Đường cong nghiêng không ma sát: Đề thi luyện tập Vật lý HSC

Bài thi luyện tập nguyên bản này của tutorgum đánh giá kiến thức về các đường cong nghiêng không có ma sát. Bài thi kiểm tra cách phân tích lực pháp tuyến thành các thành phần để tính tốc độ thiết kế, góc nghiêng và bán kính đường cong. Bạn cũng cần giải thích tại sao khối lượng của xe bị triệt tiêu khỏi phương trình tốc độ thiết kế và điều gì xảy ra khi xe di chuyển với tốc độ khác tốc độ thiết kế.

Hãy hoàn thành tất cả các câu hỏi trước khi xem lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

01Hướng dẫn làm bài

• Thời gian đọc đề gợi ý: 5 phút.
• Thời gian làm bài gợi ý: 50 phút.
• Tổng điểm: 40.
• Dụng cụ được phép sử dụng: Máy tính khoa học, thước kẻ và bút mực hoặc bút chì. Không sử dụng tài liệu ghi chép.
• Cường độ trường hấp dẫn: Sử dụng \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) trong toàn bộ bài thi.
• Độ chính xác: Làm tròn các đáp án số đến 3 chữ số có nghĩa, trừ khi câu hỏi yêu cầu khác. Làm tròn các góc đến \(0.1^\circ\) gần nhất.
• Trình bày lời giải: Viết các phương trình, phép thế số và đơn vị. Đáp án số không kèm lời giải có thể không được điểm tối đa.

Giả sử không có ma sát giữa xe và mặt đường, đồng thời bỏ qua lực cản không khí. Lực pháp tuyến được ký hiệu là \(N\), khối lượng của xe là \(m\), tốc độ của xe là \(v\), bán kính đường cong là \(r\) và góc nghiêng là \(\theta\). Đo \(\theta\) so với phương ngang và lấy \(r\) là bán kính của quỹ đạo tròn nằm ngang dự kiến.

Phạm vi kiến thức được đánh giá: Phạm vi nội dung Vật lý năm 2017 được cung cấp về các đường cong nghiêng không có ma sát, bao gồm các thành phần của lực pháp tuyến, tốc độ thiết kế, bán kính, góc nghiêng, sự triệt tiêu của khối lượng và chuyển động khi xe chạy khác tốc độ thiết kế.

Các trường hợp đường nghiêng có ma sát hỗ trợ và những ứng dụng khác của chuyển động tròn không thuộc phạm vi bài thi. Đây là đề luyện tập tập trung vào một chủ đề, không phải bài thi toàn bộ khóa học. Đây là đề luyện tập nguyên bản của tutorgum, không phải đề thi chính thức hoặc đề được NESA bảo trợ, và cũng không phải dự đoán về các câu hỏi trong kỳ thi.

02Câu hỏi

Câu 1 (5 điểm)

Một chiếc xe chuyển động quanh một đường cong nghiêng không có ma sát với tốc độ thiết kế. Góc nghiêng là \(\theta\), và lực pháp tuyến có độ lớn \(N\).

(a) Xác định hai lực tác dụng lên xe và nêu hướng của từng lực. (1 điểm)

(b) Phân tích lực pháp tuyến thành các thành phần theo phương thẳng đứng và phương ngang. Nêu hướng của từng thành phần. (2 điểm)

(c) Viết phương trình lực theo phương thẳng đứng và phương ngang hướng vào tâm tại tốc độ thiết kế. (2 điểm)

Câu 2 (3 điểm)

Một đường cong nghiêng không có ma sát có bán kính \(85.0\ \mathrm{m}\) và góc nghiêng \(18.0^\circ\).

