الانعكاس وتكوّن الصور في المرايا لفيزياء HSC

مرآة حمّام مسطحة، ومرآة مكياج منحنية، ومرآة جانبية لسيارة؛ جميعها تخضع لقانون الانعكاس نفسه، ومع ذلك يمكنها أن تكوّن صورًا مساوية للجسم في الحجم، أو أكبر، أو أصغر، أو معتدلة، أو مقلوبة. فما الذي تفعله المرآة بصورة مختلفة في كل حالة؟

قبل متابعة القراءة، توقّع الآتي: إذا تباعدت أشعة الضوء المنعكسة بعد مغادرتها المرآة، فهل يمكنها مع ذلك أن تكوّن صورة؟ قد يبدو أن الإجابة يجب أن تكون لا، لأن الأشعة لا تلتقي أبدًا. لكن عينيك تستطيعان تتبّع تلك الأشعة إلى الخلف فتجعلانها تبدو كما لو أنها صادرة من نقطة واحدة. وهذه هي الفكرة الأساسية لفهم الصور الافتراضية.

01ما الذي يحاول مخطط الأشعة إيجاده فعليًا؟

لنفترض أن الضوء ينطلق من أعلى جسم ويسقط على مرآة. لا يكفي شعاع واحد لتحديد موضع الصورة. تحتاج إلى تتبّع شعاعين على الأقل ينطلقان من النقطة نفسها على الجسم ومعرفة ما يحدث لهما بعد الانعكاس.

هناك احتمالان:

• أن تلتقي الأشعة المنعكسة فعليًا. وتكون نقطة الالتقاء صورة حقيقية.
• أن تتباعد الأشعة المنعكسة، لكن امتداداتها إلى الخلف تلتقي. وتكون نقطة الالتقاء الظاهرية هذه صورة افتراضية.

تخيّل أن عينك تقوم بشيء من عمل التحري. فهي تستقبل شعاعًا منعكسًا وتفترض أن الضوء تحرّك نحوها في خط مستقيم. ثم تتتبّع ذلك الشعاع ذهنيًا إلى الخلف. فإذا بدت عدة أشعة منعكسة وكأنها جاءت من المكان نفسه، فهناك ترى الصورة.

لكن لهذا التشبيه حدود. فدماغك لا يرسم حرفيًا خطوط إنشاء منقطة. مخطط الأشعة هو نموذج يتنبأ بالموضع الذي يبدو أن الضوء صادر منه.

الصور الحقيقية مقابل الصور الافتراضية

هذا الفرق مهم لأن الصورة الحقيقية فقط يمكن إسقاطها مباشرة على شاشة.

إذا وصلت الأشعة المنعكسة فعليًا إلى قطعة من الورق موضوعة عند موضع الصورة، فيمكن للضوء أن يكوّن عليها نمطًا مرئيًا. أما إذا كانت الصورة افتراضية، فلا يوجد ضوء يمر فعليًا عبر موضع الصورة الظاهري، ولذلك لن يؤدي وضع شاشة هناك إلى التقاط الصورة.

وهذا يعطينا اختبارًا مفيدًا:

02ابدأ بقانون الانعكاس

كل مخطط أشعة للمرايا يعتمد على قاعدة واحدة:

\[ \theta_i = \theta_r \]

حيث \(\theta_i\) هي زاوية السقوط و\(\theta_r\) هي زاوية الانعكاس.

تُقاس كلتا الزاويتين بالنسبة إلى العمود المقام، وليس بالنسبة إلى سطح المرآة.

العمود المقام هو خط تخيلي يُرسم عموديًا على المرآة عند النقطة التي يصطدم فيها الشعاع بالسطح.

من الأخطاء الشائعة قياس الزوايا بالنسبة إلى المرآة نفسها. فإذا صنع شعاع زاوية مقدارها \(20^\circ\) مع سطح المرآة، مثلًا، فإنه يصنع زاوية مقدارها \(70^\circ\) مع العمود المقام. ولذلك تكون زاوية سقوطه \(70^\circ\)، لا \(20^\circ\).

