السرعة الزاوية في فيزياء HSC: من الدوران إلى السرعة الخطية
تعرّف على كيفية قياس السرعة الزاوية للحركة الدورانية، وكيفية حسابها من الإزاحة الزاوية والزمن، وعلاقتها بالسرعة الخطية.
تتحرك نقطة على حافة عجلة دوّارة بسرعة أكبر بكثير من نقطة قريبة من المحور. ومع ذلك، تكمل النقطتان كل دورة كاملة في الزمن نفسه تمامًا. فهل تتحركان بالمعدل نفسه أم لا؟
قبل متابعة القراءة، توقّع الآتي: ترس كبير وعلامة صغيرة بالقرب من مركزه جزءان من القرص الصلب نفسه. بعد \(0.50\text{ s}\)، يدور القرص بزاوية \(90^\circ\). أي العلامتين لها سرعة زاوية أكبر؟
لهما السرعة الزاوية نفسها. فكلتاهما تدوران خلال الزاوية نفسها في الزمن نفسه. تقطع العلامة الخارجية مسافة أكبر، ولذلك تكون سرعتها الخطية أكبر.
هذا الاختلاف – الدوران نفسه، لكن مسافة مقطوعة مختلفة – هو السبب في فائدة السرعة الزاوية.
01قياس الدوران باستخدام زاوية
في الحركة الخطية، تخبرنا السرعة المتجهة بمدى سرعة تغيّر الموضع.
أما في الحركة الدورانية، فنتتبع بدلًا من ذلك مدى سرعة تغيّر الزاوية.
تخيّل رسم خط من مركز عجلة إلى نقطة على حافتها. عندما تدور العجلة، يمسح ذلك الخط زاوية \(\Delta\theta\).
إذا دارت العجلة خلال إزاحة زاوية مقدارها \(\Delta\theta\) في فترة زمنية \(\Delta t\)، فإن سرعتها الزاوية المتوسطة هي
\[ \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]
حيث:
- \(\omega\) هي السرعة الزاوية، وتقاس بالراديان لكل ثانية (\(\text{rad s}^{-1}\))
- \(\Delta\theta\) هي الإزاحة الزاوية، وتقاس بالراديان (\(\text{rad}\))
- \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية، وتقاس بالثواني (\(\text{s}\))
الرمز \(\omega\) هو الحرف اليوناني أوميغا.
الفكرة بسيطة: تخبرك السرعة الزاوية بعدد راديانات الدوران التي تحدث في كل ثانية.
02لماذا يجب أن تكون الزوايا بالراديان؟
قد تكون معتادًا على قياس الزوايا بالدرجات. فالدورة الكاملة تساوي \(360^\circ\).
في معادلات الحركة الدائرية، يكون الراديان أكثر فائدة بكثير. فالدورة الكاملة تساوي
\[ 2\pi \text{ rad} \]
لذلك
\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \]
ومن ثم
\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \]
على سبيل المثال،
\[ 90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad} \]
و
\[ 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \]
لماذا نزعج أنفسنا بتغيير الوحدات؟ لأن الراديان يربط الزاوية مباشرة بالمسافة المقطوعة حول الدائرة.
بالنسبة إلى جسم يتحرك خلال زاوية \(\theta\) عند نصف قطر \(r\)، فإن طول القوس \(s\) هو
\[ s=r\theta \]
حيث يقاس كل من \(s\) و\(r\) بالمتر، وتقاس \(\theta\) بالراديان.
تعمل هذه المعادلة بهذه البساطة لأن الراديان مُعرَّف باستخدام الدائرة نفسها.
مثال محلول: إيجاد السرعة الزاوية من زاوية
يدور قرص دوّار خلال \(135^\circ\) في \(0.75\text{ s}\). احسب سرعته الزاوية المتوسطة.
