كيف تُنتَج الموجات الكهرومغناطيسية وكيف تنتشر
تعرّف كيف تنتج الشحنات المتسارعة إشعاعًا كهرومغناطيسيًا، ولماذا يكون المجالان الكهربائي والمغناطيسي مستعرضين، وكيف تحمل الموجات الطاقة عبر الفضاء.
يمكن لهوائي راديو أن يرسل طاقة عبر كيلومترات من الفضاء الخالي، رغم أن الإلكترونات في الهوائي تبقى داخل المعدن. فما الذي يغادر الهوائي فعليًا؟
ضع توقّعًا أولًا. افترض أن جسيمًا مشحونًا يتحرك ببساطة في خط مستقيم بسرعة متجهة ثابتة. هل يكفي ذلك لإنتاج موجة كهرومغناطيسية؟ قد يبدو أن الإجابة نعم: فالشحنة المتحركة تعني كهرباء في حالة حركة، والكهرباء المتحركة مرتبطة بالمغناطيسية. لكن الحركة المنتظمة ليست العامل الأساسي. يجب أن تتسارع الشحنة.
هذا التمييز يوضّح لنا القصة كاملة. فالشحنات المتسارعة تُحدث اضطرابًا في المجال الكهرومغناطيسي المحيط بها. ويمكن لجزء من هذا الاضطراب أن ينفصل عن المنطقة القريبة مباشرة من الشحنة وينتشر إلى الخارج على هيئة موجة كهرومغناطيسية، حاملًا معه طاقة.
01لماذا يهم التسارع؟
ابدأ بشحنة موجبة ساكنة. فهي تُنتج مجالًا كهربائيًا حولها. وغالبًا ما نمثّل ذلك بأسهم تتجه شعاعيًا إلى الخارج بعيدًا عن الشحنة.
تخيّل الآن أن الشحنة تسارعت فجأة إلى أعلى. يستجيب المجال الكهربائي القريب للحركة الجديدة للشحنة، لكن نقطة بعيدة لا يمكنها أن تستجيب فورًا. فلا بد أن تنتقل المعلومات عمّا فعلته الشحنة إلى الخارج.
ومن الصور الذهنية المفيدة أن تتخيل صفيحة طويلة بصورة مبالغ فيها، مغطاة بأسهم تمثل المجال. حرّك أحد طرفيها، فتتغير الأسهم القريبة أولًا. ثم ينتقل النمط المتغير على امتداد الصفيحة. لكن التشبيه يتوقف عن الدقة لأن المجال الكهرومغناطيسي ليس صفيحة مادية، ولأن الموجات الكهرومغناطيسية لا تحتاج إلى وسط مادي. والجزء المفيد من التشبيه هو ببساطة: التغير عند المصدر يصل إلى الأماكن البعيدة لاحقًا، لا فورًا.
وبالنسبة إلى الإشعاع الكهرومغناطيسي، فإن التغير المهم هو تسارع الشحنة.
| حركة الشحنة | هل تشع لمجرد هذه الحركة؟ | الفكرة الأساسية |
|---|---|---|
| ساكنة | لا | يمكنها إنتاج مجال كهربائي، لكن لا يوجد إشعاع كهرومغناطيسي منطلق إلى الخارج |
| سرعة متجهة ثابتة في خط مستقيم | لا | الحركة المنتظمة وحدها لا تنتج إشعاعًا |
| تغير في السرعة | نعم | السرعة المتجهة تتغير، ولذلك تتسارع الشحنة |
| تغير في الاتجاه | نعم | السرعة المتجهة كمية متجهة، لذا فإن تغير الاتجاه يُعد أيضًا تسارعًا |
| تذبذب ذهابًا وإيابًا | نعم | الشحنة تتسارع باستمرار |
والحالة الأخيرة مفيدة بوجه خاص لأنها تمثل ما يفعله هوائي إرسال بسيط.
تنبيه بشأن هذا النموذج الذهني: المجال الكامل حول شحنة متسارعة يتضمن سلوكًا في المجال القريب يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمصدر، كما يتضمن مكوّنًا إشعاعيًا يمكنه حمل الطاقة إلى مسافات كبيرة. وفي فيزياء HSC، الجزء المهم هو الإشعاع الكهرومغناطيسي المنطلق إلى الخارج الذي تنتجه الشحنة المتسارعة.
02كيف يُنتج الهوائي موجة كهرومغناطيسية؟
تأمل هوائي إرسال مستقيمًا ورأسيًا متصلًا بجهد متناوب.
يدفع الجهد الإلكترونات مرارًا في اتجاه ثم في الاتجاه الآخر. وهي لا تغادر الهوائي ولا تطير نحو المستقبِل، بل تتذبذب داخل الموصل.
ولأن سرعتها المتجهة تتغير باستمرار، فإن الإلكترونات شحنات متسارعة. وتنتج حركتها مجالات كهربائية ومغناطيسية متغيرة. وينتقل الجزء الإشعاعي من هذه المجالات المتغيرة بعيدًا عن الهوائي.
