如何在 HSC 化学中进行溶液稀释

你需要配制 250.0 mL、浓度为 \(0.100\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的氯化钠溶液，但实验桌上的瓶子装著浓度为 \(1.00\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的 \(\ce{NaCl}\) 储备溶液。一个看似合理的做法是量取 25.0 mL 的储备溶液，再加入 225.0 mL 的水，然后就大功告成。

试著预测问题所在。是化学原理有误，还是量度方法有误？

主要问题在于量度方法。正确的稀释并不取决于你量取了多少水，而是取决于你先转移了多少准确量取的溶质，然后将整份溶液定容至准确的最终体积。这正是我们使用容量吸管和容量瓶的原因。

01稀释实际上是在做甚么？

想像一下浓缩果汁糖浆。你先准确量取一份浓缩液，将它倒进一个较大的瓶子，再加水，直到整份饮料达到指定体积。

吸管控制你量取的那一份浓缩液。容量瓶则控制最终体积。

这个比喻很有用，但也有其局限。在化学中，我们关注的是溶质的莫耳数，而不是液体看起来有多像果汁。我们也不应假设，25.0 mL 的一种液体加上 225.0 mL 的另一种液体，就一定会得到恰好 250.0 mL 的溶液。最终体积必须直接量度。

假设储备溶液的浓度为 \(c_1\)。如果使用吸管转移体积为 \(V_1\) 的溶液，转移的溶质莫耳数为

\[ n = c_1V_1 \]

其中：

• \(n\) 是溶质的物质的量，以 mol 为单位；
• \(c_1\) 是储备溶液的浓度，单位为 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)；
• \(V_1\) 是转移的体积，以 L 为单位。

接著加入水。假设没有溶质流失，也没有发生化学反应，溶质的莫耳数就不会改变。

稀释后，

\[ n = c_2V_2 \]

其中，\(c_2\) 是新的浓度，而 \(V_2\) 是溶液的最终体积。

由于等式两边的莫耳数相同，

\[ c_1V_1 = c_2V_2 \]

这个方程式并不是一条需要另外背诵的定律，而只是稀释过程中溶质守恒的结果。

只要 \(V_1\) 和 \(V_2\) 使用相同的体积单位，这些单位就会在方程式中相消。例如，两个体积都可以使用 mL。不过，如果你回到 \(c=n/V\) 这个公式，当浓度的单位是 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 时，体积就必须以 L 表示。

如想进一步练习相关计算，请参阅 HSC 化学的溶液稀释计算。

02每种玻璃器皿的用途

稀释之所以能正确进行，是因为不同的器材各有不同的用途。

容量吸管通常只有一条校准刻度线。它的设计目的是非常准确地转移某一个特定体积，例如 10.00 mL 或 25.00 mL。

容量瓶同样只有一条校准刻度线。250.0 mL 容量瓶的设计，是在弯月面正确对准该刻度线时，瓶内所盛的液体体积恰好符合其校准容量。

这就是整个方法的核心：先准确量取并转移一定体积的溶液，再准确设定最终体积。

03正确的稀释步骤

假设计算结果显示，你需要量取 25.00 mL 的储备溶液，再将其稀释至 250.0 mL。

1. 选择正确的容量玻璃器皿

如果这些体积与计算结果相符，就使用 25.00 mL 容量吸管和 250.0 mL 容量瓶。

量筒并不是最合适的选择，因为它的设计并非要以同样的准确度量取这些体积。

2. 用蒸馏水或去离子水润洗容量瓶

容量瓶不必保持干燥。

起初，这可能让你觉得不太合理。如果瓶内已经有一些蒸馏水，不就代表你加入了一个未知体积的水吗？

没错，但这个未知体积并不重要。最后，你会继续加水，直到整份溶液达到校准刻度线。控制最终体积的是容量瓶。

瓶内原本存在的干净蒸馏水，只会成为最终溶液的一部分。

3. 先清洗，再用储备溶液润洗吸管

如果需要，先用蒸馏水或去离子水清洗吸管。

然后，取少量储备溶液润洗吸管。这第二次润洗称为吸管的预润洗。

为甚么吸管需要用储备溶液润洗，而容量瓶却不需要？

试著预测，如果吸管内壁残留一层纯水，会发生甚么事。当储备溶液进入吸管时，这些水就会将其稀释。吸管仍可能转移 25.00 mL 的液体，但这些液体所含的溶质莫耳数，会略少于原本 25.00 mL 储备溶液应含的莫耳数。

