चुंबकीय ब्रेकिंग: भँवर धाराएँ, लेंज़ का नियम और ऊर्जा
लेंज़ के नियम, चुंबकीय बलों और ऊर्जा संरक्षण की मदद से समझें कि भँवर-धारा ब्रेकिंग कैसे काम करती है, साथ में हल किए हुए HSC Physics उदाहरण।
एक शक्तिशाली चुंबक को प्लास्टिक की नली में गिराएँ, तो वह सामान्य रूप से नीचे गिरता है। उसी चुंबक को ताँबे की नली में गिराएँ, तो वह अजीब तरह से बहुत धीरे-धीरे नीचे खिसक सकता है, जबकि ताँबा लौहचुंबकीय नहीं होता।
तो चुंबक पर पीछे की ओर बल कौन लगा रहा है?
आगे पढ़ने से पहले एक अनुमान लगाएँ। क्या ताँबा केवल चुंबक की ओर आकर्षित हो रहा है, या कुछ ऐसा केवल इसलिए हो रहा है क्योंकि चुंबक गति कर रहा है?
दूसरा विचार महत्वपूर्ण है। गति चालक के कुछ भागों से होकर गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स को बदलती है। यह बदलता हुआ फ्लक्स धातु में परिसंचारी धाराएँ उत्पन्न करता है। वे धाराएँ अपने स्वयं के चुंबकीय क्षेत्र बनाती हैं, और उनसे होने वाली पारस्परिक क्रिया उस परिवर्तन का विरोध करती है जिसने उन्हें उत्पन्न किया।
इन परिसंचारी धाराओं को भँवर धाराएँ (eddy currents) कहा जाता है। इन्हें सही ज्यामिति में व्यवस्थित करें, तो आपके पास एक चुंबकीय ब्रेक होता है।
01गतिशील चालक पर चुंबकीय प्रतिरोध क्यों लग सकता है
कल्पना करें कि एक ऐल्यूमिनियम प्लेट दो शक्तिशाली स्थायी चुंबकों के बीच के संकरे अंतराल से होकर दाईं ओर चल रही है।
प्लेट एक चालक है, इसलिए उसमें इलेक्ट्रॉन गति कर सकते हैं। जैसे-जैसे प्लेट के अलग-अलग भाग चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करते हैं, धातु के भीतर संभावित धारा-लूपों से होकर गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बदलता है।
यह महत्वपूर्ण है क्योंकि फैराडे का नियम है:
\[ \varepsilon=-\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} \]
जहाँ:
- \(\varepsilon\) वोल्ट में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) है, \(\text{V}\),
- \(\Phi_B\) वेबर में चुंबकीय फ्लक्स है, \(\text{Wb}\), और
- \(t\) सेकंड में समय है, \(\text{s}\)।
किसी क्षेत्रफल के लम्बवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लिए,
\[ \Phi_B=BA \]
जहाँ \(B\) टेस्ला में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है, \(\text{T}\), और \(A\) वर्ग मीटर में क्षेत्रफल है, \(\text{m}^2\)।
फैराडे के नियम में ऋण चिह्न लेंज़ के नियम को दर्शाता है। यह हमें प्रेरित प्रभाव की दिशा बताता है।
प्रेरित धारा ऐसा चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है जो चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करता है।
इस कथन को बिल्कुल सही समझना महत्वपूर्ण है।
लेन्ज़ का नियम यह नहीं कहता कि “प्रेरित धारा चुंबकीय क्षेत्र का विरोध करती है”। मूल रूप से यह भी नहीं कहता कि “प्रेरित धारा गति का विरोध करती है”। यह फ्लक्स में होने वाले परिवर्तन का विरोध करती है।
चुंबकीय ब्रेक में फ्लक्स के परिवर्तन का विरोध करने के परिणामस्वरूप ऐसा बल उत्पन्न होता है जो गति का विरोध करता है।
02नियम लगाने से पहले भौतिक चित्र बनाइए
मान लें कि प्लेट दाईं ओर उस क्षेत्र में जा रही है जहाँ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर है।
प्लेट के अग्रणी किनारे के पास एक छोटे संभावित धारा-लूप पर ध्यान दें।
जैसे ही वह लूप क्षेत्र में प्रवेश करता है, पृष्ठ के भीतर की ओर चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है।
प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र किस दिशा में होना चाहिए?