إذًا تكون السلسلة كما يلي:
- يدفع جهد متناوب الشحنات ذهابًا وإيابًا؛
- تتسارع الشحنات؛
- يتغير المجال الكهرومغناطيسي حول الشحنات؛
- ينتشر اضطراب كهرومغناطيسي إلى الخارج؛
- يحمل الاضطراب الطاقة عبر الفضاء.
وهناك فخ مهم هنا. يمكن أن تكون سرعة إلكترون مساوية للصفر في لحظة معينة بينما يظل تسارعه كبيرًا.
فكّر في كرة قُذفت رأسيًا إلى أعلى. عند أعلى نقطة، تكون سرعتها صفرًا للحظة، لكن تسارعها يظل \(9.8\text{ m s}^{-2}\) إلى أسفل. وتتصرف الشحنة المتذبذبة بصورة مشابهة عند نهايتي حركتها: فقد تكون سرعتها صفرًا بينما يكون تسارعها في أكبر مقدار له.
لذلك فإن عبارة «الشحنة لا تتحرك في هذه اللحظة» لا تعني «الشحنة لا تنتج إشعاعًا في هذه اللحظة».
03المجالان الكهربائي والمغناطيسي مستعرضان
تخيّل الآن موجة كهرومغناطيسية تتحرك أفقيًا نحو اليمين.
في أي اتجاه يشير مجالاها الكهربائي والمغناطيسي؟
بالنسبة إلى موجة كهرومغناطيسية مستوية مثالية:
- يكون المجال الكهربائي، \(\mathbf E\)، عموديًا على اتجاه الانتشار؛
- ويكون المجال المغناطيسي، \(\mathbf B\)، عموديًا أيضًا على اتجاه الانتشار؛
- ويكون \(\mathbf E\) و\(\mathbf B\) متعامدين أحدهما على الآخر.
وهذا يجعل الموجة الكهرومغناطيسية موجة مستعرضة.
افترض أن الموجة تنتقل في اتجاه \(x\) الموجب. أحد الترتيبات الممكنة هو:
- الانتشار: \(+x\)؛
- المجال الكهربائي: على امتداد محور \(y\)؛
- المجال المغناطيسي: على امتداد محور \(z\).
في موجة مستوية جيبية مثالية، يتذبذب المجالان الكهربائي والمغناطيسي معًا. وعندما ينعكس اتجاه أحدهما، ينعكس اتجاه الآخر أيضًا.
إليك توقعًا مفيدًا. بعد نصف دورة، يكون كل من \(\mathbf E\) و\(\mathbf B\) قد انعكس. فهل يعني ذلك أن طاقة الموجة أصبحت تنتقل إلى الخلف؟
لا. يرتبط اتجاه تدفق الطاقة باتجاه المتجه
\[
\mathbf E \times \mathbf B.
\]
وإذا انعكس المجالان كلاهما، فإن
\[
(-\mathbf E)\times(-\mathbf B)=\mathbf E\times\mathbf B.
\]
لذلك تستمر الطاقة في الانتقال في الاتجاه نفسه.
ومن السهل أن يفوتك ذلك إذا تخيلت الموجة على أنها خط متموج واحد. ففي الواقع يوجد مجالان متجهان متذبذبان، متعامدان أحدهما على الآخر وعلى الاتجاه الذي تنتشر فيه الطاقة.
مثال محلول: الطول الموجي واتجاهات المجالات
ينتج هوائي إرسال موجات كهرومغناطيسية بتردد \(96.5\text{ MHz}\). تنتقل الموجة شرقًا خلال الهواء، الذي سنقرّبه على أنه فراغ. وفي لحظة معينة، يشير مجالها الكهربائي رأسيًا إلى أعلى.
احسب الطول الموجي وحدد اتجاه المجال المغناطيسي في تلك اللحظة.
الخطوة 1
البادئة mega تعني \(10^6\)، لذلك
\[
f=96.5\times10^6\text{ Hz}.
\]
الخطوة 2
في الفراغ،
\[
c=f\lambda,
\]
حيث:
- \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\) هي سرعة الضوء؛
- \(f\) هو التردد بالهرتز؛
- \(\lambda\) هو الطول الموجي بالمتر.
بإعادة الترتيب،
\[
\lambda=\frac{c}{f}
=\frac{3.00\times10^8}{96.5\times10^6}
=3.11\text{ m}.
\]
إذًا الطول الموجي هو
\[
\boxed{\lambda=3.11\text{ m}}.
\]
الخطوة 3
اعتبر الشرق هو \(+x\)، والأعلى هو \(+y\)، والشمال هو \(+z\).
تنتقل طاقة الموجة شرقًا، ويشير مجالها الكهربائي إلى أعلى. نحتاج إلى أن يكون
\[
\mathbf E\times\mathbf B
\]
متجهًا شرقًا.
