轨道周期：HSC 物理中的轨道半径与中心天体质量

两颗卫星绕著同一颗行星运行。卫星 B 距离行星中心的距离是卫星 A 的两倍。在进行任何计算之前，先预测一下：B 完成一次轨道运行所需的时间会是两倍吗？

不会。它的轨道周期约长 \(2.83\) 倍。

时间增加是两种效应共同作用的结果。距离较远的卫星必须沿著更大的圆周运行，而且那里的重力较弱，因此它的运行速度也较慢。轨道周期实际上取决于轨道半径与中心天体质量如何共同作用。

01轨道周期由什么决定？

想像一颗卫星沿著圆形轨道绕地球运行。重力持续将它拉向地球中心。卫星同时继续向侧面运动，因此它不会直接向下坠落，而是不断地绕著地球自由落下。

这与圆形轨道中的重力作为向心力所介绍的概念相同。

现在试著预测一下。如果我们将卫星移得离地球更远，会有什么变化？

有两个因素很重要：

• 卫星每完成一次轨道运行，都必须走过更长的路径。
• 地球的引力较弱，因此卫星的轨道速度较低。

这两种变化都会使轨道周期变长。

轨道周期 \(T\) 是完成一次完整轨道运行所需的时间。

对圆形轨道而言，重要的物理量如下：

使用

\[ G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}. \]

有一个细节很容易造成许多原本可以避免的错误：\(r\) 是轨道半径，不是高度。

如果一颗卫星位于地球表面上方 \(\text{400 km}\)，就不能直接将 \(\text{400 km}\) 代入轨道周期方程式。你必须先计算

\[ r=R_{\text{Earth}}+h. \]

02推导轨道周期方程式

我们可以推导出这个关系，而不是把它当成一个难以理解的公式死记下来。

对于质量为 \(m\) 的卫星，牛顿万有引力定律给出

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2}. \]

对于圆周运动，所需的向心力为

\[ F_c=\frac{mv^2}{r}. \]

重力提供这个向心力，因此

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]

卫星质量 \(m\) 可以约去：

\[ \frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}. \]

这已经告诉我们一个有用的结论。在 HSC 常用的模型中，卫星本身的质量不会影响其轨道速度或轨道周期。

卫星完成一次完整的圆形轨道运行时，会在一个周期 \(T\) 内走过圆周长 \(2\pi r\)。因此，

\[ v=\frac{2\pi r}{T}. \]

将此式代入圆周运动方程式：

\[ \frac{GM}{r^2} = \frac{1}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2. \]

化简后，

\[ \frac{GM}{r^2} = \frac{4\pi^2r}{T^2}, \]

因此

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM}. \]

所以，

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

这就是本主题的核心关系式。

03这个方程式实际上告诉我们什么？

方程式

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

包含两个重要的依存关系。

轨道半径越大，周期越长

如果中心天体的质量保持不变，

\[ T\propto r^{3/2}. \]

这个 \(3/2\) 次方非常重要。轨道半径加倍，周期并不会加倍：

\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{2r_1}{r_1}\right)^{3/2} = 2^{3/2} \approx 2.83. \]

为什么周期增加的幅度超过两倍？因为卫星不但需要走更远的路程，运行速度也更慢。

从圆形轨道速度方程式可以看出速度如何降低：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

增加 \(r\) 会使 \(v\) 降低。这就像卫星的通勤路程变长，同时还被要求降低行驶速度。

不过，这个比喻有其限制：卫星并不是自行选择速度，也没有道路将它限制在圆形路径上。它的速度必须恰好使重力产生所需的向心加速度。

中心天体质量越大，周期越短

如果轨道半径保持不变，

\[ T\propto \frac{1}{\sqrt{M}}. \]

在相同的 \(r\) 位置，质量较大的中心天体会产生较强的重力场。因此，该半径上的圆形轨道需要更高的轨道速度，卫星也就能更快完成一次轨道运行。

例如，如果中心天体的质量增加为原来的四倍，而 \(r\) 保持不变，

\[ T_{\text{new}} = \frac{T_{\text{old}}}{\sqrt{4}} = \frac{T_{\text{old}}}{2}. \]