الخطوة 1
\[ \Delta\theta =135^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{3\pi}{4}\text{ rad} \]
الخطوة 2
\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{3\pi/4}{0.75} =\pi\text{ rad s}^{-1} \]
إذن السرعة الزاوية هي
\[ \omega \approx 3.14\text{ rad s}^{-1} \]
يمسح القرص الدوّار نحو \(3.14\) راديان كل ثانية.
من الأخطاء الشائعة التعويض بالقيمة \(135\) مباشرة في \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\). سيعطي ذلك \(180\)، لكن الوحدة ستكون درجة لكل ثانية، وليست صيغة النظام الدولي للوحدات المستخدمة عادة في معادلات الحركة الدائرية.
03السرعة الزاوية والسرعة الخطية ليستا الشيء نفسه
لنعد الآن إلى القرص الدوّار.
ضع نقطة على بُعد \(0.10\text{ m}\) من المركز، ونقطة أخرى على بُعد \(0.40\text{ m}\) من المركز. ولأن القرص صلب، تدور النقطتان خلال الزاوية نفسها في أي فترة زمنية معينة.
إذن لهما السرعة الزاوية نفسها.
لكن هل تقطعان المسافة نفسها؟
لا. فالنقطة الخارجية تتبع دائرة أكبر بكثير.
باستخدام
\[ s=r\theta \]
اقسم الطرفين على الفترة الزمنية:
\[ \frac{s}{\Delta t} =r\frac{\theta}{\Delta t} \]
في الحركة الدائرية المنتظمة، تكون \(s/\Delta t\) هي السرعة الخطية \(v\)، بينما تكون \(\theta/\Delta t\) هي السرعة الزاوية \(\omega\). لذلك،
\[ v=r\omega \]
حيث:
- \(v\) هي السرعة المماسية أو الخطية بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
- \(r\) هي المسافة من محور الدوران بالمتر
- \(\omega\) هي السرعة الزاوية بوحدة \(\text{rad s}^{-1}\)
هذه المعادلة هي الجسر الذي يربط بين الحركة الدورانية والحركة الخطية.
نموذج ذهني مفيد
تخيّل أربعة أصدقاء يقفون في أماكن مختلفة على منصة دوّارة ضخمة. وجميعهم مثبتون بالأرضية، وهذا يجنّبنا عددًا من مشكلات الصحة والسلامة المهنية.
جميعهم يدورون خلال الزاوية نفسها في كل ثانية. وهذه هي السرعة الزاوية المشتركة بينهم.
لكن الشخص القريب من الحافة الخارجية يجب أن يقطع مسافة أكبر بكثير خلال تلك الثانية. ولذلك تكون سرعته الخطية أكبر.
لكن لهذا التشبيه حدوده: فالأشخاص الحقيقيون ليسوا أجزاءً من قرص مثبتة تثبيتًا صلبًا. ويمكنهم المشي بالنسبة إلى المنصة. تنطبق المعادلة \(v=r\omega\) مباشرة عندما تشترك النقاط في الدوران نفسه حول محور.
04أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً
افترض أن نقطتين على عجلة دوّارة لهما السرعة الزاوية نفسها.
قد يعتقد أحد الطلاب: «السرعة نفسها تعني مقدار السرعة نفسه».
يبدو هذا منطقيًا لأننا في الحركة الخطية نستخدم عادة سرعة متجهة واحدة لجسم واحد. لكن السرعة الزاوية والسرعة الخطية تقيسان نوعين مختلفين من التغيّر.
تسأل السرعة الزاوية:
ما مدى سرعة تغيّر الزاوية؟
وتسأل السرعة الخطية:
ما مدى سرعة تغيّر المسافة على طول المسار؟
عند ثبات \(\omega\)،
\[ v=r\omega \]
لذلك تؤدي زيادة نصف القطر إلى زيادة السرعة الخطية.
ضاعف نصف القطر، فتتضاعف السرعة الخطية.