وبما أن
\[
(+y)\times(+z)=+x,
\]
فإن المجال المغناطيسي يشير شمالًا في تلك اللحظة.
وتخبرنا النتيجة بأكثر من مجرد الطول الموجي. فالمجال الكهربائي والمجال المغناطيسي واتجاه الانتشار تمثل ثلاثة اتجاهات متعامدة فيما بينها.
04كيف تستمر الموجة في الانتقال بعد مغادرة الهوائي؟
هنا يصبح أحد التفسيرات الشائعة أكثر بساطة مما ينبغي.
قد تسمع أن «مجالًا كهربائيًا متغيرًا يُنشئ مجالًا مغناطيسيًا، وهذا يُنشئ مجالًا كهربائيًا آخر، والذي يُنشئ بدوره مجالًا مغناطيسيًا آخر»، كما لو أن المجالين يلعبان لعبة مطاردة كهرومغناطيسية لا تنتهي.
قد تكون هذه الصورة مفيدة في البداية، لكن لا ينبغي فهمها حرفيًا على أنها سلسلة من أحداث منفصلة.
المجالان الكهربائي والمغناطيسي جزآن مترابطان من المجال الكهرومغناطيسي. وتبيّن معادلات ماكسويل أن المجالات الكهربائية والمغناطيسية المتغيرة مكانيًا وزمانيًا يمكن أن توجد في صورة حلول موجية منتقلة. وبمجرد إنتاج الإشعاع الكهرومغناطيسي، لا يحتاج الاضطراب إلى سلك أو هواء أو مادة خفية ما لتحمله.
وكان هذا أحد النتائج الكبرى لـتنبؤ ماكسويل بالموجات الكهرومغناطيسية: فمعادلات الكهرباء والمغناطيسية تسمح بوجود موجات تنتشر عبر الفراغ.
وتقدم موجة الجمهور في الملعب تشبيهًا محدودًا. فالناس لا يركضون حول الملعب؛ بل ينتقل النمط بينما يتحرك كل فرد محليًا. وبالمثل، لا تنتقل الإلكترونات في هوائي الإرسال طوال الطريق إلى المستقبِل. لكن التشبيه يتوقف عند هذا الحد. فموجة الملعب تحتاج إلى الناس بوصفهم وسطًا، أما الموجة الكهرومغناطيسية فلا تحتاج إلى وسط.
في الفراغ، تنتقل الموجات الكهرومغناطيسية بسرعة
\[
c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}.
\]
ويرتبط ترددها وطولها الموجي بالعلاقة
\[
c=f\lambda.
\]
يحدد المصدر التردد. وبمجرد أن تنتقل الموجة عبر الفراغ، يتحدد طولها الموجي من ذلك التردد ومن القيمة الثابتة لـ\(c\).
05ما الذي ينتقل فعليًا؟ الطاقة هي التي تنتقل
افترض أن هوائي إرسال شُغّل، وأرسل نبضة راديوية قصيرة، ثم أُوقف.
لا تختفي النبضة عندما يتوقف الهوائي. فالطاقة التي انتقلت بالفعل إلى المجال الكهرومغناطيسي تستمر في الابتعاد عن المصدر.
ولهذا يمكن لمستقبِل يقع على مسافة ما أن يلتقط الإشارة بعد أن يكون جهاز الإرسال قد غيّر بالفعل ما يفعله. يستجيب المستقبِل لحالة المصدر عند زمن أسبق.
إذا كان جهاز الإرسال والمستقبِل يفصل بينهما بعد \(d\)، فإن زمن الانتشار في الفراغ هو
\[
t=\frac{d}{c},
\]
حيث \(t\) هو زمن الانتقال بالثواني.
إذًا ينقل الإشعاع الكهرومغناطيسي المعلومات والطاقة معًا بسرعة انتشار محدودة.
انتشار الطاقة مع المسافة
تخيّل مصدرًا مثاليًا يشع بالتساوي في جميع الاتجاهات.
بعد أن تقطع الطاقة مسافة \(r\)، تكون موزعة على سطح كرة مساحتها
\[
A=4\pi r^2.
\]
إذا كانت قدرة المصدر \(P\)، فإن متوسط الشدة هو
\[
I=\frac{P}{4\pi r^2},
\]
حيث:
- \(I\) هي الشدة بوحدة الواط لكل متر مربع، \(\text{W m}^{-2}\)؛
- \(P\) هي القدرة المشعة بالواط؛
- \(r\) هي المسافة من المصدر بالمتر.
وهذا يعطينا علاقة التربيع العكسي
\[
I\propto\frac{1}{r^2}.
\]
إذا ضاعفت المسافة، تتوزع القدرة نفسها على مساحة أكبر بأربع مرات، فتقل الشدة إلى ربع قيمتها.