因此，周期会减半。

04实用的比较方程式

假设物体 1 以半径 \(r_1\) 绕质量为 \(M_1\) 的中心天体运行，而物体 2 以半径 \(r_2\) 绕质量为 \(M_2\) 的中心天体运行。

从

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

出发，取两者的比值：

\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}. \]

使用这个式子，通常比逐一计算两个周期更快。

有两种特殊情况值得立即辨认：

对于绕著同一个中心天体运行的物体，

\[ \frac{T^2}{r^3}=\text{常数}. \]

这就是克卜勒第三定律在圆形轨道中的形式。对于椭圆轨道，相应的方程式使用半长轴 \(a\)，而不是单一且固定的轨道半径。

范例：求地球卫星的轨道周期

一颗卫星沿著圆形轨道运行，其与地球中心的距离为 \(7.00\times10^6\text{ m}\)。计算它的轨道周期。使用 \(M_{\text E}=5.97\times10^{24}\text{ kg}\)。

步骤 1：确认正确的半径。

题目已经给出卫星与地球中心的距离，因此

\[ r=7.00\times10^6\text{ m}. \]

步骤 2：使用轨道周期方程式。

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} T &=2\pi\sqrt{ \frac{(7.00\times10^6)^3} {(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} }\\ &=2\pi\sqrt{8.61\times10^5}\\ &=5.83\times10^3\text{ s}. \end{aligned} \]

步骤 3：换算成分钟并解释结果。

\[ T=\frac{5.83\times10^3}{60}=97.2\text{ min}. \]

这颗卫星大约每隔 \(97.2\text{ min}\) 完成一次轨道运行。

请注意，计算过程不需要卫星的质量。

范例：利用轨道求行星的质量

一颗卫星绕著一颗遥远的行星沿圆形轨道运行。它的轨道半径为 \(2.40\times10^8\text{ m}\)，轨道周期为 \(1.80\) 天。估算这颗行星的质量。

步骤 1：将轨道周期方程式重新整理，以求出 \(M\)。

从

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

出发，可得

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}. \]

步骤 2：将周期换算成秒。

\[ T=1.80\times24\times3600 =1.5552\times10^5\text{ s}. \]

步骤 3：代入测量数值。

\[ \begin{aligned} M &= \frac{4\pi^2(2.40\times10^8)^3} {(6.67\times10^{-11})(1.5552\times10^5)^2}\\ &=3.38\times10^{26}\text{ kg}. \end{aligned} \]

步骤 4：解释结果。

这颗行星的估计质量为

\[ M\approx3.38\times10^{26}\text{ kg}. \]

这是轨道运动的一项重要用途：我们不必把物体放到类似巨大磅秤的装置上，就能测定它的质量。我们只需要测量另一个物体在它的重力作用下如何运动。

05最容易犯的错误

错误 1：使用高度而非轨道半径

假设一颗卫星位于某行星表面上方 \(500\text{ km}\)，而该行星的半径为 \(6400\text{ km}\)。

它的轨道半径并不是 \(500\text{ km}\)，而是

\[ r=6400+500=6900\text{ km}. \]

接著将单位换算成公尺：

\[ r=6.90\times10^6\text{ m}. \]

重力指向行星中心，因此计算 \(r\) 时必须以行星中心为测量起点。

错误 2：认为周期与半径成正比

我们很容易认为，圆周长变成两倍，绕行一周所需的时间就应该变成两倍。

只有在轨道速度保持不变时，这种推论才成立。但实际上并非如此。

对于相同的中心天体质量，

\[ v\propto r^{-1/2}, \]

因此，距离较远的卫星不但必须走更远的路程，运行速度也更慢。完整的关系式是

\[ T\propto r^{3/2}. \]

错误 3：假设质量较大的卫星会运行得更快

卫星质量 \(m\) 同时出现在万有引力与所需向心力的方程式中：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]

它会被约去。

因此，如果两颗卫星以相同半径绕同一个中心天体运行，质量为 \(100\text{ kg}\) 的卫星与质量为 \(1000\text{ kg}\) 的卫星可以具有相同的圆形轨道周期。

