القدرة المتوسطة في فيزياء HSC: تغيّر الطاقة بمرور الزمن

يحمل طالبان صندوقين متطابقين إلى أعلى مجموعة السلالم نفسها. يرفعان الكتلة نفسها إلى الارتفاع نفسه، لذا يبذل كل منهما المقدار نفسه من الشغل. يستغرق أحدهما 6 ثوانٍ، بينما يستغرق الآخر 15 ثانية.

أيّ الطالبين يعمل بقدرة أكبر؟

توقّع الإجابة قبل متابعة القراءة. الطالب الأول أكثر قدرة بالمعنى الفيزيائي، ليس لأنه يبذل شغلًا أكبر، بل لأنه ينقل المقدار نفسه من الطاقة في وقت أقل. تتعلق القدرة بـ مدى سرعة نقل الطاقة.

وهذا التمييز هو جوهر مفهوم القدرة المتوسطة.

01الطاقة نفسها، لكن بمعدل مختلف

تخيّل أنك ترفع حقيبة مدرسية كتلتها 10 kg من الأرض إلى رف مرتفع. التغيّر المهم في الطاقة هنا هو الزيادة في طاقة الوضع الج gravitationalية.

إذا رفعتها ببطء، تكتسب الحقيبة مقدارًا معينًا من طاقة الوضع الج gravitationalية. وإذا رفعتها بسرعة إلى الرف نفسه تمامًا، فإنها تكتسب المقدار نفسه من الطاقة.

لم يتغير مقدار الطاقة. الذي تغيّر هو الزمن.

وهذا ما تقيسه القدرة.

يمكننا البدء بالنموذج الآتي:

توضّح القدرة مدى سرعة نقل الطاقة أو تحويلها.

إذا نُقلت طاقة مقدارها 600 J خلال 3 s، فإن معدل النقل يساوي 200 J كل ثانية. أما إذا نُقلت الطاقة نفسها، ومقدارها 600 J، خلال 12 s، فإن المعدل لا يتجاوز 50 J كل ثانية.

نعبّر عن القدرة المتوسطة بالعلاقة

\[ P_{\text{avg}}=\frac{\Delta E}{\Delta t} \]

حيث:

• \(P_{\text{avg}}\) هي القدرة المتوسطة، وتُقاس بالواط (W).
• \(\Delta E\) هي الطاقة المنقولة أو المتغيّرة ذات الصلة، وتُقاس بالجول (J).
• \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية، وتُقاس بالثواني (s).

الواط الواحد يعني جولًا واحدًا في الثانية:

\[ 1\text{ W}=1\text{ J s}^{-1} \]

إذن، ينقل جهاز قدرته 500 W الطاقة بمعدل متوسط يبلغ 500 J كل ثانية.

02ترتبط القدرة والشغل ارتباطًا وثيقًا

الشغل إحدى طرائق نقل الطاقة.

إذا بذلت قوة شغلًا مقداره \(W\) خلال فترة زمنية \(\Delta t\)، فإن القدرة المتوسطة المرتبطة بهذا الشغل هي

\[ P_{\text{avg}}=\frac{W}{\Delta t} \]

تبدو هذه العلاقة مختلفة قليلًا عن

\[ P_{\text{avg}}=\frac{\Delta E}{\Delta t} \]

لكن الفكرة واحدة: الطاقة المنقولة مقسومة على الزمن المستغرق.

انتبه إلى نوع الطاقة التي تتتبّعها. فعلى سبيل المثال، عندما يُرفع جسم، قد يتحول بعض الشغل الذي تبذله قوة خارجية إلى طاقة وضع جاذبية. وإذا حدثت أيضًا خسائر بسبب الاحتكاك أو تغيّرات في الطاقة الحركية، فيجب أخذ هذه التأثيرات في الحسبان عندما يتطلب السؤال ذلك.

المعادلة بسيطة، لكن اختيار التغيّر الصحيح في الطاقة هو عادةً الجزء الأصعب.

04بذل شغل أكبر لا يعني تلقائيًا قدرة أكبر

هذا هو التصور الخاطئ الأكثر شيوعًا وإغراءً.

لنفترض أن محركًا ينقل طاقة مقدارها 10 000 J، بينما لا ينقل محرك آخر سوى 8000 J. فهل يعمل المحرك الأول بالضرورة بقدرة متوسطة أكبر؟

لا. لم تُعطَ لك الأزمنة.

على سبيل المثال:

• نقل 10 000 J خلال 20 s يعطي قدرة مقدارها \(500\text{ W}\).
• نقل 8000 J خلال 8 s يعطي قدرة مقدارها \(1000\text{ W}\).

ينقل المحرك الثاني طاقة إجمالية أقل، لكنه ينقلها بسرعة أكبر بكثير.