والهوائيات الحقيقية ليست متساوية الخواص عادةً. فقد ترسل قدرة أكبر في بعض الاتجاهات مقارنة بغيرها. ويكون النموذج الكروي مفيدًا عندما ينص السؤال صراحة على أن المصدر يشع بالتساوي في جميع الاتجاهات.
مثال محلول: الطاقة التي تصل إلى مستقبِل بعيد
يشع جهاز إرسال مثالي قدرة مقدارها \(120\text{ W}\) بالتساوي في جميع الاتجاهات. ويوجد مستقبِل على بعد \(40.0\text{ m}\).
احسب:
- الزمن اللازم لوصول تغير في الإشارة المرسلة إلى المستقبِل؛
- الشدة عند المستقبِل؛
- الشدة عند \(80.0\text{ m}\).
الخطوة 1
باستخدام
\[
t=\frac{d}{c},
\]
نحصل على
\[
t=\frac{40.0}{3.00\times10^8}
=1.33\times10^{-7}\text{ s}.
\]
إذًا
\[
\boxed{t=1.33\times10^{-7}\text{ s}}.
\]
يستجيب المستقبِل بعد نحو \(0.133\,\mu\text{s}\) من حدوث التغير ذي الصلة عند جهاز الإرسال.
الخطوة 2
بالنسبة إلى الانتشار الكروي المنتظم،
\[
I=\frac{P}{4\pi r^2}.
\]
بالتعويض،
\[
I=\frac{120}{4\pi(40.0)^2}
=5.97\times10^{-3}\text{ W m}^{-2}.
\]
إذًا،
\[
\boxed{I=5.97\times10^{-3}\text{ W m}^{-2}}.
\]
الخطوة 3
تضاعفت المسافة، لذلك يمكننا أن نتوقع مباشرة أن تصبح الشدة ربع قيمتها.
وبالتحقق مباشرة،
\[
I=\frac{120}{4\pi(80.0)^2}
=1.49\times10^{-3}\text{ W m}^{-2}.
\]
إذًا،
\[
\boxed{I=1.49\times10^{-3}\text{ W m}^{-2}}.
\]
لم يبدأ جهاز الإرسال في إنتاج قدرة أقل. بل إن الطاقة ببساطة موزعة على مساحة أكبر.
06الإنتاج والانتشار جزآن مختلفان من القصة
من المفيد الفصل بين سؤالين يدمجهما الطلاب كثيرًا.
كيف تُنتج موجة كهرومغناطيسية؟
تنتج الشحنة المتسارعة مجالًا كهرومغناطيسيًا متغيرًا له مكوّن إشعاعي يمكنه حمل الطاقة بعيدًا.
كيف تنتشر الموجة بعد إنتاجها؟
ينتقل الاضطراب الكهرومغناطيسي عبر الفضاء في صورة مجالين كهربائي ومغناطيسي متغيرين ومتعامدين. وفي الفراغ، يتحرك بسرعة \(c\).
ولا تحتاج الشحنة إلى الاستمرار في «دفع» الجزء نفسه من الإشعاع بعد أن يبدأ ذلك الإشعاع في الابتعاد.
فكّر في إطفاء مصباح يدوي عندما يكون ضوؤه قد قطع نصف الطريق إلى القمر. إن إطفاء المصدر يمنع انبعاث ضوء لاحق، لكنه لا يستطيع الوصول إلى الضوء الذي غادر بالفعل ومَحوه.
وزمن الانتشار المحدود هذا ليس مجرد أمر غير مريح. بل هو جزء أساسي من الكهرومغناطيسية.
07أكثر التصورات الخاطئة إغراءً
«الشحنات المتحركة تنتج إشعاعًا كهرومغناطيسيًا»
ليس تمامًا.
فالشحنة التي تتحرك بسرعة متجهة ثابتة لا تشع لمجرد أنها تتحرك. يرتبط الإشعاع بـالتسارع، أي بتغير متجه سرعة الشحنة.
«إذا كانت الشحنة ساكنة لحظيًا، فلا يمكنها أن تشع»
هذا غير صحيح أيضًا.
عند نقطة الانعكاس في التذبذب، يمكن أن تكون السرعة صفرًا بينما يكون التسارع كبيرًا.
«تنتقل الإلكترونات من هوائي الإرسال إلى هوائي الاستقبال»
لا يحدث ذلك.
تتحرك الإلكترونات محليًا داخل كل موصل. أما الاضطراب الكهرومغناطيسي وطاقته فينتشران عبر الفضاء بين الهوائيين.
«يشير المجالان الكهربائي والمغناطيسي في اتجاه الحركة»
لا يحدث ذلك في موجة كهرومغناطيسية مثالية.
فكلا المجالين مستعرض. وهما متعامدان مع اتجاه الانتشار ومتعامدان أحدهما على الآخر.
«عندما يتوقف جهاز الإرسال، تختفي الموجة الموجودة بالفعل في الفضاء»
لا يمكن أن يحدث ذلك.
