HSC 物理：通电线圈的转矩

一个矩形线圈位于两个磁极之间。电流流过线圈。其中一侧受到向上的力，而相对的另一侧受到向下的力。

如果这两个磁力大小相等、方向相反，会发生甚么：甚么都不发生、向侧面移动，还是转动？

合力为零，所以线圈不会向侧面加速。但这些力作用在不同的作用线上。它们共同产生转动效应，也就是转矩。

现在再作一个预测。当线圈的平面正对著磁场时，你会认为转矩最大吗？这听起来很合理：磁场正直接穿过线圈。事实上，此时的转矩为零。

理解其中原因，就能理解马达方程式

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

而不需要把它当作一条只能死记的公式。

01为甚么大小相等、方向相反的力仍能使物体转动

想像你正在尝试扭开一个很紧的瓶盖。你的双手可以向相反方向施力。这些力的合力可以互相抵消，但瓶盖仍然会转动，因为这些力作用在不同的位置。

这就是一个力偶：两个大小相等、方向相反且互相平行，并相隔一定距离的力。

通电线圈在磁场中的情况也很相似。在线圈相对的两侧，电流方向相反。因此，磁场会产生方向相反的磁力。

瓶盖的类比有其限制。你可以把手放在任何位置，也可以选择如何施力。但在马达中，力的方向由电流方向和磁场决定。我们需要使用马达效应的方程式，才能准确判断会发生甚么。

对于一条长度为 \(l\)、通有电流 \(I\)、置于磁场 \(B\) 中的直导线，

\[ F=BIl\sin\phi \]

其中 \(\phi\) 是电流方向与磁场之间的夹角。

对简单矩形马达线圈的两条有效边而言，电流与磁场互相垂直，因此 \(\phi=90^\circ\)。所以，

\[ F=BIl \]

作用在每一条有效边上。

02从磁力推导转矩

假设矩形线圈具有：

• 有效边长度 \(l\)、
• 宽度 \(w\)、
• 电流 \(I\)，以及
• 磁场强度 \(B\)。

每一条有效边都受到大小为 \(BIl\) 的力。

转矩不只取决于力。它还取决于两个力的作用线之间的垂直距离。

对一个力偶而言，

\[ \tau=Fd \]

其中 \(d\) 是两条作用线之间的垂直距离。

以下是重要的几何关系。把 \(\theta\) 定义为磁场与线圈平面法线之间的夹角。

法线是一条想像中的直线，垂直伸出线圈的平面。

当法线与磁场的夹角为 \(\theta\) 时，两个力的有效间距为

\[ d=w\sin\theta \]

因此

\[ \tau=(BIl)(w\sin\theta) \]

而由于矩形线圈的面积为 \(A=lw\)，

\[ \tau=IAB\sin\theta \]

这适用于一匝线圈。

如果线圈包含 \(n\) 个相同的匝，每一匝都会在相同方向上贡献转矩：

\[ \boxed{\tau=nIAB\sin\theta} \]

其中：

这个方程式给出转矩的大小。转动方向则必须根据电流和磁场的方向判断。

03角度是学生最容易混淆的部分

在

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

中的 \(\theta\)，通常不是线圈平面与磁场之间的夹角。

它是磁场与线圈法线之间的夹角。

这会完全改变计算结果。

因此，最大转矩出现在

\[ \theta=90^\circ \]

因为 \(\sin90^\circ=1\)。

此时

\[ \tau_{\max}=nIAB \]

与其死记，不如把这个情况想像出来。当线圈平面与磁场平行时，两个磁力具有最大的有效间距。它们的力臂达到最大，因此产生最大的转矩。

当线圈平面与磁场垂直时，有效边上仍然存在磁力，但相对于转轴而言，这些力的作用线没有有效间距。因此转矩为零。

如果题目给出的是平面的角度

假设线圈平面与磁场之间的夹角为 \(\alpha\)。

对 \(0^\circ\) 至 \(90^\circ\) 之间的角度，

\[ \theta=90^\circ-\alpha \]

所以

\[ \tau=nIAB\sin(90^\circ-\alpha) \]

或

\[ \tau=nIAB\cos\alpha \]

两个方程式描述的是同一个物理情况。在考试中，最稳妥的方法通常是先把题目给出的角度转换成法线与磁场之间的夹角 \(\theta\)，然后直接使用原本的公式。

04为甚么马达需要换向器

转矩方程式中隐藏著一个问题。

想像线圈正转向其法线与磁场对齐的位置。当它接近这个位置时，

\[ \theta\rightarrow0^\circ \]

因此

\[ \tau\rightarrow0 \]