यदि आपने पृष्ठ के बाहर की ओर अनुमान लगाया, तो सही। यह प्रेरित क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर बढ़ते फ्लक्स का विरोध करता है।
दाएँ हाथ की पकड़ के नियम का उपयोग करने पर, पृष्ठ के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र के लिए प्रेरित धारा वामावर्त होनी चाहिए।
अब दूसरे किनारे पर स्थित ऐसे लूप की कल्पना करें जो चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकल रहा है। उसका पृष्ठ के भीतर की ओर फ्लक्स घट रहा है। इस बार प्रेरित धारा पृष्ठ के भीतर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है और उस कमी का विरोध करने का प्रयास करती है।
इसलिए प्रवेश और निकास के बीच धारा की दिशा उलट जाती है।
फिर भी दोनों स्थितियों में ब्रेक लगाने वाला बल गति का विरोध करता है।
पहली बार में यह विरोधाभासी लग सकता है। ऐसा नहीं है। धारा उलटती है, लेकिन बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के भीतर स्थित धारा-लूप का भाग भी बदल जाता है। परिणामी चुंबकीय बल फिर भी प्लेट की गति के विपरीत दिशा में रहता है।
इसीलिए “वामावर्त का अर्थ ब्रेक लगना है” जैसी बात याद कर लेना बेकार है। दिशा ज्यामिति पर निर्भर करती है।
भँवर धाराओं के लिए एक उपयोगी मानसिक मॉडल
ठोस धातु की प्लेट के भीतर पाठ्यपुस्तक में बनाए गए किसी एक सुव्यवस्थित तार-लूप जैसा लूप नहीं होता। धाराएँ ठोस धातु के भीतर अनेक बंद पथों से प्रवाहित हो सकती हैं।
आप प्लेट को बहुत बड़ी संख्या में संभावित, एक-दूसरे पर चढ़े हुए लूपों से भरी हुई मान सकते हैं। जहाँ भी बदलता हुआ फ्लक्स emf प्रेरित करता है, वहाँ उपलब्ध पथों से धाराएँ परिसंचरित होती हैं।
थोड़ी मज़ेदार उपमा यह है कि किसी शॉपिंग सेंटर में चलने के लिए कोई चिह्नित लेन न हो। यदि एक प्रवेश-द्वार के पास अचानक कुछ बदल जाए, तो लोग किसी एक निर्धारित मार्ग का अनुसरण करने के बजाय अनेक अलग-अलग पथों से घूम सकते हैं। फर्श में स्लॉट काट देने से इनमें से कुछ संभावित लूप टूट जाते।
यह उपमा पूरी तरह सटीक नहीं है, क्योंकि इलेक्ट्रॉन रास्ते नहीं चुनते, और वास्तविक भँवर-धारा पैटर्न विद्युतचुंबकीय क्षेत्रों, चालकता और ज्यामिति से निर्धारित होते हैं। लेकिन “कई उपलब्ध लूप” का विचार उपयोगी है।
03लेंज़ का नियम परिवर्तन का विरोध ही क्यों करता है
मान लें कि इसका उल्टा होता।
कल्पना करें कि प्लेट चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करती है, उसका फ्लक्स बढ़ता है, और प्रेरित धारा ऐसा क्षेत्र बनाती है जो उस वृद्धि को और बढ़ा देता है। तब अधिक प्रबल फ्लक्स ऐसा प्रभाव प्रेरित करेगा जो उसे फिर और प्रबल कर देगा।
प्लेट गतिज ऊर्जा प्राप्त कर सकती थी और साथ ही विद्युत ऊर्जा तथा ऊष्मा भी उत्पन्न कर सकती थी, जबकि कोई बाहरी ऊर्जा स्रोत नहीं होता।
यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन होता।
इसलिए लेंज़ का नियम कोई मनमाना दिशा-नियम नहीं है। उसकी दिशा ठीक वही है जो विद्युतचुंबकीय प्रेरण को बिना किसी स्रोत के ऊर्जा उत्पन्न करने से रोकती है।
भँवर-धारा ब्रेक में ऊर्जा-श्रृंखला लगभग इस प्रकार होती है:
\[ \text{यांत्रिक ऊर्जा}\rightarrow\text{प्रेरित धाराओं में विद्युत ऊर्जा}\rightarrow\text{ऊष्मीय ऊर्जा} \]
धातु गर्म होती है क्योंकि उसमें विद्युत प्रतिरोध होता है।
प्रभावी प्रतिरोध \(R\) से प्रवाहित प्रेरित धारा \(I\) के लिए ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होने की दर है
\[ P=I^2R \]
जहाँ \(P\) वाट में शक्ति है, \(\text{W}\), \(I\) ऐम्पियर में धारा है, \(\text{A}\), और \(R\) ओम में प्रतिरोध है, \(\Omega\)।
स्थायी चुंबक कोई ईंधन टैंक नहीं है जो “खर्च” हो रहा हो। नष्ट हो रही ऊर्जा गतिशील तंत्र से, या उस बाहरी कारक से आती है जो उस तंत्र को गतिमान बनाए रखता है।
04चुंबकीय ब्रेकिंग बल का एक सरल मॉडल
धातु की शीट में वास्तविक भँवर धाराओं का आकार जटिल हो सकता है। मुख्य संबंधों को समझने के लिए शीट के स्थान पर अस्थायी रूप से एक सरल चालक लूप मानना उपयोगी है।
मान लें कि \(\ell\) लंबाई वाला तार का एक ऊर्ध्वाधर भाग \(B\) चुंबकीय क्षेत्र में \(v\) चाल से बगल की ओर चलता है, और गति, तार तथा क्षेत्र तीनों परस्पर लम्बवत हैं।
गतिज emf है
\[ \varepsilon=B\ell v \]
यदि पूरे लूप का प्रतिरोध \(R\) है,
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{B\ell v}{R} \]
क्षेत्र में स्थित धारा-वहन करने वाले भाग पर लगने वाले चुंबकीय बल का परिमाण है
\[ F=BI\ell \]
इसलिए
\[ F =B\left(\frac{B\ell v}{R}\right)\ell =\frac{B^2\ell^2v}{R} \]
इस सरल मॉडल में ब्रेकिंग बल चाल के समानुपाती है।
इससे तुरंत एक उपयोगी भविष्यवाणी मिलती है: जैसे-जैसे वस्तु धीमी होती है, चुंबकीय ब्रेकिंग बल कमज़ोर होता जाता है।
