الأصلية، لكنك تستقبل نطاقًا من نسخها المنزاحة بفعل دوبلر. ولا يبقى التشبيه دقيقًا تمامًا لأن شكل الخط النجمي يعتمد على سطوع وسرعة الأجزاء المختلفة من سطح النجم، إضافة إلى آليات اتساع أخرى.

مشكلة زاوية الميل

هناك تعقيد مهم واحد.

لنفترض أن نجمًا يدور بسرعة كبيرة، لكن محور دورانه يشير تقريبًا مباشرة نحو الأرض. عندئذ تكون معظم حركة السطح جانبية من وجهة نظرنا. وتكون المركبات على امتداد خط البصر صغيرة، ولذلك يمكن أن يكون الاتساع الدوراني صغيرًا أيضًا.

عرّف \(i\) بأنها الزاوية بين محور الدوران وخط بصرنا.

• \(i=0^\circ\): نرى النجم تقريبًا من جهة القطب.
• \(i=90^\circ\): نراه من جهة خط الاستواء.

لذلك، يعطينا الاتساع الطيفي عادةً

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\]

بدلًا من \(v_{\text{eq}}\) وحدها.

وتسمى هذه الكمية السرعة الدورانية المسقطة.

لذلك، لا يثبت الخط الضيق أن النجم يدور ببطء. فقد يكون يدور بسرعة لكنه يُرى من اتجاه قريب من القطب.

04فصل الانزياح عن الاتساع

بالنسبة إلى خط متسع مثالي، لنفترض أن الحدين الأزرق والأحمر الناتجين عن الاتساع الدوراني هما \(\lambda_{\text{blue}}\) و\(\lambda_{\text{red}}\).

يكون المركز تقريبًا

\[
\lambda_c=\frac{\lambda_{\text{red}}+\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

وتخبرنا إزاحة هذا المركز عن الطول الموجي المختبري بالسرعة الشعاعية:

\[
v_r\approx c\frac{\lambda_c-\lambda_0}{\lambda_0}
\]

ويكون نصف العرض الدوراني

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

وفي تقريب السرعات المنخفضة نفسه،

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\Delta\lambda_{\text{rot}}}{\lambda_0}
\]

أو

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2\lambda_0}
\]

هذه المعادلات طريقة مثالية لتمثيل الاتساع الدوراني. ولا تكون للخطوط الطيفية الحقيقية عادةً «حواف» حادة تمامًا، ولذلك يحلل علماء الفلك شكل الخط بأكمله ويأخذون آليات الاتساع الأخرى في الحسبان.

أما في استدلال HSC، فالتمييز الأساسي أبسط:

• استخدم مركز الخط لدراسة الحركة الشعاعية الكلية؛
• استخدم انتشار الخط حول المركز لدراسة الدوران.

05أكثر الأخطاء إغراءً

الخطأ 1: «الخط المنزاح نحو الأحمر يعني أن النجم كله يبدو أحمر»

ليس بالضرورة.

يمكن أن تكون التغيرات في الطول الموجي المعنية ضئيلة مقارنة بعرض الطيف المرئي. وعادةً ما نحدد حركة دوبلر من خلال قياس الخطوط الطيفية المعروفة بدقة، لا من خلال تقرير ما إذا كان النجم يبدو أكثر احمرارًا أو زرقة للعين.

وهذا يتطلب أن تعرف أي خط تنظر إليه أصلًا. يوضح تحديد العناصر باستخدام الخطوط الطيفية: فيزياء HSC كيف يعمل نمط الخطوط كبصمة مميزة للعناصر.

الخطأ 2: «الخط الأعرض يعني تلقائيًا دورانًا أسرع»

لا.

يمكن للدوران أن يوسع الخطوط الطيفية، لكن الحركة الحرارية وتأثيرات فيزيائية أو آلية أخرى يمكنها فعل ذلك أيضًا. ويتطلب أي استنتاج عن السرعة الدورانية أن تكون مساهمة الدوران في الاتساع معزولة أو مبررة.