因此：

• 容量瓶内残留蒸馏水是可以接受的；
• 容量吸管内残留蒸馏水则可能造成浓度偏低的误差。

与其死记这个差异，不如真正理解它背后的实验原理，这是非常有用的实验技巧。

4. 从干净的小烧杯中取用储备溶液

将适量储备溶液倒入干净的烧杯，而不是反复将吸管插入原本的储备溶液瓶。

这样可以降低污染储备溶液的风险。

除非实验室的操作程序明确允许，否则不要将烧杯中剩余的溶液倒回储备溶液瓶。

5. 使用吸管填充器吸取储备溶液

绝对不要用口吸取溶液。

先将储备溶液吸至校准刻度线以上，再小心地调低液面，直到凹形弯月面的最低点恰好对准刻度线。

你的眼睛应与弯月面保持同一水平。如果从上方或下方观察，就会产生视差误差。

6. 将定量分取液转移至容量瓶

按照吸管的校准方式，让吸管中的液体排入容量瓶。

对于标准容量吸管，应让液体依靠重力自然流出。除非吸管特别标示为吹出式吸管，否则不要将尖端残留的少量液体吹出。

这些残留液体看起来可能像是被浪费了，但它们通常是吸管校准设计的一部分。吸管的设计已考虑到尖端会留下这层残液，而仍能转移标示的体积。

如果强行将残液吹出，就会转移过多的储备溶液。

7. 加入蒸馏水，但一开始要停在刻度线以下一段距离

加入蒸馏水或去离子水，直到容量瓶大约达到三分之二至四分之三满。

轻轻旋转容量瓶，让已转移的溶液开始混合。

如果稀释造成明显的温度变化，应先让溶液恢复至接近玻璃器皿的校准温度，再设定最终体积。容量量度会受到温度的轻微影响。

8. 小心地接近校准刻度线

继续加水，直到液面接近刻度线。然后使用滴管逐滴加入最后几滴水。

将容量瓶放在水平表面上，并让眼睛与校准刻度线处于同一高度。

对于具有凹形弯月面的透明水溶液，应让弯月面的最低点对准刻度线。

不要急著完成最后一毫米的调整。洗瓶只要不小心挤出过多的水，就可能令原本准确的配制变成过量定容。

9. 塞好瓶塞并充分混合

当弯月面正确对准刻度线后，塞好容量瓶的瓶塞，再将容量瓶上下倒转数次。

这个步骤并不是可有可无的装饰。

刚加入水后，整个容量瓶内的溶液浓度可能尚未均匀。混合能使溶液达到均匀状态，也就是从瓶内任何一个位置取样，样本的浓度都应与其他位置的样本相同。

10. 标示溶液

记录物质名称、浓度，以及实验室操作程序要求的其他资料。

05为甚么容量瓶要用水润洗，而不是用储备溶液？

这个问题值得单独举例说明，因为它很容易令许多学生出错。

假设你正确地将 25.00 mL 储备溶液移入容量瓶。如果瓶内原本已有一些蒸馏水，溶质的莫耳数仍然不会改变。之后只需加入较少的水，就能让液面到达刻度线。

现在，假设容量瓶是用储备溶液润洗的，而且瓶内仍有一些储备溶液残留。

这时，在你转移定量分取液之前，瓶内就已经多了额外的溶质莫耳数。

容量瓶仍然可以准确地设定最终体积，但你已无法准确知道溶质的总量。

准确的体积无法弥补不准确的莫耳数。

06评估准确度：先问莫耳数和体积发生了甚么变化

稀释过程出现问题时，不要试图死记一大张误差表。

先问两个问题：

1. 转移的溶质莫耳数是过多、过少，还是正确？
2. 最终体积是过大、过小，还是正确？

然后运用以下概念：

\[ c=\frac{n}{V} \]

