HSC 물리: 알짜힘과 평형 계산

트롤리가 일정한 속력으로 오른쪽으로 굴러가고 있다. 누군가 트롤리를 오른쪽으로 밀고 있고, 마찰력은 왼쪽으로 작용한다. 알짜힘은 어느 방향일까?

트롤리가 움직이는 방향이 오른쪽이므로 “오른쪽”이라고 답하고 싶을 수 있다. 하지만 속도가 일정하다면 가속도는 0이다. 그러면 뉴턴의 제2법칙으로부터 중요한 사실을 알 수 있다. 모든 힘을 합한 알짜힘은 0이어야 한다.

이것이 합력을 구하는 이유다. 각각의 힘을 따로 다루는 대신, 물체의 운동에 동일한 전체 효과를 내는 하나의 힘으로 합친다.

01먼저 화살표로 생각하기

힘은 벡터이다. 즉, 크기와 방향을 모두 가진다.

두 사람이 바퀴 달린 상자를 끈다고 생각해 보자. 한 사람은 오른쪽으로 40 N의 힘으로 당기고, 다른 사람은 왼쪽으로 25 N의 힘으로 당긴다. 두 힘은 일부 상쇄되어, 결과적으로 오른쪽으로 작용하는 하나의 15 N 힘과 같은 효과를 낸다.

이렇게 합쳐진 하나의 힘을 합력(resultant force) 또는 **알짜힘(net force)**이라고 한다.

\[
\vec F_{\text{net}}=\sum \vec F
\]

여기서 \(\vec F_{\text{net}}\)은 알짜힘으로, 단위는 뉴턴(N)이며, \(\sum \vec F\)는 물체에 작용하는 모든 힘의 벡터 합을 뜻한다.

\(F\) 위의 화살표는 힘에 방향이 있다는 것을 나타낸다.

여기서 이미 주의해야 할 점이 하나 있다. 알짜힘이 반드시 물체가 움직이는 방향을 향하는 것은 아니다.

속도는 물체가 현재 어떻게 움직이고 있는지를 나타낸다. 알짜힘은 그 속도가 어떻게 변하고 있는지를 나타낸다.

021차원에서의 합력

관련된 모든 힘이 하나의 직선을 따라 작용할 때, 계산은 주로 부호를 올바르게 사용하는 문제다.

한 방향을 양의 방향으로 정한다. 반대 방향은 음의 방향이 된다.

예를 들어 다음과 같이 정할 수 있다.

• 오른쪽을 양의 방향
• 왼쪽을 음의 방향

그러면 오른쪽으로 작용하는 30 N의 힘은 \(+30\text{ N}\)이고, 왼쪽으로 작용하는 12 N의 힘은 \(-12\text{ N}\)이다.

따라서:

\[
F_{\text{net}}=30+(-12)=18\text{ N}
\]

결과가 양수이므로 합력은 오른쪽으로 18 N이다.

왼쪽을 양의 방향으로 정해도 된다. 수치의 부호는 달라지지만 물리적인 답은 달라지지 않는다. 중요한 것은 하나의 부호 규약을 정하고 일관되게 사용하는 것이다.

03알짜힘이 0이라는 것은 실제로 무엇을 의미할까?

오른쪽과 왼쪽으로 작용하는 힘의 크기가 같다고 해 보자.

\[
F_{\text{net}}=0
\]

뉴턴의 제2법칙에 따르면,

\[
F_{\text{net}}=ma
\]

이므로 질량이 0이 아닌 물체에 대해서는

\[
a=0
\]

이다.

이 상태를 **병진 평형(translational equilibrium)**이라고 한다.

이때 물체에는 어떤 일이 일어날까?

두 가지 가능성이 있다.

• 물체가 이미 정지해 있다면 계속 정지해 있다.
• 물체가 이미 일정한 속도로 움직이고 있다면 그 일정한 속도를 유지하며 계속 움직인다.

두 번째 경우에서 많은 실수가 발생한다.