शून्य चाल पर इस मॉडल में कोई बदलता हुआ फ्लक्स नहीं होता, इसलिए कोई भँवर-धारा ब्रेकिंग बल नहीं होता।
वास्तविक ब्रेक इस सरल समानुपाती संबंध से अलग व्यवहार कर सकते हैं, विशेष रूप से अधिक चाल पर या जटिल आकार वाले चालकों में। लेकिन यह मॉडल HSC का मुख्य विचार पकड़ता है: फ्लक्स जितनी तेज़ी से बदलता है, सामान्यतः उतना बड़ा प्रेरित emf, अधिक बड़ी भँवर धाराएँ और अधिक प्रबल चुंबकीय प्रतिरोध उत्पन्न होते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण: ब्रेकिंग प्लेट में प्रेरित धारा ज्ञात कीजिए
एक ऐल्यूमिनियम प्लेट के एक क्षेत्र को \(0.020\text{ m}^2\) क्षेत्रफल और \(0.040\,\Omega\) प्रतिरोध वाले चालक लूप के रूप में मॉडल किया जा सकता है। जब प्लेट चुंबकीय ब्रेक में प्रवेश करती है, तो इस प्रभावी लूप से होकर गुजरने वाला लम्बवत चुंबकीय क्षेत्र \(0.10\text{ s}\) में समान रूप से \(0\) से \(0.50\text{ T}\) तक बढ़ता है।
औसत प्रेरित emf और धारा की गणना कीजिए। बाहरी क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर है।
चरण 1
क्षेत्र लूप के लम्बवत है, इसलिए
\[ \Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.020)(0.50) =0.010\text{ Wb} \]
चरण 2
\[ |\varepsilon| =\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} =\frac{0.010}{0.10} =0.10\text{ V} \]
चरण 3
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.10}{0.040} =2.5\text{ A} \]
चरण 4
पृष्ठ के भीतर की ओर बाहरी फ्लक्स बढ़ रहा है। इसलिए प्रेरित धारा को ऐसा क्षेत्र उत्पन्न करना चाहिए जो पृष्ठ के बाहर की ओर हो।
दाएँ हाथ की पकड़ के नियम के अनुसार धारा वामावर्त है।
अतः प्रभावी लूप में औसत प्रेरित emf \(0.10\text{ V}\) और प्रेरित धारा \(2.5\text{ A}\), वामावर्त है।
महत्वपूर्ण भौतिक परिणाम केवल धारा की दिशा नहीं है। यह धारा इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि प्लेट क्षेत्र में प्रवेश कर रही है। बाहरी क्षेत्र के साथ इसकी पारस्परिक क्रिया ऐसा प्रतिरोध उत्पन्न करती है जो प्लेट से यांत्रिक ऊर्जा हटाता है।
05खोई हुई गतिज ऊर्जा कहाँ जाती है
चुंबकीय ब्रेकिंग रहस्यमय लग सकती है क्योंकि गतिमान वस्तु को किसी चीज़ से स्पर्श करने की आवश्यकता नहीं होती।
लेकिन “कोई संपर्क नहीं” का अर्थ “कोई ऊर्जा स्थानांतरण नहीं” नहीं होता।
मान लें कि किसी गतिमान प्लेट पर चुंबकीय बल उसकी गति के विपरीत \(40\text{ N}\) है, जबकि प्लेट \(6.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से चल रही है।
ब्रेकिंग बल जिस दर से यांत्रिक ऊर्जा हटाता है वह है
\[ P=Fv \]
इसलिए
\[ P=(40)(6.0)=240\text{ W} \]
प्लेट \(240\text{ J s}^{-1}\) की दर से यांत्रिक ऊर्जा खो रही है।
यदि आदर्शीकृत ब्रेक में कोई अन्य महत्वपूर्ण ऊर्जा स्थानांतरण नहीं है, तो वही \(240\text{ W}\) चालक में ऊष्मीय ऊर्जा के रूप में दिखाई देता है।
यह लेंज़ के नियम का ऊर्जा वाला रूप है। चुंबकीय पारस्परिक क्रिया प्लेट को लगातार तेज़ नहीं कर सकती और साथ ही उसे गर्म भी नहीं कर सकती। उस ऊष्मा की ऊर्जा यांत्रिक ऊर्जा में कमी से, या प्लेट को गतिमान बनाए रखने के लिए किए गए बाहरी कार्य से आनी चाहिए।
हल किया हुआ उदाहरण: ब्रेकिंग बल को प्रतिरोधी ऊष्मन से जोड़िए
एक चालक लूप \(5.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से चुंबकीय क्षेत्र के किनारे से होकर चलता है। लूप की सक्रिय भुजा \(0.30\text{ m}\) लंबी है, चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता \(0.80\text{ T}\) है, और लूप का प्रतिरोध \(0.12\,\Omega\) है।
सरल मॉडल \(\varepsilon=B\ell v\) मानिए।
प्रेरित धारा, चुंबकीय ब्रेकिंग बल और ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होने की दर की गणना कीजिए।
चरण 1
\[ \varepsilon =B\ell v =(0.80)(0.30)(5.0) =1.2\text{ V} \]
चरण 2
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{1.2}{0.12} =10\text{ A} \]
चरण 3
\[ F=BI\ell =(0.80)(10)(0.30) =2.4\text{ N} \]
बल गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
चरण 4
\[ P_{\text{mech}} =Fv =(2.4)(5.0) =12\text{ W} \]
चरण 5
\[ P_{\text{thermal}} =I^2R =(10)^2(0.12) =12\text{ W} \]
दोनों मान समान हैं।
ब्रेक \(12\text{ W}\) की दर से यांत्रिक ऊर्जा हटाता है, और लूप \(12\text{ W}\) की दर से विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा में बदलता है।
यह समानता संयोग नहीं है। सरल समीकरणों का उपयोग करने पर,
\[ Fv =(BI\ell)v =I(B\ell v) =I\varepsilon =I^2R \]
इसलिए चुंबकीय प्रतिरोध और प्रतिरोधी ऊष्मन एक ही ऊर्जा स्थानांतरण के दो भाग हैं।
06भँवर-धारा ब्रेकिंग की तीव्रता किन बातों से नियंत्रित होती है?