在体积不变的情况下，莫耳数越多，浓度越高。莫耳数相同而体积越大，浓度就越低。

最后一项比较微妙。溶质的平均总量除以总体积，结果仍可能正确；但由于液体尚未均匀，个别样本的浓度可能不正确。

07最容易犯的错误：移除溶液来补救加水过量

假设你不小心将液面加到容量刻度线以上。

很多人的第一个反应，是用滴管移除一些液体，直到弯月面重新回到刻度线。

这样能恢复原本的浓度吗？

如果溶液已经充分混合，答案是否定的。

想像一锅汤被加了过多的水。当汤完全混合后，舀走一匙，就会按照相同比例移除汤汁及所有溶解在其中的物质。剩下的汤，其浓度与之前相同。

均匀溶液的情况也是一样。

如果一份加水过量的溶液浓度是 \(0.098\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)，移除部分溶液并不会神奇地将剩下的溶液变成 \(0.100\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)。你会同时移除溶质和溶剂。

进行准确的分析用配制时，如果液面明显超过刻度线，通常应丢弃这份溶液，重新配制。

08准确度不只是仔细读取弯月面

容量玻璃器皿本身也有公差。

例如，某支吸管可能标示为 \(25.00\pm0.03\ \mathrm{mL}\)。这表示在正确使用的情况下，其转移体积预期会落在所标示的公差范围内。

容量瓶的标称容量同样会有相应的公差。

对于稀释，

\[ c_2=c_1\frac{V_1}{V_2} \]

因此，两个量取体积的误差都可能影响最终浓度。

一个简单而保守的估算方法，是将两个体积的百分比公差相加，以估算玻璃器皿造成的最大百分比影响：

\[ \text{百分比影响} \approx \frac{\Delta V_1}{V_1}\times100 + \frac{\Delta V_2}{V_2}\times100 \]

这是最坏情况的估算，并不代表实际误差一定恰好达到这个数值。

操作技巧也可能造成系统性误差，而且这些误差可能远大于器皿标示的公差。即使吸管的制造完全符合规格，如果吸管内有气泡，或使用方法不正确，也无法确保稀释结果准确。

09问题与解答

问题 1

一名学生将 20.00 mL、浓度为 \(0.750\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的 \(\ce{KNO3}\) 溶液转移至 250.0 mL 容量瓶，然后加水至刻度线。

计算最终浓度，并说明容量瓶的用途。

解答 1

最终浓度为 \(0.0600\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)，而容量瓶的作用是设定准确的溶液最终体积。

使用

\[ c_1V_1=c_2V_2 \]

并重新整理公式，求出 \(c_2\)：

\[ \begin{aligned} c_2&=\frac{c_1V_1}{V_2}\\ &=\frac{(0.750)(20.00)}{250.0}\\ &=0.0600\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

由于 \(V_1\) 和 \(V_2\) 都以 mL 表示，体积单位会相消。

一个容易令人误解的说法是，容量瓶用来量度加入的水。事实并非如此。容量瓶的作用是设定 250.0 mL 的溶液总体积。

转移的溶质莫耳数由吸管和储备溶液的浓度决定，而容量瓶则决定这些莫耳数分布的体积。

问题 2

使用一支 \(25.00\pm0.03\ \mathrm{mL}\) 的容量吸管，将浓度为 \(0.500\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的储备溶液转移至一个 \(250.0\pm0.12\ \mathrm{mL}\) 的容量瓶。

本题假设储备溶液的浓度完全准确。

1. 计算名义上的最终浓度。
2. 求出仅由所标示的玻璃器皿公差造成的简单最坏情况浓度范围。
3. 解释为甚么这个范围不能告诉你实际实验误差的确切数值。

解答 2

名义浓度为 \(0.0500\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)，仅考虑玻璃器皿公差时，简单的最坏情况浓度范围约为 \(0.04992\) 至 \(0.05008\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)。