如果电流方向保持不变，而线圈越过这个位置，磁转矩便会改为朝相反方向作用。磁力作用不会产生连续转动，而是会倾向把线圈拉回对齐的方向。

简单的直流马达使用分裂环换向器来避免这个问题。换向器每半转就把流过线圈的电流方向反转一次。电流反转后，两条有效边上的磁力也会反转，因此转矩能继续沿所需的转动方向作用。

仍然会有一个瞬间，转矩为零。反转电流并不会神奇地使 \(\sin0^\circ\) 变成非零。实际的旋转系统可以靠自身的转动越过这个位置，而实际马达亦可使用多个以不同角度排列的线圈，使它们不会同时处于零转矩状态。

这也是为甚么

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

应理解为一条描述瞬时转矩的方程式。旋转中的马达通常不会在每一个角度都受到相同大小的转矩。

05另一种有用的线圈理解方式

电流回路的行为，就像它具有一个垂直于自身平面的磁性方向。这由它的磁偶极矩描述。

其大小为

\[ \mu=nIA \]

因此，转矩方程式也可以写成

\[ \tau=\mu B\sin\theta \]

磁场会倾向使回路的磁偶极矩转向与磁场对齐。

这种理解方式可以很清楚地解释两种极端情况：

• 如果磁偶极矩已经与磁场平行或反平行，转矩为零；
• 如果磁偶极矩与磁场垂直，转矩大小最大。

反转电流会使线圈磁偶极矩的方向反转。这也是理解换向器作用的另一种方式。

06公式所作的假设

这条熟悉的马达公式非常有用，但它并不是万能的。它建立在特定的模型上。

我们通常假设磁场在线圈范围内近似均匀、每一匝具有相同面积、每一匝中的电流相同，而且线圈是刚性和平面的。

这很重要，因为在强烈不均匀的磁场中，大小相等、方向相反的力这一论述可能不再成立。一侧可能受到比另一侧更大的力。此时线圈可能同时受到转矩和非零合力。

比较不同马达设计时，这一点也很重要。方程式表示，如果其他条件都保持不变，把 \(n\) 加倍便会使转矩加倍。但在真实线圈中，改变匝数也可能改变其电阻，因而改变电流。你不能总是在改变一个符号的同时，假装其他量都保持不变。

07问题与解答

问题 1

一个 80 匝的马达线圈面积为 \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)。它在 \(0.40\text{ T}\) 的磁场中通有 \(1.2\text{ A}\) 的电流。线圈法线与磁场之间的夹角为 \(30^\circ\)。

计算转矩。

解答 1

转矩为

\[ \boxed{4.8\times10^{-2}\text{ N m}} \]

所用的方程式是

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

题目给出的 \(30^\circ\) 已经是法线与磁场之间的夹角，因此不需要转换角度。

代入得

\[ \begin{aligned} \tau &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)\sin30^\circ\\ &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)(0.5)\\ &=4.8\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

一个很容易犯的错误，是认为 \(30^\circ\) 是 \(90^\circ\) 的三分之一，所以转矩也应该是最大值的三分之一。转矩并不随角度呈线性变化，而是随 \(\sin\theta\) 变化。

在 \(30^\circ\) 时，转矩恰好是最大值的一半。

问题 2

一个 200 匝的线圈通有 \(0.80\text{ A}\) 的电流。每一匝的面积为 \(1.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)，磁场强度为 \(0.50\text{ T}\)。

在某一瞬间，测得的转矩大小为 \(0.096\text{ N m}\)。

求出 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 之间所有可能的 \(\theta\) 值，其中 \(\theta\) 是线圈法线与磁场之间的夹角。解释为甚么只知道转矩大小，无法判定唯一的线圈方向。

解答 2

可能的角度约为

\[ \boxed{\theta=53.1^\circ\text{ 或 }126.9^\circ} \]

而单凭转矩大小无法区分两者。

先计算可能的最大转矩：

\[ \begin{aligned} \tau_{\max} &=nIAB\\ &=(200)(0.80)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.120\text{ N m} \end{aligned} \]

现在使用测得的转矩：

\[ \begin{aligned} 0.096&=0.120\sin\theta\\ \sin\theta&=0.800 \end{aligned} \]

计算器会给出第一个解，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.800)=53.1^\circ \]

但正弦在 \(180^\circ-\theta\) 时具有相同的正值。因此，

\[ 180^\circ-53.1^\circ=126.9^\circ \]

也是可能的。

一个很容易采用的方法，是按一次反正弦键后便停止计算。这会忽略 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 完整范围内的几何关系。

这里还有一个更深层的限制。纯量方程式 \( \tau=nIAB\sin\theta \) 给出的是转矩大小。若要判定实际的转动方向，还需要知道线圈的方位，以及电流与磁场的方向。