03المرايا المستوية: لماذا تبدو الصورة خلف الزجاج؟

قف أمام مرآة مسطحة وانظر إلى انعكاسك. ينتقل الضوء من وجهك نحو المرآة، ثم ينعكس ويدخل عينيك.

يتحرك الضوء المنعكس بعيدًا عن المرآة. ولا توجد نسخة حقيقية منك جالسة خلف الزجاج.

ومع ذلك، تتتبّع عينك تلك الأشعة المنعكسة إلى الخلف. وتتقاطع امتداداتها الخلفية خلف المرآة، ولذلك يبدو أن الصورة موجودة هناك.

في المرآة المستوية، تكون الصورة:

• مساوية للجسم في الحجم
• معتدلة
• افتراضية
• على البعد العمودي نفسه خلف المرآة الذي يوجد عنده الجسم أمامها

وتكون أيضًا معكوسة جانبيًا. فإذا رفعت يدك اليمنى، تبدو الصورة وكأنها ترفع اليد الموجودة في الجانب المقابل من الصورة.

وبدقة أكبر، تعكس المرآة الاتجاه العمودي على سطحها. أما الوصف الشائع بأنها تعكس “اليمين واليسار” فينشأ من الطريقة التي نقارن بها أنفسنا بصورة تبدو وكأنها تواجهنا.

04المرايا المنحنية تغيّر الاتجاه الذي تسلكه الأشعة المنعكسة

للمرآة المستوية الاتجاه نفسه عند جميع نقاط سطحها. أما المرآة المنحنية فلا يكون اتجاه سطحها ثابتًا في كل مكان.

وهذا يعني أن شعاعين متوازيين يمكن أن يسقطا على جزأين مختلفين من المرآة تكون عندهما الأعمدة المقامة موجهة في اتجاهين مختلفين. وتظل الأشعة خاضعة للعلاقة \(\theta_i=\theta_r\)، لكنها تغادر في اتجاهات مختلفة.

وهكذا تستطيع المرآة المنحنية أن تجعل الأشعة تتقارب أو تتباعد.

هناك نوعان مهمان.

المرآة المقعرة تنحني إلى الداخل من جهة السطح العاكس، مثل السطح الداخلي للملعقة.

أما المرآة المحدبة فتنتفخ إلى الخارج باتجاه الجسم، مثل ظهر الملعقة.

بالنسبة إلى المرايا الكروية، نستخدم عدة نقاط مرجعية:

• المحور الرئيسي هو الخط المستقيم الذي يمر عبر مركز المرآة
• القطب هو الموضع الذي يلتقي فيه المحور الرئيسي بالمرآة
• مركز التكور، \(C\)، هو مركز الكرة التي يمكن اعتبار سطح المرآة جزءًا مقتطعًا منها
• البؤرة، \(F\)، هي النقطة المرتبطة بالأشعة التي تنتقل موازية للمحور الرئيسي
• البعد البؤري، \(f\)، هو المسافة من القطب إلى \(F\)

بالنسبة إلى مرآة كروية عند استخدام أشعة قريبة من المحور الرئيسي،

\[ f \approx \frac{R}{2} \]

حيث \(R\) هو نصف قطر التكور.

وعبارة “أشعة قريبة من المحور الرئيسي” مهمة. فالمرآة الكروية المثالية لا تجمع كل الأشعة المتوازية والمتباعدة كثيرًا عن بعضها في النقطة نفسها تمامًا. يستخدم نموذج الأشعة القياسي في HSC الأشعة شبه المحورية، أي الأشعة القريبة بدرجة معقولة من المحور الرئيسي.

05الأشعة الرئيسية للمرآة المقعرة

يمكنك تطبيق قانون الانعكاس بصورة منفصلة عند كل نقطة على المرآة المنحنية. وهذا سينجح، لكنه سيكون بطيئًا للغاية.

لذلك تستخدم مخططات الأشعة عددًا قليلًا من الأشعة التي يمكن التنبؤ بمساراتها بسهولة.

بالنسبة إلى المرآة المقعرة:

يعود الشعاع المار عبر \(C\) على طول مساره نفسه لأنه يصطدم بالسطح الكروي في اتجاه نصف قطر. ونصف القطر يكون عموديًا على السطح، ولذلك تكون زاوية السقوط \(0^\circ\).

