Đo chuyển động của sao bằng dịch chuyển Doppler: Vật lí HSC

Một vạch hấp thụ của hiđrô nằm ở \(656.3\) nm trong phòng thí nghiệm lại xuất hiện ở một bước sóng hơi khác trong quang phổ của một ngôi sao. Sự dịch chuyển đó có thể cho chúng ta biết ngôi sao đang chuyển động về phía chúng ta hay ra xa chúng ta nhanh đến mức nào. Nhưng giả sử chính vạch đó cũng rộng hơn đáng kể so với vạch trong phòng thí nghiệm. Đó chỉ là một phép đo kém rõ ràng hơn, hay ngôi sao đang cho chúng ta biết thêm điều gì khác?

Hãy dự đoán trước: nếu toàn bộ ngôi sao chuyển động thẳng ra xa Trái Đất, vạch quang phổ của nó chủ yếu sẽ dịch sang ngang trên đồ thị bước sóng, hay trở nên rộng hơn?

Nó chủ yếu dịch sang ngang. Tuy nhiên, nếu ngôi sao quay, các phần khác nhau trên bề mặt của nó đồng thời chuyển động về phía chúng ta và ra xa chúng ta. Các độ dịch Doppler hơi khác nhau của chúng chồng lên nhau, tạo thành một vạch bị mở rộng.

Như vậy, từ một quang phổ ta có hai manh mối riêng biệt: độ dịch của vạch có thể cho biết vận tốc xuyên tâm, còn độ rộng của vạch có thể cho biết vận tốc quay chiếu.

01Hai chuyển động để lại những dấu hiệu khác nhau

Hãy hình dung một ngôi sao không được phân giải như một đĩa quay rất nhỏ.

Nếu toàn bộ ngôi sao đang chuyển động ra xa Trái Đất, mọi phần nhìn thấy của nó đều có chung chuyển động tổng thể đó. Các vạch quang phổ của nó dịch về phía bước sóng dài hơn. Nếu ngôi sao chuyển động về phía chúng ta, chúng dịch về phía bước sóng ngắn hơn.

Sự quay thì khác. Một phía của ngôi sao đang quay chuyển động một phần về phía chúng ta, trong khi phía đối diện chuyển động một phần ra xa.

Phía đang tiến lại gần tạo ra một độ dịch xanh nhỏ. Phía đang lùi ra xa tạo ra một độ dịch đỏ nhỏ. Các vùng nằm giữa hai cực trị này có vận tốc theo phương ngắm trung gian, nên chúng tạo ra các độ dịch trung gian.

Thông thường, kính thiên văn không thể tách riêng tất cả những vùng đó trên một ngôi sao ở xa. Nó thu ánh sáng của chúng cùng lúc. Kết quả không phải là một tập hợp gọn gàng gồm nhiều vạch riêng biệt. Thay vào đó, ta thu được một vạch quang phổ bị mở rộng.

Vì vậy, một mô hình ban đầu hữu ích là:

Từ “ban đầu” ở đây rất quan trọng. Sự mở rộng vạch không chỉ do chuyển động quay gây ra. Nhiệt độ, chuyển động của khí, hiệu ứng áp suất và thiết bị đo cũng có thể làm các vạch quang phổ rộng ra. Ta chỉ có thể suy ra chuyển động quay khi sự mở rộng do quay đã được xác định hoặc các đóng góp khác đã được tính đến.

Nếu bạn cần ôn lại nguồn gốc của các vạch hấp thụ và phát xạ, hãy đọc Quang phổ liên tục, phát xạ và hấp thụ: Vật lí HSC.

02Vận tốc xuyên tâm được xác định từ vị trí của vạch

Giả sử một nguyên tố cụ thể tạo ra một vạch ở bước sóng phòng thí nghiệm \(\lambda_0\). Ta quan sát cùng vạch đó từ một ngôi sao ở bước sóng \(\lambda_{\text{obs}}\).