الخطأ 3: «أكثر أجزاء الخط احمرارًا يعطي السرعة الشعاعية للنجم»

هذا خطأ مغرٍ بصورة خاصة.

بالنسبة إلى نجم دوار، تتضمن الحافة الأكثر احمرارًا كلًا من الحركة الشعاعية للنجم كله وحركة الابتعاد الإضافية للحافة الدوارة. أما الحافة الأكثر زرقة فتتضمن الحركة الشعاعية ومساهمة الدوران للحافة المقتربة.

يعزل المركز الحركة الكلية. ويعزل نصف العرض الحركتين الدورانيتين المتعاكستين.

الخطأ 4: «كل خط منزاح بفعل دوبلر يتحرك بالعدد نفسه من النانومترات»

الكمية المهمة هي الانزياح النسبي،

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

وليس \(\Delta\lambda\) وحده.

إذا كان هناك خط عند \(400\) nm وآخر عند \(600\) nm صادران من النجم المتحرك نفسه، فينبغي أن يكون انزياح الطول الموجي للخط عند \(600\) nm أكبر، بوحدة النانومتر، عند السرعة الشعاعية نفسها.

الخطأ 5: «يعطي التحليل الطيفي سرعة الدوران الكاملة»

عادةً ما يعطي \(v_{\text{eq}}\sin i\).

عامل \(\sin i\) المخفي هذا من أهم قيود القياس.

06طريقة مختصرة لاتخاذ القرار

عندما تُعطى مسألة عن طيف نجمي، اعمل بهذا الترتيب.

1. حدد الطول الموجي المختبري \(\lambda_0\).
2. أوجد مركز الخط المرصود.
3. قارن المركز مع \(\lambda_0\) لتحديد السرعة الشعاعية.
4. أوجد نصف عرض الخط إذا كانت معلومات الاتساع الدوراني معطاة.
5. حوّل نصف العرض إلى \(v_{\text{eq}}\sin i\).
6. لا تحسب \(v_{\text{eq}}\) نفسها إلا إذا كانت زاوية الميل \(i\)، أو معلومات مكافئة لها، معروفة.
7. تحقق من أن السؤال قد برر معاملة عرض الخط باعتباره اتساعًا دورانيًا.

الترتيب مهم. فإذا بدأت بمعاملة الحافة الحمراء على أنها انزياح دوبلر الشعاعي، فسيتداخل الدوران مع نتيجتك.

07الأسئلة والحلول

السؤال 1

لخط طيفي طول موجي مختبري مقداره \(486.1\) nm. في طيف نجم، يُقاس مركز الخط عند \(486.3\) nm.

احسب السرعة الشعاعية للنجم، واذكر ما إذا كان يتحرك نحو الأرض أم بعيدًا عنها.

الحل 1

يتحرك النجم بعيدًا عن الأرض بسرعة تقارب \(123\) km/s.

الطول الموجي المرصود أكبر من الطول الموجي المختبري، ولذلك يكون الخط منزاحًا نحو الأحمر.

أوجد الانزياح أولًا:

\[
\Delta\lambda=486.3-486.1=0.2\text{ nm}
\]

ثم استخدم

\[
v_r=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

وبالتعويض،

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.2}{486.1}\\
&=1.23\times10^5\text{ m/s}\\
&=123\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

يعني الانزياح الموجب أن النجم يبتعد.

ومن الأخطاء المغرية وصف \(123\) km/s بأنها السرعة الكلية للنجم. فهي ليست سوى مركبته الشعاعية بالنسبة إلى الراصد.

السؤال 2

يتسع خط طوله الموجي المختبري \(656.3\) nm بسبب دوران النجم. ويمتد شكله الدوراني من \(656.12\) nm إلى \(656.56\) nm.

افترض أن تأثيرات الاتساع الأخرى قد أُخذت في الحسبان بالفعل.

احسب:

a. السرعة الشعاعية للنجم،

b. السرعة الدورانية المسقطة \(v_{\text{eq}}\sin i\)، و

c. اشرح لماذا يؤدي استخدام \(656.56\) nm مباشرة على أنه الطول الموجي المنزاح بفعل دوبلر للنجم إلى سرعة شعاعية خاطئة.

