경사진 트랙: HSC 물리에서의 수직항력과 설계 속도

도로의 평평한 구간에서 자동차가 굽은 길로 들어간다. 타이어가 옆방향 마찰력을 전혀 제공하지 못한다면 자동차는 굽은 길을 따라갈 수 없다. 대신 접선 방향으로 계속 움직이려 한다.

이제 도로를 기울여 바깥쪽 가장자리가 더 높아지게 해 보자. 옆방향 마찰력이 완전히 사라지더라도 자동차가 회전할 수 있을까? 계속 읽기 전에 안쪽으로 향하는 힘이 어디에서 생길 수 있을지 예측해 보자. 무게를 제외하면 남아 있는 접촉력은 하나뿐이다. 바로 도로가 자동차에 가하는 수직항력이다.

이것이 경사진 트랙의 핵심이다. 도로를 기울이면 수직항력도 기울어져, 회전 중심을 향하는 수평 성분이 생긴다. 하지만 한 가지 조건이 있다. 주어진 반지름과 경사각에서 마찰에 의존하지 않고 완전히 수평인 원형 경로를 유지할 수 있는 속도는 단 하나뿐이다.

01경사가 수직항력을 바꾸는 이유

평평한 도로에서는 수직항력 \(N\)이 수직 위쪽을 향한다. 수직 가속도가 없다면 이 힘은 단순히 자동차의 무게 \(mg\)와 균형을 이룬다.

경사진 도로에서는 상황이 다르다. 수직항력은 항상 도로 표면에 수직이므로, 도로를 기울이면 \(N\)도 함께 기울어진다.

경비원이 벽에서 당신을 밀어내는 모습을 떠올려 보자. 경비원이 똑바로 서 있다면 밀어내는 힘도 곧은 방향으로 작용한다. 경비원이 몸을 기울인 채 밀면 같은 힘도 이제 수직 성분과 옆방향 성분을 모두 갖게 된다. 수직항력도 비슷하게 작용한다. 도로의 경사는 하나의 힘이 두 방향의 성분을 갖게 한다.

하지만 비유는 여기까지다. 수직항력은 사람이 방향을 선택해서 가하는 힘이 아니다. 그 방향은 표면에 의해 정해지며, 크기는 자동차의 운동과 다른 힘들에 의해 결정된다.

도로가 수평면에 대해 \(\theta\)의 각도로 기울어져 있다고 하자. 수직항력은 도로에 수직이므로, \(N\)은 수직선으로부터 같은 각도 \(\theta\)만큼 기울어진다.

\(N\)을 두 성분으로 분해하면 다음과 같다.

• \(N\cos\theta\)는 수직 위쪽으로 작용한다.
• \(N\sin\theta\)는 원형 경로의 중심을 향해 수평으로 작용한다.

이 두 번째 성분이 필요한 구심가속도를 만들어 낼 수 있다.

이 표현은 중요하다. \(N\)에 더해 별도로 나타나는 ‘구심력’이라는 힘이 있는 것은 아니다. 구심력은 원운동에 필요한 알짜 안쪽 방향 힘을 설명하는 말이다. 이 구분이 아직 불확실하다면 구심력을 제공하는 실제 힘을 식별하는 방법을 복습하자.

02설계 속도 식 유도하기

자동차가 반지름 \(r\)인 수평 원을 따라 움직이고 있으며, 옆방향 마찰은 없다고 하자.

수직 가속도는 0이므로 수직 방향 힘은 평형을 이루어야 한다.

\[ N\cos\theta = mg \]

여기서:

• \(N\)은 뉴턴 단위의 수직항력이고,
• \(\theta\)는 경사각이며,
• \(m\)은 킬로그램 단위의 자동차 질량이고,
• \(g\)는 중력가속도로, 약 \(9.8\ \text{m s}^{-2}\)이다.

수평 방향으로 자동차에는 다음과 같은 안쪽 방향 가속도가 필요하다.

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

따라서 필요한 알짜 안쪽 방향 힘은

\[ F_c=\frac{mv^2}{r}. \]

수직항력의 안쪽 방향 성분이 이 힘을 제공한다.

\[ N\sin\theta=\frac{mv^2}{r}. \]

이제 같은 수직항력을 설명하는 두 식이 있다.

\[ N\cos\theta=mg \]

그리고

\[ N\sin\theta=\frac{mv^2}{r}. \]

두 번째 식을 첫 번째 식으로 나누면

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg}. \]

\(N\), \(m\), 그리고 그 밖의 여러 불필요한 항들이 사라진다.