Độ thay đổi bước sóng là

\[
\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}}-\lambda_0
\]

trong đó:

• \(\lambda_0\) là bước sóng đo được từ nguồn đứng yên trong phòng thí nghiệm,
• \(\lambda_{\text{obs}}\) là bước sóng quan sát được từ ngôi sao, và
• \(\Delta\lambda\) là độ dịch Doppler.

Với các tốc độ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng, hệ thức Doppler hữu ích cho HSC là

\[
\frac{v_r}{c}\approx\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

nên

\[
v_r\approx c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

Ở đây \(v_r\) là vận tốc xuyên tâm của ngôi sao và \(c=3.00\times10^8\) m/s là tốc độ ánh sáng.

Ta sẽ dùng quy ước dấu:

• \(v_r>0\): chuyển động ra xa chúng ta, nên vạch bị dịch đỏ;
• \(v_r<0\): chuyển động về phía chúng ta, nên vạch bị dịch xanh.

Tại sao lại gọi là vận tốc “xuyên tâm” chứ không đơn giản là “vận tốc”?

Vì quang phổ học chỉ đo thành phần chuyển động dọc theo phương ngắm của chúng ta. Một ngôi sao cũng có thể chuyển động ngang trên bầu trời. Thành phần chuyển động ngang đó không tạo ra độ dịch Doppler đơn giản này.

03Chuyển động quay làm thay đổi độ rộng, không chỉ vị trí tâm

Bây giờ hãy hình dung cùng ngôi sao đó đang quay.

Gọi tốc độ quay tại xích đạo của nó là \(v_{\text{eq}}\). Trừ khi ta nhìn đúng dọc theo trục quay, một rìa của ngôi sao có một thành phần vận tốc quay hướng về phía chúng ta, còn rìa đối diện có một thành phần hướng ra xa.

Vậy tại sao độ dịch xanh từ một phía không đơn giản triệt tiêu với độ dịch đỏ từ phía kia?

Vì kính thiên văn cộng cường độ ánh sáng, chứ không cộng các độ dịch bước sóng. Một phần của ngôi sao đóng góp sự hấp thụ ở bước sóng hơi ngắn hơn, một phần khác đóng góp sự hấp thụ ở bước sóng hơi dài hơn, và các vùng khác đóng góp các bước sóng nằm giữa hai giá trị đó. Những đóng góp này chồng lên nhau thành một đặc trưng hấp thụ rộng hơn.

Điều này hơi giống mười người cùng cố hát một nốt, trong khi một số người đứng trên băng chuyền đang đi về phía bạn còn những người khác đang đi ra xa. Nốt ban đầu không thay đổi, nhưng bạn nhận được một dải các phiên bản đã bị dịch Doppler. Phép so sánh này không hoàn toàn chính xác vì hình dạng vạch quang phổ của một ngôi sao còn phụ thuộc vào độ sáng và vận tốc của các phần khác nhau trên bề mặt sao, cũng như các cơ chế mở rộng vạch khác.

Vấn đề về góc nghiêng

Có một điểm phức tạp quan trọng.

Giả sử một ngôi sao quay nhanh, nhưng trục quay của nó gần như hướng thẳng về phía Trái Đất. Khi đó, theo góc nhìn của chúng ta, phần lớn chuyển động trên bề mặt là theo phương ngang. Các thành phần vận tốc theo phương ngắm nhỏ, nên sự mở rộng vạch do quay cũng có thể nhỏ.

Định nghĩa \(i\) là góc giữa trục quay và phương ngắm của chúng ta.

• \(i=0^\circ\): ta nhìn ngôi sao gần như dọc theo cực.
• \(i=90^\circ\): ta nhìn ngôi sao theo mặt phẳng xích đạo.

Vì vậy, sự mở rộng quang phổ thường cho ta

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\]

thay vì trực tiếp cho \(v_{\text{eq}}\).