فالمعلومة التي تفيد بأن جهاز الإرسال قد توقف يجب هي نفسها أن تنتشر إلى الخارج. ويستمر مستقبِل بعيد في اكتشاف الإشارة الأسبق إلى أن يصل إليه هذا التغير اللاحق.
08نموذج مختصر لتتذكره
بالنسبة إلى هوائي إرسال بسيط، حافظ على ترتيب هذه السلسلة:
\[
\text{شحنة متذبذبة}
\rightarrow
\text{شحنة متسارعة}
\rightarrow
\text{مجال كهرومغناطيسي متغير}
\rightarrow
\text{موجة كهرومغناطيسية منطلقة}
\rightarrow
\text{انتقال الطاقة}.
\]
وبالنسبة إلى الموجة المنتشرة:
\[
\mathbf E\perp\mathbf B,\qquad
\mathbf E\perp\text{اتجاه الانتشار},\qquad
\mathbf B\perp\text{اتجاه الانتشار}.
\]
وفي الفراغ:
\[
c=f\lambda.
\]
هذه الأفكار الثلاثة – التسارع عند المصدر، والمجالات المستعرضة، وانتشار الطاقة بسرعة محدودة – تقوم بمعظم العمل.
09الأسئلة والحلول
السؤال 1
يجعل هوائي راديو الشحنات تتذبذب بتردد \(75.0\text{ MHz}\).
أ. احسب الطول الموجي للموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ.
ب. في لحظة معينة، تتحرك شحنة في الهوائي إلى أعلى لكنها تتباطأ. هل تتسارع الشحنة؟ اشرح لماذا يهم ذلك بالنسبة إلى الإشعاع الكهرومغناطيسي.
الحل 1
الطول الموجي هو \(4.00\text{ m}\)، والشحنة تتسارع إلى أسفل لأن سرعتها المتجهة إلى أعلى تتناقص.
بالنسبة إلى الجزء أ، استخدم
\[
c=f\lambda.
\]
التردد هو
\[
f=75.0\times10^6\text{ Hz}.
\]
إذًا،
\[
\lambda=\frac{c}{f}
=\frac{3.00\times10^8}{75.0\times10^6}
=4.00\text{ m}.
\]
لذلك
\[
\boxed{\lambda=4.00\text{ m}}.
\]
بالنسبة إلى الجزء ب، يعني التسارع تغيرًا في السرعة المتجهة، وليس مجرد زيادة في مقدار السرعة. تتحرك الشحنة إلى أعلى لكنها تتباطأ، لذلك يشير تسارعها إلى أسفل.
وهذا التسارع مهم لأن الشحنة المتسارعة يمكن أن تنتج إشعاعًا كهرومغناطيسيًا. والخطأ المغري هو أن تسأل فقط عمّا إذا كانت الشحنة تتحرك. فالحركة بسرعة متجهة ثابتة لا تكفي؛ يجب أن يتغير متجه السرعة.
السؤال 2
مثّل شحنة على أنها تخضع لحركة توافقية بسيطة رأسيًا.
عند اللحظة A، تمر الشحنة بمركز تذبذبها. تكون سرعتها في أكبر مقدار لها وتسارعها صفرًا.
بعد ربع دورة، عند اللحظة B، تصل إلى نقطة الانعكاس العليا. تكون سرعتها صفرًا ويكون مقدار تسارعها في أكبر قيمة له.
باستخدام النموذج البسيط للشحنة المتسارعة، قارن الإشعاع الناتج عند A وB. واشرح لماذا يؤدي الحكم على الإشعاع اعتمادًا فقط على السرعة اللحظية للشحنة إلى استنتاج خاطئ.
الحل 2
في النموذج المثالي لشحنة نقطية متسارعة، يكون إنتاج الإشعاع أضعف ما يكون عند A وأقوى ما يكون عند B، رغم أن الشحنة تتحرك بأقصى سرعة عند A وتكون ساكنة لحظيًا عند B.
عند A، تمر الشحنة بموضع الاتزان. وفي الحركة التوافقية البسيطة،
\[
a=0
\]
عند موضع الاتزان، رغم أن السرعة تكون في أكبر مقدار لها.
وعند B، تكون الشحنة قد وصلت إلى نقطة الانعكاس. سرعتها هي
\[
v=0,
\]
لكن مقدار تسارعها يكون في أكبر قيمة له لأن التسارع يشير عائدًا نحو موضع الاتزان.
الفكرة الحاكمة هي أن الإشعاع الكهرومغناطيسي مرتبط بـتسارع الشحنة، وليس بمجرد سرعتها.
المسار المغري في التفكير هو:
شحنة أسرع \(\rightarrow\) إشعاع أكثر.
وهذا ليس المعيار الصحيح. فقد تتحرك شحنة بسرعة كبيرة مع تسارع يساوي صفرًا، أو تكون ساكنة لحظيًا مع تسارع كبير.