सरल मॉडल देता है
\[ F=\frac{B^2\ell^2v}{R} \]
इसे भँवर-धारा ब्रेक के लिए सार्वभौमिक समीकरण न मानें। किसी ठोस डिस्क या प्लेट के लिए एक स्पष्ट रूप से परिभाषित \(\ell\) और \(R\) नहीं होते।
फिर भी, यह कई उपयोगी प्रवृत्तियाँ दिखाता है।
| परिवर्तन | सामान्य प्रभाव | कारण |
|---|---|---|
| चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता बढ़ाएँ | अधिक प्रबल ब्रेकिंग | अधिक बड़ा प्रेरित emf और प्रेरित धारा पर अधिक प्रबल बल |
| चाल बढ़ाएँ | सरल मॉडल के भीतर अधिक प्रबल ब्रेकिंग | फ्लक्स अधिक तेज़ी से बदलता है |
| बेहतर चालक का उपयोग करें | अधिक प्रबल भँवर धाराएँ | कम प्रतिरोध अधिक बड़ी प्रेरित धारा की अनुमति देता है |
| चालक में स्लॉट काटें | कमज़ोर ब्रेकिंग | स्लॉट संभावित परिसंचारी धारा-पथों को बाधित करते हैं |
| चालक को क्षेत्र के सापेक्ष रोक दें | भँवर-धारा ब्रेकिंग शून्य हो जाती है | चुंबकीय फ्लक्स अब बदल नहीं रहा है |
सरल लूप मॉडल में \(B^2\) पर निर्भरता विशेष रूप से रोचक है। अधिक प्रबल चुंबकीय क्षेत्र एक ओर अधिक बड़ी धारा प्रेरित करता है और दूसरी ओर उस धारा पर अधिक बड़ा बल भी लगाता है।
फिर से, वास्तविक उपकरण अधिक जटिल हो सकते हैं। तालिका अन्य परिस्थितियाँ समान रहने पर अपेक्षित भौतिक प्रवृत्तियों के बारे में है।
07स्लॉट भँवर-धारा ब्रेक को कमज़ोर क्यों करते हैं
एक ठोस चालक डिस्क प्रेरित धाराओं को अनेक बंद पथ उपलब्ध कराती है।
अब डिस्क में त्रिज्यीय स्लॉट काटिए।
धातु से होकर गुजरने वाला चुंबकीय क्षेत्र अब भी बदल सकता है। फैराडे का नियम समाप्त नहीं हुआ है।
जो बदला है वह धारा का पथ है।
स्लॉट बड़े परिसंचारी लूपों को तोड़ देते हैं और सामान्यतः बचे हुए पथों का प्रभावी प्रतिरोध बढ़ा देते हैं। इससे भँवर-धारा का परिमाण घटता है और इसलिए चुंबकीय प्रतिरोध भी कम हो जाता है।
प्रायोगिक प्रश्नों में यह अंतर उपयोगी है। स्लॉट काटने के बाद कम ब्रेकिंग प्रभाव मिलना इस बात का प्रमाण है कि परिसंचारी प्रेरित धाराएँ महत्वपूर्ण हैं। यह केवल इस बात का प्रमाण नहीं है कि “धातु कम है”।
08सबसे लुभावनी गलतफहमी: लेंज़ का नियम गति का विरोध करता है
चुंबकीय ब्रेकिंग की समस्याओं में “लेन्ज़ का नियम गति का विरोध करता है” कहना अक्सर सही दिशा देता है।
फिर भी यह एक असुरक्षित नियम है।
एक धातु की प्लेट की कल्पना करें जो स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में पूरी तरह स्थिर पड़ी है। वहाँ चुंबकीय क्षेत्र तो है, लेकिन कुछ भी बदल नहीं रहा। कोई लगातार भँवर-धारा ब्रेकिंग नहीं होती।
अब कल्पना करें कि कोई चालक आदर्श, पूर्णतः एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में स्थानांतरित हो रहा है और प्रत्येक प्रासंगिक बंद पथ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है। केवल इसलिए कि चालक का वेग है, सरल फ्लक्स-परिवर्तन मॉडल लगातार भँवर-धारा ब्रेकिंग की भविष्यवाणी नहीं करता।
महत्वपूर्ण बात बदलता हुआ फ्लक्स है।
इसलिए वास्तविक चुंबकीय ब्रेक स्थानीयकृत या असमान चुंबकीय क्षेत्र, चुंबकों के सापेक्ष गति, या किसी अन्य ऐसी व्यवस्था का उपयोग करते हैं जो चालक के भीतर बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करे।
बेहतर निर्णय-विधि यह है:
- एक संभावित चालक पथ की पहचान कीजिए।
- तय कीजिए कि उसका चुंबकीय फ्लक्स बढ़ रहा है या घट रहा है।
- उस परिवर्तन का विरोध करने वाले प्रेरित क्षेत्र को ज्ञात करने के लिए लेंज़ के नियम का उपयोग कीजिए।
- प्रेरित धारा ज्ञात करने के लिए दाएँ हाथ के नियम का उपयोग कीजिए।
- यांत्रिक प्रभाव निर्धारित करने के लिए उस धारा पर लगने वाले चुंबकीय बल का उपयोग कीजिए।
यह “गति का विरोध करता है” रटने से थोड़ा अधिक समय लेता है, लेकिन कठिन ज्यामिति में भी काम करता रहता है।
09ब्रेक किसी वस्तु को स्थिर क्यों नहीं रख सकता
मान लें कि भँवर-धारा ब्रेक किसी घूमती हुई धातु की डिस्क को लगभग विराम तक धीमा कर देता है।
क्या वह फिर डिस्क को उसी स्थिति में लॉक करके रख सकता है?
