马克士威对电磁波的预测：HSC 物理

无线电发射器可以将能量传送到数公里外的空旷空间。发射器和你的收音机之间没有导线，而且中间也不需要有空气。那么，实际上在传播的是什么？

在马克士威之前，电学与磁学看起来可能是两个彼此相关、却又各自独立的主题。电荷会产生电场。电流会产生磁场。法拉第也已经证明，变化的磁场能产生电效应。

现在来做一个预测。如果变化的磁场能产生电场，那么变化的电场是否也能反过来产生磁场？

马克士威意识到，答案必然是肯定的。补上这个缺失的部分后，方程式便得出了一个非凡的结果：电场与磁场中的扰动能以波的形式穿越空无一物的空间。

这种波就是电磁辐射。光就是其中一个例子。

01马克士威必须解决的问题

先从两个已确立的观念开始。

静止电荷会产生电场。稳定电流会产生磁场。

法拉第的实验还揭示了一个较不直观的现象：当磁通量改变时，就会出现电场。这正是电磁感应背后的物理原理。

你可以阅读马克士威对电与磁的统一，回顾马克士威如何将这些观念整合起来。

然而，这里存在一种不对称性。

变化的磁场能产生电场，但最初用来描述磁学的方程式，却将电流视为产生环绕磁场的唯一来源。

马克士威怀疑，这套描述并不完整。

02电容器揭示了问题

想像一个正由电池充电的电容器。

电流沿著导线流向其中一块电容器极板。电子在一块极板上累积，并从另一块极板离开。

然而，没有电荷穿过两块极板之间的绝缘间隙。

现在，想像你在导线周围画出一个回路，并问：是什么产生了这个回路周围的磁场？

如果你在回路上张开一个假想曲面，让它穿过导线，那么电流就会穿过这个曲面。

没有问题。

但你也可以将同一个曲面延伸到电容器的两块极板之间。此时，没有传导电流穿过这个曲面。

磁场不可能取决于你选择哪一个假想曲面。因此，马克士威需要在电容器的间隙中找到某种效应，让它扮演类似电流在磁学中所扮演的角色。

这种效应确实存在：两块极板之间的电场正在改变。

马克士威加入了一个与变化的电通量有关的项。这个项通常称为位移电流项。

HSC 物理的核心概念其实比这个名称听起来简单：

变化的电场会产生磁场。

这就补足了我们理解电磁波所需的对称性。

03电场与磁场如何形成传播中的波？

想像一根发射天线，其中的电荷不断来回加速运动。

这种运动会在天线周围产生变化的电场。

这个变化的电场与变化的磁场有关。

磁场也会改变，因此根据法拉第定律，会产生环流电场。

这种扰动不会只停留在天线旁边。马克士威方程式允许彼此耦合的电场与磁场向外传播。

一个有用的初步比喻是体育场中的人浪。一个人开始移动，接著附近的人作出反应，再接著更远处的人也作出反应。这个图样会向前传播，即使每个人本身并没有绕著整座体育场移动。

对于电磁波而言，穿越空间移动的是电磁扰动。

不过，这个比喻有一个重要的限制。体育场中的人会因为看到邻近的人而作出反应，但电场与磁场并不是会互相观察的微小物体。精确的描述由马克士威方程式给出：电场与磁场在空间及时间上的变化彼此耦合，因而允许波向外传播。

04两个关键要素

对于在真空中传播的电磁波：

1. 变化的磁场与环流电场有关。
2. 变化的电场与环流磁场有关。

第一点来自法拉第定律。第二点则来自马克士威对安培定律所作的修正。

人们通常将这个观念概括为：变化的电场与磁场会「彼此维持」。

这种说法很有用，但需要谨慎理解。它并不是指电场先消失、等待一段时间，再制造出磁场，而磁场之后又制造出一个新的电场。

两种场都是同一个电磁系统的一部分。马克士威方程式描述它们的数值如何随著空间与时间共同变化。

05电磁波的形态是什么？

假设一个电磁波沿著 \(\,x\,\) 方向传播。

它的电场可能沿著 \(\,y\,\) 方向振荡，而磁场则沿著 \(\,z\,\) 方向振荡。

这三个方向彼此垂直：

• 电场 \(\vec E\)；
• 磁场 \(\vec B\)；以及
• 波的传播方向。

因此，电磁波是横波。

对于在真空中传播的平面电磁波，传播方向由下列向量的方向决定：

\[ \vec E \times \vec B \]