الحل 2

يبتعد النجم بسرعة تقارب \(18.3\) km/s، بينما تبلغ سرعته الدورانية المسقطة نحو \(101\) km/s. ولا يمكن استخدام الحافة الحمراء مباشرة لحساب السرعة الشعاعية لأنها تتضمن كلًا من الابتعاد الكلي وحركة دوران الحافة المبتعدة.

بالنسبة إلى الجزء a، أوجد مركز الخط أولًا:

\[
\lambda_c=\frac{656.12+656.56}{2}=656.34\text{ nm}
\]

انزاح المركز بمقدار

\[
\Delta\lambda=656.34-656.30=0.04\text{ nm}
\]

لذلك،

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.04}{656.3}\\
&=1.83\times10^4\text{ m/s}\\
&=18.3\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الجزء b، يكون نصف العرض الدوراني

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{656.56-656.12}{2}
=0.22\text{ nm}
\]

إذن

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.22}{656.3}\\
&=1.01\times10^5\text{ m/s}\\
&=101\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الجزء c، تأتي \(656.56\) nm من أقصى الجانب الأحمر للشكل المتسع بسبب الدوران. وهذا الجزء من النجم يبتعد بفعل الدوران، إضافة إلى مشاركته في السرعة الشعاعية الكلية للنجم.

المسار المغري هو حساب

\[
c\frac{656.56-656.30}{656.30}
\]

ثم تسمية النتيجة بالسرعة الشعاعية. لكن فعل ذلك يخلط حركتين مختلفتين. منتصف الخط، لا أكثر حوافه احمرارًا، هو الذي يمثل الانزياح الشعاعي الكلي.

السؤال 3

لخطين طيفيين محددين من النجم نفسه الأطوال الموجية المختبرية وأطوال موجة المركز المرصودة الآتية:

بعد إزالة مصادر الاتساع الأخرى، يبلغ العرض الدوراني الكامل للخط A مقدار \(0.24\) nm، وللخط B مقدار \(0.36\) nm.

حدد ما إذا كان الخطان متوافقين مع سرعة شعاعية واحدة وسرعة دورانية مسقطة واحدة. واحسب السرعتين.

الحل 3

نعم. كلا الخطين متوافقان مع سرعة شعاعية مقدارها \(60.0\) km/s نحو الأرض، وسرعة دورانية مسقطة مقدارها \(90.0\) km/s.

بالنسبة إلى الخط A، يكون انزياح المركز

\[
\Delta\lambda_A=399.92-400.00=-0.08\text{ nm}
\]

ومن ثم

\[
\begin{aligned}
v_{r,A}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.08}{400.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الخط B،

\[
\Delta\lambda_B=599.88-600.00=-0.12\text{ nm}
\]

و

\[
\begin{aligned}
v_{r,B}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.12}{600.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

الانزياحان مختلفان بوحدة النانومتر، لكن انزياحيهما النسبيين متساويان.

والآن، لنتناول الدوران.

للخط A نصف عرض مقداره

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},A}=\frac{0.24}{2}=0.12\text{ nm}
\]

لذلك

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.12}{400.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

وللخط B نصف عرض مقداره

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},B}=\frac{0.36}{2}=0.18\text{ nm}
\]

ومن ثم

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.18}{600.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

مرة أخرى، تختلف العروض بوحدة النانومتر، لكن العروض النسبية متساوية.

الاستنتاج المغري هو أن الخطين غير متوافقين لأن \(0.08\neq0.12\) و\(0.24\neq0.36\). لكن هذا يقارن تغيرات مطلقة في الطول الموجي. ترتبط حركة دوبلر بالتغير النسبي في الطول الموجي، ولذلك يصف القياسان الحركتين نفسيهما.

السؤال 4

لنجم نصف قطر مقداره \(6.0\times10^8\) m، ويكمل دورة واحدة كل \(10.0\) ساعات.