عادةً ما تحتاج إلى شعاعين فقط من هذه الأشعة لتحديد موضع الصورة. ويمكن استخدام شعاع ثالث للتحقق.

06كيفية رسم مخطط أشعة لمرآة مقعرة

ابدأ الأشعة من النقطة نفسها، وعادةً من أعلى الجسم.

ارسم شعاعًا واحدًا موازيًا للمحور الرئيسي. وبعد الانعكاس، اجعله يمر عبر \(F\).

ثم ارسم شعاعًا رئيسيًا آخر مناسبًا، مثل شعاع يتجه عبر \(F\). وبعد الانعكاس، ينتقل موازيًا للمحور الرئيسي.

النقطة التي تلتقي عندها الأشعة المنعكسة هي أعلى الصورة.

إذا لم تلتق الأشعة فعليًا، فمدّ الأشعة المنعكسة إلى الخلف باستخدام خطوط متقطعة. والنقطة التي تلتقي عندها هذه الامتدادات هي موضع الصورة الافتراضية.

لا تمدّ الأشعة الساقطة إلى خلف المرآة. فالمسار الذي تستقبله عينك وتتتبعه إلى الخلف هو مسار الضوء بعد الانعكاس.

07يمكن للمرايا المقعرة تكوين عدة أنواع مختلفة من الصور

فيما يلي السلوك الذي يستحق الفهم بدلًا من حفظه دون تفكير.

يوجد نمط واضح وراء هذا الجدول.

عندما يكون الجسم خارج البؤرة، يمكن للأشعة المنعكسة أن تتقارب فعليًا أمام المرآة. وتكون الصورة حقيقية ومقلوبة.

وعندما ينتقل الجسم إلى داخل البعد البؤري، تغادر الأشعة المنعكسة المرآة وهي متباعدة. وتتلاقى امتداداتها إلى الخلف خلف المرآة. فتصبح الصورة افتراضية ومعتدلة.

ولهذا تستطيع مرآة مكياج أو حلاقة مقعرة أن تكبّر وجهك عندما تقترب منها بما يكفي.

08البؤرة حد فاصل، وليست جدارًا سحريًا

توقّع الآن ما يحدث عندما يقترب جسم من \(F\) من خارج البعد البؤري.

قد تتوقع أن تقترب الصورة من المرآة أيضًا. لكن ما يحدث في الواقع هو العكس.

تصبح الأشعة المنعكسة أقل تقاربًا، ولذلك تلتقي على مسافة أبعد فأبعد. وعند \(F\) تمامًا، تخرج الأشعة من نقطة تقع على المحور متوازية في النموذج المثالي. والأشعة المتوازية لا تلتقي عند أي مسافة محدودة.

نصف الصورة بأنها تقع عند اللانهاية.

ثم حرّك الجسم إلى داخل \(F\) بقليل. تصبح الأشعة المنعكسة الآن متباعدة. وتتلاقى امتداداتها الخلفية خلف المرآة، فتكوّن صورة افتراضية معتدلة.

وهذا التغيّر هو ما يجعل البؤرة حدًا مهمًا للغاية في مخططات الأشعة.

09المرايا المحدبة تكوّن دائمًا أشعة منعكسة متباعدة

تتصرف المرآة المحدبة بصورة مختلفة.

فالشعاع الذي يتحرك موازيًا للمحور الرئيسي ينعكس مبتعدًا عن المحور. وإذا مددت الشعاع المنعكس إلى الخلف، بدا كما لو أنه أتى من البؤرة الواقعة خلف المرآة.

بالنسبة إلى المرآة المحدبة:

• ينعكس الشعاع الموازي للمحور الرئيسي كما لو أنه صادر من \(F\)
• ينعكس الشعاع الموجّه نحو \(F\) خلف المرآة موازيًا للمحور
• يعود الشعاع الموجّه نحو \(C\) خلف المرآة على طول مساره الأصلي

تقع النقطتان \(F\) و\(C\) خلف المرآة.