Tính tốc độ thiết kế của một chiếc xe trên đường cong này, theo cả \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) và \(\mathrm{km\,h^{-1}}\). (3 điểm)

Câu 3 (4 điểm)

Một đường cong nghiêng không có ma sát có bán kính \(110\ \mathrm{m}\). Một chiếc xe chuyển động quanh đường cong với tốc độ thiết kế \(22.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Tính góc nghiêng cần thiết để xe đi theo đường cong mà không cần ma sát. Cho đáp án chính xác đến \(0.1^\circ\) gần nhất. (4 điểm)

Câu 4 (4 điểm)

Một chiếc xe cần di chuyển với tốc độ thiết kế \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) quanh một đường cong nghiêng không có ma sát. Góc nghiêng là \(15.0^\circ\).

Tính bán kính đường cong cần thiết để đạt tốc độ thiết kế này. (4 điểm)

Câu 5 (8 điểm)

Một chiếc xe có khối lượng \(1200\ \mathrm{kg}\) chuyển động với tốc độ thiết kế quanh một đường cong nghiêng không có ma sát, bán kính \(150\ \mathrm{m}\). Góc nghiêng là \(20.0^\circ\).

(a) Tính tốc độ thiết kế của xe. (3 điểm)

(b) Tính độ lớn của lực pháp tuyến tác dụng lên xe. Cho biết lực này có bằng trọng lượng của xe hay không và giải thích câu trả lời. (3 điểm)

(c) Sử dụng các kết quả chưa làm tròn, tính thành phần nằm ngang hướng vào tâm của lực pháp tuyến và lực hướng tâm cần thiết. Chứng minh rằng hai giá trị này phù hợp với nhau. (2 điểm)

Câu 6 (6 điểm)

Hai chiếc xe có khối lượng lần lượt là \(800\ \mathrm{kg}\) và \(1600\ \mathrm{kg}\). Cả hai đều chuyển động với tốc độ thiết kế quanh cùng một đường cong nghiêng không có ma sát, có bán kính \(90.0\ \mathrm{m}\) và góc nghiêng \(12.0^\circ\).

(a) Bắt đầu từ các phương trình lực riêng biệt theo phương thẳng đứng và phương hướng vào tâm, hãy suy ra hệ thức tốc độ thiết kế. Giải thích điều gì xảy ra với khối lượng của xe trong quá trình biến đổi. (3 điểm)

(b) Tính tốc độ thiết kế của từng chiếc xe. (2 điểm)

(c) Xác định tỉ số giữa lực pháp tuyến tác dụng lên xe \(1600\ \mathrm{kg}\) và lực pháp tuyến tác dụng lên xe \(800\ \mathrm{kg}\). (1 điểm)

Câu 7 (6 điểm)

Một đường cong nghiêng không có ma sát có bán kính \(100\ \mathrm{m}\) và góc nghiêng \(25.0^\circ\).

(a) Tính tốc độ thiết kế của đường cong này. (2 điểm)

(b) Một chiếc xe chuyển động quanh đường cong với tốc độ \(15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Giải thích tại sao xe không thể duy trì quỹ đạo tròn dự kiến ở tốc độ này nếu không có ma sát, đồng thời nêu hướng xe có xu hướng trượt ngang trên mặt đường nghiêng. (2 điểm)

(c) Một chiếc xe thứ hai chuyển động quanh cùng đường cong với tốc độ \(27.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Giải thích tại sao xe không thể duy trì quỹ đạo tròn dự kiến ở tốc độ này nếu không có ma sát, đồng thời nêu hướng xe có xu hướng trượt ngang trên mặt đường nghiêng. (2 điểm)

Câu 8 (4 điểm)

Hai đường cong nghiêng không có ma sát có cùng bán kính. Đường cong A có góc nghiêng \(15.0^\circ\), trong khi đường cong B có góc nghiêng \(30.0^\circ\).

Một học sinh cho rằng khi góc nghiêng tăng gấp đôi thì tốc độ thiết kế cũng tăng gấp đôi.