其中，\(\vec E\) 是电场，\(\vec B\) 是磁场。

你不需要想像这些场像绳子一样实际摆动。代表场强度与方向的箭头，会随著位置与时间而改变。

06马克士威的惊人预测

马克士威将变化的电场项纳入方程式后，预测电磁扰动应以以下速度传播：

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

其中：

• \(v\) 是预测的波速，单位为公尺每秒；
• \(\mu_0\) 是真空磁导率；以及
• \(\varepsilon_0\) 是真空介电常数。

使用

\[ \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1} \]

以及近似值

\[ \varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \text{F m}^{-1}, \]

预测的波速约为

\[ 3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}. \]

当时人们已经知道，这大约就是光速。

这个结论具有重大意义：光可能是一种电磁波。

如今，我们已经知道，无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X 射线和伽马射线，全都属于电磁辐射。它们的差异在于频率与波长，而不是它们在真空中传播的基本机制。

07电场与磁场的大小也彼此相关

对于在真空中传播的电磁波，电场与磁场的大小满足以下关系：

\[ E=cB, \]

或等价地，

\[ \frac{E}{B}=c, \]

其中：

• \(E\) 是电场强度，单位为 \(\text{V m}^{-1}\)；
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉；
• \(c\) 是真空中的光速，约为 \(3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

这告诉我们一件重要的事。

电场与磁场并不是两个碰巧并排传播、彼此独立的波。它们的大小受到同一个关系式的限制。

08为什么电荷的加速运动很重要？

一个常见的简化说法是：「移动的电荷会产生电磁波。」

这个说法过于笼统。

以恒定速度移动的电荷具有电场与磁场，但单靠稳定的等速运动，并不等于持续辐射电磁波。

辐射与加速运动的电荷有关。

在发射天线中，电荷会来回振荡。由于它们的速度不断改变，因此一直处于加速状态。

这会产生随时间变化的电磁扰动，而这种扰动可以从源头向外传播。

这就是为什么交流电可以用于无线电发射器。振荡的电荷会以驱动频率产生电磁辐射。

09为什么电磁波不需要介质？

机械波涉及物质。

声波是物质中粒子的位置与压力发生扰动的结果。如果移除物质，就没有粒子可以传递声音。

因此，人们很自然地可能预测，光也需要某种看不见的物质来振动。

然而，马克士威方程式指出，情况并非如此。

电磁波中发生变化的是电场与磁场本身。因此，电磁波可以在真空中传播。

这并不代表空无一物的空间里「什么事也没有发生」。电磁场具有可测量的性质，并且能携带能量与动量。

10最容易令人误解的观念

一张常见的示意图会画出两个互相垂直、呈正弦曲线的电场与磁场。看著这张图，很容易想像出以下过程：

电场达到峰值 → 磁场开始增强 → 磁场达到峰值 → 电场又开始增强。

但平面电磁波并不是这样运作的。

在理想的正弦电磁波中，于某个特定位置，电场 \(E\) 和磁场 \(B\) 会同时降至零，也会同时达到各自的最大强度。它们是同相的。

那么，如果两个场同时达到最大值，为什么还会涉及变化的场？

因为马克士威方程式同时涉及时间与空间上的变化。

在场达到最大值时，该位置的瞬时时间变化率可以为零，但传播中波的空间结构仍然符合耦合场方程式。

因此，「一个变化的场会产生另一个场」是一种有用的入门说法，而不是逐帧描述的机械过程。

11频率、波长与波速

一旦我们将电磁辐射理解为波，就可以使用熟悉的波动关系式：

\[ v=f\lambda, \]

其中：

• \(v\) 是波速，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)；
• \(f\) 是频率，单位为赫兹；
• \(\lambda\) 是波长，单位为公尺。

在真空中，

\[ c=f\lambda. \]