केवल भँवर धाराओं के द्वारा नहीं।
जैसे-जैसे चाल शून्य के पास पहुँचती है, फ्लक्स परिवर्तन की दर शून्य के पास पहुँचती है। प्रेरित emf छोटा होता जाता है, भँवर धाराएँ छोटी होती जाती हैं और ब्रेकिंग बल भी छोटा होता जाता है।
विराम पर,
\[ \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0 \]
इसलिए आदर्श स्थिर-क्षेत्र वाला भँवर-धारा ब्रेक कोई लगातार प्रेरित emf उत्पन्न नहीं करता।
इस कारण भँवर-धारा ब्रेक चिकनी, बिना संपर्क वाली मंदन प्रक्रिया के लिए उत्कृष्ट हैं, लेकिन स्थिर भार को थामे रखने के लिए अकेले पर्याप्त नहीं हैं। जिस वास्तविक तंत्र को स्थिर रहना हो, उसे किसी अन्य यंत्र, जैसे यांत्रिक ब्रेक या लॉक, की आवश्यकता होती है।
10प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक ऐल्यूमिनियम प्लेट के चालक क्षेत्र को \(0.015\text{ m}^2\) क्षेत्रफल और \(0.030\,\Omega\) प्रतिरोध वाले लूप के रूप में मॉडल किया गया है। जब प्लेट पृष्ठ के भीतर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करती है, तो लूप से होकर गुजरने वाला क्षेत्र \(0.050\text{ s}\) में समान रूप से \(0\) से \(0.40\text{ T}\) तक बढ़ता है।
गणना कीजिए:
a. औसत प्रेरित emf,
b. प्रेरित धारा, और
c. धारा की दिशा।
समाधान 1
प्रेरित emf \(0.12\text{ V}\) है, धारा \(4.0\text{ A}\) है, और धारा वामावर्त है।
लुभावनी गलती यह है कि दिशा केवल बाहरी क्षेत्र को देखकर तय कर दी जाए। लेंज़ का नियम फ्लक्स में परिवर्तन के प्रति प्रतिक्रिया करता है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन है
\[ \Delta\Phi_B =A\Delta B =(0.015)(0.40) =0.0060\text{ Wb} \]
फैराडे के नियम का उपयोग करने पर,
\[ |\varepsilon| =\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} =\frac{0.0060}{0.050} =0.12\text{ V} \]
फिर, ओम के नियम से,
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.12}{0.030} =4.0\text{ A} \]
पृष्ठ के भीतर की ओर चुंबकीय फ्लक्स बढ़ रहा है। इसलिए उस वृद्धि का विरोध करने के लिए प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को पृष्ठ के बाहर की ओर होना चाहिए।
दाएँ हाथ की पकड़ का नियम वामावर्त धारा देता है।
प्रश्न 2
एक विशेष चुंबकीय ब्रेक को चाल की एक निश्चित सीमा में सरल लूप मॉडल
\[ \varepsilon=B\ell v \]
द्वारा लगभग दर्शाया जा सकता है, जहाँ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता, ज्यामिति और प्रतिरोध स्थिर हैं।
चालक की चाल दोगुनी कर दी जाती है।
निर्धारित कीजिए कि इससे निम्न में क्या परिवर्तन होगा:
a. प्रेरित emf,
b. प्रेरित धारा,
c. ब्रेकिंग बल, और
d. ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होने की दर।
समझाइए कि बल और शक्ति समान गुणक से क्यों नहीं बदलते।
समाधान 2
emf दोगुना होता है, धारा दोगुनी होती है, ब्रेकिंग बल दोगुना होता है, और ऊष्मीय शक्ति चार गुनी हो जाती है।
यह कहना लुभावना है कि चाल दोगुनी होने से सब कुछ दोगुना हो जाएगा। छूटी हुई बात यह है कि शक्ति बल और चाल दोनों पर निर्भर करती है।
\[ \varepsilon=B\ell v \]
से, \(v\) को दोगुना करने पर
\[ \varepsilon' =2\varepsilon \]
स्थिर प्रतिरोध के लिए,
\[ I=\frac{\varepsilon}{R} \]
इसलिए
\[ I'=2I \]