这个结论假设卫星的质量够小，因此将中心天体视为固定物体是合理的近似。如果两者的质量相近，两个物体都会绕著共同的质心运行，此时就需要使用更完整的双体模型。

错误 4：假设行星越大，轨道周期就一定越长

仅知道物体的实际大小并不足够。

圆形轨道方程式包含中心天体质量 \(M\) 与轨道半径 \(r\)。只有在行星的实际半径有助于确定 \(r\) 时，例如题目给出高度，行星的实际半径才会影响计算。

实际半径较大的行星，其质量也可能大得多。这两种效应可能互相竞争。

06题目与解答

题目 1

一颗卫星以 \(4.20\times10^7\text{ m}\) 的半径绕地球沿圆形轨道运行。计算它的轨道周期，以小时为单位表示。

使用

\[ M_{\text E}=5.97\times10^{24}\text{ kg} \]

以及

\[ G=6.67\times10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}. \]

解答 1

这颗卫星的轨道周期约为 \(23.8\text{ h}\)。

对于圆形轨道，

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

代入已知数值：

\[ \begin{aligned} T &=2\pi\sqrt{ \frac{(4.20\times10^7)^3} {(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} }\\ &=8.57\times10^4\text{ s}. \end{aligned} \]

将秒换算成小时：

\[ T=\frac{8.57\times10^4}{3600}=23.8\text{ h}. \]

因此，完成一次轨道运行所需的时间略少于一天。

一种常见的错误解法是使用 \(T\propto r\)。这种做法假设卫星在轨道半径改变时仍保持相同速度。实际上，圆形轨道速度会随半径改变，因此必须使用 \(r^{3/2}\) 的关系式。

题目 2

地球半径为 \(6.37\times10^6\text{ m}\)。卫星 A 的圆形轨道位于地球表面上方 \(400\text{ km}\)。

卫星 B 绕地球运行，其轨道周期恰好是卫星 A 的两倍。

求卫星 B 距离地球表面的高度。

解答 2

卫星 B 的轨道高度约为 \(4.38\times10^3\text{ km}\)。

因为两颗卫星都绕地球运行，所以中心天体的质量相同。因此，

\[ \frac{T_B}{T_A} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}. \]

先求卫星 A 的轨道半径：

\[ \begin{aligned} r_A &=R_{\text E}+h_A\\ &=6.37\times10^6+0.400\times10^6\\ &=6.77\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

已知

\[ \frac{T_B}{T_A}=2, \]

所以

\[ 2=\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}. \]

将两边同时取 \(2/3\) 次方：

\[ \frac{r_B}{r_A}=2^{2/3}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} r_B &=(6.77\times10^6)2^{2/3}\\ &=1.075\times10^7\text{ m}. \end{aligned} \]

这是卫星与地球中心的距离。题目要求的是高度，因此要减去地球半径：

\[ \begin{aligned} h_B &=r_B-R_{\text E}\\ &=1.075\times10^7-6.37\times10^6\\ &=4.38\times10^6\text{ m}\\ &=4.38\times10^3\text{ km}. \end{aligned} \]

一个很容易想到的错误是将 \(400\text{ km}\) 的高度加倍。这样做有两个问题：周期并不与半径成正比，而且轨道方程式中的 \(r\) 也不是高度。

题目 3

月球 A 绕行星 A 运行，其轨道半径为 \(3.00\times10^8\text{ m}\)，周期为 \(4.00\) 天。

月球 B 绕行星 B 运行，其轨道半径为 \(2.00\times10^8\text{ m}\)，周期为 \(2.00\) 天。

假设两颗月球的质量与各自行星相比都可以忽略。

1. 求 \(M_B/M_A\) 的比值。
2. 求两颗月球的轨道速度比值 \(v_B/v_A\)。
3. 一名学生认为，行星 B 的质量一定较小，因为它的月球在更近的距离绕行。解释为什么测量结果与这个说法矛盾。

解答 3

行星 B 的质量约为行星 A 的 \(1.19\) 倍，而月球 B 的运行速度是月球 A 的 \(1.33\) 倍。仅凭较小的轨道半径，无法判定行星 B 的质量较小。

对于圆形轨道，

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM}. \]

重新整理可得

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}. \]

因此，

\[ \frac{M_B}{M_A} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2. \]

