Frenado magnético: corrientes de Foucault, ley de Lenz y energía
Aprende cómo funciona el frenado por corrientes de Foucault mediante la ley de Lenz, las fuerzas magnéticas y la conservación de la energía, con ejemplos resueltos de Física HSC.
Deja caer un imán potente por un tubo de plástico y caerá con normalidad. Deja caer el mismo imán por un tubo de cobre y puede descender de forma extrañamente lenta, aunque el cobre no sea ferromagnético.
Entonces, ¿qué está ejerciendo una fuerza que se opone al movimiento del imán?
Antes de seguir leyendo, haz una predicción. ¿El cobre simplemente está siendo atraído por el imán, o está ocurriendo algo únicamente porque el imán se mueve?
La segunda idea es la importante. El movimiento cambia el flujo magnético a través de distintas partes del conductor. Ese cambio de flujo produce corrientes circulantes en el metal. Esas corrientes crean sus propios campos magnéticos, y la interacción resultante se opone al cambio que las produjo.
Esas corrientes circulantes se llaman corrientes de Foucault. Con la geometría adecuada, forman un freno magnético.
01Por qué un conductor en movimiento puede experimentar una fuerza de frenado magnética
Imagina una placa de aluminio que se mueve hacia la derecha a través del estrecho espacio entre dos imanes permanentes potentes.
La placa es un conductor, por lo que los electrones pueden moverse a través de ella. A medida que distintas partes de la placa entran en el campo magnético, cambia el flujo magnético a través de posibles lazos de corriente dentro del metal.
Esto es importante debido a la ley de Faraday:
\[ \varepsilon=-\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} \]
donde:
- \(\varepsilon\) es la fem inducida en voltios, \(\text{V}\),
- \(\Phi_B\) es el flujo magnético en webers, \(\text{Wb}\), y
- \(t\) es el tiempo en segundos, \(\text{s}\).
Para un campo magnético uniforme perpendicular a una superficie,
\[ \Phi_B=BA \]
donde \(B\) es la intensidad del campo magnético en teslas, \(\text{T}\), y \(A\) es el área en metros cuadrados, \(\text{m}^2\).
El signo negativo de la ley de Faraday representa la ley de Lenz. Nos indica la dirección del efecto inducido.
La corriente inducida crea un campo magnético que se opone al cambio del flujo magnético.
Conviene formular esto con total precisión.
La ley de Lenz no dice: «la corriente inducida se opone al campo magnético». Tampoco dice, de forma fundamental: «la corriente inducida se opone al movimiento». Se opone al cambio de flujo.
En un freno magnético, oponerse al cambio de flujo produce, en este caso, una fuerza que se opone al movimiento.
02Construye la representación antes de aplicar la regla
Supón que la placa se mueve hacia la derecha entrando en una región donde el campo magnético externo apunta hacia dentro de la página.
Concéntrate en un pequeño lazo de corriente posible cerca del borde delantero de la placa.
A medida que ese lazo entra en el campo, aumenta el flujo magnético dirigido hacia dentro de la página.
¿En qué dirección debería apuntar el campo magnético inducido?
Si predijiste hacia fuera de la página, bien. Ese campo inducido se opone al aumento del flujo dirigido hacia dentro de la página.
Aplicando la regla de la mano derecha, un campo magnético que sale de la página requiere una corriente inducida en sentido antihorario.
Ahora imagina un lazo en el otro borde, saliendo del campo magnético. Su flujo dirigido hacia dentro de la página está disminuyendo. Esta vez, la corriente inducida produce un campo dirigido hacia dentro de la página, intentando oponerse a esa disminución.
Por tanto, el sentido de la corriente se invierte entre la entrada y la salida.
Sin embargo, la fuerza de frenado sigue oponiéndose al movimiento en ambos casos.
Al principio, esto puede parecer contradictorio. No lo es. La corriente se invierte, pero también cambia la parte del lazo de corriente que se encuentra dentro del campo magnético externo. La fuerza magnética resultante sigue apuntando en sentido contrario al movimiento de la placa.
Por eso, memorizar que «el sentido horario significa frenado» no sirve. La dirección depende de la geometría.
Un modelo mental útil para las corrientes de Foucault
Una placa metálica maciza no contiene un único lazo de alambre ordenado como el que dibuja un autor de libros de texto. Las corrientes pueden seguir muchos caminos cerrados a través de todo el metal.