وهناك تفصيل زمني إضافي. فالمراقب البعيد لا يكتشف «ما تفعله الشحنة الآن». بل يكتشف إشعاعًا غادر الشحنة في وقت أسبق، بعد تأخر في الانتشار مقداره \(d/c\).
السؤال 3
يوجد ثنائيَا قطب للإرسال متعامدان في النقطة نفسها. أحدهما رأسي والآخر أفقي.
ابتداءً من \(t=0\)، يرسل ثنائي القطب الرأسي فقط. وعند \(t=40\,\mu\text{s}\)، يتوقف عن الإرسال ويبدأ ثنائي القطب الأفقي فورًا في الإرسال بالتردد والقدرة نفسيهما.
يبعد المستقبِل A مسافة \(6.00\text{ km}\) عن جهاز الإرسال. ويبعد المستقبِل B مسافة \(18.0\text{ km}\) في الاتجاه نفسه. افترض أن الانتشار يحدث عبر الفراغ، ولا توجد انعكاسات، وأن التحويل لحظي.
عند \(t=70\,\mu\text{s}\):
أ. إشعاع أي ثنائي قطب يكتشفه المستقبِل A؟
ب. إشعاع أي ثنائي قطب يكتشفه المستقبِل B؟
ج. اشرح كيف يمكن لمستقبِلَين عند الزمن نفسه على الساعة أن يكتشفا حالتين مختلفتين لجهاز الإرسال.
الحل 3
عند \(70\,\mu\text{s}\)، يكتشف المستقبِل A الإرسال الأفقي، بينما لا يزال المستقبِل B يكتشف الإرسال الرأسي.
بالنسبة إلى المستقبِل A،
\[
t_A=\frac{d}{c}
=\frac{6.00\times10^3}{3.00\times10^8}
=2.00\times10^{-5}\text{ s}
=20.0\,\mu\text{s}.
\]
لذلك، عند زمن رصد قدره \(70\,\mu\text{s}\)، يكتشف المستقبِل A إشعاعًا انبعث عند
\[
70-20=50\,\mu\text{s}.
\]
تحول جهاز الإرسال إلى ثنائي القطب الأفقي عند \(40\,\mu\text{s}\)، لذلك يكتشف المستقبِل A الإرسال الأفقي.
بالنسبة إلى المستقبِل B،
\[
t_B=\frac{18.0\times10^3}{3.00\times10^8}
=6.00\times10^{-5}\text{ s}
=60.0\,\mu\text{s}.
\]
عند \(70\,\mu\text{s}\)، يكتشف المستقبِل B إشعاعًا انبعث عند
\[
70-60=10\,\mu\text{s}.
\]
وعند \(10\,\mu\text{s}\)، كان ثنائي القطب الرأسي لا يزال يرسل. لذلك يكتشف المستقبِل B الإرسال الرأسي.
النتيجتان الأساسيتان هما
\[
\boxed{\text{المستقبِل A: أفقي}}
\]
و
\[
\boxed{\text{المستقبِل B: رأسي}}.
\]
الافتراض المغري هو أن كل نقطة في الفضاء تعرف بطريقة ما الحالة الحالية لجهاز الإرسال. لكنها لا تعرفها. يرى كل مستقبِل نسخة متأخرة من المصدر، ويحدد بُعده مقدار هذا التأخر.
ويحتوي المجال الكهرومغناطيسي عند موقع ما على معلومات عمّا كان يفعله المصدر في الزمن الأسبق المناسب.
السؤال 4
يبث جهاز إرسال مثالي متساوي الخواص إشعاعًا كهرومغناطيسيًا بقدرة ثابتة مقدارها \(600\text{ W}\) لمدة \(10.0\,\mu\text{s}\) بالضبط، ثم يتوقف تمامًا.
عند \(t=1.00\text{ ms}\) بعد بدء الإرسال، افترض أن الإشعاع ينتقل عبر الفراغ ولم يتعرض لأي امتصاص.
أ. احسب نصف القطر الخارجي للمنطقة التي تحتوي على النبضة.
ب. احسب نصف القطر الداخلي، ومنه السُمك الشعاعي للنبضة.
ج. احسب الطاقة الكهرومغناطيسية الكلية في النبضة.
د. في تلك اللحظة، هل ستكون مستقبِلات نقطية مثالية تقع على بعد \(299\text{ km}\) و\(296\text{ km}\) من جهاز الإرسال مستقبلة للنبضة؟
هـ. اشرح لماذا تُبطل هذه الحالة فكرة أن الإشعاع الكهرومغناطيسي يختفي بمجرد أن يتوقف المصدر عن تسريع الشحنات.
الحل 4
عند \(1.00\text{ ms}\)، تشغل النبضة غلافًا كرويًا يمتد من \(297\text{ km}\) إلى \(300\text{ km}\)، ويبلغ سُمكه \(3.00\text{ km}\)، ويحتوي على طاقة مقدارها \(6.00\times10^{-3}\text{ J}\). يقع المستقبِل عند \(299\text{ km}\) داخل النبضة، بينما لا يقع المستقبِل عند \(296\text{ km}\) داخلها.