يعطينا مركز العجلة حالة حدية مفيدة. عند \(r=0\)،
\[ v=r\omega=0 \]
حتى إذا كانت للعجلة نفسها سرعة زاوية غير صفرية. فالنقطة الواقعة تمامًا على محور الدوران لا تتحرك على مسار دائري.
05دورة كاملة تعطينا صيغة مفيدة أخرى
افترض أن جسمًا يستغرق زمنًا دوريًا \(T\) لإكمال دورة واحدة.
تقابل دورة كاملة إزاحة زاوية مقدارها \(2\pi\text{ rad}\)، لذلك
\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]
حيث \(T\) هو الزمن الدوري بالثواني.
وبما أن التردد \(f\) هو عدد الدورات في الثانية،
\[ f=\frac{1}{T} \]
فيمكننا أيضًا كتابة
\[ \omega=2\pi f \]
وهذا يعني أن ثلاث كميات تصف معدل الدوران نفسه بطرق مختلفة:
| الكمية | المعنى | العلاقة |
|---|---|---|
| الزمن الدوري \(T\) | الزمن اللازم لدورة واحدة | \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) |
| التردد \(f\) | عدد الدورات في الثانية | \(f=\frac{\omega}{2\pi}\) |
| السرعة الزاوية \(\omega\) | عدد الراديانات الممسوحة في الثانية | \(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\) |
إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التدريب على الربط بين الزمن الدوري ونصف القطر والسرعة، فراجع السرعة ونصف القطر والزمن الدوري في الحركة الدائرية المنتظمة.
مثال محلول: من الزمن الدوري إلى السرعة الخطية
يدور جهاز طرد مركزي مختبري بزمن دوري مقداره \(0.040\text{ s}\). توجد عينة على بُعد \(0.12\text{ m}\) من المحور.
احسب:
- السرعة الزاوية لجهاز الطرد المركزي
- السرعة الخطية للعينة
الخطوة 1
الدورة الواحدة تساوي \(2\pi\text{ rad}\)، لذلك
\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{0.040} =157\text{ rad s}^{-1} \]
الخطوة 2
\[ v=r\omega =(0.12)(157) =18.8\text{ m s}^{-1} \]
للعينة سرعة زاوية تبلغ نحو \(157\text{ rad s}^{-1}\)، وسرعة خطية مقدارها \(18.8\text{ m s}^{-1}\).
لاحظ ما سيحدث لعينة أخرى تقع على بُعد \(0.060\text{ m}\) من المحور. ستظل لها قيمة \(\omega\) نفسها، لأن العينتين مثبتتان في جهاز الطرد المركزي الدوّار نفسه، لكن سرعتها الخطية ستكون نصف القيمة فقط.
06السرعة الزاوية تتضمن اتجاهًا
حتى الآن، تناولنا في الغالب مقدار السرعة الزاوية.
وبالدقة الفيزيائية، السرعة الزاوية كمية متجهة. ويقع اتجاهها على امتداد محور الدوران، ويُحدَّد باستخدام قاعدة اليد اليمنى.
اثنِ أصابع يدك اليمنى في اتجاه الدوران. سيشير إبهامك إلى اتجاه متجه السرعة الزاوية.
في كثير من حسابات HSC التي تتضمن حركة في مستوى واحد، يمكن بدلًا من ذلك التمييز بين الدوران مع عقارب الساعة وعكس عقارب الساعة باستخدام اصطلاح للإشارة. على سبيل المثال:
- عكس اتجاه عقارب الساعة: موجب
- مع اتجاه عقارب الساعة: سالب
ويمكنك اختيار الاصطلاح المعاكس، بشرط استخدامه باتساق.
افترض أن سرعة زاوية لعجلة تتغير من \(+5.0\text{ rad s}^{-1}\) إلى \(-3.0\text{ rad s}^{-1}\). يكون مقدار سرعتها الزاوية النهائية \(3.0\text{ rad s}^{-1}\) فقط، لكن التغيّر في السرعة الزاوية هو
\[ \Delta\omega=-3.0-(+5.0)=-8.0\text{ rad s}^{-1} \]
الإشارة السالبة مهمة لأن العجلة عكست اتجاه دورانها.