Puedes imaginar que la placa contiene una enorme cantidad de posibles lazos superpuestos. Allí donde un cambio de flujo induce una fem, las corrientes circulan por esos caminos disponibles.
Una analogía un poco absurda sería un centro comercial sin recorridos peatonales marcados. Si algo cambia repentinamente cerca de una entrada, las personas pueden circular por muchos caminos distintos en lugar de seguir un único circuito predeterminado. Abrir ranuras en el suelo eliminaría algunos de esos recorridos posibles.
La analogía tiene sus límites porque los electrones no eligen rutas, y los patrones reales de las corrientes de Foucault están determinados por los campos electromagnéticos, la conductividad y la geometría. Pero la idea de que existen «muchos lazos disponibles» resulta útil.
03Por qué la ley de Lenz tiene que oponerse al cambio
Supón que ocurriera lo contrario.
Imagina que la placa entra en un campo magnético, su flujo aumenta y la corriente inducida crea un campo que hace que ese aumento sea todavía mayor. El flujo más intenso induciría entonces un efecto que volvería a reforzarlo.
La placa podría ganar energía cinética mientras también produce energía eléctrica y calor, sin ninguna fuente externa de energía.
Eso violaría la conservación de la energía.
Por tanto, la ley de Lenz no es una regla arbitraria sobre direcciones. Su dirección es precisamente la que impide que la inducción electromagnética cree energía de la nada.
En un freno por corrientes de Foucault, la cadena de energía es aproximadamente:
\[ \text{energía mecánica}\rightarrow\text{energía eléctrica en corrientes inducidas}\rightarrow\text{energía térmica} \]
El metal se calienta porque tiene resistencia eléctrica.
Para una corriente inducida \(I\) que circula por una resistencia efectiva \(R\), la rapidez de producción de energía térmica es
\[ P=I^2R \]
donde \(P\) es la potencia en vatios, \(\text{W}\), \(I\) es la corriente en amperios, \(\text{A}\), y \(R\) es la resistencia en ohmios, \(\Omega\).
El imán permanente no es un depósito de combustible que se esté «gastando». La energía que se disipa procede del sistema en movimiento, o del agente externo que mantiene ese sistema en movimiento.
04Un modelo sencillo de la fuerza de frenado magnético
Las corrientes de Foucault reales en una lámina metálica pueden tener formas complicadas. Para comprender las relaciones principales, resulta útil sustituir temporalmente la lámina por un lazo conductor sencillo.
Supón que una sección vertical de alambre de longitud \(\ell\) se mueve lateralmente con rapidez \(v\) a través de un campo magnético \(B\), siendo el movimiento, el alambre y el campo mutuamente perpendiculares.
La fem de movimiento es
\[ \varepsilon=B\ell v \]
Si el lazo completo tiene una resistencia \(R\),
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{B\ell v}{R} \]
La sección que transporta corriente dentro del campo experimenta una fuerza magnética de magnitud
\[ F=BI\ell \]
por lo que
\[ F =B\left(\frac{B\ell v}{R}\right)\ell =\frac{B^2\ell^2v}{R} \]
En este modelo sencillo, la fuerza de frenado es proporcional a la rapidez.
Esto permite predecir inmediatamente algo útil: a medida que el objeto reduce su velocidad, la fuerza de frenado magnético se hace más débil.
A velocidad cero, en este modelo no hay cambio de flujo, por lo que no existe fuerza de frenado por corrientes de Foucault.
Los frenos reales pueden desviarse de esta relación proporcional sencilla, especialmente a velocidades altas o con conductores de formas complicadas. Sin embargo, el modelo recoge la idea del HSC: un cambio de flujo más rápido generalmente produce una fem inducida mayor, corrientes de Foucault más intensas y una mayor fuerza de frenado magnética.
Ejemplo resuelto: Hallar la corriente inducida en una placa de frenado
Una región de una placa de aluminio puede modelarse como un lazo conductor de área \(0.020\text{ m}^2\) y resistencia \(0.040\,\Omega\). A medida que la placa entra en un freno magnético, el campo magnético perpendicular que atraviesa este lazo efectivo aumenta uniformemente de \(0\) a \(0.50\text{ T}\) en \(0.10\text{ s}\).
Calcula la fem inducida media y la corriente. El campo externo apunta hacia dentro de la página.