Đại lượng này được gọi là vận tốc quay chiếu.

Do đó, một vạch hẹp không chứng minh rằng ngôi sao quay chậm. Nó có thể đang quay nhanh nhưng được quan sát gần như dọc theo cực.

04Tách biệt độ dịch và sự mở rộng

Đối với một vạch bị mở rộng lí tưởng hóa, giả sử các giới hạn phía xanh và phía đỏ do quay là \(\lambda_{\text{blue}}\) và \(\lambda_{\text{red}}\).

Tâm của vạch xấp xỉ

\[
\lambda_c=\frac{\lambda_{\text{red}}+\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

Độ dịch của tâm này so với bước sóng phòng thí nghiệm cho ta vận tốc xuyên tâm:

\[
v_r\approx c\frac{\lambda_c-\lambda_0}{\lambda_0}
\]

Nửa độ rộng do quay là

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

và, trong cùng phép xấp xỉ tốc độ thấp,

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\Delta\lambda_{\text{rot}}}{\lambda_0}
\]

hoặc

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2\lambda_0}
\]

Các phương trình này là một cách lí tưởng hóa để biểu diễn sự mở rộng vạch do quay. Các vạch quang phổ thực tế thường không có các “mép” hoàn toàn sắc nét, vì vậy các nhà thiên văn học phân tích hình dạng của toàn bộ biên dạng vạch và tính đến các cơ chế mở rộng khác.

Đối với cách lập luận ở mức HSC, điểm phân biệt cốt lõi đơn giản hơn:

• dùng tâm của vạch để khảo sát chuyển động xuyên tâm tổng thể;
• dùng độ trải rộng quanh tâm để khảo sát chuyển động quay.

05Những lỗi dễ mắc nhất

Lỗi 1: “Một vạch bị dịch đỏ có nghĩa là toàn bộ ngôi sao trông đỏ hơn”

Không nhất thiết.

Độ thay đổi bước sóng liên quan có thể rất nhỏ so với độ rộng của phổ khả kiến. Ta thường xác định chuyển động Doppler bằng cách đo chính xác các vạch quang phổ đã biết, chứ không phải bằng cách nhận xét rằng ngôi sao trông đỏ hơn hay xanh hơn.

Điều đó đòi hỏi trước tiên phải biết bạn đang quan sát vạch nào. Xác định các nguyên tố bằng vạch quang phổ: Vật lí HSC giải thích cách mẫu vạch đóng vai trò như một dấu vân tay nguyên tố.

Lỗi 2: “Vạch rộng hơn tự động có nghĩa là ngôi sao quay nhanh hơn”

Không.

Chuyển động quay có thể làm các vạch quang phổ rộng ra, nhưng chuyển động nhiệt và các hiệu ứng vật lí hoặc thiết bị khác cũng có thể gây ra điều đó. Muốn đưa ra kết luận về vận tốc quay, cần phải tách biệt hoặc chứng minh được phần mở rộng do quay.

Lỗi 3: “Phần đỏ nhất của vạch cho biết vận tốc xuyên tâm của ngôi sao”

Đây là một nhầm lẫn đặc biệt dễ mắc.

Đối với một ngôi sao quay, mép đỏ nhất bao gồm cả chuyển động xuyên tâm của toàn bộ ngôi sao lẫn chuyển động lùi xa bổ sung của rìa sao do quay. Mép xanh nhất bao gồm chuyển động xuyên tâm và đóng góp do quay của rìa đang tiến lại gần.

Tâm của vạch tách riêng chuyển động tổng thể. Nửa độ rộng tách riêng các chuyển động quay ngược chiều nhau.

Lỗi 4: “Mọi vạch bị dịch Doppler đều dịch cùng một số nanomét”

Đại lượng quan trọng là độ dịch tương đối,

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

chứ không phải chỉ riêng \(\Delta\lambda\).