先计算名义浓度：

\[ \begin{aligned} c_2&=c_1\frac{V_1}{V_2}\\ &=(0.500)\frac{25.00}{250.0}\\ &=0.0500\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

要得到所标示公差范围内可能出现的最高浓度，应使用最大吸管体积和最小容量瓶体积：

\[ \begin{aligned} c_{\text{最大}} &=(0.500)\frac{25.03}{249.88}\\ &=0.050084\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

要得到最低可能浓度，则使用最小吸管体积和最大容量瓶体积：

\[ \begin{aligned} c_{\text{最小}} &=(0.500)\frac{24.97}{250.12}\\ &=0.049916\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

因此，仅考虑这些公差时，合理的最坏情况范围为

\[ 0.04992\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \lesssim c_2 \lesssim 0.05008\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]

最大相对偏差约为 \(0.168\%\)。

这里的陷阱，是将公差误解为实际误差。事实并非如此。我们不知道这两件玻璃器皿是否恰好处于各自公差的极端，也不知道其微小的校准偏差究竟朝哪个方向。

这个计算也假设操作完全正确。吸管润洗、弯月面读取、气泡、温度、转移技巧和混合，都可能引入额外误差。

问题 3

一名学生打算将 10.00 mL、浓度为 \(1.00\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的 \(\ce{NaCl}\) 储备溶液转移至容量瓶，配制 100.0 mL、浓度为 \(0.100\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的溶液。

考虑以下三个独立实验。

• 实验 A：转移储备溶液之前，容量瓶内仍有蒸馏水。
• 实验 B：吸管内仍有蒸馏水，而且没有使用储备溶液润洗吸管。
• 实验 C：吸管的使用方法正确，但学生将容量瓶加水至 102.0 mL。充分混合溶液后，再移除 2.0 mL 溶液，使剩余体积为 100.0 mL。

对每个实验，判断最终浓度是正确、过高还是过低。对实验 C，计算最终浓度。

解答 3

实验 A 的浓度应仍然正确；实验 B 的浓度偏低；实验 C 的浓度则为 \(0.0980\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)，同样偏低。

对于实验 A，容量瓶内原本的水不会增加任何溶质。最终体积仍会调整至准确的 100.0 mL。容量瓶只需要再加入稍少一些的水即可。

因此，重要的量仍然是

\[ n=(1.00)(0.01000)=0.0100\ \mathrm{mol} \]

以及

\[ V=0.1000\ \mathrm{L} \]

两者给出预期的浓度。

对于实验 B，吸管内残留的蒸馏水会与储备溶液混合。吸管仍可能转移其标称的液体体积，但这些液体所含的 \(\ce{NaCl}\) 莫耳数，会少于未经稀释的 10.00 mL 储备溶液所含的莫耳数。

最终体积是正确的，但 \(n\) 太小。因此，根据 \(c=n/V\)，浓度会偏低。

实验 C 的错误更具迷惑性。

正确转移的溶质莫耳数为

\[ n=(1.00)(0.01000)=0.0100\ \mathrm{mol} \]

但这些莫耳数最初被稀释至 102.0 mL：

\[ \begin{aligned} c&=\frac{0.0100}{0.1020}\\ &=0.0980\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

溶液混合均匀后，每移除 1 mL 溶液，其中的溶质和水都会与容量瓶其余部分保持相同比例。

因此，移除 2.0 mL 溶液会以相同比例减少莫耳数和体积，但不会改变浓度。

一个容易令人误信的想法是：「体积已经恢复到 100.0 mL，所以配制结果现在一定正确。」这个想法忽略了另一个必要条件：多余的液体被移除时，部分溶质也一并被移除了。

问题 4

实验室需要使用浓度为 \(0.600\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的储备溶液，配制浓度为 \(0.0120\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的溶液。