يصبح هذا التمييز مهمًا عندما تدرس لاحقًا التسارع الزاوي.
07ما الذي تخبرك به \(v=r\omega\) – وما الذي لا تخبرك به؟
المعادلة
\[ v=r\omega \]
تعطي مقدار السرعة المماسية اللحظية لنقطة تتحرك حول دائرة.
أما متجه السرعة نفسه فيكون مماسًا للمسار الدائري، ولا يشير بعيدًا عن المركز.
وهذا يقود إلى توقّع آخر يستحق التفكير. جسم في حركة دائرية منتظمة له سرعة ثابتة المقدار. فهل يعني ذلك أن سرعته المتجهة ثابتة؟
لا. يتغير اتجاهها باستمرار، ولذلك تتغير السرعة المتجهة باستمرار حتى إذا لم يتغير مقدار السرعة.
وتغيّر السرعة المتجهة يعني وجود تسارع. وفي الحركة الدائرية، يشير ذلك التسارع نحو المركز. وهذا يقود مباشرة إلى التسارع المركزي.
08طريقة مختصرة لمسائل السرعة الزاوية
عندما تذكر مسألة في الحركة الدائرية عدد الدورات أو الزمن الدوري أو نصف القطر أو السرعة، استخدم هذا التسلسل:
- حدّد ما إذا كانت المعطيات تصف زاوية، أو زمن دورة واحدة، أو مسافة خطية.
- حوّل الزوايا إلى راديان عند الحاجة.
- أوجد السرعة الزاوية باستخدام \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) أو \(\omega=2\pi/T\).
- إذا احتجت إلى السرعة الخطية، فاستخدم \(v=r\omega\).
- تحقّق من النتيجة فيزيائيًا. يجب أن تكون السرعة الخطية لنقطة أبعد عن المحور أكبر إذا بقيت \(\omega\) دون تغيير.
- أبقِ الكميات الزاوية والخطية منفصلة. فالراديان لكل ثانية والمتر لكل ثانية ليسا وحدتين قابلتين للتبادل.
09أسئلة وحلول
السؤال 1
تدور عجلة بانتظام خلال \(4.8\text{ rad}\) في \(1.6\text{ s}\).
احسب:
a. سرعتها الزاوية
b. السرعة الخطية لنقطة تبعد \(0.25\text{ m}\) عن المحور
الحل 1
السرعة الزاوية هي \(3.0\text{ rad s}^{-1}\)، وتتحرك النقطة بسرعة خطية مقدارها \(0.75\text{ m s}^{-1}\).
بالنسبة إلى الجزء a، استخدم
\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]
بالتعويض،
\[ \omega=\frac{4.8}{1.6} =3.0\text{ rad s}^{-1} \]
بالنسبة إلى الجزء b، استخدم
\[ v=r\omega \]
ومن ثم
\[ v=(0.25)(3.0) =0.75\text{ m s}^{-1} \]
تقطع النقطة \(0.75\text{ m}\) على طول مسارها الدائري كل ثانية.
من الأخطاء المغرية اعتبار \(3.0\text{ rad s}^{-1}\) و\(0.75\text{ m s}^{-1}\) وصفين مختلفين للكمية نفسها تمامًا. إنهما مرتبطان، لكنهما يقيسان شيئين مختلفين: الأول هو معدل التغيّر الزاوي، بينما الثاني هو معدل المسافة المقطوعة.
السؤال 2
النقطتان A وB مثبتتان على القرص الصلب الدوّار نفسه. تبعد A مسافة \(0.15\text{ m}\) عن المركز، وتبعد B مسافة \(0.45\text{ m}\) عن المركز.
يدور القرص خلال \(120^\circ\) في \(0.40\text{ s}\).