由于波速固定为 \(c\)，频率愈高，波长就愈短。

12马克士威实际上预测了什么？

将以下三项主张区分开来会很有帮助。

预测的速度与实测光速一致。

后来的实验，尤其是赫兹产生并侦测无线电波的实验，为可见光以外的电磁波提供了直接的实验证据。

因此，马克士威的成就并不只是注意到光的速度很快。他的方程式将电学、磁学与光学整合在同一套理论中，并由此预测电磁波的存在。

13题目与解答

题目 1

一个电磁波在真空中传播。其电场的最大强度为 \(150\ \text{V m}^{-1}\)。

计算磁场的最大强度。

解答 1

磁场的最大强度为 \(5.00\times10^{-7}\ \text{T}\)。

对于在真空中传播的电磁波，

\[ E=cB. \]

整理得：

\[ B=\frac{E}{c}. \]

代入 \(E=150\ \text{V m}^{-1}\) 及 \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)：

\[ B= \frac{150} {3.00\times10^8} =5.00\times10^{-7}\ \text{T}. \]

因此，

\[ B=5.00\times10^{-7}\ \text{T}. \]

一个容易犯的错误，是将 \(E\) 和 \(B\) 视为互不相关的振幅。在真空中的平面电磁波里，它们的大小受到 \(E/B=c\) 的限制。

题目 2

一名学生说：

「电磁波在真空中最终一定会消失，因为电场会消耗部分能量来产生磁场，而磁场又会消耗更多能量来重新产生电场。」

请解释这个模型为什么不正确。你的答案应同时提及马克士威方程式与能量守恒。

解答 2

这个模型不正确，因为电场与磁场是同一个传播中电磁场的相互耦合部分，而不是两个反复消耗能量来重新创造对方的系统。

马克士威方程式将 \(\vec E\) 与 \(\vec B\) 在空间及时间上的变化联系起来。在真空中，这些耦合方程式允许存在传播中的波动解。

「变化的电场产生磁场，而磁场又产生电场」这句话有助于建立直观理解，但如果将它解读成反复付出能量的过程，就会产生误导。

理想电磁波在真空中传播时，不会仅仅因为电场与磁场持续变化而失去能量。能量是由电磁场传输的。

如果电磁波与物质互相作用，能量就可能被吸收、散射，或以其他方式转移。但单纯在真空中传播，并不需要电磁波不断牺牲能量来维持自身存在。

一个容易令人误入歧途的比喻，是想像两个人来回借用同一张二十美元钞票，却仿佛每次都要支付手续费。马克士威方程式描述的并不是这种过程，而是一个彼此耦合的场结构在空间中传播。

题目 3

一个平面电磁波向东传播。在某个位置与瞬间，它的电场垂直向上。

判断磁场的方向，并解释你的判断依据。

解答 3

磁场必须水平指向北方或南方，具体取决于座标惯例；正确的方向应使 \(\vec E\times\vec B\) 指向东方。

令东方为 \(+x\)、北方为 \(+y\)，向上为 \(+z\)。

电场向上，因此

\[ \vec E\parallel +z. \]

我们需要满足

\[ \vec E\times\vec B\parallel +x. \]

使用右手定则，

\[ \hat z\times(-\hat y)=\hat x. \]

因此，磁场指向南方。

所以，这三个方向彼此垂直：

• \(\vec E\)：向上；
• \(\vec B\)：向南；
• 传播方向：向东。

一个容易犯的错误，是只说磁场必须与电场垂直。这是必要条件，但并不足够。无论向北或向南，都与向上的方向垂直。必须利用 \(\vec E\times\vec B\) 所决定的传播方向，才能选出正确的方向。

题目 4

现在考虑两台拟议中的发射器。

发射器 A 内的电荷以正弦方式来回振荡。

发射器 B 则以某种方式，让一群电荷以恒定速度通过装置中的一段长直区域，而且每秒通过每个位置的电荷数量保持不变。

一名学生认为，两台发射器都必定会持续辐射，因为两者都涉及移动电荷，因此都会产生磁场。

评估这个论点。解释这两个系统的电磁场在本质上有何不同。

解答 4

只有发射器 A 必然具有持续产生电磁辐射所需的、随时间变化的源头行为。这名学生将磁场的存在与传播中电磁波的产生混为一谈。

在发射器 A 中，电荷会振荡。它们的速度不断改变，这代表它们正在加速。

因此，电荷与电流的分布会随时间变化。源头周围的电磁场也会随之改变，而这个变化的场有一部分可以作为电磁辐射向外传播。

发射器 B 的情况则不同。在题目所描述的理想稳定状态下，每个位置的电流都不会随时间改变。由于移动的电荷构成电流，这个系统可以具有磁场，但稳定的磁场本身并不是向外传播的电磁波。