चुंबकीय बल है
\[ F=BI\ell \]
अतः
\[ F'=2F \]
लेकिन यांत्रिक ब्रेकिंग शक्ति है
\[ P=Fv \]
\(F\) और \(v\) दोनों दोगुने हो गए हैं, इसलिए
\[ P'=(2F)(2v)=4Fv=4P \]
विद्युत परिणाम भी यही देता है:
\[ P=I^2R \]
और इसलिए
\[ P'=(2I)^2R=4I^2R=4P \]
इस प्रकार इस सरलीकृत चाल-सीमा में चाल को दोगुना करने से प्रतिरोध बल दो गुना, लेकिन प्रति सेकंड ऊर्जा स्थानांतरण चार गुना हो जाता है।
प्रश्न 3
एक एकसमान चालक डिस्क का द्रव्यमान \(2.0\text{ kg}\) और त्रिज्या \(0.20\text{ m}\) है। उसका जड़त्व आघूर्ण है
\[ I_{\text{rot}}=\frac{1}{2}MR^2 \]
डिस्क एक स्थिर चुंबकीय ब्रेक से होकर घूमती है और \(50\text{ rad s}^{-1}\) से धीमी होकर \(20\text{ rad s}^{-1}\) हो जाती है।
इस अंतराल के दौरान मापन दिखाते हैं कि डिस्क में \(36\text{ J}\) ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होती है।
a. डिस्क की घूर्णन गतिज ऊर्जा में कमी की गणना कीजिए।
b. निर्धारित कीजिए कि अन्य प्रक्रियाओं द्वारा कितनी ऊर्जा स्थानांतरित हुई।
c. एक विद्यार्थी कहता है, “गायब ऊर्जा स्थायी चुंबक में संचित हुई होगी।” इस दावे का आकलन कीजिए।
समाधान 3
घूर्णन गतिज ऊर्जा \(42\text{ J}\) कम होती है, इसलिए \(6.0\text{ J}\) ऊर्जा अन्य प्रक्रियाओं द्वारा स्थानांतरित होती है; इस ऊर्जा को स्थायी चुंबक में संचित मानने की कोई आवश्यकता नहीं है।
पहले जड़त्व आघूर्ण की गणना कीजिए:
\[ I_{\text{rot}} =\frac{1}{2}MR^2 =\frac{1}{2}(2.0)(0.20)^2 =0.040\text{ kg m}^2 \]
घूर्णन गतिज ऊर्जा है
\[ E_k=\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\omega^2 \]
जहाँ \(\omega\) रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय वेग है।
प्रारंभ में,
\[ E_{k,i} =\frac{1}{2}(0.040)(50)^2 =50\text{ J} \]
अंत में,
\[ E_{k,f} =\frac{1}{2}(0.040)(20)^2 =8.0\text{ J} \]
इसलिए कमी है
\[ \Delta E_k =50-8.0 =42\text{ J} \]
इसमें से \(36\text{ J}\) डिस्क में ऊष्मीय ऊर्जा बन जाती है। शेष ऊर्जा स्थानांतरण है
\[ 42-36=6.0\text{ J} \]
यह \(6.0\text{ J}\) वायु प्रतिरोध, बेयरिंग घर्षण या उपकरण के अन्य भागों के गर्म होने जैसी प्रक्रियाओं द्वारा स्थानांतरित हो सकती है।
लुभावना दावा यह है कि क्योंकि ब्रेकिंग बल चुंबक ने उत्पन्न किया, इसलिए चुंबक को खोई हुई गतिज ऊर्जा अवशोषित करनी ही होगी। यह निष्कर्ष सही नहीं है।
सामान्य भँवर-धारा ब्रेकिंग में प्रेरित धाराएँ यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा के रूप में नष्ट करती हैं। ऊर्जा संरक्षण केवल यह माँगता है कि सभी ऊर्जा स्थानांतरणों का कुल संतुलन बने; यह आवश्यक नहीं है कि स्थायी चुंबक ऊर्जा-संग्रहक की तरह कार्य करे।
प्रश्न 4
दो समान चालक डिस्क समान कोणीय चाल से शुरू होती हैं। डिस्क A सतत है। डिस्क B में कई संकरे त्रिज्यीय स्लॉट काटे गए हैं।
दोनों समान चुंबकीय-क्षेत्र क्षेत्रों से होकर गुजरती हैं। हटाई गई सामग्री के कारण उनके जड़त्व आघूर्ण में होने वाले छोटे अंतर की उपेक्षा कीजिए।
उस अंतराल के दौरान जिसमें प्रत्येक डिस्क कोणीय चाल \(\omega_1\) से धीमी होकर उसी कम कोणीय चाल \(\omega_2\) तक पहुँचती है:
a. किस डिस्क पर अधिक प्रबल चुंबकीय ब्रेकिंग आघूर्ण लगने की अपेक्षा है?