Nếu một vạch ở \(400\) nm và một vạch khác ở \(600\) nm cùng đến từ một ngôi sao đang chuyển động, thì với cùng vận tốc xuyên tâm, vạch \(600\) nm phải có độ dịch bước sóng tính bằng nanomét lớn hơn.

Lỗi 5: “Quang phổ học cho ta tốc độ quay đầy đủ”

Thông thường, nó cho ta \(v_{\text{eq}}\sin i\).

Thừa số \(\sin i\) ẩn này là một trong những hạn chế quan trọng nhất của phép đo.

06Một phương pháp ra quyết định ngắn gọn

Khi gặp một bài toán về quang phổ sao, hãy làm theo thứ tự sau.

1. Xác định bước sóng phòng thí nghiệm \(\lambda_0\).
2. Tìm tâm của vạch quan sát được.
3. So sánh tâm với \(\lambda_0\) để xác định vận tốc xuyên tâm.
4. Tìm nửa độ rộng của vạch nếu đề bài cung cấp thông tin về sự mở rộng do quay.
5. Chuyển nửa độ rộng đó thành \(v_{\text{eq}}\sin i\).
6. Chỉ tính chính \(v_{\text{eq}}\) nếu đã biết góc nghiêng \(i\), hoặc có thông tin tương đương.
7. Kiểm tra rằng đề bài đã có cơ sở để coi độ rộng là do sự mở rộng vì quay.

Thứ tự này rất quan trọng. Nếu bắt đầu bằng cách coi mép đỏ là độ dịch Doppler xuyên tâm, chuyển động quay sẽ làm sai lệch kết quả của bạn.

07Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một vạch quang phổ có bước sóng phòng thí nghiệm là \(486.1\) nm. Trong quang phổ của một ngôi sao, tâm của vạch được đo tại \(486.3\) nm.

Hãy tính vận tốc xuyên tâm của ngôi sao và cho biết nó đang chuyển động về phía hay ra xa Trái Đất.

Lời giải 1

Ngôi sao đang chuyển động ra xa Trái Đất với vận tốc xấp xỉ \(123\) km/s.

Bước sóng quan sát được lớn hơn bước sóng phòng thí nghiệm, nên vạch bị dịch đỏ.

Trước tiên, tính độ dịch:

\[
\Delta\lambda=486.3-486.1=0.2\text{ nm}
\]

Sau đó dùng

\[
v_r=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

Thay số,

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.2}{486.1}\\
&=1.23\times10^5\text{ m/s}\\
&=123\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Độ dịch dương có nghĩa là ngôi sao đang lùi xa.

Một nhầm lẫn dễ mắc là mô tả \(123\) km/s là vận tốc toàn phần của ngôi sao. Đó chỉ là thành phần xuyên tâm của vận tốc so với người quan sát.

Câu hỏi 2

Một vạch có bước sóng phòng thí nghiệm \(656.3\) nm bị mở rộng do chuyển động quay của ngôi sao. Biên dạng do quay của nó trải từ \(656.12\) nm đến \(656.56\) nm.

Giả sử các hiệu ứng mở rộng khác đã được tính đến.

Hãy tính:

a. vận tốc xuyên tâm của ngôi sao,

b. vận tốc quay chiếu \(v_{\text{eq}}\sin i\), và

c. giải thích vì sao dùng trực tiếp \(656.56\) nm làm bước sóng bị dịch Doppler của ngôi sao sẽ cho vận tốc xuyên tâm sai.

Lời giải 2

Ngôi sao đang lùi xa với vận tốc xấp xỉ \(18.3\) km/s, còn vận tốc quay chiếu của nó xấp xỉ \(101\) km/s. Không thể dùng trực tiếp mép đỏ để tính vận tốc xuyên tâm vì nó chứa cả chuyển động lùi xa tổng thể lẫn chuyển động quay của rìa đang lùi xa.