利用现有的玻璃器皿，可以采用以下两种方法。

方法 A：

• 直接将 \(5.00\pm0.01\ \mathrm{mL}\) 的储备溶液转移至 \(250.0\pm0.12\ \mathrm{mL}\) 的容量瓶。

方法 B：

• 先将 \(25.00\pm0.03\ \mathrm{mL}\) 的储备溶液转移至 \(250.0\pm0.12\ \mathrm{mL}\) 的容量瓶；
• 再将这份稀释溶液中的 \(20.00\pm0.03\ \mathrm{mL}\) 转移至 \(100.0\pm0.08\ \mathrm{mL}\) 的容量瓶。

1. 证明两种方法都能得到所需的名义浓度。
2. 使用相对体积公差之和作为简单的最坏情况估算，判断哪种方法的玻璃器皿不确定性影响较小。
3. 解释为甚么不能单凭方法 B 使用了较大的吸管体积，就直接判断哪种方法较好。

解答 4

两种方法都能得到 \(0.0120\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的浓度，但方法 A 的玻璃器皿公差影响较小，约为 \(0.248\%\)，而方法 B 约为 \(0.398\%\)。

对于方法 A，稀释倍数为

\[ \frac{250.0}{5.00}=50.0 \]

因此，

\[ \begin{aligned} c_2&=\frac{0.600}{50.0}\\ &=0.0120\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

对于方法 B，第一个步骤的稀释倍数为

\[ \frac{250.0}{25.00}=10.0 \]

而第二个步骤的稀释倍数为

\[ \frac{100.0}{20.00}=5.00 \]

因此，总稀释倍数为

\[ 10.0\times5.00=50.0 \]

所以方法 B 同样会得到

\[ c=\frac{0.600}{50.0}=0.0120\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]

接著比较相对公差。

对于方法 A，

\[ \begin{aligned} \text{相对影响} &\approx \frac{0.01}{5.00}\times100 + \frac{0.12}{250.0}\times100\\ &=0.200\%+0.048\%\\ &=0.248\% \end{aligned} \]

对于方法 B，四个经校准的体积都会带来影响：

\[ \begin{aligned} \text{相对影响} &\approx \frac{0.03}{25.00}\times100 + \frac{0.12}{250.0}\times100\\ &\quad+ \frac{0.03}{20.00}\times100 + \frac{0.08}{100.0}\times100\\ &=0.120\%+0.048\%+0.150\%+0.080\%\\ &=0.398\% \end{aligned} \]

因此，在题目给定的假设下，方法 A 的最坏情况玻璃器皿公差影响较小。

支持方法 B 的一个看似合理的论点是，较大的吸管体积通常具有较小的百分比不确定性。这部分确实合理：相较于 \(0.01\ \mathrm{mL}\) 占 5.00 mL 的比例，\(0.03\ \mathrm{mL}\) 占 25.00 mL 的比例较小。

然而，方法 B 需要两次独立的吸管量度，以及两次独立的容量瓶定容。每次量度都会带来不确定性。在这个例子中，额外的稀释步骤所增加的不确定性，超过了使用较大吸管体积所带来的优势。

这个比较只考虑题目所列出的玻璃器皿公差。实际操作技巧可能会改变实验结果。

问题 5

一名学生需要使用浓度为 \(1.000\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的储备溶液，配制 250.0 mL、浓度为 \(0.1000\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 的溶液。

学生正确地转移了 25.00 mL 储备溶液，但不小心将溶液稀释至 260.0 mL，而不是 250.0 mL。学生充分混合溶液。

然后，学生移除 10.0 mL 混合均匀的溶液，使剩余体积恰好为 250.0 mL。

1. 计算移除 10.0 mL 溶液前后的浓度。
2. 解释为甚么将体积恢复至 250.0 mL，并不能恢复预期的浓度。
3. 一名学生提出一个理论上的补救方法：移除这份浓度不正确、体积为 250.0 mL 的溶液中的 \(x\) 体积，再以恰好相同体积 \(x\) 的 \(1.000\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 储备溶液取代。求出 \(x\)，使最终的 250.0 mL 溶液达到目标浓度。
4. 解释为甚么在实验室中，重新配制溶液通常仍然是较好的做法。

