Torque sobre una bobina con corriente para Física HSC
Aprende cómo y por qué una bobina con corriente experimenta torque en un campo magnético y cómo aplicar correctamente la ecuación del torque en problemas de motores.
Una bobina rectangular está situada entre dos polos magnéticos. Por ella circula corriente. Un lado de la bobina es empujado hacia arriba, mientras que el lado opuesto es empujado hacia abajo.
Si esas dos fuerzas magnéticas son iguales y opuestas, ¿qué debería ocurrir: nada, un movimiento lateral o una rotación?
La fuerza neta es cero, por lo que la bobina no acelera lateralmente. Pero las fuerzas actúan a lo largo de líneas diferentes. Juntas producen un efecto de giro: un torque.
Ahora haz una segunda predicción. Cuando la cara plana de la bobina apunta directamente hacia el campo magnético, ¿esperarías que el torque fuera máximo? Parece razonable: el campo atraviesa directamente la bobina. En realidad, el torque es cero en esa posición.
Entender por qué permite obtener la ecuación del motor
\[ \tau=nIAB\sin\theta \]
sin tener que tratarla como una fórmula que simplemente hay que memorizar.
01Por qué fuerzas iguales y opuestas pueden seguir haciendo girar algo
Imagina que intentas girar la tapa atascada de un frasco. Tus dos manos pueden empujar en direcciones opuestas. Sus fuerzas pueden cancelarse como fuerza neta y, aun así, la tapa gira porque las fuerzas actúan en posiciones diferentes.
Eso es un par de fuerzas: dos fuerzas iguales, opuestas y paralelas separadas por una distancia.
Una bobina con corriente en un campo magnético se comporta de forma parecida. En dos lados opuestos de la bobina, las corrientes circulan en direcciones opuestas. Por tanto, el campo magnético produce fuerzas magnéticas en direcciones opuestas.
La analogía con la tapa del frasco tiene un límite. Puedes colocar las manos donde quieras y elegir cómo empujar. En el motor, la fuerza viene determinada por la dirección de la corriente y el campo magnético. Necesitamos la ecuación del efecto motor para determinar exactamente qué ocurre.
Para un conductor recto de longitud \(l\) que transporta una corriente \(I\) en un campo magnético \(B\),
\[ F=BIl\sin\phi \]
donde \(\phi\) es el ángulo entre la corriente y el campo magnético.
Para los dos lados activos de una bobina rectangular sencilla de motor, la corriente es perpendicular al campo, por lo que \(\phi=90^\circ\). Por tanto,
\[ F=BIl \]
en cada lado activo.
02De la fuerza magnética al torque
Supongamos que la bobina rectangular tiene:
- una longitud del lado activo \(l\),
- una anchura \(w\),
- una corriente \(I\), y
- una intensidad de campo magnético \(B\).
Cada lado activo experimenta una fuerza \(BIl\).
El torque depende de algo más que de la fuerza. También depende de la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas.
Para un par de fuerzas,
\[ \tau=Fd \]
donde \(d\) es esa separación perpendicular.
Aquí está la geometría importante. Define \(\theta\) como el ángulo entre el campo magnético y la normal al plano de la bobina.
La normal es una línea imaginaria que sale perpendicularmente de la cara plana de la bobina.
Cuando la normal forma un ángulo \(\theta\) con el campo, la separación efectiva de las dos fuerzas es
\[ d=w\sin\theta \]
por lo que
\[ \tau=(BIl)(w\sin\theta) \]
y, como el área de la bobina rectangular es \(A=lw\),
\[ \tau=IAB\sin\theta \]
para una sola espira.
Si la bobina contiene \(n\) espiras idénticas, cada espira aporta torque en la misma dirección:
\[ \boxed{\tau=nIAB\sin\theta} \]
donde:
| Símbolo | Significado | Unidad |
|---|---|---|
| \(\tau\) | torque sobre la bobina | N m |
| \(n\) | número de espiras | sin unidad |
| \(I\) | corriente | A |
| \(A\) | área de una espira | \(\text{m}^2\) |
| \(B\) | intensidad del campo magnético | T |
| \(\theta\) | ángulo entre la normal de la bobina y \(B\) | grados o radianes |
La ecuación da la magnitud del torque. Su sentido de rotación debe determinarse a partir de las direcciones de la corriente y del campo magnético.
03El ángulo es la parte que más confunden los estudiantes
El \(\theta\) de
\[ \tau=nIAB\sin\theta \]
normalmente no es el ángulo entre el plano de la bobina y el campo magnético.