احسب:
a. السرعة الزاوية لكل من A وB
b. السرعة الخطية لكل نقطة
c. النسبة \(v_B:v_A\)
الحل 2
لكلتا النقطتين سرعة زاوية مقدارها \(5.24\text{ rad s}^{-1}\)؛ تتحرك A بسرعة \(0.785\text{ m s}^{-1}\)، وتتحرك B بسرعة \(2.36\text{ m s}^{-1}\)، وتكون \(v_B:v_A=3:1\).
حوّل الزاوية أولًا:
\[ 120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{2\pi}{3}\text{ rad} \]
لكلتا النقطتين،
\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{2\pi/3}{0.40} =5.24\text{ rad s}^{-1} \]
لهما قيمة \(\omega\) نفسها لأنهما مثبتتان على القرص الصلب نفسه، ولذلك تمسحان الزاوية نفسها في الزمن نفسه.
بالنسبة إلى A،
\[ v_A=r_A\omega =(0.15)(5.24) =0.785\text{ m s}^{-1} \]
بالنسبة إلى B،
\[ v_B=r_B\omega =(0.45)(5.24) =2.36\text{ m s}^{-1} \]
لذلك،
\[ \frac{v_B}{v_A} =\frac{2.36}{0.785} \approx3.00 \]
ومن ثم
\[ v_B:v_A=3:1 \]
الطريق المغري هو القول إن B لا بد أن تكون لها أيضًا سرعة زاوية تساوي ثلاثة أضعاف لأن سرعتها الخطية أكبر بثلاث مرات. وهذا غير صحيح. فسرعتها الأكبر تنتج بالكامل من كون نصف قطرها أكبر بثلاث مرات:
\[ v=r\omega \]
أما السرعة الزاوية فتبقى كما هي.
السؤال 3
تكمل منصة دائرية نصف قطرها \(2.0\text{ m}\) دورة واحدة كل \(8.0\text{ s}\).
يقف طالب على بُعد \(0.50\text{ m}\) من المركز، ثم يمشي شعاعيًا نحو الخارج حتى يصبح على بُعد \(1.5\text{ m}\) من المركز مع بقائه ساكنًا بالنسبة إلى المنصة.
تستمر المنصة في الدوران بالزمن الدوري نفسه.
قارن السرعة الزاوية للطالب وسرعته الخطية قبل تحركه إلى الخارج وبعده.
الحل 3
تبقى السرعة الزاوية للطالب \(0.785\text{ rad s}^{-1}\)، بينما تزداد سرعته الخطية من \(0.393\text{ m s}^{-1}\) إلى \(1.18\text{ m s}^{-1}\).
السرعة الزاوية للمنصة هي
\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ rad s}^{-1} \]
ولأن الطالب يبقى ساكنًا بالنسبة إلى المنصة، فإنه يدور خلال الزاوية نفسها التي تدور خلالها المنصة في كل فترة زمنية. ولا يؤدي تغيير نصف القطر، في حد ذاته، إلى تغيير سرعته الزاوية.
في البداية،
\[ v_i=r_i\omega =(0.50)(0.785) =0.393\text{ m s}^{-1} \]
في النهاية،
\[ v_f=r_f\omega =(1.5)(0.785) =1.18\text{ m s}^{-1} \]
ازداد نصف القطر إلى ثلاثة أضعاف، ولذلك ازدادت السرعة الخطية أيضًا إلى ثلاثة أضعاف.
إحدى الحجج المعقولة ظاهريًا لكنها غير صحيحة هي أن الابتعاد أكثر عن المركز لا بد أن يجعل كل دورة تستغرق زمنًا أطول لأن المسار الدائري أصبح أطول. سيكون ذلك صحيحًا إذا حُفظت السرعة الخطية للطالب ثابتة بطريقة ما. أما هنا، فالشرط الثابت هو الزمن الدوري للمنصة. ولذلك يجب أن يتحرك الطالب بسرعة أكبر على طول المسار الدائري الأكبر كي يُكمل كل دورة في الزمن نفسه.