Paso 1
El campo es perpendicular al lazo, por lo que
\[ \Delta\Phi_B =A\Delta B =(0.020)(0.50) =0.010\text{ Wb} \]
Paso 2
\[ |\varepsilon| =\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} =\frac{0.010}{0.10} =0.10\text{ V} \]
Paso 3
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.10}{0.040} =2.5\text{ A} \]
Paso 4
El flujo externo dirigido hacia dentro de la página está aumentando. Por tanto, la corriente inducida debe crear un campo que salga de la página.
Según la regla de la mano derecha, la corriente circula en sentido antihorario.
Por tanto, el lazo efectivo tiene una fem inducida media de \(0.10\text{ V}\) y una corriente inducida de \(2.5\text{ A}\), en sentido antihorario.
El resultado físico importante no es únicamente el sentido de la corriente. Esa corriente existe porque la placa está entrando en el campo. Su interacción con el campo externo produce la fuerza de frenado que extrae energía mecánica de la placa.
05Adónde va la energía cinética perdida
El frenado magnético puede parecer misterioso porque no es necesario que nada toque el objeto en movimiento.
Pero «sin contacto» no significa «sin transferencia de energía».
Supón que la fuerza magnética sobre una placa en movimiento es de \(40\text{ N}\) en sentido opuesto a su movimiento mientras la placa se desplaza a \(6.0\text{ m s}^{-1}\).
La rapidez con la que la fuerza de frenado extrae energía mecánica es
\[ P=Fv \]
por lo que
\[ P=(40)(6.0)=240\text{ W} \]
La placa está perdiendo energía mecánica a una tasa de \(240\text{ J s}^{-1}\).
Si el freno idealizado no presenta otras transferencias de energía significativas, esos mismos \(240\text{ W}\) aparecen como energía térmica en el conductor.
Esta es la interpretación energética de la ley de Lenz. La interacción magnética no puede acelerar continuamente la placa y, al mismo tiempo, calentarla. La energía térmica tiene que proceder de una disminución de la energía mecánica, o del trabajo externo suministrado para mantener la placa en movimiento.
Ejemplo resuelto: Relacionar la fuerza de frenado con el calentamiento resistivo
Un lazo conductor se mueve a \(5.0\text{ m s}^{-1}\) a través del borde de un campo magnético. El lado activo del lazo mide \(0.30\text{ m}\), la intensidad del campo magnético es \(0.80\text{ T}\) y la resistencia del lazo es \(0.12\,\Omega\).
Supón el modelo sencillo \(\varepsilon=B\ell v\).
Calcula la corriente inducida, la fuerza de frenado magnético y la rapidez de producción de energía térmica.
Paso 1
\[ \varepsilon =B\ell v =(0.80)(0.30)(5.0) =1.2\text{ V} \]
Paso 2
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{1.2}{0.12} =10\text{ A} \]
Paso 3
\[ F=BI\ell =(0.80)(10)(0.30) =2.4\text{ N} \]
La fuerza actúa en sentido opuesto al movimiento.
Paso 4
\[ P_{\text{mech}} =Fv =(2.4)(5.0) =12\text{ W} \]
Paso 5
\[ P_{\text{thermal}} =I^2R =(10)^2(0.12) =12\text{ W} \]
Los dos valores coinciden.
El freno extrae energía mecánica a una tasa de \(12\text{ W}\), y el lazo convierte energía eléctrica en calor a una tasa de \(12\text{ W}\).
Esa coincidencia no es casual. Utilizando las ecuaciones sencillas,
\[ Fv =(BI\ell)v =I(B\ell v) =I\varepsilon =I^2R \]
Por tanto, la fuerza de frenado magnética y el calentamiento resistivo son dos partes de la misma transferencia de energía.
06¿Qué controla la intensidad del frenado por corrientes de Foucault?
El modelo sencillo da
\[ F=\frac{B^2\ell^2v}{R} \]
No consideres esta expresión como una ecuación universal para un freno por corrientes de Foucault. Un disco o una placa macizos no tienen un único \(\ell\) y \(R\) claramente definidos.