Es el ángulo entre el campo y la línea normal a la bobina.
Eso cambia por completo el resultado.
| \(\theta\), normal respecto al campo | Posición de la bobina | Torque |
|---|---|---|
| \(0^\circ\) | plano perpendicular al campo | \(0\) |
| \(30^\circ\) | inclinada | \(0.5\tau_{\max}\) |
| \(90^\circ\) | plano paralelo al campo | \(\tau_{\max}\) |
| \(180^\circ\) | plano perpendicular al campo de nuevo | \(0\) |
Por tanto, el torque máximo se produce cuando
\[ \theta=90^\circ \]
porque \(\sin90^\circ=1\).
Entonces,
\[ \tau_{\max}=nIAB \]
Conviene visualizar esto en lugar de memorizarlo. Cuando el plano de la bobina es paralelo al campo, las dos fuerzas magnéticas tienen su mayor separación efectiva. Tienen el mayor brazo de palanca posible y, por tanto, producen el mayor torque.
Cuando el plano es perpendicular al campo, las fuerzas siguen existiendo sobre los lados activos, pero sus líneas de acción no tienen una separación efectiva respecto al eje de rotación. El torque es cero.
Si la pregunta da el ángulo del plano
Supongamos que el plano de la bobina forma un ángulo \(\alpha\) con el campo magnético.
Para ángulos entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\),
\[ \theta=90^\circ-\alpha \]
por lo que
\[ \tau=nIAB\sin(90^\circ-\alpha) \]
o
\[ \tau=nIAB\cos\alpha \]
Ambas ecuaciones describen la misma física. El enfoque más seguro en un examen suele ser convertir el ángulo indicado en el ángulo \(\theta\) entre la normal y el campo, y después utilizar la fórmula exactamente como se da.
Ejemplo resuelto: torque máximo sobre una bobina
Una bobina de motor de 50 espiras transporta una corriente de \(0.80\text{ A}\). Cada espira tiene un área de \(30\text{ cm}^2\) y se encuentra en un campo magnético uniforme de \(0.25\text{ T}\). Calcula el torque máximo.
Paso 1
El torque máximo se produce cuando \(\theta=90^\circ\), por lo que
\[ \sin\theta=1 \]
Paso 2
Como
\[ 1\text{ cm}^2=10^{-4}\text{ m}^2 \]
tenemos
\[ A=30\times10^{-4}=3.0\times10^{-3}\text{ m}^2 \]
Paso 3
\[ \begin{aligned} \tau_{\max} &=nIAB\\ &=(50)(0.80)(3.0\times10^{-3})(0.25)\\ &=3.0\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]
El torque máximo es
\[ \boxed{3.0\times10^{-2}\text{ N m}} \]
El resultado significa que la bobina experimenta su mayor efecto de giro cuando su plano es paralelo al campo magnético.
Ejemplo resuelto: se da el ángulo del plano
Una bobina rectangular de 120 espiras mide \(4.0\text{ cm}\) por \(6.0\text{ cm}\). Transporta \(1.5\text{ A}\) en un campo de \(0.35\text{ T}\). El plano de la bobina forma un ángulo de \(30^\circ\) con el campo magnético.
Calcula el torque. Después, determina el torque cuando el plano haya girado hasta formar \(60^\circ\) con el campo.
Paso 1
Convierte primero las dimensiones:
\[ 4.0\text{ cm}=0.040\text{ m},\qquad 6.0\text{ cm}=0.060\text{ m} \]
Por tanto,
\[ A=(0.040)(0.060)=2.4\times10^{-3}\text{ m}^2 \]
Paso 2
El plano forma \(30^\circ\) con el campo, por lo que su normal forma
\[ \theta=90^\circ-30^\circ=60^\circ \]
con el campo.
Paso 3
\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB\sin\theta\\ &=(120)(1.5)(2.4\times10^{-3})(0.35)\sin60^\circ\\ &=0.131\text{ N m} \end{aligned} \]
Por tanto, el torque es aproximadamente
\[ \boxed{0.13\text{ N m}} \]
Paso 4
Ahora el ángulo entre la normal y el campo es
\[ \theta=90^\circ-60^\circ=30^\circ \]
por lo que
\[ \begin{aligned} \tau &=(120)(1.5)(2.4\times10^{-3})(0.35)\sin30^\circ\\ &=7.56\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{\tau=0.0756\text{ N m}} \]
Observa lo que ha ocurrido. A medida que el plano se hizo más perpendicular al campo, el torque disminuyó. Un estudiante que sustituyera directamente el ángulo del plano en \(\sin\theta\) predeciría exactamente la tendencia contraria.