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

정리하면 마찰이 없을 때의 설계 속도는

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta}. \]

이것이 경사진 트랙의 핵심 관계식이다.

질량이 소거된다는 점에 주목하자. 더 무거운 자동차라고 해서 단지 무겁다는 이유만으로 이상적인 속도가 달라지는 것은 아니다. 더 큰 구심력이 필요하지만, 더 큰 무게로 인해 수직항력도 그에 비례해 커진다.

03마찰이 없을 때 가능한 속도가 하나뿐인 이유

설계 속도보다 낮은 어떤 속도라도 가능할 것이라고 생각하기 쉽다. 결국 더 느린 자동차는 더 작은 구심력만 필요하기 때문이다.

문제는 도로의 경사가 수직항력의 방향을 고정한다는 것이다.

수직항력의 안쪽 방향 성분과 수직 성분의 비는

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta}=\tan\theta. \]

경사각이 바뀌지 않는 한 이 비는 변할 수 없다.

하지만 수평 원형 경로를 유지하기 위해 필요한 비는

\[ \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}. \]

따라서 도로의 기하학적 형태가 요구하는 비가 하나 있고, 자동차의 속도와 반지름이 요구하는 비가 또 하나 있다. 두 비는 다음 조건에서만 일치한다.

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

이것이 설계 속도가 단순히 편리한 속도에 불과하지 않은 이유다. 이상적인 무마찰 모형에서는 주어진 반지름과 경사각으로 수평 원형 경로를 만들 수 있는 유일한 속도다.

04속도가 맞지 않으면 무엇이 달라질까?

실제 도로와 트랙에는 마찰이 있으므로 자동차가 정확히 한 가지 속도로만 달려야 하는 것은 아니다.

하지만 식을 추가하기 전에 먼저 마찰의 방향을 예측해 보자.

자동차가 마찰이 없을 때의 설계 속도보다 느리게 달리고 있다고 하자. 마찰은 더 안쪽을 향할까, 아니면 더 바깥쪽을 향할까?

낮은 속도에서는 자동차가 경사면을 따라 아래쪽, 즉 경사의 더 낮은 안쪽으로 움직이려는 경향이 있다. 따라서 마찰력은 경사면을 따라 위쪽, 즉 더 높은 바깥쪽을 향한다.

높은 속도에서는 반대가 일어난다. 마찰이 없을 때 수직항력의 기하학적 배치만으로 제공되는 안쪽 방향 효과는 그 속도에서 필요한 곡률을 만들기에 충분하지 않으므로, 자동차는 더 높은 바깥쪽으로 움직이려는 경향이 있다. 마찰력은 경사면을 따라 아래쪽으로 작용해 안쪽 방향 성분을 더한다.

세 가지 경우는 다음과 같다.

고속의 경우 표현에 주의해야 한다. 관성 기준계에서 자동차에 실제로 작용하는 정체불명의 ‘바깥쪽 힘’이 있는 것은 아니다. 충분한 안쪽 방향 힘이 자동차의 경로를 휘게 하지 않는 한, 자동차의 속도는 더 접선에 가까운 방향으로 계속 나아가려 한다.

여기에는 또 하나 중요한 함정이 있다. 마찰력이 자동으로 \(f=\mu N\)이 되는 것은 아니다.

정지 마찰력은 필요한 만큼의 값으로 조절되며, 그 최대값까지 증가할 수 있다.

\[ f\leq\mu_sN. \]

타이어가 옆방향으로 막 미끄러지기 직전일 때에만

\[ f=\mu_sN, \]

으로 둘 수 있다. 여기서 \(\mu_s\)는 정지 마찰계수이다.

05경사면에서 마찰력 성분 분해하기

자동차가 설계 속도보다 느리면 마찰력은 경사면을 따라 위쪽으로 작용한다.

그 성분은 다음과 같다.

• \(f\cos\theta\)는 수평 바깥쪽으로 작용하고,
• \(f\sin\theta\)는 수직 위쪽으로 작용한다.