b. यदि उस अंतराल में भँवर-धारा ब्रेकिंग ही एकमात्र महत्वपूर्ण ऊर्जा-स्थानांतरण प्रक्रिया है, तो कुल मिलाकर कौन-सी डिस्क अधिक यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा में बदलती है?
c. समझाइए कि a. और b. के आपके उत्तर दोनों एक साथ सही कैसे हो सकते हैं।
समाधान 4
डिस्क A पर अधिक प्रबल ब्रेकिंग आघूर्ण लगता है, लेकिन समान दो कोणीय चालों के बीच धीमा होते समय दोनों डिस्क कुल मिलाकर समान मात्रा की यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा में बदलती हैं।
एक सामान्य पहला उत्तर यह है कि अधिक प्रबल ब्रेक को कुल मिलाकर अधिक ऊष्मा उत्पन्न करनी चाहिए। यह ऊर्जा स्थानांतरण की दर को कुल स्थानांतरित ऊर्जा के साथ भ्रमित करता है।
डिस्क A सतत है, इसलिए बड़े परिसंचारी भँवर-धारा पथ उपलब्ध हैं। डिस्क B के त्रिज्यीय स्लॉट इनमें से कई पथों को बाधित करते हैं, उनका प्रभावी प्रतिरोध बढ़ाते हैं या उन्हें पूरी तरह रोक देते हैं।
इसलिए डिस्क A में अधिक बड़ी भँवर धाराएँ उत्पन्न होती हैं और चुंबकीय ब्रेकिंग आघूर्ण अधिक प्रबल होता है।
हालाँकि, दोनों डिस्क \(\omega_1\) से शुरू होकर \(\omega_2\) पर समाप्त होती हैं, और हमें उनके जड़त्व आघूर्ण समान मानने को कहा गया है।
इसलिए उनकी घूर्णन गतिज ऊर्जा में कमी समान है:
\[ \Delta E_k =\frac{1}{2}I_{\text{rot}}\left(\omega_1^2-\omega_2^2\right) \]
यदि भँवर-धारा ऊष्मन ही एकमात्र महत्वपूर्ण ऊर्जा-स्थानांतरण प्रक्रिया है, तो ऊर्जा संरक्षण के अनुसार दोनों स्थितियों में यही \(\Delta E_k\) ऊष्मीय ऊर्जा में बदलनी चाहिए।
डिस्क A अधिक तेज़ दर से ऊर्जा स्थानांतरित करती है, इसलिए वह \(\omega_2\) पर जल्दी पहुँचती है।
डिस्क B में ब्रेकिंग कमज़ोर है, इसलिए वही ऊर्जा स्थानांतरण अधिक लंबे समय में होता है।
मुख्य बाध्यता निश्चित प्रारंभिक और अंतिम यांत्रिक ऊर्जाएँ हैं। ब्रेक की तीव्रता यह नियंत्रित करती है कि ऊर्जा कितनी तेज़ी से हटती है, न कि निर्दिष्ट अंतिम चाल तक पहुँचने के लिए कुल कितनी ऊर्जा हटानी आवश्यक है।
प्रश्न 5
एक आयताकार चालक लूप को स्थिर चाल से दाईं ओर खींचकर पृष्ठ के भीतर की ओर निर्देशित एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के सीमित क्षेत्र से गुज़ारा जाता है।
लूप पहले क्षेत्र में प्रवेश करता है, बाद में पूरी तरह एकसमान क्षेत्र के भीतर आ जाता है, और अंत में उससे बाहर निकलता है।
गति की दिशा में लूप की चौड़ाई \(0.40\text{ m}\) है। उसकी ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई \(0.25\text{ m}\) है। क्षेत्र की तीव्रता \(0.80\text{ T}\), लूप का प्रतिरोध \(0.20\,\Omega\), और उसकी चाल स्थिर रूप से \(3.0\text{ m s}^{-1}\) रखी गई है।
मान लें कि क्षेत्र की सीमाएँ तीक्ष्ण हैं और स्व-प्रेरकत्व की उपेक्षा की जा सकती है।
a. क्षेत्र में प्रवेश करते समय प्रेरित धारा की दिशा बताइए।
b. जब लूप पूरी तरह एकसमान क्षेत्र के भीतर हो, तब धारा बताइए।
c. क्षेत्र से बाहर निकलते समय प्रेरित धारा की दिशा बताइए।
d. प्रवेश या निकास के दौरान चुंबकीय प्रतिरोध बल निर्धारित कीजिए।
e. दोनों सीमा-पार प्रक्रियाओं के दौरान उत्पन्न कुल ऊष्मीय ऊर्जा की गणना कीजिए।
f. एक विद्यार्थी तर्क देता है: “निकास पर धारा उलट जाती है, इसलिए चुंबकीय बल भी उलट जाना चाहिए। क्षेत्र प्रवेश के दौरान हटाई गई ऊर्जा वापस दे देता है।” ठीक-ठीक समझाइए कि यह क्यों गलत है।
समाधान 5
प्रवेश के समय धारा वामावर्त है, आदर्श एकसमान क्षेत्र के भीतर लूप पूरी तरह होने पर शून्य है, और निकास के समय दक्षिणावर्त है; फिर भी प्रवेश और निकास दोनों के दौरान चुंबकीय बल गति का विरोध करता है। प्रतिरोध बल \(0.60\text{ N}\) है, और उत्पन्न कुल ऊष्मीय ऊर्जा \(0.48\text{ J}\) है।