04Por qué un motor necesita un conmutador
Hay un problema oculto dentro de la ecuación del torque.
Imagina que la bobina gira hacia la posición en la que su normal se alinea con el campo magnético. A medida que se acerca a esa posición,
\[ \theta\rightarrow0^\circ \]
y, por tanto,
\[ \tau\rightarrow0 \]
Si la dirección de la corriente no cambiara y la bobina sobrepasara esta posición, el torque magnético actuaría en sentido contrario. En vez de producir una rotación continua, la interacción magnética tendería a llevar la bobina de nuevo hacia una orientación alineada.
Un motor sencillo de corriente continua evita esto mediante un conmutador de anillo partido. El conmutador invierte la corriente que atraviesa la bobina cada media vuelta. Al invertir la corriente, se invierten las fuerzas magnéticas sobre ambos lados activos, de modo que el torque continúa actuando en el sentido de rotación requerido.
Sigue habiendo un instante en el que el torque es cero. Invertir la corriente no hace mágicamente que \(\sin0^\circ\) sea distinto de cero. Un sistema real en rotación puede atravesar esta posición debido a su movimiento rotacional, y los motores prácticos pueden utilizar varias bobinas dispuestas en distintos ángulos para que no todas tengan torque cero simultáneamente.
Esta es también la razón por la que
\[ \tau=nIAB\sin\theta \]
debe entenderse como una ecuación del torque instantáneo. Un motor en rotación no experimenta, en general, el mismo torque en todos los ángulos.
05Una segunda forma útil de visualizar la bobina
Una espira con corriente se comporta como si tuviera una dirección magnética perpendicular a su plano. Esto se describe mediante su momento dipolar magnético.
Su magnitud es
\[ \mu=nIA \]
por lo que la ecuación del torque también puede escribirse como
\[ \tau=\mu B\sin\theta \]
El campo magnético tiende a hacer girar el momento magnético de la espira hacia la alineación con el campo.
Esta representación explica claramente ambos extremos:
- si el momento magnético ya es paralelo o antiparalelo al campo, el torque es cero;
- si es perpendicular al campo, la magnitud del torque es máxima.
Invertir la corriente invierte la dirección del momento magnético de la bobina. Esta es otra forma de entender lo que hace el conmutador.
06Qué supone la fórmula
La conocida fórmula del motor es muy útil, pero no es mágica. Se basa en un modelo concreto.
Normalmente suponemos que el campo magnético es aproximadamente uniforme sobre la bobina, que cada espira tiene la misma área, que la corriente es la misma en cada espira y que la bobina es rígida y plana.
Esto es importante porque el argumento de fuerzas iguales y opuestas puede fallar en un campo magnético muy poco uniforme. Un lado podría experimentar una fuerza mayor que el otro. La bobina podría entonces experimentar tanto un torque como una fuerza neta.
También es importante al comparar diseños de motores. La ecuación indica que, si todo lo demás permanece constante, duplicar \(n\) duplica el torque. Pero, en una bobina real, cambiar el número de espiras también puede modificar su resistencia y, por tanto, su corriente. No siempre se puede cambiar un símbolo fingiendo que los demás permanecen constantes.
07Preguntas y soluciones
Pregunta 1
Una bobina de motor de 80 espiras tiene un área de \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\). Transporta una corriente de \(1.2\text{ A}\) en un campo magnético de \(0.40\text{ T}\). La normal a la bobina forma un ángulo de \(30^\circ\) con el campo.
Calcula el torque.
Solución 1
El torque es
\[ \boxed{4.8\times10^{-2}\text{ N m}} \]
La ecuación que se utiliza es
\[ \tau=nIAB\sin\theta \]
donde los \(30^\circ\) indicados ya corresponden al ángulo entre la normal y el campo, por lo que no es necesario convertir el ángulo.
Sustituyendo,
\[ \begin{aligned} \tau &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)\sin30^\circ\\ &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)(0.5)\\ &=4.8\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]
El error tentador consiste en suponer que \(30^\circ\) significa que el torque es un tercio de su valor máximo porque \(30^\circ\) es un tercio de \(90^\circ\). El torque no varía linealmente con el ángulo. Varía con \(\sin\theta\).
A \(30^\circ\), el torque es exactamente la mitad de su valor máximo.