힘에 대한 식은 다음과 같이 된다.

\[ N\sin\theta-f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

그리고

\[ N\cos\theta+f\sin\theta=mg. \]

설계 속도보다 빠르면 마찰력은 경사면을 따라 아래쪽으로 작용한다. 부호가 반대로 바뀐다.

\[ N\sin\theta+f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

그리고

\[ N\cos\theta-f\sin\theta=mg. \]

네 개의 부호를 무작정 외울 필요는 없다. 곧 일어날 옆방향 미끄러짐을 방해하는 방향으로 마찰력을 그린 뒤, 그 힘을 성분으로 분해하면 된다.

시험에서는 이 방법이 훨씬 안전하다.

06이상적인 모형이 고려하지 않는 것

설계 속도 식

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta} \]

은 우리가 만든 모형에서만 정확하다.

이 식은 다음을 가정한다.

• 자동차는 반지름이 일정한 수평 원을 따라 움직인다.
• 옆방향 마찰은 없다.
• 도로에는 하나의 일정한 경사각이 있다.
• 힘을 분석할 때 자동차를 입자로 취급할 수 있다.
• 수직 가속도는 0이다.

실제 차량에는 서스펜션의 움직임, 타이어 변형, 공기역학적 힘, 변하는 노면 상태, 타이어 접지력의 한계도 존재한다. 이런 세부 사항은 공학적으로 중요하지만, HSC의 핵심 개념은 바꾸지 않는다. 즉, 경사는 접촉력의 방향을 바꾸어 그 일부가 필요한 안쪽 방향 가속도를 제공할 수 있게 한다.

07문제와 풀이

문제 1

반지름이 \(40.0\ \text{m}\)인 곡선이 \(10.0^\circ\)로 경사져 있다. 마찰은 없다고 가정한다.

설계 속도를 계산하라.

풀이 1

설계 속도는 \(8.31\ \text{m s}^{-1}\), 즉 약 \(29.9\ \text{km/h}\)이다.

마찰이 없는 경사진 곡선에서는

\[ v=\sqrt{rg\tan\theta}. \]

\(r=40.0\ \text{m}\), \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\), \(\theta=10.0^\circ\)를 대입하면

\[ v = \sqrt{(40.0)(9.8)\tan10.0^\circ} = \sqrt{69.1} = 8.31\ \text{m s}^{-1}. \]

힘의 도식에 무게가 나타나기 때문에 \(mg\tan\theta\)를 속도 식으로 사용하고 싶을 수 있다. 하지만 수직 방향 식과 수평 방향 식을 서로 나누면 질량은 소거되므로, 설계 속도는 \(r\), \(g\), \(\theta\)에만 의존한다.

문제 2

질량이 \(950\ \text{kg}\)인 자동차가 반지름 \(90.0\ \text{m}\)인 마찰 없는 경사진 곡선을 따라 움직인다. 힘 센서에 따르면 도로가 자동차에 가하는 수직항력은 \(9.92\ \text{kN}\)이다.

다음을 구하라.

a. 경사각, 그리고
b. 자동차의 속도.

풀이 2

경사각은 약 \(20.2^\circ\)이고, 자동차의 속도는 약 \(18.0\ \text{m s}^{-1}\)이다.

먼저 수직 방향 힘의 평형을 이용한다. 자동차에는 수직 가속도가 없으므로

\[ N\cos\theta=mg. \]

여기서

\[ N=9.92\ \text{kN}=9920\ \text{N} \]

이고

\[ mg=(950)(9.8)=9310\ \text{N}. \]

따라서

\[ \cos\theta = \frac{9310}{9920} = 0.9385, \]

이므로

\[ \theta=\cos^{-1}(0.9385)\approx20.2^\circ. \]

이제 경사진 트랙의 관계식을 사용한다.

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg}. \]

따라서

\[ v = \sqrt{rg\tan\theta} = \sqrt{(90.0)(9.8)\tan20.2^\circ} \approx 18.0\ \text{m s}^{-1}. \]

\(N=mg\)라고 가정하고 싶을 수 있다. 다른 수직 방향 힘의 기하학적 성분이 없는 평평한 표면에서는 이것이 맞지만, 여기서는 그렇지 않다. 수직항력은 수직 성분과 수평 성분을 모두 가져야 하므로 그 크기는 \(mg\)보다 크다.