Đối với phần a, trước tiên tìm tâm của vạch:

\[
\lambda_c=\frac{656.12+656.56}{2}=656.34\text{ nm}
\]

Tâm đã dịch một lượng

\[
\Delta\lambda=656.34-656.30=0.04\text{ nm}
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.04}{656.3}\\
&=1.83\times10^4\text{ m/s}\\
&=18.3\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Đối với phần b, nửa độ rộng do quay là

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{656.56-656.12}{2}
=0.22\text{ nm}
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.22}{656.3}\\
&=1.01\times10^5\text{ m/s}\\
&=101\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Đối với phần c, \(656.56\) nm đến từ phía đỏ cực đại của biên dạng bị mở rộng do quay. Phần đó của ngôi sao đang lùi xa do chuyển động quay, đồng thời cũng có chung vận tốc xuyên tâm tổng thể của ngôi sao.

Cách làm dễ bị nhầm là tính

\[
c\frac{656.56-656.30}{656.30}
\]

rồi gọi đó là vận tốc xuyên tâm. Làm như vậy đã trộn lẫn hai chuyển động khác nhau. Trung điểm của vạch, chứ không phải mép đỏ nhất, mới biểu diễn độ dịch xuyên tâm tổng thể.

Câu hỏi 3

Hai vạch quang phổ đã được xác định từ cùng một ngôi sao có các bước sóng phòng thí nghiệm và bước sóng tâm quan sát như sau:

Sau khi loại bỏ các nguồn mở rộng khác, vạch A có độ rộng toàn phần do quay là \(0.24\) nm và vạch B có độ rộng toàn phần do quay là \(0.36\) nm.

Hãy xác định xem hai vạch có phù hợp với cùng một vận tốc xuyên tâm và cùng một vận tốc quay chiếu hay không. Tính cả hai vận tốc.

Lời giải 3

Có. Cả hai vạch đều phù hợp với vận tốc xuyên tâm \(60.0\) km/s hướng về Trái Đất và vận tốc quay chiếu \(90.0\) km/s.

Đối với vạch A, độ dịch của tâm là

\[
\Delta\lambda_A=399.92-400.00=-0.08\text{ nm}
\]

nên

\[
\begin{aligned}
v_{r,A}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.08}{400.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Đối với vạch B,

\[
\Delta\lambda_B=599.88-600.00=-0.12\text{ nm}
\]

và

\[
\begin{aligned}
v_{r,B}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.12}{600.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Các độ dịch tính bằng nanomét khác nhau, nhưng độ dịch tương đối của chúng giống nhau.

Bây giờ xét chuyển động quay.

Vạch A có nửa độ rộng

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},A}=\frac{0.24}{2}=0.12\text{ nm}
\]

nên

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.12}{400.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Vạch B có nửa độ rộng

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},B}=\frac{0.36}{2}=0.18\text{ nm}
\]

cho

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.18}{600.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Một lần nữa, các độ rộng tính bằng nanomét khác nhau, nhưng độ rộng tương đối là như nhau.

Kết luận dễ mắc sai lầm là hai vạch không nhất quán vì \(0.08\neq0.12\) và \(0.24\neq0.36\). Cách so sánh đó xét độ thay đổi bước sóng tuyệt đối. Chuyển động Doppler liên hệ với độ thay đổi bước sóng tương đối, nên cả hai phép đo đều mô tả cùng các chuyển động.

Câu hỏi 4

Một ngôi sao có bán kính \(6.0\times10^8\) m và hoàn thành một vòng quay sau mỗi \(10.0\) giờ.

Một vạch hấp thụ có bước sóng phòng thí nghiệm \(550.00\) nm có các giới hạn do quay tại \(550.055\) nm và \(550.165\) nm. Giả sử toàn bộ sự mở rộng không do quay đã được loại bỏ.