Pregunta 2
Una bobina de 200 espiras transporta \(0.80\text{ A}\). Cada espira tiene un área de \(1.5\times10^{-3}\text{ m}^2\), y el campo magnético es de \(0.50\text{ T}\).
En un instante determinado, la magnitud medida del torque es \(0.096\text{ N m}\).
Determina todos los valores posibles de \(\theta\) entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\), donde \(\theta\) es el ángulo entre la normal de la bobina y el campo. Explica por qué la magnitud del torque por sí sola no permite identificar una orientación única.
Solución 2
Los ángulos posibles son aproximadamente
\[ \boxed{\theta=53.1^\circ\text{ o }126.9^\circ} \]
y la magnitud del torque por sí sola no permite distinguir entre ellos.
Primero calcula el torque máximo posible:
\[ \begin{aligned} \tau_{\max} &=nIAB\\ &=(200)(0.80)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.120\text{ N m} \end{aligned} \]
Ahora utiliza el torque medido:
\[ \begin{aligned} 0.096&=0.120\sin\theta\\ \sin\theta&=0.800 \end{aligned} \]
La calculadora da la primera solución,
\[ \theta=\sin^{-1}(0.800)=53.1^\circ \]
pero el seno tiene el mismo valor positivo en \(180^\circ-\theta\). Por tanto,
\[ 180^\circ-53.1^\circ=126.9^\circ \]
también es posible.
El camino tentador consiste en detenerse después de pulsar una sola vez la función seno inverso. Eso pasa por alto la geometría de todo el intervalo de \(0^\circ\) a \(180^\circ\).
Aquí existe una limitación aún más profunda. La ecuación escalar \( \tau=nIAB\sin\theta \) da una magnitud de torque. Para determinar el sentido real de la rotación, también necesitas conocer la orientación de la bobina y las direcciones de la corriente y del campo magnético.
Pregunta 3
Una bobina de 60 espiras y área \(4.0\times10^{-3}\text{ m}^2\) transporta \(1.5\text{ A}\) en un campo magnético de \(0.25\text{ T}\).
La bobina gira hacia la posición en la que su normal es paralela al campo. Considera la bobina cuando su normal está a \(10^\circ\) de la alineación.
Calcula la magnitud del torque en esta posición. Después, explica qué ocurre inmediatamente después de que la bobina atraviese la posición de alineación:
a. si la corriente no se invierte, y
b. si un conmutador de anillo partido correctamente sincronizado invierte la corriente.
Explica también qué ocurre en el instante exacto de la alineación.
Solución 3
La magnitud del torque a \(10^\circ\) de la alineación es aproximadamente
\[ \boxed{1.56\times10^{-2}\text{ N m}} \]
Sin inversión de la corriente, el torque invierte su efecto de rotación después de que la bobina atraviese la alineación. Con una conmutación correcta, la corriente se invierte de modo que el torque del motor continúa actuando en el sentido de rotación deseado. En la alineación exacta, el torque es cero en ambos casos.
Primero calcula la magnitud:
\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB\sin\theta\\ &=(60)(1.5)(4.0\times10^{-3})(0.25)\sin10^\circ\\ &=1.56\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]
Justo antes de la alineación, las fuerzas magnéticas producen un torque que tiende a hacer girar la bobina hacia la posición alineada.
Si la bobina atraviesa esa posición mientras la corriente permanece sin cambios, la geometría pasa al otro lado de la alineación. La interacción magnética tiende ahora a hacer girar la bobina de vuelta hacia la alineación. Por tanto, su torque se opone al movimiento que hizo que la bobina atravesara esa posición.
Un argumento tentador es que el torque debe permanecer sin cambios porque \(\sin10^\circ\) tiene la misma magnitud a ambos lados. La información que falta es la dirección. La ecuación escalar nos indica la magnitud, no el signo del efecto de rotación.
Con un conmutador de anillo partido, la corriente que atraviesa la bobina se invierte en el momento adecuado. Por tanto, la fuerza magnética sobre cada lado activo también se invierte. Esto cambia la dirección del torque con respecto a la bobina y permite que el torque siga impulsando la misma rotación global.
En la alineación exacta,
\[ \theta=0^\circ \]
por lo que
\[ \tau=nIAB\sin0^\circ=0 \]
Invertir la corriente en ese instante sigue dando un torque cero. Se necesita la inercia o bobinas adicionales con orientaciones diferentes para que un motor práctico atraviese de forma fiable esta posición muerta.