因此，关键区别并不是

\[ \text{电荷移动} \quad \text{与} \quad \text{电荷静止}. \]

而是源头是否产生了与辐射相关、会随时间改变的电磁场结构。

这里有一个细节值得注意。在真实装置中，个别电荷在进入、离开或改变运动方向时，必然会在某些地方加速，而这些区域可能产生辐射。然而，题目指定的是一段电荷以恒定速度通过、电流保持不变的长直区域。这个稳定区域不会仅仅因为周围存在磁场，就持续产生辐射。

一个容易令人误入歧途的推理是：

\[ \text{移动电荷}\rightarrow\text{磁场}\rightarrow\text{电磁波}. \]

其中缺少的关键条件是：静态或稳定的场，并不等于传播中的扰动。电磁辐射与源头随时间变化的行为有关，尤其是加速运动的电荷。

题目 5

考虑一个在真空中沿著 \(+x\) 方向传播的理想平面电磁波。在位置 \(x=0\) 处，电场可表示为

\[ E_y=E_0\cos(\omega t). \]

一名学生观察 \(t=0\) 的瞬间，并提出以下论点：

「电场正处于最大值，所以 \(dE/dt=0\)。因此，电场并没有变化。马克士威说变化的电场会产生磁场，所以此刻磁场必定为零。」

然而，对于平面电磁波而言，在同一位置与同一时间，磁场实际上也正处于其最大强度。

请在不否定上述任何一项陈述的前提下，解决这个表面上的矛盾。解释为什么只考虑单一位置的 \(dE/dt\)，无法完整呈现马克士威理论。

解答 5

这并不矛盾：当电场达到最大值时，磁场也可以同时达到最大值，因为马克士威方程式将时间与空间上的变化联系起来，而不只是考虑单一位置的 \(dE/dt\) 数值。

对于传播中的平面波，电场可以表示为

\[ E_y(x,t)=E_0\cos(kx-\omega t), \]

其中：

• \(E_0\) 是电场的最大值；
• \(k\) 是波数；
• \(x\) 是位置；
• \(\omega\) 是角频率；
• \(t\) 是时间。

与之相关的磁场与电场同相：

\[ B_z(x,t)=B_0\cos(kx-\omega t). \]

在 \(x=0\) 且 \(t=0\) 时，

\[ E_y=E_0 \]

以及

\[ B_z=B_0. \]

因此，两个场都处于各自的最大值。

同时，在那个确切事件发生的瞬间，\(E_y\) 对时间的导数确实为零：

\[ \frac{\partial E_y}{\partial t} = \omega E_0\sin(kx-\omega t), \]

因此在 \(x=0,\ t=0\) 时，

\[ \frac{\partial E_y}{\partial t}=0. \]

学生的错误在于假设，某个位置的磁场只取决于同一位置、同一瞬间的电场时间导数。

马克士威方程式是描述空间中场分布的方程式。例如，它们将场在空间中的旋度与其他场随时间的变化联系起来。因此，传播中的电磁波必须被视为横跨邻近位置的完整图样，而不是某个瞬间观察到的一支孤立箭头。

在波峰处，场的数值达到最大值，而该位置的瞬时时间变化率为零。经过一段周期后，波峰已经移动。整个空间图样在任何时刻都持续符合马克士威方程式。

这正是对「变化的电场会产生磁场」这个简化说法更深入的修正。这句话指出了正确的方向，但精确的物理描述是两个场在空间与时间上的变化彼此耦合。

一旦理解了这项区别，马克士威的预测就会显得更加有力。这套理论不仅解释了电效应与磁效应为何彼此相关，还预测了一种能够传播的电磁结构，确定了它在真空中的速度，建立了电场与磁场的大小及方向之间的关系，并为理解天线如何产生辐射，以及电磁波如何在空间中传输能量奠定了基础。