لذلك، عند مقارنة القدرة، لا تقارن الطاقة وحدها أبدًا.

تحتاج إلى النسبة

\[ \frac{\text{الطاقة المنقولة}}{\text{الزمن المستغرق}} \]

من الطرق المفيدة لتصوّر هذه الفكرة تخيّل ملء دلاء بالماء من صنبورين. إن معرفة أي الصنبورين يملأ كمية أكبر من الماء لا تخبرك بمعدل تدفقه ما لم تعرف أيضًا المدة التي ظل فيها كل صنبور مفتوحًا. لكن هذا التشبيه ليس مطابقًا تمامًا، لأن الماء مادة فيزيائية بينما الطاقة ليست كذلك؛ ومع ذلك، فإن فكرة المعدل واحدة.

05قد تخفي أسئلة HSC التغيّر في الطاقة

لن يعطيك السؤال دائمًا قيمة \(\Delta E\) مباشرةً.

بدلًا من ذلك، قد يخبرك أن جسمًا ما:

• يرتفع مسافة رأسية معينة.
• تزداد سرعته أو تنخفض.
• يقوم بالأمرين معًا.
• يتلقى مقدارًا معلومًا من الشغل.

مهمتك هي حساب التغيّر المناسب في الطاقة أولًا.

بالنسبة إلى الحركة بالقرب من سطح الأرض، هناك تعبيران شائعان للطاقة:

\[ \Delta U_g=mg\Delta h \]

و

\[ \Delta K=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) \]

حيث \(v_i\) هي السرعة الابتدائية و\(v_f\) هي السرعة النهائية، وتُقاسان كلتاهما بوحدة \(\text{m s}^{-1}\).

إذا ازدادت طاقة الوضع الجاذبية والطاقة الحركية معًا، مع إهمال انتقالات الطاقة الأخرى، فإن الزيادة في الطاقة الميكانيكية تكون

\[ \Delta E_{\text{mech}}=\Delta U_g+\Delta K \]

بعد ذلك، يمكنك قسمة هذا التغيّر في الطاقة على الزمن المنقضي.

06القدرة المتوسطة لا تصف كل لحظة زمنية

لنفترض أن محركًا ينقل 6000 J خلال 4 s.

تكون قدرته المتوسطة

\[ P_{\text{avg}}=\frac{6000}{4}=1500\text{ W} \]

لكن هذا لا يثبت أن المحرك عمل بقدرة تساوي 1500 W تمامًا في كل لحظة من تلك الثواني الأربع.

فقد تكون قدرته:

• 1000 W في لحظة معينة.
• 2200 W في لحظة أخرى.
• قيمًا أصغر أو أكبر في أوقات أخرى.

تخبرك القدرة المتوسطة فقط بإجمالي الطاقة المنقولة مقسومًا على الزمن الإجمالي.

فكّر في السرعة المتوسطة خلال رحلة بالسيارة. إن سرعة متوسطة مقدارها \(60\text{ km h}^{-1}\) لا تعني أن عداد السرعة ظل يشير إلى 60 طوال الرحلة. وينطبق الأمر نفسه على القدرة المتوسطة.

يوفّر هذا الرسم البياني طريقة مفيدة أخرى لتصوّر القدرة المتوسطة. فعلى رسم بياني للطاقة مقابل الزمن، تساوي القدرة المتوسطة ميل الخط الواصل بين نقطتين مختارتين:

\[ P_{\text{avg}}=\frac{\Delta E}{\Delta t} \]

يشير الميل الكلي الأكثر انحدارًا إلى أن الطاقة تُنقل بمعدل متوسط أكبر.

07طريقة موثوقة لحل أسئلة القدرة المتوسطة

عندما تواجه مسألة لحساب القدرة، اتبع الخطوات بالترتيب الآتي:

1. حدّد انتقال الطاقة أو التغيّر فيها. هل يتعلق الأمر بالشغل، أم بطاقة الوضع الجاذبية، أم الطاقة الحركية، أم بمزيج منها؟
2. احسب مقدار الطاقة بالجول.
3. حدّد الفترة الزمنية المقابلة بالثواني.
4. استخدم العلاقة \(P_{\text{avg}}=\Delta E/\Delta t\).
5. تحقّق من الوحدة. ينبغي عادةً أن تكون إجابتك بالواط أو الكيلوواط.
6. فسّر النتيجة. تعني قيمة مقدارها 2.4 kW أن متوسط معدل نقل الطاقة يبلغ 2400 J في الثانية.

تمنع الخطوة الأولى معظم الأخطاء.