Pregunta 4
Una bobina rectangular de 40 espiras se encuentra en un campo magnético no uniforme. Cada lado activo mide \(0.050\text{ m}\) de longitud, y los lados activos están separados por \(0.030\text{ m}\). La corriente es de \(2.0\text{ A}\).
La bobina está colocada para tener el máximo brazo de palanca. El campo magnético en el lado activo izquierdo es de \(0.60\text{ T}\), mientras que en el lado activo derecho es de \(0.40\text{ T}\). El campo tiene la misma dirección en ambos lados.
Supón que cada lado activo es perpendicular al campo local.
a. Calcula la magnitud total de la fuerza magnética sobre cada lado activo.
b. Determina la fuerza neta sobre la bobina.
c. Calcula el torque respecto al centro de la bobina.
d. Un estudiante utiliza \(B=0.50\text{ T}\), el promedio de los dos campos, en \( \tau=nIAB \) y obtiene el mismo torque. Explica por qué esto no significa que el modelo estándar de campo uniforme describa por completo la situación.
Solución 4
Las fuerzas sobre los lados activos son
\[ \boxed{2.4\text{ N y }1.6\text{ N}} \]
la bobina tiene una fuerza neta de
\[ \boxed{0.80\text{ N}} \]
en la dirección de la fuerza lateral mayor, y el torque respecto a su centro es
\[ \boxed{6.0\times10^{-2}\text{ N m}} \]
El cálculo con el campo promedio reproduce por casualidad el torque para esta geometría simétrica, pero pasa por alto por completo la fuerza neta distinta de cero.
Para el lado izquierdo,
\[ \begin{aligned} F_L &=nB_LIl\\ &=(40)(0.60)(2.0)(0.050)\\ &=2.4\text{ N} \end{aligned} \]
Para el lado derecho,
\[ \begin{aligned} F_R &=nB_RIl\\ &=(40)(0.40)(2.0)(0.050)\\ &=1.6\text{ N} \end{aligned} \]
Las fuerzas apuntan en direcciones opuestas porque las corrientes de los dos lados activos tienen sentidos opuestos.
Sus magnitudes son distintas, por lo que no se cancelan:
\[ F_{\text{neta}}=2.4-1.6=0.80\text{ N} \]
Ahora calcula el torque. Cada fuerza actúa a \(0.015\text{ m}\) del centro porque
\[ \frac{0.030}{2}=0.015\text{ m} \]
Aunque las fuerzas apuntan en direcciones opuestas, ambas producen torque en el mismo sentido de rotación:
\[ \begin{aligned} \tau &=F_L(0.015)+F_R(0.015)\\ &=(2.4)(0.015)+(1.6)(0.015)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]
Ahora considera el método del campo promedio utilizado por el estudiante.
El área de la bobina es
\[ A=(0.050)(0.030)=1.5\times10^{-3}\text{ m}^2 \]
Utilizando \(B_{\text{prom}}=0.50\text{ T}\),
\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB_{\text{prom}}\\ &=(40)(2.0)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]
Por tanto, el valor numérico del torque coincide.
La conclusión tentadora es que sustituir el campo no uniforme por su promedio ha resuelto todo el problema. No es así. El modelo estándar de un motor sencillo supone fuerzas laterales iguales y opuestas, lo que da una fuerza neta igual a cero. Aquí, la bobina tiene una fuerza neta de \(0.80\text{ N}\).
El método más completo y correcto consiste en calcular la fuerza magnética sobre cada parte de la bobina y después determinar tanto la fuerza resultante como el torque resultante. El campo promedio funciona para este cálculo concreto del torque porque los dos lados tienen brazos de palanca iguales. Esa coincidencia no hace que el campo sea uniforme.
Pregunta 5
Dos bobinas de motor bloqueadas utilizan el mismo marco rectangular, por lo que cada espira tiene la misma área \(A=2.0\times10^{-3}\text{ m}^2\). Ambas están colocadas para producir el torque máximo en el mismo campo de \(0.50\text{ T}\) y se conectan por separado a una fuente ideal de \(12\text{ V}\).
La bobina A tiene 100 espiras y una resistencia de \(4.0\,\Omega\).
La bobina B se rebobina con 200 espiras, pero utiliza el mismo volumen total de cobre que la bobina A. Supón que cada espira tiene la misma longitud porque el marco no cambia.