(a) Suy ra biểu thức tính tỉ số tốc độ thiết kế \(v_B/v_A\) theo hai góc nghiêng. (2 điểm)

(b) Tính tỉ số này và đánh giá nhận định của học sinh. (2 điểm)

03Lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm

Lời giải 1

(a) Các lực tác dụng lên xe

Hai lực tác dụng lên xe là:

• Trọng lực, \(mg\), hướng thẳng đứng xuống dưới.
• Lực pháp tuyến, \(N\), vuông góc với bề mặt đường.

Không có lực ma sát vì mặt đường không có ma sát.

Hướng dẫn chấm: 1 điểm

• 1 điểm nếu xác định được cả hai lực và hướng của chúng.

(b) Các thành phần của lực pháp tuyến

Lực pháp tuyến nghiêng về phía bên trong đường cong. Phân tích lực này thành các thành phần ta có:

• Thành phần thẳng đứng: \(N\cos\theta\), hướng lên trên.
• Thành phần nằm ngang: \(N\sin\theta\), hướng về tâm đường cong.

Góc giữa lực pháp tuyến và phương thẳng đứng là \(\theta\). Vì vậy, thành phần thẳng đứng sử dụng hàm cos và thành phần nằm ngang sử dụng hàm sin.

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho \(N\cos\theta\), hướng lên trên.
• 1 điểm cho \(N\sin\theta\), hướng vào tâm.

(c) Các phương trình lực tại tốc độ thiết kế

Ở tốc độ thiết kế, xe đi theo quỹ đạo tròn dự kiến mà không chuyển động theo phương thẳng đứng. Gia tốc theo phương thẳng đứng bằng không, nên lực hướng lên và lực hướng xuống cân bằng nhau:

\[ N\cos\theta = mg \]

Xe có gia tốc hướng tâm hướng vào trong với độ lớn \(v^2/r\). Thành phần của lực pháp tuyến hướng vào tâm cung cấp lực hướng tâm cần thiết:

\[ N\sin\theta = \frac{mv^2}{r} \]

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho phương trình lực thẳng đứng chính xác.
• 1 điểm cho phương trình lực hướng vào tâm chính xác.

Lời giải 2

Hệ thức tốc độ thiết kế được suy ra bằng cách chia phương trình lực hướng vào tâm cho phương trình lực thẳng đứng:

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

Rút gọn ta được:

\[ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} \]

Biến đổi để tìm tốc độ thiết kế:

\[ v = \sqrt{rg\tan\theta} \]

Thay \(r=85.0\ \mathrm{m}\), \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) và \(\theta=18.0^\circ\):

\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{(85.0)(9.8)\tan18.0^\circ}\\ &= 16.5\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Đổi từ mét trên giây sang kilômét trên giờ bằng cách nhân với \(3.6\):

\[ v = 16.4517\ldots \times 3.6 \]

\[ \boxed{v = 59.2\ \mathrm{km\,h^{-1}}} \]

Đáp án cuối cùng:

• \(16.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)
• \(59.2\ \mathrm{km\,h^{-1}}\)

Hướng dẫn chấm: 3 điểm

• 1 điểm cho phương trình tốc độ thiết kế chính xác và phép thế số.
• 1 điểm cho đáp án \(16.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
• 1 điểm cho phép đổi đơn vị chính xác thành \(59.2\ \mathrm{km\,h^{-1}}\).

Lời giải 3

Bắt đầu với hệ thức tốc độ thiết kế:

\[ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} \]

Biến đổi để tìm góc nghiêng:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{v^2}{rg}\right) \]

Thay \(v=22.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), \(r=110\ \mathrm{m}\) và \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\):

\[ \begin{aligned} \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{22.0^2}{(110)(9.8)}\right)\\ &= \tan^{-1}(0.4490\ldots)\\ &= 24.2^\circ \end{aligned} \]

\[ \boxed{\theta = 24.2^\circ} \]

Cần sử dụng hàm tang ngược vì phép tính cho kết quả \(\tan\theta\), chứ không trực tiếp cho góc nghiêng.