السؤال 4
يدور قرصان أفقيان منفصلان حول محورين مركزيين ثابتين.
للقرص X نصف قطر مقداره \(0.20\text{ m}\) وسرعة زاوية مقدارها \(8.0\text{ rad s}^{-1}\). وللقرص Y نصف قطر مقداره \(0.40\text{ m}\) وسرعة زاوية مقدارها \(4.0\text{ rad s}^{-1}\).
عند لحظة معينة، تتحرك نقطة على حافة كل قرص نحو الشرق.
يطرح أحد الطلاب ثلاث عبارات:
- للنقطتين على الحافتين السرعة الخطية المتجهة اللحظية نفسها.
- ستستغرقان الزمن نفسه لإكمال دورة واحدة.
- لتسارعيهما المركزيين المقدار نفسه.
حدّد العبارات الصحيحة وبرّر كل قرار كميًا.
الحل 4
العبارة 1 فقط صحيحة. للنقطتين السرعة الخطية المتجهة اللحظية نفسها عند اللحظة المذكورة، لكن الزمن الدوري للقرص X يساوي نصف الزمن الدوري للقرص Y، كما أن تسارعه المركزي عند الحافة يساوي ضعف تسارع القرص Y.
بالنسبة إلى العبارة 1،
\[ v=r\omega \]
بالنسبة إلى X،
\[ v_X=(0.20)(8.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]
بالنسبة إلى Y،
\[ v_Y=(0.40)(4.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]
وتذكر المسألة أيضًا أن النقطتين على الحافتين تتحركان نحو الشرق عند تلك اللحظة. إذن مقدار السرعة المتجهة واتجاهها متطابقان، ولذلك فالعبارة 1 صحيحة.
بالنسبة إلى العبارة 2، استخدم
\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]
بالنسبة إلى X،
\[ T_X=\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ s} \]
بالنسبة إلى Y،
\[ T_Y=\frac{2\pi}{4.0} =1.57\text{ s} \]
إذن العبارة 2 خاطئة.
بالنسبة إلى العبارة 3، يمكن كتابة التسارع المركزي على الصورة
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
للنقطتين قيمة \(v\) نفسها، لكن نصفي قطرهما مختلفان.
بالنسبة إلى X،
\[ a_{cX}=\frac{(1.6)^2}{0.20} =12.8\text{ m s}^{-2} \]
بالنسبة إلى Y،
\[ a_{cY}=\frac{(1.6)^2}{0.40} =6.4\text{ m s}^{-2} \]
ولذلك فالعبارة 3 خاطئة أيضًا.
الاختصار المغري هو ملاحظة أن السرعتين الخطيتين متساويتان ثم افتراض أن الحركتين لا بد أن تكونا متكافئتين. لكنهما ليستا كذلك. يمكن أن تنتج السرعة المماسية نفسها من تركيبات مختلفة من نصف القطر والسرعة الزاوية.
للقرص X نصف القطر الأصغر لكنه يمتلك السرعة الزاوية الأكبر. ولذلك يغيّر اتجاه سرعته المتجهة بسرعة أكبر، مما يمنحه تسارعًا مركزيًا أكبر.
السؤال 5
خرزتان، A وB، مثبتتان في نقطتين مختلفتين على الذراع الصلب الدوّار نفسه. تبعد A مسافة \(0.20\text{ m}\) عن المحور، وتبعد B مسافة \(0.50\text{ m}\) عن المحور.
عند لحظة معينة، تكون السرعة الزاوية للذراع \(6.0\text{ rad s}^{-1}\).
يفكر أحد الطلاب على النحو الآتي:
«لدى B سرعة خطية أكبر من A. ولذلك تتغير السرعة المتجهة لـB بمعدل أسرع. إذن لا بد أن تكون السرعة الزاوية لـB أكبر أيضًا.»