Utiliza
\[ R=\rho\frac{L}{S} \]
donde \(\rho\) es la resistividad del cobre, \(L\) es la longitud total del alambre y \(S\) es el área de la sección transversal del alambre.
a. Determina la resistencia y la corriente de la bobina B.
b. Calcula el torque máximo de cada bobina.
c. Explica por qué duplicar el número de espiras ha reducido el torque en esta situación.
d. Si una fuente de corriente ideal forzara en cambio una corriente de \(3.0\text{ A}\) a través de ambas bobinas, compara sus torques máximos.
Desprecia los cambios de resistencia debidos al calentamiento y la fuerza contraelectromotriz.
Solución 5
Con la fuente de voltaje fijo, la bobina B tiene
\[ \boxed{R_B=16\,\Omega,\qquad I_B=0.75\text{ A}} \]
y produce solo
\[ \boxed{0.15\text{ N m}} \]
en comparación con los
\[ \boxed{0.30\text{ N m}} \]
de la bobina A.
A pesar de tener el doble de espiras, la bobina B produce la mitad del torque. En cambio, con una fuente de corriente ideal de \(3.0\text{ A}\), la bobina B produciría el doble de torque que la bobina A.
La restricción clave es la cantidad fija de cobre.
La bobina B tiene el doble de espiras sobre el mismo marco, por lo que su longitud total de alambre se duplica:
\[ L_B=2L_A \]
Para mantener constante el volumen de cobre, utiliza
\[ V_{\text{cobre}}=LS \]
Si \(L\) se duplica, el área de la sección transversal del alambre debe reducirse a la mitad:
\[ S_B=\frac{S_A}{2} \]
Ahora compara las resistencias:
\[ R=\rho\frac{L}{S} \]
por lo que
\[ \frac{R_B}{R_A} = \frac{2L_A/(S_A/2)}{L_A/S_A} =4 \]
Por tanto,
\[ R_B=4(4.0)=16\,\Omega \]
Con el motor bloqueado y despreciando la fuerza contraelectromotriz, la ley de Ohm da la corriente de la bobina A:
\[ I_A=\frac{V}{R_A}=\frac{12}{4.0}=3.0\text{ A} \]
Para la bobina B,
\[ I_B=\frac{12}{16}=0.75\text{ A} \]
Ahora calcula el torque máximo de la bobina A:
\[ \begin{aligned} \tau_A &=nIAB\\ &=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.30\text{ N m} \end{aligned} \]
Para la bobina B,
\[ \begin{aligned} \tau_B &=(200)(0.75)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.15\text{ N m} \end{aligned} \]
El argumento tentador consiste simplemente en afirmar que
\[ \tau\propto n \]
por lo que duplicar \(n\) debería duplicar el torque.
Esa proporcionalidad solo es válida cuando \(I\), \(A\), \(B\) y \(\theta\) permanecen constantes. Aquí no ocurre eso. Duplicar el número de espiras manteniendo la misma cantidad de cobre aumenta la resistencia por un factor de cuatro. Con un voltaje fijo, la corriente disminuye por un factor de cuatro.
El producto importante es \(nI\):
\[ (nI)_A=(100)(3.0)=300 \]
mientras que
\[ (nI)_B=(200)(0.75)=150 \]
por lo que la bobina B tiene solo la mitad del torque máximo.
Ahora cambia la restricción. Supongamos que una fuente de corriente ideal fuerza \(3.0\text{ A}\) a través de cualquiera de las dos bobinas.
Entonces,
\[ \tau_A=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.30\text{ N m} \]
mientras que
\[ \tau_B=(200)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.60\text{ N m} \]
por lo que la bobina B produce ahora el doble de torque.
La física no se ha contradicho. Lo que ha cambiado es la condición de alimentación. La afirmación «más espiras producen más torque» solo es válida cuando realmente se puede considerar que la corriente permanece constante.
08Qué te permite entender esto a continuación
La ecuación
\[ \tau=nIAB\sin\theta \]
hace algo más que calcular un solo número. Explica por qué el torque de un motor cambia a medida que gira el rotor, por qué la bobina tiene posiciones muertas, por qué un conmutador debe invertir la corriente y por qué modificar el bobinado de un motor puede afectar a más de una variable a la vez.
El siguiente paso útil es relacionar este torque variable con la inducción electromagnética. Una vez que un motor está realmente girando, la bobina en movimiento también genera una fem inducida que se opone a la fuente de alimentación. Esa fuerza contraelectromotriz modifica la corriente, lo que a su vez vuelve a modificar el torque. Por tanto, un motor real es un sistema de retroalimentación entre movimiento, fem inducida, corriente y torque, no simplemente una bobina con un \(nIAB\) constante.