문제 3

질량이 \(1000\ \text{kg}\)인 자동차가 반지름 \(70.0\ \text{m}\), 경사각 \(16.0^\circ\)인 곡선을 따라 이동한다.

자동차는 마찰이 없을 때의 설계 속도의 \(75\%\)로 주행하지만, 여전히 같은 수평 원형 경로를 따른다.

다음을 구하라.

a. 마찰이 없을 때의 설계 속도,
b. 마찰력의 방향, 그리고
c. 필요한 최소 정지 마찰계수.

풀이 3

설계 속도는 \(14.0\ \text{m s}^{-1}\)이고, 마찰력은 경사면을 따라 위쪽으로 작용하며, 필요한 최소 정지 마찰계수는 약 \(0.120\)이다.

먼저 설계 속도를 구한다.

\[ v_d = \sqrt{rg\tan\theta} = \sqrt{(70.0)(9.8)\tan16.0^\circ} = 14.0\ \text{m s}^{-1}. \]

실제 속도는

\[ v=0.75v_d=(0.75)(14.0)=10.5\ \text{m s}^{-1}. \]

자동차가 설계 속도보다 느리게 이동하고 있으므로 경사면을 따라 아래쪽으로 미끄러지려는 경향이 있다. 따라서 정지 마찰력은 경사면을 따라 위쪽으로 작용해야 한다.

필요한 마찰력을 \(f\)라고 하자.

마찰력이 경사면을 따라 위쪽으로 작용할 때,

\[ N\sin\theta-f\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

그리고

\[ N\cos\theta+f\sin\theta=mg. \]

필요한 안쪽 방향 힘은

\[ \frac{mv^2}{r} = \frac{(1000)(10.5)^2}{70.0} \approx 1.58\times10^3\ \text{N}. \]

필요한 합력을 경사면에 수직인 방향과 평행한 방향으로 분해하면

\[ N = \left(\frac{mv^2}{r}\right)\sin\theta + mg\cos\theta \approx 9.86\times10^3\ \text{N}, \]

그리고

\[ f = mg\sin\theta - \left(\frac{mv^2}{r}\right)\cos\theta \approx 1.18\times10^3\ \text{N}. \]

한계값에서는

\[ f=\mu_sN. \]

따라서

\[ \mu_s = \frac{f}{N} = \frac{1.18\times10^3}{9.86\times10^3} \approx 0.120. \]

미묘한 점은 방향이다. 원운동에는 안쪽 방향 힘이 필요하므로 마찰력도 반드시 안쪽을 향해야 한다고 생각하기 쉽다. 그러나 이 낮은 속도에서는 자동차를 수직으로 지지하면서 필요한 값과 비교했을 때, 경사진 수직항력이 이미 지나치게 큰 안쪽 방향 성분을 제공한다. 마찰력은 경사면을 따라 위쪽으로 작용해 바깥쪽 성분을 만들어 내고, 그 결과 알짜 안쪽 방향 힘을 줄인다.

문제 4

한 트랙에 경사각이 모두 \(20.0^\circ\)인 두 개의 동심원 차선이 있다.

안쪽 차선의 반지름은 \(50.0\ \text{m}\), 바깥쪽 차선의 반지름은 \(80.0\ \text{m}\)이다.

자동차 A는 안쪽 차선에서 마찰이 없을 때의 설계 속도로 달린다. 자동차 B는 바깥쪽 차선에서 달리며, 자동차 A와 정확히 같은 시간에 한 바퀴를 돈다.

a. 자동차 A의 속도와 한 바퀴 도는 시간을 구하라.
b. 자동차 B의 속도를 구하라.
c. 바깥쪽 차선에서 마찰이 없을 때의 설계 속도를 구하라.
d. 자동차 B가 마찰 없이 달릴 수 있는지 판단하고, 필요한 마찰력의 방향을 구하라.
e. 같은 경사각을 가진 서로 다른 두 반지름에서 두 자동차가 같은 한 바퀴 시간을 가지면서 모두 마찰 없이 달릴 수 없는 이유를 일반적으로 보여라.

풀이 4

자동차 B는 마찰 없이 달릴 수 없다. 바깥쪽 차선의 설계 속도보다 빠르게 달리고 있으므로 마찰력은 경사면을 따라 아래쪽으로 작용해야 한다.