代入比值：

\[ \begin{aligned} \frac{M_B}{M_A} &= \left(\frac{2.00}{3.00}\right)^3 \left(\frac{4.00}{2.00}\right)^2\\ &= \frac{8}{27}\times4\\ &=\frac{32}{27}\\ &\approx1.19. \end{aligned} \]

因此，

\[ M_B\approx1.19M_A. \]

对于轨道速度，

\[ v=\frac{2\pi r}{T}. \]

所以，

\[ \begin{aligned} \frac{v_B}{v_A} &= \frac{r_B/T_B}{r_A/T_A}\\ &= \frac{(2.00)/(2.00)}{(3.00)/(4.00)}\\ &=\frac{4}{3}\\ &\approx1.33. \end{aligned} \]

因此，月球 B 的运行速度约快 \(33\%\)。

这个看似合理的论点只考虑了轨道半径。但轨道运动同时取决于 \(r\) 和 \(M\)。月球 B 在只有一半的时间内就完成一个更短的轨道，而综合这些测量结果可知，行星 B 的质量实际上更大。

题目 4

行星 A 和行星 B 都是球体，且平均密度相同。行星 B 的半径是行星 A 的两倍：

\[ R_B=2R_A. \]

假设卫星的质量可以忽略。

1. 一颗卫星在每颗行星的表面上方极近处运行。比较两颗卫星的轨道周期。
2. 现在将两颗卫星分别放在各自行星表面上方相同的绝对高度 \(h=R_A/4\)。计算 \(T_B/T_A\)。
3. 解释为什么第 1 题和第 2 题的答案不同，尽管两颗行星的密度相同。

解答 4

在行星表面附近运行的两颗卫星，其周期相同；但在相同的绝对高度下，绕行行星 B 的卫星周期较短，且

\[ \frac{T_B}{T_A}\approx0.854. \]

由于两颗行星的密度 \(\rho\) 相同，

\[ M=\rho\frac{4}{3}\pi R^3. \]

因为

\[ R_B=2R_A, \]

所以两颗行星的质量比为

\[ \frac{M_B}{M_A} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^3 = 2^3 = 8. \]

因此，行星 B 的质量是行星 A 的八倍。

对于在行星表面附近运行的卫星，

\[ r_A\approx R_A \]

以及

\[ r_B\approx R_B=2R_A. \]

使用

\[ \frac{T_B}{T_A} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2} \sqrt{\frac{M_A}{M_B}}, \]

可得

\[ \begin{aligned} \frac{T_B}{T_A} &= 2^{3/2}\sqrt{\frac{1}{8}}\\ &=1. \end{aligned} \]

两颗卫星的周期相同。

现在让两颗卫星的绝对高度相同：

\[ h=\frac{R_A}{4}. \]

对行星 A，

\[ r_A=R_A+\frac{R_A}{4}=1.25R_A. \]

对行星 B，

\[ r_B=2R_A+\frac{R_A}{4}=2.25R_A. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{T_B}{T_A} &= \left(\frac{2.25}{1.25}\right)^{3/2} \sqrt{\frac{1}{8}}\\ &\approx0.854. \end{aligned} \]

绕行行星 B 的卫星，完成一次轨道运行所需的时间只有约 \(85.4\%\)。

一种容易产生的错误想法是：密度相同就一定会有相同的轨道周期。但这个结果只在第 1 题成立，因为轨道半径的变化比例恰好与行星实际半径的变化比例相同。\(R\) 加倍使 \(r^3\) 变成八倍，而中心天体质量也增加为八倍，因此两种效应互相抵消。

在第 2 题中，固定的高度打破了这种几何比例关系。行星 B 的质量仍然是八倍，但它的卫星在 \(r^3\) 的意义上，并没有离中心远八倍。较强的重力在这场竞争中占了上风，因此产生较短的周期。

题目 5

一颗球形行星的质量为 \(M\)，半径为 \(R\)。一颗卫星最初在高度为 \(R\) 的圆形轨道上运行，因此它的轨道半径为 \(2R\)。

接著，行星快速且对称地收缩，半径变为 \(R/2\)。没有质量流失，而且在收缩过程中，卫星没有受到推力或其他瞬间冲量。

1. 收缩后的瞬间，卫星是否仍保持在相同的圆形轨道上？说明它的周期会发生什么变化。
2. 收缩后的瞬间，卫星距离行星表面的新高度是多少？
3. 稍后，卫星进行轨道操作，进入一个新的圆形轨道，其高度等于行星的新半径。求卫星最终轨道周期与原始周期的比值。
4. 比较卫星最终的圆形轨道速度与原始轨道速度。
5. 解释以下说法的错误之处：「行星变小了，所以卫星的周期必须立即变短。」