Sin embargo, sí revela varias tendencias útiles.
| Cambio | Efecto típico | Por qué |
|---|---|---|
| Aumentar la intensidad del campo magnético | Frenado más intenso | Mayor fem inducida y mayor fuerza sobre la corriente inducida |
| Aumentar la rapidez | Frenado más intenso, dentro del modelo sencillo | El flujo cambia más rápidamente |
| Utilizar un mejor conductor | Corrientes de Foucault más intensas | Una menor resistencia permite una corriente inducida mayor |
| Practicar ranuras en el conductor | Frenado más débil | Las ranuras interrumpen posibles trayectorias de corriente circulante |
| Detener el conductor respecto al campo | El frenado por corrientes de Foucault disminuye hasta cero | El flujo magnético deja de cambiar |
La dependencia con \(B^2\) en el modelo de lazo sencillo es especialmente interesante. Un campo magnético mayor tanto induce una corriente más intensa como ejerce una fuerza mayor sobre esa corriente.
De nuevo, los dispositivos reales pueden ser más complicados. La tabla describe las tendencias físicas esperadas cuando las demás condiciones son similares.
07Por qué las ranuras debilitan un freno por corrientes de Foucault
Un disco conductor macizo ofrece a las corrientes inducidas muchos caminos cerrados por los que circular.
Ahora practica ranuras radiales en el disco.
El campo magnético todavía puede cambiar a través del metal. La ley de Faraday no ha desaparecido.
Lo que ha cambiado es la trayectoria de la corriente.
Las ranuras rompen grandes lazos de corriente circulante y normalmente aumentan la resistencia efectiva de los caminos restantes. Esto reduce la magnitud de las corrientes de Foucault y, por tanto, disminuye la fuerza de frenado magnética.
Esta distinción resulta útil en preguntas experimentales. Un efecto de frenado menor después de practicar ranuras es una evidencia de que las corrientes inducidas circulantes son importantes. No es simplemente una evidencia de que «hay menos metal».
08El error conceptual más tentador: la ley de Lenz se opone al movimiento
En problemas de frenado magnético, decir que «la ley de Lenz se opone al movimiento» suele dar la dirección correcta.
Aun así, es una regla poco fiable.
Considera una placa metálica completamente inmóvil dentro de un campo magnético constante. Existe un campo magnético, pero nada está cambiando. No hay un frenado continuo por corrientes de Foucault.
Ahora imagina un conductor trasladándose a través de un campo magnético ideal y perfectamente uniforme mientras el flujo magnético a través de cada trayectoria cerrada relevante permanece constante. El modelo sencillo basado en el cambio de flujo no predice un frenado continuo por corrientes de Foucault únicamente porque el conductor tenga velocidad.
Lo que importa es el cambio de flujo.
Por eso, los frenos magnéticos reales utilizan un campo magnético localizado o no uniforme, movimiento relativo respecto a los imanes, u otra disposición que produzca un cambio del flujo magnético dentro del conductor.
La mejor regla de decisión es:
- Identifica una posible trayectoria conductora.
- Determina si su flujo magnético aumenta o disminuye.
- Utiliza la ley de Lenz para hallar el campo inducido que se opone a ese cambio.
- Utiliza la regla de la mano derecha para hallar la corriente inducida.
- Utiliza la fuerza magnética sobre esa corriente para determinar el efecto mecánico.
Esto lleva un poco más de tiempo que repetir «se opone al movimiento», pero sigue funcionando cuando la geometría se vuelve más difícil.
09Por qué el freno no puede mantener algo inmóvil
Supón que un freno por corrientes de Foucault reduce la velocidad de un disco metálico giratorio hasta casi detenerlo.
¿Podría entonces mantener el disco bloqueado en esa posición?
No mediante corrientes de Foucault por sí solas.
A medida que la velocidad se aproxima a cero, la tasa de cambio del flujo también se aproxima a cero. La fem inducida disminuye, las corrientes de Foucault disminuyen y la fuerza de frenado disminuye.
En reposo,
\[ \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0 \]
por lo que un freno ideal por corrientes de Foucault en un campo constante no produce una fem inducida continua.
Esto hace que los frenos por corrientes de Foucault sean excelentes para una desaceleración suave y sin contacto, pero inadecuados como único dispositivo para mantener inmóvil una carga estacionaria. Un sistema real que deba permanecer quieto necesita otro mecanismo, como un freno mecánico o un bloqueo.
10Preguntas y soluciones
Pregunta 1
Una región conductora de una placa de aluminio se modela como un lazo de área \(0.015\text{ m}^2\) y resistencia \(0.030\,\Omega\). A medida que la placa entra en un campo magnético dirigido hacia dentro de la página, el campo que atraviesa el lazo aumenta uniformemente de \(0\) a \(0.40\text{ T}\) en \(0.050\text{ s}\).