Hãy xác định:

a. vận tốc xuyên tâm của ngôi sao,

b. vận tốc quay chiếu của nó,

c. tốc độ quay tại xích đạo bằng cách sử dụng bán kính và chu kì, và

d. góc nghiêng xấp xỉ \(i\) của trục quay so với phương ngắm của chúng ta.

Hãy giải thích vì sao mô tả ngôi sao là một “ngôi sao quay chậm” chỉ dựa trên độ rộng quang phổ sẽ gây hiểu lầm.

Lời giải 4

Ngôi sao đang lùi xa với vận tốc \(60.0\) km/s, có vận tốc quay chiếu \(30.0\) km/s, nhưng thực tế quay với tốc độ khoảng \(105\) km/s tại xích đạo. Trục quay của nó chỉ nghiêng khoảng \(17^\circ\) so với phương ngắm của chúng ta.

Đối với phần a, tâm của vạch là

\[
\lambda_c=\frac{550.055+550.165}{2}=550.110\text{ nm}
\]

nên

\[
\Delta\lambda=550.110-550.000=0.110\text{ nm}
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.110}{550.00}\\
&=6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Đối với phần b, nửa độ rộng do quay là

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{550.165-550.055}{2}
=0.055\text{ nm}
\]

Vì vậy,

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.055}{550.00}\\
&=3.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=30.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Đối với phần c, một điểm trên xích đạo đi được một chu vi trong mỗi vòng quay:

\[
v_{\text{eq}}=\frac{2\pi R}{T}
\]

Chu kì là

\[
T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}
\]

nên

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi(6.0\times10^8)}{3.60\times10^4}\\
&=1.05\times10^5\text{ m/s}\\
&=105\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Đối với phần d,

\[
v_{\text{eq}}\sin i=30.0\text{ km/s}
\]

nên

\[
\sin i=\frac{30.0}{105}=0.286
\]

và do đó

\[
i\approx17^\circ
\]

Cách diễn giải dễ mắc là cho rằng độ rộng vạch vừa phải chứng minh tốc độ quay thực cũng vừa phải. Bán kính và chu kì độc lập cho thấy điều ngược lại. Ngôi sao đang quay với tốc độ khoảng \(105\) km/s, nhưng ta quan sát nó khá gần theo hướng cực, nên chỉ khoảng \(30\) km/s của vận tốc xích đạo xuất hiện dọc theo phương ngắm.

Đây chính là lí do vì sao chỉ riêng quang phổ học thường cho \(v_{\text{eq}}\sin i\), chứ không phải \(v_{\text{eq}}\).

Câu hỏi 5

Một ngôi sao quay tạo ra hai vạch quang phổ. Các nguồn mở rộng khác đã được loại bỏ.

Đối với một vạch có bước sóng phòng thí nghiệm \(500.00\) nm, biên dạng do quay trải từ \(500.00\) nm đến \(500.40\) nm.

Đối với một vạch khác có bước sóng phòng thí nghiệm \(650.00\) nm, biên dạng trải từ \(650.00\) nm đến \(650.52\) nm.

Một học sinh lập luận:

Cả hai vạch đều không kéo dài đến bước sóng ngắn hơn bước sóng phòng thí nghiệm của chúng, nên không có phần nhìn thấy nào của ngôi sao đang chuyển động về phía chúng ta. Vì vậy, sự mở rộng không thể do chuyển động quay gây ra.

Ngôi sao có bán kính \(7.0\times10^8\) m và chu kì quay \(5.1\) giờ.

Hãy xác định vận tốc xuyên tâm, vận tốc quay chiếu và góc nghiêng xấp xỉ của ngôi sao. Sau đó giải thích chính xác điểm sai trong lập luận của học sinh.

Lời giải 5

Ngôi sao đang lùi xa với vận tốc xấp xỉ \(120\) km/s, vận tốc quay chiếu của nó cũng xấp xỉ \(120\) km/s, và trục quay nghiêng khoảng \(30^\circ\) so với phương ngắm của chúng ta. Rìa đang tiến lại gần thực sự chuyển động về phía chúng ta so với tâm ngôi sao, nhưng độ dịch xanh do quay của nó gần như triệt tiêu chính xác độ dịch đỏ tổng thể của ngôi sao.