解答 5

卫星最初会保持在完全相同的圆形轨道上，周期也完全不变。由于行星表面向内移动，卫星的高度会增加。只有在卫星移至更小的轨道半径后，周期才会减少；其最终周期是原始周期的 \(1/(2\sqrt2)\)，约为 \(0.354\) 倍，而最终轨道速度则是原始速度的 \(\sqrt2\) 倍。

最初，

\[ r_i=2R. \]

行星收缩时，卫星所在位置的三个重要物理量不会立即改变：

• 行星的总质量仍然是 \(M\)。
• 卫星与行星中心的距离仍然是 \(2R\)。
• 由于卫星没有受到任何冲量，其切向速度保持不变。

在球形质量物体的外部，重力由中心天体的总质量及中心到中心的距离决定：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2}. \]

由于卫星位置的 \(M\) 和 \(r\) 都没有改变，重力也不会改变。

在行星收缩之前，卫星的速度符合圆形轨道条件：

\[ v_i=\sqrt{\frac{GM}{2R}}. \]

收缩后的瞬间，在 \(r=2R\) 处所需的圆形轨道速度仍然是

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{2R}}. \]

因此，卫星原有的速度仍然恰好是维持同一条圆形轨道所需的速度。轨道周期也保持不变。

行星的新实际半径为

\[ R'=\frac{R}{2}. \]

卫星与中心的距离仍然是 \(2R\)，因此它的新高度为

\[ \begin{aligned} h' &=2R-\frac{R}{2}\\ &=\frac{3R}{2}. \end{aligned} \]

现在考虑稍后的轨道操作。卫星进入一条新圆形轨道，其高度等于行星的新半径：

\[ h_f=\frac{R}{2}. \]

因此，它最终的轨道半径为

\[ \begin{aligned} r_f &=R'+h_f\\ &=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}\\ &=R. \end{aligned} \]

中心天体的质量没有改变，因此

\[ \frac{T_f}{T_i} = \left(\frac{r_f}{r_i}\right)^{3/2}. \]

所以，

\[ \begin{aligned} \frac{T_f}{T_i} &= \left(\frac{R}{2R}\right)^{3/2}\\ &= \left(\frac12\right)^{3/2}\\ &=\frac{1}{2\sqrt2}\\ &\approx0.354. \end{aligned} \]

最终周期约为原始周期的 \(35.4\%\)。

对于圆形轨道速度，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{v_f}{v_i} &= \sqrt{\frac{r_i}{r_f}}\\ &= \sqrt{\frac{2R}{R}}\\ &=\sqrt2\\ &\approx1.41. \end{aligned} \]

最终的圆形轨道速度约增加 \(41\%\)。

这个容易令人误信的说法，混淆了行星的实际半径与卫星的轨道半径。方程式

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

并不包含行星的实际半径。收缩后的瞬间，\(M\) 与卫星到行星中心的距离 \(r\) 都没有改变，因此卫星的周期不可能突然改变。

只有当卫星本身移至新的轨道半径时，周期才会改变。

07这个关系式接下来能帮你做什么？

值得掌握的核心概念不只是公式，而是轨道半径与中心天体质量之间的相互作用：

\[ T\propto\frac{r^{3/2}}{\sqrt M}. \]

有了这个关系，你就能进一步解决不同类型的问题。如果 \(M\) 已知，就能利用观测到的周期求出轨道半径。如果测得 \(r\) 和 \(T\)，就能利用轨道求出未知的中心天体质量。如果两个物体绕著同一个天体运行，则可以直接比较它们的周期与半径，完全不需要知道该天体的质量。

相同的重力模型也能给出圆形轨道速度：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

这解释了整个现象的另一半：距离较远的卫星之所以需要更长时间完成轨道运行，不只是因为它的路径较长，也因为它的运行速度较慢。这种关联会在轨道速度中进一步直接探讨。