لخط امتصاص ذي طول موجي مختبري \(550.00\) nm حدان دورانيان عند \(550.055\) nm و\(550.165\) nm. افترض أن كل الاتساع غير الدوراني قد أُزيل.

أوجد:

a. السرعة الشعاعية للنجم،

b. سرعته الدورانية المسقطة،

c. سرعته الدورانية الاستوائية باستخدام نصف قطره ودورته، و

d. زاوية الميل التقريبية \(i\) لمحور دورانه بالنسبة إلى خط بصرنا.

اشرح لماذا سيكون وصف النجم بأنه «بطيء الدوران» استنادًا إلى عرض الخط الطيفي وحده وصفًا مضللًا.

الحل 4

يبتعد النجم بسرعة \(60.0\) km/s، وله سرعة دورانية مسقطة مقدارها \(30.0\) km/s، لكنه في الواقع يدور عند خط استوائه بسرعة تقارب \(105\) km/s. ويميل محور دورانه بنحو \(17^\circ\) فقط بالنسبة إلى خط بصرنا.

بالنسبة إلى الجزء a، يكون مركز الخط

\[
\lambda_c=\frac{550.055+550.165}{2}=550.110\text{ nm}
\]

إذن

\[
\Delta\lambda=550.110-550.000=0.110\text{ nm}
\]

لذلك،

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.110}{550.00}\\
&=6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الجزء b، يكون نصف العرض الدوراني

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{550.165-550.055}{2}
=0.055\text{ nm}
\]

ومن ثم،

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.055}{550.00}\\
&=3.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=30.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الجزء c، تقطع النقطة الواقعة على خط الاستواء محيطًا واحدًا في كل دورة:

\[
v_{\text{eq}}=\frac{2\pi R}{T}
\]

الزمن الدوري هو

\[
T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}
\]

إذن

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi(6.0\times10^8)}{3.60\times10^4}\\
&=1.05\times10^5\text{ m/s}\\
&=105\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الجزء d،

\[
v_{\text{eq}}\sin i=30.0\text{ km/s}
\]

إذن

\[
\sin i=\frac{30.0}{105}=0.286
\]

وبالتالي

\[
i\approx17^\circ
\]

التفسير المغري هو أن عرض الخط المعتدل يثبت أن سرعة الدوران الحقيقية معتدلة. لكن نصف القطر والزمن الدوري المستقلين يبينان خلاف ذلك. فالنجم يدور بسرعة تقارب \(105\) km/s، لكننا نراه من اتجاه قريب نسبيًا من قطبه، ولذلك لا يظهر على امتداد خط بصرنا إلا نحو \(30\) km/s من السرعة الاستوائية.

ولهذا السبب بالضبط يعطينا التحليل الطيفي بمفرده عادةً \(v_{\text{eq}}\sin i\)، لا \(v_{\text{eq}}\).

السؤال 5

ينتج نجم دوار خطين طيفيين. وقد أُزيلت مصادر الاتساع الأخرى.

بالنسبة إلى خط طوله الموجي المختبري \(500.00\) nm، يمتد الشكل الدوراني من \(500.00\) nm إلى \(500.40\) nm.

وبالنسبة إلى خط آخر طوله الموجي المختبري \(650.00\) nm، يمتد الشكل من \(650.00\) nm إلى \(650.52\) nm.

يجادل طالب قائلًا:

لا يمتد أي من الخطين إلى طول موجي أقصر من طوله الموجي المختبري، ولذلك لا يتحرك أي جزء مرئي من النجم نحونا. ومن ثم لا يمكن أن يكون الاتساع ناتجًا عن الدوران.

للنجم نصف قطر مقداره \(7.0\times10^8\) m، وزمن دوران مقداره \(5.1\) ساعات.

أوجد السرعة الشعاعية للنجم، وسرعته الدورانية المسقطة، وزاوية ميله التقريبية. ثم اشرح بدقة ما الخطأ في حجة الطالب.