Bắt đầu với vạch \(500.00\) nm.

Tâm quan sát được của nó là

\[
\lambda_c=\frac{500.00+500.40}{2}=500.20\text{ nm}
\]

nên tâm đã dịch một lượng

\[
\Delta\lambda=0.20\text{ nm}
\]

Do đó, vận tốc xuyên tâm là

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=1.20\times10^5\text{ m/s}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Nửa độ rộng do quay cũng là

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{500.40-500.00}{2}
=0.20\text{ nm}
\]

nên

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Vạch \(650.00\) nm xác nhận kết quả.

Tâm của nó là

\[
\lambda_c=\frac{650.00+650.52}{2}=650.26\text{ nm}
\]

suy ra

\[
\frac{0.26}{650.00}=4.00\times10^{-4}
\]

và do đó

\[
v_r=120\text{ km/s}
\]

Nửa độ rộng của nó là

\[
\frac{0.52}{2}=0.26\text{ nm}
\]

cho cùng vận tốc quay chiếu:

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

Bây giờ dùng bán kính và chu kì độc lập để tìm tốc độ thực tại xích đạo.

Đổi chu kì:

\[
T=5.1\times3600=1.836\times10^4\text{ s}
\]

Sau đó

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi R}{T}\\
&=\frac{2\pi(7.0\times10^8)}{1.836\times10^4}\\
&\approx2.40\times10^5\text{ m/s}\\
&\approx240\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

Vì

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

ta có

\[
\sin i=\frac{120}{240}=0.500
\]

nên

\[
i\approx30^\circ
\]

Bây giờ xét sự mâu thuẫn bề ngoài.

Tại rìa đang tiến lại gần, chuyển động xuyên tâm tổng thể của ngôi sao và chuyển động quay của nó có hướng ngược nhau. Ở bậc xấp xỉ thứ nhất, vận tốc theo phương ngắm tại rìa này xấp xỉ

\[
v_{\text{limb}}\approx v_r-v_{\text{eq}}\sin i
\]

Ở đây,

\[
v_{\text{limb}}\approx120-120=0\text{ km/s}
\]

Vì vậy, rìa đang tiến lại gần do quay thực sự tạo ra một độ dịch xanh so với tâm quang phổ của ngôi sao. Nhưng toàn bộ ngôi sao vốn đã bị dịch đỏ vì đang lùi xa với vận tốc \(120\) km/s. Hai hiệu ứng triệt tiêu nhau tại mép đó, đưa nó trở lại gần bước sóng phòng thí nghiệm.

Ở rìa đối diện, chúng cộng lại:

\[
v_{\text{limb}}\approx120+120=240\text{ km/s ra xa}
\]

tạo ra mép bị dịch đỏ mạnh.

Sai lầm của học sinh là coi “không bị dịch xanh so với bước sóng phòng thí nghiệm” là tương đương với “không chuyển động về phía chúng ta do quay”. Đây là hai phép so sánh khác nhau. Chuyển động quay phải được xét tương đối so với chuyển động xuyên tâm tổng thể của ngôi sao.

Đó chính là cách sử dụng sâu hơn của các vạch quang phổ: một biên dạng duy nhất có thể chứa đồng thời nhiều chuyển động. Khi học cách tách tâm của nó khỏi độ rộng, bạn có thể tách chuyển động của ngôi sao như một toàn thể khỏi chuyển động trên bề mặt của nó. Bước tiếp theo là tách thông tin về chuyển động khỏi những thông tin khác ẩn trong cùng quang phổ, bao gồm nhiệt độ, được tìm hiểu trong Xác định nhiệt độ sao từ quang phổ: Vật lí HSC.