학생은 동쪽으로 주행하는 자동차를 보고 자동차가 “계속 움직이게 하려면” 동쪽 방향의 알짜힘이 반드시 필요하다고 생각할 수 있다. 일상적인 물체는 보통 우리가 밀기를 멈추면 느려지기 때문에 그럴듯하게 들린다. 하지만 물체가 느려지는 이유는 마찰력과 항력이 불균형한 힘을 제공하기 때문이다.

모든 힘이 실제로 평형을 이룬다면 일정한 속도를 유지하기 위해 추가적인 전방 알짜힘은 필요하지 않다.

두 번째 행의 표현에 주목하자. 단순히 속력이 일정한 것이 아니라 속도(velocity)가 일정해야 한다. 방향도 중요하다.

042차원에서의 합력

이번에는 한 힘이 동쪽으로 당기고 다른 힘이 북쪽으로 당긴다고 해 보자. 두 힘은 서로 다른 방향을 향하므로 일반적인 수처럼 단순히 더할 수 없다.

대신 수평 방향과 수직 방향을 따로 다룬다.

보통 이를 \(x\)방향과 \(y\)방향이라고 한다.

\[
\Sigma F_x = \text{수평 힘 성분의 합}
\]

\[
\Sigma F_y = \text{수직 힘 성분의 합}
\]

이 두 성분을 알고 나면 합력의 크기는 다음과 같다.

\[
F_{\text{net}}=\sqrt{(\Sigma F_x)^2+(\Sigma F_y)^2}
\]

이는 힘의 삼각형에 피타고라스 정리를 적용한 것일 뿐이다.

그다음 삼각함수를 사용해 방향을 구할 수 있다. 각도 \(\theta\)를 양의 \(x\)방향을 기준으로 측정하면,

\[
\tan\theta=\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}
\]

성분의 부호를 보면 합력이 실제로 어느 사분면에 있는지 알 수 있다. 그림을 확인하지 않은 채 역탄젠트 계산 결과만으로 물리적인 방향을 결정하지 말아야 한다.

05비스듬한 힘을 성분으로 분해하기

대각선 방향을 향하는 힘은 수평 성분과 수직 성분으로 나눌 수 있다.

크기가 \(F\)이고 양의 수평 방향에서 위쪽으로 \(\theta\)의 각도를 이루는 힘의 경우:

\[
F_x=F\cos\theta
\]

\[
F_y=F\sin\theta
\]

여기서:

• \(F_x\)는 수평 성분이다
• \(F_y\)는 수직 성분이다
• \(F\)는 원래 힘의 크기이다
• \(\theta\)는 수평선을 기준으로 측정한 각도이다

이 성분들은 추가적인 힘이 아니다. 같은 원래 힘을 수학적으로 두 부분으로 나눈 것이다.

062차원에서 평형 알아보기

1차원에서 평형이 되려면 서로 반대 방향으로 작용하는 힘이 서로 상쇄되어야 한다.

2차원에서는 조건이 하나 더 있다.

\[
\Sigma F_x=0
\]

그리고

\[
\Sigma F_y=0
\]

두 조건을 모두 만족해야 한다.

매달린 물체에 작용하는 왼쪽과 오른쪽 방향의 힘이 완벽하게 균형을 이루지만, 위쪽으로 작용하는 힘이 아래쪽으로 작용하는 힘보다 20 N 더 크다고 해 보자. 이 물체는 평형 상태가 아니다. 수평 가속도는 0일 수 있지만 수직 가속도는 0이 아니다.

이를 통해 다음과 같은 유용한 판단 규칙을 얻을 수 있다.

물체는 합력 벡터가 0일 때에만 병진 평형 상태에 있다.

각각의 개별 힘마다 크기가 같고 방향이 반대인 힘이 반드시 하나씩 대응할 필요는 없다. 여러 힘이 합쳐져 다른 하나의 힘을 상쇄할 수 있다.