بغض النظر عن موضع جسم حقيقي عادي أمام مرآة محدبة، تكون صورته:

• افتراضية
• معتدلة
• أصغر من الجسم
• خلف المرآة
• بين المرآة و\(F\)

وهذا يفسر فائدة المرايا المحدبة عندما يكون اتساع مجال الرؤية مهمًا. فتصغير كل صورة يسمح للضوء القادم من نطاق أوسع من الاتجاهات بأن يظهر ضمن المرآة.

لكن هناك مقايضة مهمة: تبدو الأجسام أصغر، ولذلك قد يكون تقدير بعدها اعتمادًا على حجمها الظاهري مضللًا.

10طريقة موثوقة لوصف أي صورة في مرآة

بعد رسم الأشعة، صف الصورة باستخدام أربع خصائص:

1. الحجم: مكبّرة، أو مصغّرة، أو بالحجم نفسه.
2. الاتجاه: معتدلة أو مقلوبة.
3. الموضع: أين تتكوّن بالنسبة إلى \(F\)، و\(C\)، والمرآة.
4. النوع: حقيقية أو افتراضية.

يتذكر بعض الطلاب ذلك بالاختصار SALT: الحجم، والاتجاه، والموقع، والنوع. هذا الاختصار مفيد، لكن مخطط الأشعة يجب مع ذلك أن يبرر الإجابة.

لا تقرر أن الصورة حقيقية لمجرد أنك رسمت خطوطًا تتقاطع. اسأل نفسك: ما نوع الخطوط التي تتقاطع؟

إذا تقاطعت الأشعة المنعكسة المرسومة بخطوط متصلة، فالصورة حقيقية.

أما إذا لم تتقاطع إلا الامتدادات الخلفية، فالصورة افتراضية.

11أكثر أخطاء مخططات الأشعة إغراءً

الخطأ 1: إجبار كل صورة على الظهور أمام المرآة

يحدث هذا كثيرًا لأن الطلاب يتوقعون أن تكون الصورة في الموضع الذي يصل إليه الضوء فعليًا.

لكن الصور الافتراضية تخالف هذا الحدس. فقد يقع موضع الصورة خلف المرآة رغم عدم انتقال أي ضوء منعكس إلى ذلك الموضع.

الخطأ 2: مدّ الأشعة الخطأ

بالنسبة إلى الصورة الافتراضية، مدّ الأشعة المنعكسة إلى الخلف.

لا تواصل ببساطة رسم الأشعة الساقطة في خط مستقيم عبر المرآة. يجب أن يتوافق موضع الصورة الظاهري مع الاتجاه الذي يبدو أن الضوء المنعكس يصل منه.

الخطأ 3: رسم شعاع واحد وتخمين الباقي

يعطيك شعاع واحد اتجاهًا، لا نقطة صورة وحيدة محددة.

يكفي شعاعان مرسومان بصورة صحيحة من النقطة نفسها على الجسم لتحديد نقطة تقاطعهما.

الخطأ 4: التعامل مع البؤرة على أنها نقطة يجب أن يمر عبرها كل شعاع

لا تتصرف بهذه الطريقة إلا أشعة رئيسية معينة.

فالشعاع الموازي للمحور الرئيسي ينعكس عبر \(F\) في المرآة المقعرة. أما أي شعاع ساقط عشوائي فلا ينعكس تلقائيًا عبر البؤرة.

الخطأ 5: الوثوق بالمعادلة بعد رسم مخطط مستحيل

معادلة المرآة مفيدة، لكن مخطط الأشعة يوضح المعنى الفيزيائي للإشارات وللنتيجة.

إذا أعطاك الحساب \(d_i<0\)، بينما رسمت أشعة منعكسة متصلة تلتقي أمام المرآة، فهناك تناقض. تحقّق من المخطط ومن اصطلاح الإشارات.

12الأسئلة والحلول

السؤال 1

وُضعت سيارة لعبة على مسافة \(45\ \text{cm}\) أمام مرآة مستوية.

حدّد موضع صورتها وحجمها واتجاهها ونوعها. واحسب أيضًا المسافة بين السيارة وصورتها.

الحل 1

تقع الصورة على مسافة \(45\ \text{cm}\) خلف المرآة، وهي مساوية للسيارة في الحجم، ومعتدلة، وافتراضية، وتبلغ المسافة الفاصلة بين السيارة والصورة \(90\ \text{cm}\).