लुभावना तर्क धारा के उलटने पर ध्यान देता है, लेकिन यह भूल जाता है कि निकास के दौरान लूप की दूसरी भुजा क्षेत्र के साथ पारस्परिक क्रिया कर रही होती है। धारा की दिशा और प्रासंगिक ज्यामिति दोनों महत्वपूर्ण हैं।
प्रवेश के दौरान पृष्ठ के भीतर की ओर चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। लेंज़ के नियम के अनुसार प्रेरित क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर होना चाहिए, इसलिए धारा वामावर्त होती है।
जब पूरा लूप एकसमान क्षेत्र के भीतर चलता है, तो उसका क्षेत्रफल, अभिविन्यास और चुंबकीय क्षेत्र स्थिर रहते हैं। इसलिए,
\[ \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=0 \]
और आदर्शीकृत प्रेरित emf तथा धारा शून्य होते हैं।
निकास के दौरान पृष्ठ के भीतर की ओर फ्लक्स घटता है। इस कमी का विरोध करने के लिए प्रेरित क्षेत्र अब पृष्ठ के भीतर की ओर होना चाहिए, जिसके लिए दक्षिणावर्त धारा आवश्यक है।
दोनों सीमा-पार प्रक्रियाओं में गतिज emf का परिमाण है
\[ \varepsilon =B\ell v =(0.80)(0.25)(3.0) =0.60\text{ V} \]
प्रेरित धारा का परिमाण है
\[ I =\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.60}{0.20} =3.0\text{ A} \]
चुंबकीय बल का परिमाण है
\[ F =BI\ell =(0.80)(3.0)(0.25) =0.60\text{ N} \]
प्रवेश और निकास दोनों के दौरान बल बाईं ओर, अर्थात लूप की दाईं ओर की गति के विपरीत, कार्य करता है।
प्रत्येक सीमा-पार प्रक्रिया में उतना समय लगता है जितना लूप की \(0.40\text{ m}\) चौड़ाई को सीमा पार करने में लगता है:
\[ t =\frac{d}{v} =\frac{0.40}{3.0} =0.133\text{ s} \]
ऊष्मीय ऊर्जा उत्पन्न होने की दर है
\[ P =I^2R =(3.0)^2(0.20) =1.8\text{ W} \]
इसलिए एक सीमा-पार प्रक्रिया में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा है
\[ E =Pt =(1.8)(0.133) \approx0.24\text{ J} \]
दो सीमा-पार प्रक्रियाएँ हैं, इसलिए
\[ E_{\text{total}} =2(0.24) =0.48\text{ J} \]
विद्यार्थी का तर्क इसलिए गलत है क्योंकि लूप की धारा उलटने से कुल बल अपने-आप उलट नहीं जाता।
प्रवेश के दौरान लूप की एक ऊर्ध्वाधर भुजा क्षेत्र के भीतर महत्वपूर्ण धारा-वहन करने वाला भाग होती है। निकास के दौरान विपरीत ऊर्ध्वाधर भुजा वह भाग होती है जो क्षेत्र में बनी रहती है। पूरे लूप में धारा की दिशा उलट जाती है, लेकिन धारा की दिशा और चुंबकीय-क्षेत्र की ज्यामिति का संयोजन फिर भी गति के विपरीत बल उत्पन्न करता है।
ऊर्जा की एक बाध्यता भी है। लूप को स्थिर चाल से खींचा जा रहा है, इसलिए किसी बाहरी कारक को चुंबकीय प्रतिरोध के विरुद्ध धनात्मक कार्य करना पड़ता है। वह कार्य लूप में ऊष्मीय ऊर्जा में बदल जाता है।
यदि चुंबकीय बल निकास के समय लूप को इतना त्वरित कर देता कि प्रवेश के समय हटाई गई सारी ऊर्जा वापस मिल जाती, जबकि प्रतिरोध अब भी ऊष्मा उत्पन्न कर रहा होता, तो ऊर्जा संतुलन विफल हो जाता।
यही वह गहरा कारण है जिसके कारण लेंज़ का नियम विश्वसनीय है: प्रेरित प्रतिक्रिया ऊर्जा संरक्षण से बाधित होती है।
11यह विचार आगे कहाँ ले जाता है
भँवर-धारा ब्रेकिंग एक व्यापक नियम का उदाहरण है: जब भी प्रेरण कोई धारा उत्पन्न करता है, प्रेरित प्रभाव उस परिवर्तन के विरुद्ध कार्य करता है जिसने उसे उत्पन्न किया।
यही ऊर्जा-तर्क DC मोटर में दिखाई देता है। जैसे-जैसे मोटर घूमती है, उसमें एक बैक emf विकसित होता है जो लगाए गए वोल्टेज का विरोध करता है। यही बात एक AC जनरेटर में भी दिखाई देती है, जहाँ चुंबकीय फ्लक्स में लगातार परिवर्तन एक प्रत्यावर्ती emf उत्पन्न करते हैं।
इसलिए अगला उपयोगी कदम कोई और दिशा-नियम सीखना नहीं है। इसके बजाय फैराडे के नियम, लेंज़ के नियम, चुंबकीय बल और ऊर्जा संरक्षण को चार अलग-अलग तथ्यों के बजाय एक जुड़े हुए मॉडल के रूप में देखना सीखना है।