Hướng dẫn chấm: 4 điểm

• 1 điểm cho hệ thức chính xác và cách biến đổi.
• 1 điểm cho phép thế số chính xác.
• 1 điểm cho việc sử dụng hàm tang ngược.
• 1 điểm cho đáp án góc cuối cùng \(24.2^\circ\).

Lời giải 4

Sử dụng hệ thức tốc độ thiết kế:

\[ v^2 = rg\tan\theta \]

Biến đổi để đưa \(r\) về một vế:

\[ r = \frac{v^2}{g\tan\theta} \]

Thay các giá trị đã cho:

\[ \begin{aligned} r &= \frac{25.0^2}{(9.8)\tan15.0^\circ}\\ &= \frac{625}{2.6259\ldots}\\ &= 238\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

\[ \boxed{r = 238\ \mathrm{m}} \]

Bán kính được tính bằng mét, đúng như yêu cầu.

Hướng dẫn chấm: 4 điểm

• 1 điểm cho việc biến đổi phương trình chính xác.
• 1 điểm cho phép thế số chính xác.
• 1 điểm cho kết quả tính toán số chính xác.
• 1 điểm cho đáp án cuối cùng có đơn vị và độ chính xác phù hợp.

Lời giải 5

(a) Tốc độ thiết kế

Sử dụng:

\[ v = \sqrt{rg\tan\theta} \]

Thay các giá trị:

\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{(150)(9.8)\tan20.0^\circ}\\ &= \sqrt{535.035\ldots}\\ &= 23.1\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

\[ \boxed{v = 23.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}} \]

Hướng dẫn chấm: 3 điểm

• 1 điểm cho phương trình chính xác.
• 1 điểm cho phép thế số chính xác.
• 1 điểm cho đáp án số có đơn vị.

(b) Lực pháp tuyến

Ở tốc độ thiết kế, gia tốc theo phương thẳng đứng bằng không. Thành phần thẳng đứng của lực pháp tuyến cân bằng trọng lượng của xe:

\[ N\cos\theta = mg \]

Biến đổi:

\[ N = \frac{mg}{\cos\theta} \]

Thay số:

\[ \begin{aligned} N &= \frac{(1200)(9.8)}{\cos20.0^\circ}\\ &= 1.25\times10^4\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

Trọng lượng của xe là:

\[ mg = (1200)(9.8) = 1.176\times10^4\ \mathrm{N} \]

Do đó, lực pháp tuyến lớn hơn trọng lượng của xe.

Nguyên nhân là lực pháp tuyến không có phương thẳng đứng. Chỉ thành phần thẳng đứng của lực này cân bằng trọng lượng, vì vậy độ lớn tổng thể của lực pháp tuyến phải lớn hơn \(mg\) khi góc nghiêng khác không.

\[ \boxed{N = 1.25\times10^4\ \mathrm{N}} \]

Hướng dẫn chấm: 3 điểm

• 1 điểm cho việc sử dụng \(N\cos20.0^\circ=mg\) và biến đổi chính xác.
• 1 điểm cho lực pháp tuyến \(1.25\times10^4\ \mathrm{N}\).
• 1 điểm cho việc nêu \(N>mg\) và giải thích lý do.

(c) Kiểm tra lực hướng vào tâm

Thành phần của lực pháp tuyến hướng vào tâm là:

\[ \begin{aligned} F_{\text{inward}} &= N\sin20.0^\circ\\ &\approx (1.2515\times10^4)\sin20.0^\circ\\ &\approx 4.28\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

Lực hướng tâm cần thiết là:

\[ \begin{aligned} F_c &= \frac{mv^2}{r}\\ &= \frac{(1200)(23.131\ldots)^2}{150}\\ &\approx 4.28\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

Hai giá trị này bằng nhau trong phạm vi độ chính xác của phép tính. Điều này xác nhận rằng ở tốc độ thiết kế, thành phần lực pháp tuyến hướng vào tâm cung cấp lực hướng tâm cần thiết.