تضع المرآة المستوية الصورة على البعد العمودي نفسه خلف المرآة الذي يوجد عنده الجسم أمامها.

إذن،

\[ \text{المسافة الفاصلة}=45\ \text{cm}+45\ \text{cm}=90\ \text{cm} \]

الصورة افتراضية لأن الأشعة المنعكسة لا تنتقل فعليًا عبر النقطة الواقعة خلف المرآة. وإنما تلتقي امتداداتها الخلفية هناك.

السؤال 2

يرسم طالب مخطط أشعة لمرآة محدبة. وتنتشر الأشعة المنعكسة متباعدة، فيستنتج الطالب: “لا تتكوّن صورة لأن الأشعة لا تلتقي أبدًا.”

اشرح الخطأ وصف الصورة التي تتكوّن بالفعل.

الحل 2

تتكوّن صورة بالفعل، وهي افتراضية، ومعتدلة، ومصغّرة، وتقع خلف المرآة بين المرآة و\(F\).

خطأ الطالب هو افتراض أن الأشعة يجب أن تلتقي فعليًا حتى تتكوّن أي صورة.

بعد الانعكاس من مرآة محدبة، تتباعد الأشعة. لكن المراقب يتتبّع تلك الأشعة إلى الخلف على امتداد خطوط مستقيمة. وتتقاطع الامتدادات الخلفية خلف المرآة، فتحدد مصدرًا ظاهريًا للضوء.

ولأن امتدادات الأشعة المنعكسة فقط هي التي تلتقي هناك، تكون الصورة افتراضية وليست حقيقية.

السؤال 3

لدى مرآة مقعرة \(f=8.0\ \text{cm}\). وُضع جسم على مسافة \(24\ \text{cm}\) أمام المرآة.

احسب موضع الصورة والتكبير، ثم صف الصورة.

الحل 3

تتكوّن الصورة على مسافة \(12\ \text{cm}\) أمام المرآة، وهي حقيقية، ومقلوبة، وارتفاعها نصف ارتفاع الجسم.

استخدم

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} \]

مع \(f=8.0\ \text{cm}\) و\(d_o=24\ \text{cm}\):

\[ \frac{1}{8.0}=\frac{1}{24}+\frac{1}{d_i} \]

\[ \frac{1}{d_i} =\frac{1}{8}-\frac{1}{24} =\frac{3-1}{24} =\frac{1}{12} \]

إذن،

\[ d_i=12\ \text{cm} \]

يعني بعد الصورة الموجب أن صورة حقيقية تتكوّن أمام المرآة.

احسب الآن التكبير:

\[ m=-\frac{d_i}{d_o} =-\frac{12}{24} =-0.50 \]

تعني الإشارة السالبة أن الصورة مقلوبة، بينما تعني \(|m|=0.50\) أن حجمها يساوي نصف حجم الجسم.

وهناك أيضًا طريقة مفيدة للتحقق باستخدام مخطط الأشعة. بما أن \(C=2f=16\ \text{cm}\)، فإن الجسم الموجود عند \(24\ \text{cm}\) يقع أبعد من \(C\). ولذلك يجب أن تكوّن المرآة المقعرة صورة حقيقية أصغر بين \(C\) و\(F\). والموضع المحسوب، \(12\ \text{cm}\)، يقع بالضبط في هذه المنطقة.

السؤال 4

يُحرَّك جسم ببطء نحو مرآة مقعرة. يبدأ من موضع أبعد من \(C\)، ثم يمر عبر \(C\)، ويواصل الاقتراب من \(F\)، لكنه لا يدخل إلى داخل \(F\).

يدّعي طالب أن الصورة يجب أن تتحرك بثبات نحو المرآة لأن الجسم يتحرك نحو المرآة.

هل هذا التوقع صحيح؟ صف كيف تتغير الصورة فعليًا.

الحل 4

التوقع غير صحيح. فعندما يتحرك الجسم من موضع أبعد من \(C\) نحو \(F\)، تتحرك الصورة الحقيقية عمومًا بعيدًا عن المرآة، وتصبح أكبر.