Calcula:
a. la fem inducida media,
b. la corriente inducida, y
c. el sentido de la corriente.
Solución 1
La fem inducida es \(0.12\text{ V}\), la corriente es \(4.0\text{ A}\) y circula en sentido antihorario.
El error tentador consiste en decidir la dirección únicamente a partir del campo externo. La ley de Lenz responde al cambio de flujo.
El cambio del flujo magnético es
\[ \Delta\Phi_B =A\Delta B =(0.015)(0.40) =0.0060\text{ Wb} \]
Aplicando la ley de Faraday,
\[ |\varepsilon| =\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} =\frac{0.0060}{0.050} =0.12\text{ V} \]
Después, aplicando la ley de Ohm,
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.12}{0.030} =4.0\text{ A} \]
El flujo magnético hacia dentro de la página está aumentando. Por tanto, el campo magnético inducido debe apuntar hacia fuera de la página para oponerse a ese aumento.
La regla de la mano derecha da una corriente en sentido antihorario.
Pregunta 2
Un determinado freno magnético puede aproximarse, dentro de cierto intervalo de velocidades, mediante el modelo de lazo sencillo
\[ \varepsilon=B\ell v \]
con intensidad del campo magnético, geometría y resistencia constantes.
La rapidez del conductor se duplica.
Determina cómo cambia:
a. la fem inducida,
b. la corriente inducida,
c. la fuerza de frenado, y
d. la rapidez de producción de energía térmica.
Explica por qué la fuerza y la potencia no cambian por el mismo factor.
Solución 2
La fem se duplica, la corriente se duplica, la fuerza de frenado se duplica y la potencia térmica se hace cuatro veces mayor.
Es tentador decir que todo se duplica porque la velocidad se duplica. Lo que se pasa por alto es que la potencia depende tanto de la fuerza como de la velocidad.
A partir de
\[ \varepsilon=B\ell v \]
duplicar \(v\) da
\[ \varepsilon' =2\varepsilon \]
Con resistencia constante,
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} \]
por lo que
\[ I'=2I \]
La fuerza magnética es
\[ F=BI\ell \]
por tanto,
\[ F'=2F \]
Pero la potencia mecánica de frenado es
\[ P=Fv \]
Tanto \(F\) como \(v\) se han duplicado, por lo que
\[ P'=(2F)(2v)=4Fv=4P \]
El resultado eléctrico coincide:
\[ P=I^2R \]
y, por tanto,
\[ P'=(2I)^2R=4I^2R=4P \]
Así, duplicar la velocidad produce el doble de fuerza de frenado, pero cuatro veces la transferencia de energía por segundo dentro de este intervalo simplificado de velocidades.
Pregunta 3
Un disco conductor uniforme tiene una masa de \(2.0\text{ kg}\) y un radio de \(0.20\text{ m}\). Su momento de inercia es
\[ I_{\text{rot}}=\frac{1}{2}MR^2 \]
El disco gira atravesando un freno magnético fijo y reduce su velocidad de \(50\text{ rad s}^{-1}\) a \(20\text{ rad s}^{-1}\).
Durante este intervalo, las mediciones muestran que aparecen \(36\text{ J}\) de energía térmica en el disco.
a. Calcula la disminución de la energía cinética de rotación del disco.
b. Determina cuánta energía fue transferida mediante otros procesos.
c. Un estudiante afirma: «La energía que falta debe haberse almacenado en el imán permanente». Evalúa esta afirmación.
Solución 3
La energía cinética de rotación disminuye en \(42\text{ J}\), por lo que \(6.0\text{ J}\) se transfieren mediante otros procesos; no es necesario atribuir esa energía a un almacenamiento en el imán permanente.
Primero calcula el momento de inercia:
\[ I_{\text{rot}} =\frac{1}{2}MR^2 =\frac{1}{2}(2.0)(0.20)^2 =0.040\text{ kg m}^2 \]
La energía cinética de rotación es
\[ E_k=\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\omega^2 \]
donde \(\omega\) es la velocidad angular en radianes por segundo.