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho việc tính thành phần lực pháp tuyến hướng vào tâm.
• 1 điểm cho việc tính lực hướng tâm và chứng minh hai giá trị phù hợp với nhau.

Lời giải 6

(a) Suy ra hệ thức tốc độ thiết kế

Đối với mỗi chiếc xe, phương trình lực theo phương thẳng đứng tại tốc độ thiết kế là:

\[ N\cos\theta = mg \]

Phương trình lực hướng vào tâm là:

\[ N\sin\theta = \frac{mv^2}{r} \]

Chia phương trình hướng vào tâm cho phương trình thẳng đứng:

\[ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

Triệt tiêu \(N\) và \(m\), sau đó rút gọn:

\[ \tan\theta = \frac{v^2}{rg} \]

Biến đổi ta được:

\[ \boxed{v = \sqrt{rg\tan\theta}} \]

Khối lượng của xe bị triệt tiêu hoàn toàn. Do đó, với một bán kính và góc nghiêng cho trước, tốc độ thiết kế không phụ thuộc vào khối lượng của xe.

Hướng dẫn chấm: 3 điểm

• 1 điểm cho việc viết đúng phương trình lực thẳng đứng.
• 1 điểm cho việc viết đúng phương trình lực hướng vào tâm.
• 1 điểm cho việc chia hai phương trình, triệt tiêu khối lượng và thu được hệ thức tốc độ thiết kế.

(b) Tốc độ thiết kế của cả hai xe

Cả hai xe đều đi trên cùng một đường cong, nên chúng có cùng \(r\) và \(\theta\). Vì vậy, tốc độ thiết kế của chúng bằng nhau.

\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{rg\tan\theta}\\ &= \sqrt{(90.0)(9.8)\tan12.0^\circ}\\ &= 13.7\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Do đó:

\[ \boxed{v_{800}=v_{1600}=13.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}} \]

Các chỉ số dưới xác định khối lượng của từng xe, tính bằng kilôgam.

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho phép thế số chính xác vào phương trình tốc độ thiết kế.
• 1 điểm cho tốc độ chính xác và nhận biết rằng cả hai xe có cùng tốc độ thiết kế.

(c) Tỉ số lực pháp tuyến

Từ phương trình lực thẳng đứng:

\[ N = \frac{mg}{\cos\theta} \]

Cả hai xe có cùng \(g\) và \(\theta\), nên lực pháp tuyến của chúng tỉ lệ thuận với khối lượng.

\[ \frac{N_{1600}}{N_{800}} = \frac{1600}{800} = 2 \]

Do đó:

\[ \boxed{N_{1600}:N_{800}=2:1} \]

Hướng dẫn chấm: 1 điểm

• 1 điểm cho tỉ số chính xác \(2:1\).

Lời giải 7

(a) Tốc độ thiết kế

Sử dụng:

\[ v_d = \sqrt{rg\tan\theta} \]

Ở đây, \(v_d\) biểu thị tốc độ thiết kế.

\[ \begin{aligned} v_d &= \sqrt{(100)(9.8)\tan25.0^\circ}\\ &= 21.4\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

\[ \boxed{v_d = 21.4\ \mathrm{m\,s^{-1}} } \]

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho phương trình và phép thế số chính xác.
• 1 điểm cho tốc độ thiết kế chính xác.

(b) Xe chuyển động với tốc độ \(15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)

Xe đang chạy chậm hơn tốc độ thiết kế vì:

\[ 15.0 < 21.4 \]

Lực hướng tâm cần thiết là \(mv^2/r\), phụ thuộc vào bình phương tốc độ. Ở tốc độ thấp hơn, lực hướng vào tâm cần thiết nhỏ hơn thành phần lực hướng vào tâm tương ứng với điều kiện thiết kế.