ويرد طالب آخر:
«لا. بما أن الخرزتين على الذراع نفسه، فكل شيء في حركتهما متماثل باستثناء نصف القطر.»
قيّم الحجتين. حدّد الكميات التي يجب أن تكون متساوية لدى A وB، والكميات التي يجب أن تكون مختلفة، واشرح لماذا لا تكون عبارة أي من الطالبين صحيحة بالكامل.
افترض أن الذراع يدور بانتظام عند هذه اللحظة.
الحل 5
لدى A وB السرعة الزاوية نفسها، لكن B لها سرعة خطية أكبر وتسارع مركزي أكبر. ولا تكون حجة أي من الطالبين صحيحة بالكامل لأن الحركة الزاوية يمكن أن تكون مشتركة، في حين تعتمد الحركة الخطية على نصف القطر.
بما أن A وB مثبتتان على الذراع الصلب نفسه، فإنهما تمسحان الإزاحة الزاوية نفسها خلال كل فترة زمنية. لذلك،
\[ \omega_A=\omega_B=6.0\text{ rad s}^{-1} \]
تُحسب سرعتهما الخطية من
\[ v=r\omega \]
بالنسبة إلى A،
\[ v_A=(0.20)(6.0) =1.2\text{ m s}^{-1} \]
بالنسبة إلى B،
\[ v_B=(0.50)(6.0) =3.0\text{ m s}^{-1} \]
إذن الطالب الأول محق في أن B لها سرعة خطية أكبر.
لكن الخطوة التالية في استدلال ذلك الطالب غير صحيحة. فالسرعة الخطية الأكبر لا تعني سرعة زاوية أكبر. في هذه الحالة، السرعتان الزاويتان متساويتان تمامًا لأن الخرزتين تشتركان في دوران صلب واحد.
فكّر الآن في مدى سرعة تغيّر متجه السرعة لكل منهما. في الحركة الدائرية المنتظمة، لكل خرزة تسارع مركزي
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
بالنسبة إلى A،
\[ a_{cA} =\frac{(1.2)^2}{0.20} =7.2\text{ m s}^{-2} \]
بالنسبة إلى B،
\[ a_{cB} =\frac{(3.0)^2}{0.50} =18\text{ m s}^{-2} \]
إذن تتغير السرعة المتجهة لـB بالفعل بمعدل أكبر من حيث مقدار التغيّر في كل ثانية، رغم أن A وB لهما السرعة الزاوية نفسها.
ولذلك فإن الطالب الثاني أيضًا محق جزئيًا فقط. الاشتراك في الذراع الصلب نفسه يضمن الإزاحة الزاوية نفسها والسرعة الزاوية نفسها والزمن الدوري نفسه. لكنه لا يجعل «كل شيء» آخر متماثلًا.
يغيّر نصف القطر عدة كميات خطية:
\[ v=r\omega \]
وبما أن
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
فإن التعويض بـ\(v=r\omega\) يعطي
\[ a_c=r\omega^2 \]
عند ثبات السرعة الزاوية، تزداد كل من السرعة الخطية والتسارع المركزي بزيادة نصف القطر.
وهذا هو القيد الأساسي. يمكن لجسم صلب دوّار أن يشترك في حركة زاوية واحدة عبر جميع نقاطه، بينما تختبر تلك النقاط حركات خطية مختلفة بدرجة كبيرة.
وبمجرد ترسيخ هذا التمييز، تتوقف السرعة الزاوية عن كونها مجرد معادلة منفصلة. بل تصبح حلقة الوصل بين الدوران وبقية الحركة الدائرية: تربطها \(v=r\omega\) بالسرعة المماسية، ومن هناك تفسر \(a_c=v^2/r\) لماذا يجب على جسم يتحرك بسرعة ثابتة المقدار حول دائرة أن يظل متسارعًا نحو المركز.