بالنسبة إلى الجزء أ، انبعثت مقدمة النبضة عند \(t=0\)، ولذلك تحركت طوال مدة \(1.00\text{ ms}\) كاملة:
\[
r_{\text{outer}}=ct
=(3.00\times10^8)(1.00\times10^{-3})
=3.00\times10^5\text{ m}.
\]
إذًا،
\[
\boxed{r_{\text{outer}}=300\text{ km}}.
\]
بالنسبة إلى الجزء ب، انبعثت مؤخرة النبضة بعد ذلك بـ\(10.0\,\mu\text{s}\). ولذلك، عند \(t=1.00\text{ ms}\)، تكون قد تحركت لمدة
\[
1.00\text{ ms}-10.0\,\mu\text{s}
=0.990\text{ ms}.
\]
ومن ثم،
\[
r_{\text{inner}}
=(3.00\times10^8)(0.990\times10^{-3})
=2.97\times10^5\text{ m}
=297\text{ km}.
\]
سُمك النبضة هو
\[
\Delta r
=300-297
=3.00\text{ km}.
\]
إذًا
\[
\boxed{\Delta r=3.00\text{ km}}.
\]
لاحظ أن النتيجة نفسها تُستنتج مباشرة من
\[
\Delta r=c\Delta t
=(3.00\times10^8)(10.0\times10^{-6})
=3.00\times10^3\text{ m}.
\]
بالنسبة إلى الجزء ج، القدرة هي الطاقة المنتقلة لكل وحدة زمن:
\[
P=\frac{E}{\Delta t}.
\]
لذلك،
\[
E=P\Delta t
=(600)(10.0\times10^{-6})
=6.00\times10^{-3}\text{ J}.
\]
إذًا،
\[
\boxed{E=6.00\times10^{-3}\text{ J}}.
\]
وتكون هذه الطاقة موزعة في جميع أنحاء الغلاف المتمدد.
بالنسبة إلى الجزء د، تقع \(299\text{ km}\) بين \(297\text{ km}\) و\(300\text{ km}\)، ولذلك يوجد هذا المستقبِل حاليًا داخل النبضة.
لكن،
\[
296\text{ km}<297\text{ km},
\]
ولذلك تكون الحافة الخلفية قد تجاوزت بالفعل المستقبِل عند \(296\text{ km}\).
إذًا،
\[
\boxed{299\text{ km: يستقبل النبضة}}
\]
و
\[
\boxed{296\text{ km: النبضة مرّت بالفعل}}.
\]
الصورة المغرية هي أن المجال في كل مكان مرتبط بطريقة ما بالحركة الحالية للهوائي. ولو كان ذلك صحيحًا، فإن إيقاف المصدر سيجعل الإشعاع يختفي في كل مكان في اللحظة نفسها.
لكن ذلك سيتطلب أن تنتقل المعلومات المتعلقة بإيقاف المصدر بسرعة لا نهائية.
وبدلًا من ذلك، يؤدي إيقاف المصدر إلى إحداث تغير لاحق في المجال الكهرومغناطيسي. وينتشر هذا التغير اللاحق أيضًا بسرعة \(c\). أما الإشعاع المنبعث في وقت أسبق فيستمر في الانتقال إلى الخارج حاملًا الطاقة التي زوده بها جهاز الإرسال بالفعل.
السؤال 5
يتحرك بروتون في مسار دائري عمودي على مجال مغناطيسي منتظم. افترض في البداية أن سرعته أقل بكثير من سرعة الضوء.
يقول أحد الطلاب:
«لا يمكن للبروتون أن يشع لأن مقدار سرعته ثابت. ولكن حتى لو أشع بطريقة ما، فسيكون ذلك مستحيلًا أيضًا لأن القوة المغناطيسية لا تبذل شغلًا، ولذلك لا يوجد مصدر يمكن أن تأتي منه الطاقة المشعة.»
افترض الآن أن الإشعاع الكهرومغناطيسي الكلاسيكي الناتج عن البروتون المتسارع أُخذ في الحسبان. وافترض أن فقدان الطاقة بطيء للغاية، بحيث يمكن التعامل مع الحركة على أنها سلسلة من المدارات الدائرية تقريبًا.
حدد ما يحدث بمرور الزمن لكل من:
أ. الطاقة الحركية للبروتون؛
ب. سرعته؛
ج. نصف قطر مداره؛
د. تردده الزاوي المداري.
ثم حل التناقض الظاهري المتعلق بكون القوة المغناطيسية لا تبذل شغلًا.