Nếu không có ma sát, xe không thể duy trì cùng bán kính quỹ đạo đồng thời có gia tốc theo phương thẳng đứng bằng không. Xe có xu hướng trượt xuống dốc nghiêng, về phía bên trong đường cong.

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho việc xác định rằng lực hướng tâm cần thiết nhỏ hơn giá trị ở điều kiện thiết kế.
• 1 điểm cho việc giải thích rằng xe có xu hướng trượt xuống dốc nghiêng, về phía bên trong.

(c) Xe chuyển động với tốc độ \(27.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)

Xe đang chạy nhanh hơn tốc độ thiết kế vì:

\[ 27.0 > 21.4 \]

Ở tốc độ cao hơn này, lực hướng tâm cần thiết lớn hơn thành phần lực hướng vào tâm tương ứng với điều kiện thiết kế. Xe không thể duy trì cùng quỹ đạo tròn nếu không có ma sát.

Xe có xu hướng trượt lên dốc nghiêng, về phía bên ngoài đường cong.

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho việc xác định rằng lực hướng tâm cần thiết lớn hơn giá trị ở điều kiện thiết kế.
• 1 điểm cho việc giải thích rằng xe có xu hướng trượt lên dốc nghiêng, về phía bên ngoài.

• Lực cần thiết: F_req/F_d = (v/v_d)²

Lời giải 8

(a) Suy ra tỉ số tốc độ

Đối với đường cong A:

\[ v_A^2 = rg\tan\theta_A \]

Đối với đường cong B:

\[ v_B^2 = rg\tan\theta_B \]

Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất. Vì hai đường cong có cùng bán kính và cùng cường độ trường hấp dẫn, \(r\) và \(g\) bị triệt tiêu:

\[ \frac{v_B^2}{v_A^2} = \frac{\tan\theta_B}{\tan\theta_A} \]

Lấy căn bậc hai ta được:

\[ \boxed{ \frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{\tan\theta_B}{\tan\theta_A}} } \]

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho việc áp dụng hệ thức tốc độ thiết kế cho cả hai đường cong.
• 1 điểm cho việc suy ra tỉ số chính xác.

(b) Tính tỉ số và đánh giá nhận định

Thay \(\theta_A=15.0^\circ\) và \(\theta_B=30.0^\circ\):

\[ \begin{aligned} \frac{v_B}{v_A} &= \sqrt{\frac{\tan30.0^\circ}{\tan15.0^\circ}}\\ &= \sqrt{\frac{0.57735\ldots}{0.267949\ldots}}\\ &= 1.47 \end{aligned} \]

Do đó:

\[ \boxed{\frac{v_B}{v_A}=1.47} \]

Tốc độ thiết kế của đường cong B xấp xỉ \(1.47\) lần tốc độ thiết kế của đường cong A, tức cao hơn khoảng 47%. Nhận định của học sinh là không chính xác: tăng gấp đôi góc nghiêng không làm tốc độ thiết kế tăng gấp đôi.

Nguyên nhân là tốc độ thiết kế phụ thuộc vào căn bậc hai của \(\tan\theta\), chứ không phụ thuộc trực tiếp vào bản thân góc nghiêng.

Hướng dẫn chấm: 2 điểm

• 1 điểm cho việc tính tỉ số xấp xỉ \(1.47\).
• 1 điểm cho việc bác bỏ nhận định chính xác và giải thích ý nghĩa của tỉ số.

Kết thúc đề – 40 điểm

Khi kiểm tra bài làm, hãy tập trung vào các phương trình lực trước tiên. Phần lớn lỗi trong các câu hỏi về đường cong nghiêng không có ma sát xuất phát từ việc coi lực pháp tuyến như thể nó có phương thẳng đứng, sử dụng toàn bộ lực pháp tuyến làm lực hướng tâm hoặc quên rằng góc nghiêng được đo so với phương ngang.