예를 들어 대각선 방향으로 작용하는 두 케이블 장력의 수평 성분이 서로 상쇄되는 동시에, 두 수직 성분은 합쳐져 물체의 무게와 균형을 이룰 수 있다.

07평형에 필요한 힘 구하기

때로는 미지수가 합력이 아닐 수 있다. 대신 합력을 0으로 만들기 위해 어떤 추가적인 힘이 필요한지 묻기도 한다.

방법은 간단하다.

1. 현재 작용하고 있는 힘들의 합력을 구한다.
2. 필요한 평형력의 크기는 그 합력과 같고 방향은 반대가 되도록 한다.

현재 힘들의 합력이 동쪽으로 40 N이라면, 서쪽으로 40 N의 힘을 하나 더 가하면 평형을 이룬다.

2차원에서 기존 합력의 성분이

\[
\vec F_{\text{net}}=(30\text{ N 동쪽},40\text{ N 북쪽}),
\]

이라면 평형을 만드는 힘의 성분은

\[
(-30\text{ N},-40\text{ N}),
\]

이어야 하며, 이는 서쪽으로 30 N, 남쪽으로 40 N을 뜻한다.

이처럼 반대 방향으로 작용하는 힘을 **평형력(equilibrant)**이라고 부르기도 한다.

08피해야 할 오개념: 운동과 알짜힘은 같은 것이 아니다

퍽이 동쪽으로 미끄러지는 동안 알짜힘이 서쪽으로 작용한다고 생각해 보자.

가속도는 어느 방향일까?

서쪽이다.

힘이 작용하기 시작한 직후에는 어느 방향으로 움직일까?

여전히 동쪽이다.

모순은 없다. 서쪽 방향의 가속도가 동쪽 방향의 속도를 변화시키기 때문이다. 퍽은 먼저 느려진다. 서쪽 방향의 힘이 충분히 오래 계속 작용한다면, 퍽은 결국 멈춘 뒤 서쪽으로 움직이기 시작할 수 있다.

다음 물리량을 서로 구분해야 한다.

• 속도는 현재 운동의 방향과 변화율을 나타낸다
• 가속도는 속도가 어떻게 변하고 있는지를 나타낸다
• 알짜힘은 가속도와 같은 방향을 향한다. \(\vec F_{\text{net}}=m\vec a\)이기 때문이다

따라서 물체의 운동 방향만 보고 알짜힘의 방향을 알아낼 수는 없다.

09HSC 힘 문제를 푸는 신뢰할 수 있는 방법

문제에 여러 힘이 등장할 때는 매번 같은 순서를 사용하자.

1. 대상 물체를 정한다. 정확히 어느 물체에 작용하는 힘들을 더할 것인지 결정한다.
2. 양의 방향을 정한다. 2차원에서는 보통 오른쪽을 \(+x\), 위쪽을 \(+y\)로 정한다.
3. 비스듬한 힘을 분해한다. 필요하면 힘을 \(x\)성분과 \(y\)성분으로 나눈다.
4. 성분을 따로 더한다. \(\Sigma F_x\)와 \(\Sigma F_y\)를 구한다.
5. 필요하면 다시 합성한다. 크기는 피타고라스 정리로, 방향은 삼각함수로 구한다.
6. 결과를 해석한다. 합력이 0이면 병진 가속도가 0이다. 합력이 0이 아니면 그 방향이 가속도의 방향이다.

계산 자체는 대개 가장 어려운 부분이 아니다. 어려운 부분은 어떤 힘을 합에 포함해야 하는지 판단하고, 속도와 가속도, 힘을 서로 구분하는 것이다.

10문제와 풀이

문제 1

자전거를 타는 사람이 앞쪽으로 180 N의 구동력을 받는다. 공기 저항은 뒤쪽으로 145 N, 구름 저항은 뒤쪽으로 35 N이다. 수평 합력을 계산하여라. 이를 통해 자전거를 타는 사람의 수평 가속도에 대해 무엇을 알 수 있는가?

풀이 1

수평 합력은 0 N이므로 자전거를 타는 사람의 수평 가속도는 0이다.