08الأسئلة والحلول

السؤال 1

ينقل ونش طاقة مقدارها \(18\text{ kJ}\) أثناء رفع حمولة خلال 12 s. احسب قدرته المتوسطة أثناء الرفع.

الحل 1

القدرة المتوسطة هي \(1.5\text{ kW}\).

القدرة هي الطاقة المنقولة لكل وحدة زمن. حوّل أولًا \(18\text{ kJ}\) إلى جول:

\[ 18\text{ kJ}=18\,000\text{ J} \]

ثم

\[ \begin{aligned} P_{\text{avg}} &=\frac{\Delta E}{\Delta t}\\ &=\frac{18\,000}{12}\\ &=1500\text{ W}\\ &=1.5\text{ kW} \end{aligned} \]

إذن، ينقل الونش الطاقة بمعدل متوسط يبلغ 1500 J كل ثانية.

السؤال 2

كتلة الطالب A تساوي 60 kg، ويصعد درجًا ارتفاعه الرأسي 4.0 m خلال 6.0 s. أما الطالب B، فتبلغ كتلته 75 kg، ويصعد الدرج نفسه خلال 8.0 s.

مع إهمال التغيّرات في الطاقة الحركية، أي الطالبين يزيد طاقة وضعه الجاذبية بمعدل متوسط أكبر؟ استخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

الحل 2

لدى الطالب A قدرة متوسطة أكبر، تبلغ نحو \(392\text{ W}\)، مقارنةً بـ \(368\text{ W}\) للطالب B.

قد يبدو من المغري التوقّع أن الطالب B لا بد أن تكون قدرته أكبر، لأن كتلته أكبر، ولذلك يكتسب مقدارًا أكبر من طاقة الوضع الجاذبية. لكن هذا يتجاهل الزمن الإضافي الذي يستغرقه.

بالنسبة إلى الطالب A:

\[ \begin{aligned} \Delta U_{g,A} &=m_Ag\Delta h\\ &=(60)(9.8)(4.0)\\ &=2352\text{ J} \end{aligned} \]

ومن ثم

\[ P_A=\frac{2352}{6.0}=392\text{ W} \]

أما بالنسبة إلى الطالب B:

\[ \begin{aligned} \Delta U_{g,B} &=(75)(9.8)(4.0)\\ &=2940\text{ J} \end{aligned} \]

ومن ثم

\[ P_B=\frac{2940}{8.0}=367.5\text{ W} \]

يكتسب الطالب B مقدارًا أكبر من طاقة الوضع الجاذبية، لكن الطالب A يحقق هذه الزيادة بسرعة كافية ليكون صاحب القدرة المتوسطة الأكبر.

السؤال 3

يصعد مصعد كتلته 1000 kg مسافة 15 m خلال 30 s. وخلال الفترة نفسها، تزداد سرعته من \(2.0\text{ m s}^{-1}\) إلى \(5.0\text{ m s}^{-1}\).

مع إهمال الاحتكاك وخسائر الطاقة الأخرى، احسب المعدل المتوسط لزيادة الطاقة الميكانيكية للمصعد.

الحل 3

تزداد الطاقة الميكانيكية للمصعد بمعدل متوسط مقداره \(5.25\text{ kW}\).

تزداد كل من طاقة الوضع الجاذبية والطاقة الحركية، لذا فإن استخدام \(mgh\) وحدها سيؤدي إلى إغفال جزء من التغيّر في الطاقة.

تكون الزيادة في طاقة الوضع الجاذبية

\[ \Delta U_g=(1000)(9.8)(15)=147\,000\text{ J} \]

وتكون الزيادة في الطاقة الحركية

\[ \begin{aligned} \Delta K &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}(1000)(5.0^2-2.0^2)\\ &=10\,500\text{ J} \end{aligned} \]

لذلك،

\[ \Delta E_{\text{mech}} =147\,000+10\,500 =157\,500\text{ J} \]

و

\[ \begin{aligned} P_{\text{avg}} &=\frac{157\,500}{30}\\ &=5250\text{ W}\\ &=5.25\text{ kW} \end{aligned} \]

يكتسب المصعد طاقة ميكانيكية بمعدل متوسط يبلغ 5.25 kJ كل ثانية.

السؤال 4

ينقل المحرك A الطاقة بقدرة 4.0 kW لمدة 1.0 s، ثم بقدرة 1.0 kW لمدة 6.0 s أخرى.

أما المحرك B، فينقل الطاقة بقدرة ثابتة مقدارها 2.0 kW لمدة 5.0 s.

أي المحركين يمتلك قدرة متوسطة أكبر خلال فترة تشغيله الكاملة؟ ينقل المحركان المقدار الإجمالي نفسه من الطاقة.