자동차 A에 대해

\[ v_A = \sqrt{r_1g\tan\theta} = \sqrt{(50.0)(9.8)\tan20.0^\circ} = 13.35\ \text{m s}^{-1}. \]

안쪽 경로의 둘레는 \(2\pi r_1\)이므로 주기는

\[ T = \frac{2\pi r_1}{v_A} = \frac{2\pi(50.0)}{13.35} = 23.5\ \text{s}. \]

자동차 B는 같은 주기를 가지지만 반지름은 더 크다. 따라서 속도는

\[ v_B = \frac{2\pi r_2}{T} = \frac{2\pi(80.0)}{23.5} = 21.4\ \text{m s}^{-1}. \]

반지름 \(80.0\ \text{m}\)에서 마찰이 없을 때의 설계 속도는

\[ v_{d,2} = \sqrt{(80.0)(9.8)\tan20.0^\circ} = 16.9\ \text{m s}^{-1}. \]

다음과 같이

\[ 21.4\ \text{m s}^{-1}>16.9\ \text{m s}^{-1}, \]

이므로 자동차 B는 설계 속도보다 빠르다. 자동차는 경사의 더 높은 바깥쪽으로 움직이려는 경향이 있으므로, 마찰력은 경사면을 따라 아래쪽으로 작용해야 한다.

더 근본적인 이유는 비례 관계를 비교하면 알 수 있다.

경사각이 하나로 고정되어 있을 때,

\[ v_d=\sqrt{rg\tan\theta}, \]

이므로

\[ v_d\propto\sqrt r. \]

하지만 두 자동차의 주기가 같다면,

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

이므로

\[ v\propto r. \]

따라서 선속도는 반지름이 커질수록 마찰이 없을 때의 설계 속도보다 더 빠르게 증가한다.

더 형식적으로, 자동차 A가 설계 속도로 달리고 있으므로

\[ v_A^2=r_1g\tan\theta. \]

주기가 같으려면

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{r_2}{r_1}. \]

한편,

\[ \frac{v_{d,2}}{v_A} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}. \]

따라서

\[ \frac{v_B}{v_{d,2}} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}. \]

어떤 \(r_2>r_1\)에 대해서도 이 비는 \(1\)보다 크다.

한 경사각이 하나의 한 바퀴 시간에 대응한다고 가정하기 쉽다. 하지만 그렇지 않다. 경사는 선속도와 반지름 사이의 관계를 정하는 반면, 같은 한 바퀴 시간은 다른 관계를 요구한다. 서로 다른 두 반지름에서는 이 두 조건을 동시에 만족시킬 수 없다.

문제 5

반지름이 \(60.0\ \text{m}\)인 곡선이 \(15.0^\circ\)로 경사져 있다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰계수는 \(0.300\)이다.

한 학생이 다음과 같이 주장한다.

“마찰이 있는 경사진 곡선에는 반드시 항상 최소 속도와 최대 속도가 모두 존재한다.”

이 주장을 조사하라.

a. 정지해 있는 자동차가 미끄러지지 않고 이 경사면에 그대로 있을 수 있는지 판단하라.
b. 이를 이용해 실제 허용 최소 속도를 구하라.
c. 자동차가 경사면을 따라 위쪽으로 미끄러지기 시작하기 전의 최대 속도를 계산하라.
d. 양의 하한 속도를 계산하려고 할 때 \(v^2\)에 대해 겉보기에 불가능한 음의 값이 나올 수 있는 이유를 설명하라.

풀이 5

이 곡선에서는 학생의 주장이 틀렸다. 최소 속도는 \(0\)이고, 최대 속도는 약 \(19.1\ \text{m s}^{-1}\)이다.

경계 조건인 \(v=0\)에서 시작하자. 이 부분은 쉽게 놓칠 수 있다.

자동차가 정지해 있으면 중력 때문에 경사면을 따라 아래쪽으로 미끄러지려 한다. 따라서 정지 마찰력은 경사면을 따라 위쪽으로 작용한다.