الحل 5
يفقد البروتون طاقة حركية، وتقل سرعته، ويتحرك في مسار حلزوني نحو نصف قطر أصغر، وفي التقريب غير النسبي ذي التخميد البطيء يظل تردده الزاوي المداري مساويًا تقريبًا لـ\(qB/m\). وتأتي الطاقة التي يشعها من طاقته الحركية، لا من شغل تبذله القوة المغناطيسية.
أولًا، ادعاء الطالب بأن البروتون لا يتسارع غير صحيح.
التسارع هو تغير في السرعة المتجهة. وفي الحركة الدائرية، يمكن أن يظل مقدار السرعة المتجهة ثابتًا تقريبًا خلال دورة واحدة بينما يتغير اتجاهها باستمرار. لذلك يكون للبروتون تسارع مركزي.
ويمكن لشحنة متسارعة أن تشع طاقة كهرومغناطيسية.
بالنسبة إلى الجزء أ، إذا كان الإشعاع يحمل الطاقة بعيدًا، فإن حفظ الطاقة يقتضي أن تنخفض الطاقة الميكانيكية للبروتون. ومع عدم وجود تغير في طاقة وضع جاذبية أو كهربائية، فهذا يعني أن طاقته الحركية تنخفض:
\[
\boxed{K\text{ تنخفض}}.
\]
وبما أن
\[
K=\frac12mv^2
\]
في التقريب غير النسبي، فلا بد أن ينخفض مقدار سرعته أيضًا:
\[
\boxed{v\text{ تنخفض}}.
\]
بالنسبة إلى جسيم مشحون يتحرك بصورة عمودية تقريبًا على مجال مغناطيسي منتظم،
\[
qvB=\frac{mv^2}{r},
\]
حيث \(q\) هو مقدار الشحنة، و\(v\) مقدار السرعة، و\(B\) شدة المجال المغناطيسي، و\(m\) الكتلة، و\(r\) نصف قطر المدار.
وبإلغاء عامل واحد من \(v\)، نحصل على
\[
r=\frac{mv}{qB}.
\]
ولأن \(m\) و\(q\) و\(B\) تظل ثابتة بينما تنخفض \(v\)، فإن
\[
\boxed{r\text{ ينخفض}}.
\]
لذلك يتبع البروتون مسارًا حلزونيًا نحو الداخل بدلًا من تكرار الدائرة نفسها تمامًا.
والآن تأمل التردد الزاوي \(\omega\). بالنسبة إلى الحركة الدائرية تقريبًا،
\[
\omega=\frac{v}{r}.
\]
وباستخدام
\[
r=\frac{mv}{qB},
\]
نحصل على
\[
\omega
=\frac{v}{mv/(qB)}
=\frac{qB}{m}.
\]
لذلك،
\[
\boxed{\omega\approx\frac{qB}{m}},
\]
وهو ثابت تقريبًا وفق افتراضات السؤال.
وهذا هو الجزء الأقل وضوحًا. فالبروتون يتباطأ، لكن مداره يصغر أيضًا. وهذان التغيران يتعوضان في النسبة \(v/r\).
وأخيرًا، لا يوجد تناقض مع العبارة التي تقول إن القوة المغناطيسية لا تبذل شغلًا.
بالنسبة إلى القوة المغناطيسية،
\[
\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B,
\]
لذلك تكون القوة عمودية على السرعة المتجهة اللحظية. ومن ثم فإن القوة المغناطيسية نفسها لا تزود الجسيم بطاقة حركية ولا تسحب منه طاقة حركية.
ويحدث فقدان الطاقة لأن الشحنة المتسارعة تتفاعل مع مجالها الكهرومغناطيسي الخاص وتشع طاقة. وفي وصف أكثر اكتمالًا، يؤدي تأثير رد فعل الإشعاع المرتبط بذلك إلى إزالة طاقة ميكانيكية من الجسيم.
إذًا تكون سلسلة الطاقة
\[
\text{الطاقة الحركية للبروتون}
\rightarrow
\text{الإشعاع الكهرومغناطيسي}
\rightarrow
\text{طاقة تُحمل بعيدًا عبر الفضاء}.
\]
يقوم المجال المغناطيسي بثني المسار؛ لكنه ليس مصدر الطاقة.
يربط هذا السؤال بين جزأين من فيزياء HSC يسهل التعامل معهما على أنهما موضوعان منفصلان: الحركة الدائرية للجسيمات المشحونة والإشعاع الناتج عن الشحنات المتسارعة. وبمجرد الجمع بينهما، يصبح من الواضح أن «مقدار السرعة الثابت» لا يعني «تسارعًا يساوي صفرًا».
الخطوة المفيدة التالية هي ربط هذه الصورة للمجالات المنتقلة بسبب استنتاج ماكسويل أن الضوء نفسه إشعاع كهرومغناطيسي. يوضح توحيد ماكسويل للكهرباء والمغناطيسية كيف تصبح الأفكار الكهربائية والمغناطيسية التي طُورت بصورة منفصلة أعلاه نظرية واحدة.