Inicialmente,
\[ E_{k,i} =\frac{1}{2}(0.040)(50)^2 =50\text{ J} \]
Finalmente,
\[ E_{k,f} =\frac{1}{2}(0.040)(20)^2 =8.0\text{ J} \]
Por tanto, la disminución es
\[ \Delta E_k =50-8.0 =42\text{ J} \]
De esta cantidad, \(36\text{ J}\) se convierten en energía térmica en el disco. La transferencia de energía restante es
\[ 42-36=6.0\text{ J} \]
Esos \(6.0\text{ J}\) podrían transferirse mediante procesos como la resistencia del aire, la fricción de los cojinetes o el calentamiento en otras partes del aparato.
La afirmación tentadora es que, dado que un imán causó la fuerza de frenado, el imán debe absorber la energía cinética perdida. Eso no se deduce de lo anterior.
En el frenado normal por corrientes de Foucault, las corrientes inducidas disipan energía mecánica en forma de energía térmica. La conservación de la energía solo exige que todas las transferencias de energía estén equilibradas; no exige que el imán permanente actúe como almacén de energía.
Pregunta 4
Dos discos conductores idénticos comienzan con la misma velocidad angular. El disco A es continuo. El disco B tiene varias ranuras radiales estrechas practicadas en él.
Ambos atraviesan regiones de campo magnético idénticas. Ignora la pequeña diferencia entre sus momentos de inercia causada por el material retirado.
Durante el intervalo en el que cada disco reduce su velocidad angular de \(\omega_1\) a la misma velocidad angular inferior \(\omega_2\):
a. ¿Qué disco se espera que experimente el mayor par de frenado magnético?
b. Si el frenado por corrientes de Foucault es el único proceso significativo de transferencia de energía durante ese intervalo, ¿qué disco convierte en total más energía mecánica en energía térmica?
c. Explica cómo pueden ser correctas a la vez tus respuestas a a. y b.
Solución 4
El disco A experimenta un par de frenado mayor, pero ambos discos convierten la misma cantidad total de energía mecánica en energía térmica al reducir su velocidad entre las mismas dos velocidades angulares.
Una primera respuesta habitual es pensar que el freno más intenso debe producir más calor en total. Eso confunde la rapidez de transferencia de energía con la energía total transferida.
El disco A es continuo, por lo que dispone de grandes trayectorias cerradas para la circulación de corrientes de Foucault. Las ranuras radiales del disco B interrumpen muchas de esas trayectorias, aumentando su resistencia efectiva o impidiéndolas por completo.
Por tanto, el disco A desarrolla corrientes de Foucault más intensas y un par de frenado magnético mayor.
Sin embargo, ambos discos comienzan en \(\omega_1\) y terminan en \(\omega_2\), y se nos indica que consideremos iguales sus momentos de inercia.
Por tanto, su pérdida de energía cinética de rotación es la misma:
\[ \Delta E_k =\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\left(\omega_1^2-\omega_2^2\right) \]
Si el calentamiento por corrientes de Foucault es el único proceso significativo de transferencia de energía, la conservación de la energía exige que esa misma \(\Delta E_k\) se convierta en energía térmica en cada caso.
El disco A transfiere la energía a una tasa mayor, por lo que alcanza \(\omega_2\) antes.
El disco B tiene un frenado más débil, por lo que la misma transferencia de energía ocurre durante un intervalo de tiempo más largo.
La restricción clave son las energías mecánicas inicial y final fijadas. La intensidad del freno controla la rapidez con la que se extrae la energía, no cuánta energía debe extraerse para alcanzar la velocidad final especificada.
Pregunta 5
Un lazo conductor rectangular se arrastra hacia la derecha a velocidad constante a través de una región finita de campo magnético uniforme dirigido hacia dentro de la página.
El lazo entra primero en el campo, después queda completamente contenido dentro de la región de campo uniforme y, finalmente, sale de ella.
El lazo tiene una anchura de \(0.40\text{ m}\) en la dirección del movimiento. Su lado vertical tiene una longitud de \(0.25\text{ m}\). La intensidad del campo es \(0.80\text{ T}\), la resistencia del lazo es \(0.20\,\Omega\) y su rapidez se mantiene constante en \(3.0\text{ m s}^{-1}\).
Supón fronteras de campo bien definidas y desprecia la autoinducción.
a. Indica el sentido de la corriente inducida mientras el lazo entra en el campo.
b. Indica la corriente mientras el lazo está completamente dentro del campo uniforme.
c. Indica el sentido de la corriente inducida mientras el lazo sale del campo.
d. Determina la fuerza de frenado magnética mientras entra o sale.
e. Calcula la energía térmica total producida durante ambos cruces de frontera.
f. Un estudiante argumenta: «La corriente se invierte al salir, así que la fuerza magnética también debe invertirse. El campo devuelve la energía extraída durante la entrada». Explica con precisión por qué esto es incorrecto.