경사면에 수직인 방향으로 힘을 분해하면

\[ N=mg\cos\theta. \]

경사면을 따라 필요한 마찰력은

\[ f=mg\sin\theta. \]

따라서 필요한 마찰력의 비는

\[ \frac{f}{N} = \frac{mg\sin\theta}{mg\cos\theta} = \tan\theta. \]

\(\theta=15.0^\circ\)일 때,

\[ \tan15.0^\circ=0.268. \]

사용 가능한 마찰계수는

\[ \mu_s=0.300. \]

다음과 같이

\[ 0.268<0.300, \]

이므로 정지 마찰력은 속도가 0일 때에도 자동차를 충분히 고정할 수 있다.

따라서 실제 최소 속도는

\[ v_{\min}=0. \]

최대 속도에서는 자동차가 경사면을 따라 위쪽으로 막 미끄러지려 한다. 따라서 마찰력은 한계 크기

\[ f=\mu_sN. \]

로 경사면을 따라 아래쪽으로 작용한다.

안쪽 방향 힘에 대한 식은

\[ N\sin\theta+\mu_sN\cos\theta = \frac{mv^2}{r}, \]

이고, 수직 방향 평형 조건은

\[ N\cos\theta-\mu_sN\sin\theta=mg. \]

첫 번째 식을 두 번째 식으로 나누면

\[ \frac{v^2}{rg} = \frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta} {\cos\theta-\mu_s\sin\theta}. \]

따라서

\[ v = \sqrt{ rg \left( \frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta} {\cos\theta-\mu_s\sin\theta} \right) }. \]

\(r=60.0\ \text{m}\), \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\), \(\theta=15.0^\circ\), \(\mu_s=0.300\)을 대입하면

\[ v = \sqrt{ (60.0)(9.8) \left( \frac{\sin15.0^\circ+(0.300)\cos15.0^\circ} {\cos15.0^\circ-(0.300)\sin15.0^\circ} \right) } \]

\[ v\approx19.1\ \text{m s}^{-1}. \]

따라서

\[ v_{\max}\approx19.1\ \text{m s}^{-1}, \]

즉 약 \(68.6\ \text{km/h}\)이다.

이제 이상해 보이는 부분을 살펴보자.

마찰력이 경사면을 따라 위쪽으로 이미 최대값에 도달하는 더 낮은 한계 속도가 반드시 있다고 가정하면, 식은 다음과 같이 된다.

\[ \frac{v_{\min}^2}{rg} = \frac{\sin\theta-\mu_s\cos\theta} {\cos\theta+\mu_s\sin\theta}. \]

여기서

\[ \sin15.0^\circ-(0.300)\cos15.0^\circ<0. \]

따라서 \(v_{\min}^2<0\)이 되는데, 어떤 실제 속도도 이를 만족할 수 없다.

이 음의 결과는 수학적 오류가 아니다. 가정한 물리적 상황이 존재하지 않는다는 증거다.

이 유도에서는 더 낮은 속도 한계에서 마찰력이 이미 가능한 최대값에 도달했다고 가정했다. 그러나 \(v=0\)에서 자동차가 실제로 필요로 하는 것은

\[ \frac{f}{N}=\tan15.0^\circ=0.268, \]

이며, 이는 사용 가능한 \(0.300\)보다 작다.

정지 마찰력은 반드시 최대값을 사용할 필요가 없다. 필요한 더 작은 값에 맞추어 조절될 뿐이다. 따라서 양의 하한 속도 경계는 존재하지 않는다.

이것이 이 문제의 중요한 전환점이다. 수학적으로 이상해 보이는 결과는 식을 세울 때 사용한 물리적 가정 중 하나가 잘못되었음을 드러낼 수 있다.

08경사진 트랙에서 다음으로 연결되는 내용

경사진 곡선은 세 가지 개념을 하나로 연결한다. 힘의 성분, 원운동 가속도, 그리고 속도와 반지름의 관계다. 힘의 구조를 확실히 이해하고 나면 반지름이나 한 바퀴 시간이 변하는 상황도 훨씬 쉽게 분석할 수 있다. 매번 새로운 공식을 찾는 대신

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

을 적절한 접촉력과 결합하면 되기 때문이다.

다음으로 유용한 단계는 이 힘 분석을 등속 원운동에서의 속도, 반지름, 주기와 연결하는 것이다. 그러면 트랙의 기하학적 구조, 설계 속도, 그리고 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간을 서로 연결해 다룰 수 있다.