الحل 5

يبتعد النجم بسرعة تقارب \(120\) km/s، كما أن سرعته الدورانية المسقطة تقارب أيضًا \(120\) km/s، ويميل محور دورانه بنحو \(30^\circ\) بالنسبة إلى خط بصرنا. والحافة المقتربة تتحرك بالفعل نحونا بالنسبة إلى مركز النجم، لكن انزياحها الدوراني نحو الأزرق يلغي تقريبًا تمامًا الانزياح الكلي للنجم نحو الأحمر.

ابدأ بالخط ذي الطول الموجي \(500.00\) nm.

مركزه المرصود هو

\[
\lambda_c=\frac{500.00+500.40}{2}=500.20\text{ nm}
\]

إذن انزاح المركز بمقدار

\[
\Delta\lambda=0.20\text{ nm}
\]

وعليه تكون السرعة الشعاعية

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=1.20\times10^5\text{ m/s}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

ويكون نصف العرض الدوراني أيضًا

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{500.40-500.00}{2}
=0.20\text{ nm}
\]

لذلك

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

ويؤكد الخط ذو الطول الموجي \(650.00\) nm النتيجة.

مركزه هو

\[
\lambda_c=\frac{650.00+650.52}{2}=650.26\text{ nm}
\]

مما يعطي

\[
\frac{0.26}{650.00}=4.00\times10^{-4}
\]

وبالتالي

\[
v_r=120\text{ km/s}
\]

ونصف عرضه هو

\[
\frac{0.52}{2}=0.26\text{ nm}
\]

وهذا يعطي السرعة الدورانية المسقطة نفسها:

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

استخدم الآن نصف القطر والزمن الدوري المستقلين لإيجاد السرعة الاستوائية الحقيقية.

حوّل الزمن الدوري:

\[
T=5.1\times3600=1.836\times10^4\text{ s}
\]

ثم

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi R}{T}\\
&=\frac{2\pi(7.0\times10^8)}{1.836\times10^4}\\
&\approx2.40\times10^5\text{ m/s}\\
&\approx240\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

وبما أن

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

فإن

\[
\sin i=\frac{120}{240}=0.500
\]

ومن ثم

\[
i\approx30^\circ
\]

والآن نأتي إلى التناقض الظاهري.

عند الحافة المقتربة، تعمل الحركة الشعاعية الكلية للنجم وحركته الدورانية في اتجاهين متعاكسين. وفي التقريب من الرتبة الأولى، تكون سرعته على امتداد خط البصر تقريبًا

\[
v_{\text{limb}}\approx v_r-v_{\text{eq}}\sin i
\]

وهنا،

\[
v_{\text{limb}}\approx120-120=0\text{ km/s}
\]

إذن تنتج الحافة المقتربة دورانيًا بالفعل انزياحًا نحو الأزرق بالنسبة إلى مركز طيف النجم. لكن النجم بأكمله منزاح أصلًا نحو الأحمر لأنه يبتعد بسرعة \(120\) km/s. ويلغي التأثيران أحدهما الآخر عند تلك الحافة، فتعود إلى الطول الموجي المختبري تقريبًا.

أما عند الحافة المقابلة، فيتجمع التأثيران:

\[
v_{\text{limb}}\approx120+120=240\text{ km/s مبتعدًا}
\]

وهذا ينتج الحافة المنزاحة بقوة نحو الأحمر.

خطأ الطالب هو اعتبار عبارة «غير منزاح نحو الأزرق بالنسبة إلى الطول الموجي المختبري» مكافئة لعبارة «لا يتحرك نحونا بسبب الدوران». وهاتان مقارنتان مختلفتان. يجب النظر إلى الدوران بالنسبة إلى الحركة الشعاعية الكلية للنجم.

وهذا هو الاستخدام الأعمق للخطوط الطيفية: يمكن لشكل طيفي واحد أن يحتوي عدة حركات في الوقت نفسه. وبمجرد أن تتعلم فصل مركزه عن عرضه، يمكنك استخراج حركة النجم ككل من حركة سطحه. والخطوة التالية هي فصل الحركة عن المعلومات الأخرى المختبئة في الطيف نفسه، ومنها درجة الحرارة، وهو ما يُستكشف في إيجاد درجة حرارة النجوم من الأطياف: فيزياء HSC.