앞쪽을 양의 방향으로 정한다. 합력은

\[
F_{\text{net}}
=180-145-35
=0\text{ N}
\]

이다.

뉴턴의 제2법칙,

\[
F_{\text{net}}=ma,
\]

을 사용하면 알짜힘이 0이라는 것은 \(a=0\)이라는 뜻이다.

이것은 자전거를 타는 사람이 정지해 있다는 뜻은 아니다. 이미 움직이고 있다면 일정한 속도로 계속 움직일 수 있다. 흔한 실수는 앞으로 움직이려면 반드시 앞쪽 방향의 합력이 필요하다고 생각하는 것이다.

문제 2

질량이 2.0 kg인 실험용 카트에 수평면에서 네 힘이 작용한다. 동쪽으로 24 N, 북쪽으로 10 N, 서쪽으로 8 N, 남쪽으로 4 N이다. 합력의 크기와 방향을 구한 뒤 카트의 가속도를 계산하여라.

풀이 2

합력은 동쪽에서 북쪽으로 \(20.6^\circ\) 방향으로 17.1 N이며, 같은 방향으로 \(8.54\text{ m s}^{-2}\)의 가속도가 발생한다.

동쪽을 양의 \(x\)방향, 북쪽을 양의 \(y\)방향으로 정한다.

수평 합력은

\[
\Sigma F_x=24-8=16\text{ N}
\]

이고 수직 합력은

\[
\Sigma F_y=10-4=6\text{ N}.
\]

합력의 크기는

\[
F_{\text{net}}
=\sqrt{16^2+6^2}
=\sqrt{292}
=17.1\text{ N}.
\]

이다.

방향은

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{6}{16}\right)
=20.6^\circ.
\]

이다.

두 성분이 모두 양수이므로 방향은 동쪽에서 북쪽으로 \(20.6^\circ\)이다.

이제 뉴턴의 제2법칙을 사용한다.

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{17.1}{2.0}
=8.54\text{ m s}^{-2}.
\]

가속도는 알짜힘과 같은 방향을 향하며, 반드시 카트의 기존 속도 방향과 같은 것은 아니다.

문제 3

작은 물체에 두 힘이 작용한다. 동쪽으로 30 N, 북쪽으로 40 N이다. 물체를 병진 평형 상태로 만들기 위해 필요한 하나의 추가적인 힘을 구하여라.

풀이 3

필요한 힘은 서쪽에서 남쪽으로 \(53.1^\circ\) 방향으로 50 N이다.

먼저 기존 힘들의 합력을 구한다.

그 크기는

\[
F_{\text{resultant}}
=\sqrt{30^2+40^2}
=50\text{ N}.
\]

이다.

이 합력이 동쪽에서 북쪽으로 이루는 각도는

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right)
=53.1^\circ.
\]

이다.

따라서 기존 힘들은 합쳐져 동쪽에서 북쪽으로 \(53.1^\circ\) 방향의 50 N 힘을 만든다.

평형을 이루려면 추가적인 힘이 전체 벡터 합을 0으로 만들어야 한다. 따라서 추가적인 힘은 크기는 같고 방향은 정확히 반대여야 한다.

\[
F_{\text{additional}}=50\text{ N at }53.1^\circ\text{ south of west}.
\]

그 성분은 서쪽으로 30 N, 남쪽으로 40 N이며, 각각 원래의 성분을 상쇄한다.

주의해야 할 점은 편리한 아무 방향으로나 50 N의 힘을 하나 더하면 된다고 생각하는 것이다. 크기가 같다는 것만으로는 충분하지 않다. 방향까지 전체 벡터 합이 0이 되도록 정해져야 한다.

문제 4

질량이 4.0 kg인 카트가 처음에 서쪽으로 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있다. 그 후 동쪽으로 일정한 8.0 N의 합력이 2.0 s 동안 작용한다. 카트는 평형 상태인가? 2.0 s가 지난 후의 속도를 구하여라.