计算时假设所有已列出的体积都是准确的，而且除了刻意移除溶液外，没有任何溶质流失。

解答 5

在加水过量，以及第一次尝试修正之后，浓度仍然是 \(0.09615\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\)。理论上，以约 \(1.064\ \mathrm{mL}\) 的储备溶液取代相同体积的原溶液，可以恢复目标浓度，但准确的溶液配制通常应重新进行。

首先，计算最初转移的莫耳数：

\[ \begin{aligned} n&=cV\\ &=(1.000)(0.02500)\\ &=0.02500\ \mathrm{mol} \end{aligned} \]

这些莫耳数意外地被稀释至 260.0 mL，即 0.2600 L：

\[ \begin{aligned} c&=\frac{0.02500}{0.2600}\\ &=0.0961538\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

因此，在移除溶液之前，浓度约为

\[ 0.09615\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]

接著，学生移除 10.0 mL 已充分混合的溶液。

由于溶液是均匀的，被移除的部分与剩余溶液具有完全相同的浓度。因此，移除这部分溶液不会改变浓度。

剩余的 250.0 mL 溶液仍然具有以下浓度：

\[ 0.09615\ \mathrm{mol\,L^{-1}} \]

剩余的溶质莫耳数为

\[ \begin{aligned} n&=cV\\ &=(0.0961538)(0.2500)\\ &=0.0240385\ \mathrm{mol} \end{aligned} \]

目标浓度的 250.0 mL 溶液需要

\[ \begin{aligned} n_{\text{目标}} &=(0.1000)(0.2500)\\ &=0.02500\ \mathrm{mol} \end{aligned} \]

因此，容量瓶内的溶质莫耳数不足

\[ 0.02500-0.0240385=0.0009615\ \mathrm{mol} \]

关键在于，单纯加入 \(0.0009615\) mol 的储备溶液并不足以解决替换问题，因为在加入储备溶液之前，先移除 \(x\) mL 的浓度不正确的溶液，也会移除部分溶质。

令 \(x\) 为被替换的体积，单位为 L。

移除 \(x\) L 溶液会移除

\[ (0.0961538)x \]

mol 的溶质。

以相同体积的 \(1.000\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\) 储备溶液取代，则会加入

\[ (1.000)x \]

mol 的溶质。

最终的溶质莫耳数必须为 \(0.02500\) mol：

\[ 0.0240385-(0.0961538)x+(1.000)x=0.02500 \]

因此，

\[ \begin{aligned} 0.9038462x&=0.0009615\\ x&=0.0010638\ \mathrm{L}\\ &=1.064\ \mathrm{mL} \end{aligned} \]

所以，在题目所列的假设下，以约 1.064 mL 的储备溶液取代 1.064 mL 的浓度不正确的溶液，从数学上来说，确实可以恢复目标浓度。

第一个容易出现的错误想法是，只要容量瓶再次恰好装有 250.0 mL 溶液，浓度就一定正确。真正重要的条件是，体积本身并不能决定浓度。容量瓶内必须同时具有正确的体积和正确的溶质莫耳数。

这种理论上的修正方法并不是一般实验室中理想的配制方式。它需要再次准确量取一个较小的体积，增加额外的转移不确定性，而且必须准确知道最初超出刻度的体积。在日常的定量实验中，使用正确的容量吸管和容量瓶操作方法重新配制，能得到更直接、也更容易合理说明的结果。

一旦你真正理解了控制溶质莫耳数与控制最终体积之间的区别，就能将相同的推理直接应用于连续稀释、校正标准液和定量分析。这也有助于理解相反的配制过程：当需要的浓度必须由固体而不是现有的储备溶液配制时，关键工作就变成先准确确定溶质的莫耳数，再将溶液定容至最终体积，这正是 配制标准溶液 所采用的方法。