الحل 4

لدى المحرك B قدرة متوسطة أكبر، مقدارها \(2.0\text{ kW}\)، مقارنةً بنحو \(1.43\text{ kW}\) للمحرك A.

يبلغ المحرك A قدرة أكبر لفترة وجيزة، لكن القدرة القصوى ليست هي نفسها القدرة المتوسطة.

بالنسبة إلى المحرك A، تكون الطاقة المنقولة خلال الفترة الأولى

\[ E_1=P_1t_1=(4000)(1.0)=4000\text{ J} \]

وخلال الفترة الثانية،

\[ E_2=P_2t_2=(1000)(6.0)=6000\text{ J} \]

لذلك، يكون إجمالي الطاقة المنقولة

\[ E_A=4000+6000=10\,000\text{ J} \]

خلال زمن إجمالي مقداره

\[ t_A=1.0+6.0=7.0\text{ s} \]

إذن،

\[ P_{\text{avg},A} =\frac{10\,000}{7.0} \approx1429\text{ W} =1.43\text{ kW} \]

ينقل المحرك B المقدار نفسه من الطاقة، وهو 10 000 J، خلال 5.0 s:

\[ P_{\text{avg},B} =\frac{10\,000}{5.0} =2000\text{ W} =2.0\text{ kW} \]

لدى المحرك B قدرة متوسطة أكبر لأنه ينقل الطاقة الإجمالية نفسها خلال زمن أقل. ولا تحدّد فترة التشغيل القصيرة للمحرك A عند قدرة 4.0 kW قدرته المتوسطة.

السؤال 5

ترفع منصة تعمل بالطاقة حمولة من مستوى الأرض إلى شرفة، ثم تخفضها لاحقًا إلى ارتفاعها الابتدائي. تستغرق الرحلة الكاملة 40 s.

يقول أحد الطلاب:

“تنتهي الحمولة عند الارتفاع نفسه الذي بدأت منه، لذا فإن التغيّر في طاقة وضعها الجاذبية يساوي صفرًا. ولذلك، يجب أن تكون القدرة المتوسطة للمنصة خلال الرحلة الكاملة صفرًا.”

هل هذا الاستنتاج مبرّر؟

الحل 5

لا. إن انعدام التغيّر الصافي في طاقة الوضع الجاذبية للحمولة لا يثبت، بحد ذاته، أن القدرة المتوسطة للمنصة تساوي صفرًا.

تنتهي الحمولة في موضعها الابتدائي، ولذلك يكون التغيّر خلال الرحلة الكاملة

\[ \Delta U_g=0 \]

وبالتالي، فإن المعدل المتوسط للتغيّر في طاقة الوضع الجاذبية خلال الفترة الزمنية كلها هو

\[ \frac{\Delta U_g}{\Delta t} =\frac{0}{40} =0\text{ W} \]

لكن هذا لا يساوي تلقائيًا القدرة المتوسطة التي يزوّد بها محرك المنصة النظام.

أثناء الصعود، ينقل المحرك الطاقة إلى النظام. وأثناء الهبوط، تنخفض طاقة الوضع الجاذبية. ويمكن أن تنتقل الطاقة المنطلقة مرة أخرى إلى المحرك، أو تتحول إلى طاقة كهربائية عن طريق الكبح التجديدي، أو تتبدد على هيئة طاقة حرارية.

من دون معرفة انتقالات الطاقة هذه، لا يمكن تحديد الشغل الصافي الذي يبذله المحرك أو قدرته المتوسطة.

يكمن الخطأ في التعامل مع تغيّر واحد محدد في الطاقة، وهو طاقة الوضع الجاذبية، كما لو كان يمثّل جميع انتقالات الطاقة في النظام. لا يمكن استخدام العلاقة \(P_{\text{avg}}=\Delta E/\Delta t\) إلا بعد تحديد قيمة \(\Delta E\) الصحيحة.

09من القدرة المتوسطة إلى القدرة اللحظية

تقارن القدرة المتوسطة انتقال الطاقة خلال فترة زمنية محدودة. وبعد فهم هذه الفكرة، تأتي الخطوة التالية، وهي التساؤل عما يحدث عندما تصبح هذه الفترة الزمنية قصيرة للغاية.

يقودنا ذلك إلى القدرة اللحظية، التي تصف معدل انتقال الطاقة في لحظة معينة. وعندما تؤثر قوة في اتجاه حركة جسم، يمكن أن يقود ذلك إلى العلاقة \(P=Fv\).

لم تتغير الفكرة الأساسية. فما زالت القدرة تمثّل معدلًا. كل ما في الأمر أنك تنتقل من السؤال «ما سرعة انتقال الطاقة خلال هذه الفترة؟» إلى السؤال «ما سرعة انتقال الطاقة في هذه اللحظة؟».