Solución 5
La corriente circula en sentido antihorario durante la entrada, es cero mientras el lazo está completamente dentro del campo uniforme ideal y circula en sentido horario durante la salida; sin embargo, la fuerza magnética se opone al movimiento tanto durante la entrada como durante la salida. La fuerza de frenado es \(0.60\text{ N}\), y la energía térmica total producida es \(0.48\text{ J}\).
El argumento tentador se centra en la inversión de la corriente, pero olvida que durante la salida interactúa con el campo un lado distinto del lazo. Tanto el sentido de la corriente como la geometría relevante importan.
Durante la entrada, aumenta el flujo magnético dirigido hacia dentro de la página. La ley de Lenz requiere un campo inducido dirigido hacia fuera de la página, por lo que la corriente circula en sentido antihorario.
Una vez que todo el lazo se mueve dentro del campo uniforme, su área, orientación y campo magnético permanecen constantes. Por tanto,
\[ \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0 \]
y la fem inducida y la corriente idealizadas son cero.
Durante la salida, el flujo dirigido hacia dentro de la página disminuye. El campo inducido debe apuntar ahora hacia dentro de la página para oponerse a esa disminución, lo que requiere una corriente en sentido horario.
Para cualquiera de los dos cruces de frontera, la magnitud de la fem de movimiento es
\[ \varepsilon =B\ell v =(0.80)(0.25)(3.0) =0.60\text{ V} \]
La magnitud de la corriente inducida es
\[ I =\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.60}{0.20} =3.0\text{ A} \]
La magnitud de la fuerza magnética es
\[ F =BI\ell =(0.80)(3.0)(0.25) =0.60\text{ N} \]
La fuerza actúa hacia la izquierda, en sentido opuesto al movimiento hacia la derecha del lazo, tanto durante la entrada como durante la salida.
Cada cruce de frontera dura el tiempo necesario para que la anchura de \(0.40\text{ m}\) del lazo atraviese la frontera:
\[ t =\frac{d}{v} =\frac{0.40}{3.0} =0.133\text{ s} \]
La rapidez de producción de energía térmica es
\[ P =I^2R =(3.0)^2(0.20) =1.8\text{ W} \]
Por tanto, la energía térmica producida durante un cruce es
\[ E =Pt =(1.8)(0.133) \approx0.24\text{ J} \]
Hay dos cruces, por lo que
\[ E_{\text{total}} =2(0.24) =0.48\text{ J} \]
El argumento del estudiante falla porque invertir la corriente del lazo no invierte automáticamente la fuerza neta.
Durante la entrada, uno de los lados verticales del lazo es la sección importante que transporta corriente dentro del campo. Durante la salida, es el lado vertical opuesto el que permanece dentro del campo. La corriente que circula por todo el lazo se invierte, pero la combinación entre el sentido de la corriente y la geometría del campo magnético sigue produciendo una fuerza opuesta al movimiento.
También existe una restricción energética. El lazo se arrastra a velocidad constante, por lo que un agente externo debe realizar trabajo positivo contra la fuerza de frenado magnética. Ese trabajo se convierte en energía térmica en el lazo.
Si, en cambio, la fuerza magnética acelerara el lazo durante la salida lo suficiente como para devolver toda la energía extraída durante la entrada mientras la resistencia siguiera produciendo calor, el balance energético no se cumpliría.
Esta es la razón más profunda por la que la ley de Lenz es fiable: la respuesta inducida está restringida por la conservación de la energía.
11Hacia dónde lleva esta idea
El frenado por corrientes de Foucault es un ejemplo de una regla más general: siempre que la inducción crea una corriente, el efecto inducido se opone al cambio que la produjo.
La misma lógica energética aparece en un motor de corriente continua. Al girar, el motor desarrolla una fem inversa que se opone al voltaje aplicado. También aparece en un generador de corriente alterna, donde los cambios continuos del flujo magnético producen una fem alterna.
Por tanto, el siguiente paso útil no consiste en aprender otra regla de direcciones. Consiste en aprender a ver la ley de Faraday, la ley de Lenz, la fuerza magnética y la conservación de la energía como un único modelo conectado, en lugar de como cuatro hechos separados.