풀이 4

카트는 평형 상태가 아니며, 2.0 s 후에는 동쪽으로 \(1.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직인다.

알짜힘은 동쪽으로 8.0 N이며 0이 아니다. 따라서 카트에는 가속도가 존재하므로 평형 상태가 아니다.

뉴턴의 제2법칙을 사용하면,

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{8.0}{4.0}
=2.0\text{ m s}^{-2}\text{ east}.
\]

동쪽을 양의 방향으로 정한다. 따라서 초기의 서쪽 방향 속도는

\[
u=-3.0\text{ m s}^{-1}.
\]

이다.

다음 식을 사용하면,

\[
v=u+at,
\]

다음을 얻는다.

\[
v=-3.0+(2.0)(2.0)
=+1.0\text{ m s}^{-1}.
\]

양의 부호는 동쪽을 의미한다.

흥미로운 부분은 그 사이에 일어나는 일이다. 카트가 처음에는 서쪽으로 움직이고 있지만 힘은 동쪽을 향하므로 카트는 먼저 느려진다. 속도가 0이 되는 시점은

\[
0=-3.0+(2.0)t,
\]

이므로

\[
t=1.5\text{ s}.
\]

이다.

힘은 여전히 작용하고 있으므로 그 후 카트는 동쪽으로 가속한다. 이는 힘이 물체의 순간적인 이동 방향이 아니라 가속도를 결정한다는 점을 잘 보여 준다.

문제 5

질량이 900 kg인 자동차가 평평한 원형 트랙을 \(12\text{ m s}^{-1}\)의 일정한 속력으로 달린다. 트랙의 반지름은 30 m이다. 한 학생은 자동차의 속력이 일정하므로 자동차에 작용하는 힘이 평형을 이루어야 한다고 주장한다. 이 주장을 평가하고 합력을 계산하여라.

풀이 5

이 주장은 옳지 않다. 자동차에는 원의 중심을 향하는 \(4.32\times10^3\text{ N}\)의 합력이 작용하므로 병진 평형 상태가 아니다.

주의해야 할 단어는 속력이다. 속력에는 방향이 없지만 속도에는 방향이 있다.

자동차의 속력은 \(12\text{ m s}^{-1}\)로 일정하지만, 원을 따라 이동하는 동안 운동 방향은 계속 바뀐다. 따라서 속도가 변하고 있으며, 이는 가속도가 있다는 뜻이다.

원운동에서 안쪽 방향의 가속도 크기는

\[
a=\frac{v^2}{r},
\]

이며, 여기서 \(v\)는 속력이고 \(r\)은 원형 경로의 반지름이다.

값을 대입하면,

\[
a=\frac{12^2}{30}
=\frac{144}{30}
=4.8\text{ m s}^{-2}.
\]

뉴턴의 제2법칙을 사용하면,

\[
F_{\text{net}}=ma
=(900)(4.8)
=4320\text{ N}.
\]

따라서

\[
F_{\text{net}}=4.32\times10^3\text{ N}
\]

이며 방향은 원의 중심을 향한다.

속도가 일정하다면 가속도와 합력은 0이다. 하지만 방향이 변하면서 속력만 일정한 경우에는 그렇지 않다.

11알짜힘을 이해하면 다음에 무엇을 할 수 있을까?

여러 힘을 하나의 합력 벡터로 바꿀 수 있게 되면 뉴턴의 법칙을 훨씬 쉽게 사용할 수 있다. 자유 물체도는 각각의 힘을 보여 주고, 벡터 덧셈을 통해 \(\vec F_{\text{net}}\)을 구하며, 뉴턴의 제2법칙을 사용하면 그 합력을 가속도로 바꿀 수 있다.

장력, 수직항력, 마찰력, 경사면, 원운동을 분석할 때도 같은 사고 과정이 다시 사용된다. 핵심 판단은 언제나 같다. 물체가 어떻게 움직일지를 묻기 전에, 먼저 모든 힘을 합하면 무엇이 되는지 구해야 한다.