عندما يكون الجسم أبعد من \(C\)، تقع الصورة بين \(F\) و\(C\) وتكون مصغّرة.

وعندما يصل الجسم إلى \(C\)، تكون الصورة أيضًا عند \(C\) ويكون حجمها مساويًا لحجم الجسم.

وعندما يتحرك الجسم بين \(C\) و\(F\)، تنتقل الصورة إلى ما وراء \(C\) وتصبح مكبّرة.

ومع اقتراب الجسم من \(F\)، تصبح الأشعة المنعكسة أقرب إلى التوازي، ولذلك تتحرك نقطة تقاطعها إلى مسافة أبعد. وفي النموذج المثالي، يقترب بعد الصورة من اللانهاية عندما يقترب بعد الجسم من البعد البؤري.

الخطأ المغري هنا هو افتراض أن حركة الجسم وحركة الصورة يجب أن تكونا في الاتجاه نفسه. لكن موضع الصورة يتحدد من خلال الاتجاهات المتغيرة للأشعة المنعكسة، لا من خلال نسخ حركة الجسم بصورة ميكانيكية.

السؤال 5

وُضع جسم صغير عند البؤرة تمامًا لمرآة مقعرة مثالية.

يقول أحد الطلاب إن صورة حقيقية تتكوّن عند \(F\) لأن “البؤرة هي المكان الذي تلتقي فيه الأشعة المنعكسة”. ويقول طالب آخر إنه لا يحدث أي انعكاس لأن المرآة لا تستطيع تكوين صورة.

قيّم كلا الادعاءين واذكر ما يتنبأ به نموذج الأشعة.

الحل 5

كلا الادعاءين غير صحيح. فالمرآة ما زالت تعكس الضوء، لكن نموذج الأشعة المثالي لا يعطي صورة عند أي مسافة محدودة.

فكّر في الأشعة المنطلقة من نقطة على الجسم. ينعكس الشعاع الرئيسي الذي يمر عبر \(F\) قبل اصطدامه بالمرآة موازيًا للمحور الرئيسي. وبصورة أعم، تنعكس الأشعة الصادرة من جسم يقع في المستوى البؤري بحيث تكون الصورة المقابلة فعليًا عند اللانهاية في النموذج شبه المحوري.

خطأ الطالب الأول هو التعامل مع \(F\) باعتبارها نقطة التقاء عامة لكل الأشعة المنعكسة. للبؤرة معنى محدد: فالأشعة التي تصل موازية للمحور الرئيسي تنعكس عبر \(F\) في المرآة المقعرة. وهذا لا يعني أن كل شعاع منعكس يتجه دائمًا نحو \(F\).

أما خطأ الطالب الثاني فهو الخلط بين “عدم وجود صورة عند مسافة محدودة” و”عدم حدوث انعكاس”. فلا يزال قانون الانعكاس ينطبق بصورة طبيعية عند سطح المرآة.

تُظهر معادلة المرآة السلوك الحدي:

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} \]

عندما \(d_o=f\)،

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d_i} \]

إذن

\[ \frac{1}{d_i}=0 \]

وهو ما يقابل اتجاه \(d_i\) نحو اللانهاية.

إذن فالفيزياء المثيرة للاهتمام هنا ليست أن الضوء يختفي، بل أن الأشعة المنعكسة لا تتقارب عند أي موضع محدود.

13إلى أين تقودنا هذه الفكرة بعد ذلك؟

تحوّل مخططات الأشعة قانون الانعكاس إلى تنبؤ بما يراه المراقب فعليًا. وبمجرد أن تتمكن من تحديد أين تلتقي الأشعة المنعكسة، أو أين تبدو فقط وكأنها تلتقي، ينتقل المنطق نفسه بصورة طبيعية إلى الانكسار والعدسات.

تتغير الهندسة عندما ينتقل الضوء بين مواد مختلفة لأن الشعاع يمكن أن ينحرف بدلًا من أن ينعكس، لكن السؤال الأساسي يظل نفسه: بعد أن يغيّر الضوء اتجاهه، إلى أين تذهب الأشعة فعليًا، وإلى أي موضع سيتتبّعها المراقب إلى الخلف؟