问题 3

一个面积为 \(4.0\times10^{-3}\text{ m}^2\) 的 60 匝线圈，在 \(0.25\text{ T}\) 的磁场中通有 \(1.5\text{ A}\) 的电流。

线圈正在转向其法线与磁场平行的位置。考虑线圈法线距离对齐位置 \(10^\circ\) 时的情况。

计算此位置的转矩大小。然后解释线圈刚越过对齐位置后会发生甚么：

a. 如果电流没有反转，以及
b. 如果一个时机正确的分裂环换向器使电流反转。

并解释在完全对齐的确切瞬间会发生甚么。

解答 3

距离对齐位置 \(10^\circ\) 时的转矩大小约为

\[ \boxed{1.56\times10^{-2}\text{ N m}} \]

如果没有反转电流，线圈越过对齐位置后，转矩的转动效应会反转。若换向正确，电流会反转，使马达转矩继续沿原定的转动方向作用。在完全对齐的瞬间，无论哪种情况，转矩都是零。

先计算转矩大小：

\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB\sin\theta\\ &=(60)(1.5)(4.0\times10^{-3})(0.25)\sin10^\circ\\ &=1.56\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

在对齐之前的一瞬间，磁力产生的转矩会使线圈倾向转向对齐位置。

如果线圈越过该位置而电流保持不变，几何位置便已跨到对齐位置的另一侧。此时磁力作用会倾向使线圈转回对齐位置。因此，其转矩会抵抗原本使线圈越过该位置的运动。

一个很容易想到的论点是，因为对齐位置两侧的 \(\sin10^\circ\) 大小相同，所以转矩必定保持不变。这里遗漏的是方向资讯。纯量方程式告诉我们的是大小，而不是转动效应的方向。

使用分裂环换向器时，流过线圈的电流会在适当时刻反转。因此，每一条有效边上的磁力也会反转。这会改变相对于线圈的转矩方向，使转矩能继续推动相同的整体转动方向。

在完全对齐的瞬间，

\[ \theta=0^\circ \]

所以

\[ \tau=nIAB\sin0^\circ=0 \]

即使在该瞬间反转电流，转矩仍然为零。实际马达需要依靠惯性，或使用位于不同方位的额外线圈，才能可靠地越过这个死点。

问题 4

一个 40 匝的矩形线圈位于不均匀磁场中。每一条有效边长 \(0.050\text{ m}\)，两条有效边相距 \(0.030\text{ m}\)。电流为 \(2.0\text{ A}\)。

线圈位于力臂最大的方位。左侧有效边位置的磁场为 \(0.60\text{ T}\)，右侧有效边位置的磁场则为 \(0.40\text{ T}\)。两侧的磁场方向相同。

假设每一条有效边都与当地磁场垂直。

a. 计算每一条有效边所受的总磁力大小。
b. 求线圈所受的合力。
c. 计算绕线圈中心的转矩。
d. 一名学生把两个磁场的平均值 \(B=0.50\text{ T}\) 代入 \( \tau=nIAB \)，得到相同的转矩。解释为甚么这并不表示标准的均匀磁场模型能完整描述此情况。

解答 4

两条有效边所受的力分别为

\[ \boxed{2.4\text{ N 和 }1.6\text{ N}} \]

线圈所受的合力为

\[ \boxed{0.80\text{ N}} \]

方向与较大一侧的力相同，而绕线圈中心的转矩为

\[ \boxed{6.0\times10^{-2}\text{ N m}} \]

在这种对称几何配置下，使用平均磁场刚好能得到相同的转矩，但它完全忽略了非零合力。

对左侧而言，

\[ \begin{aligned} F_L &=nB_LIl\\ &=(40)(0.60)(2.0)(0.050)\\ &=2.4\text{ N} \end{aligned} \]

对右侧而言，

\[ \begin{aligned} F_R &=nB_RIl\\ &=(40)(0.40)(2.0)(0.050)\\ &=1.6\text{ N} \end{aligned} \]

由于两条有效边上的电流方向相反，因此两个力的方向也相反。

它们的大小不相等，因此不能互相抵消：

\[ F_{\text{net}}=2.4-1.6=0.80\text{ N} \]

现在计算转矩。因为

\[ \frac{0.030}{2}=0.015\text{ m} \]

所以每个力的作用线与中心相距 \(0.015\text{ m}\)。

虽然两个力方向相反，但它们产生的转矩方向相同：

\[ \begin{aligned} \tau &=F_L(0.015)+F_R(0.015)\\ &=(2.4)(0.015)+(1.6)(0.015)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]

现在考虑学生使用平均磁场的方法。

线圈面积为

\[ A=(0.050)(0.030)=1.5\times10^{-3}\text{ m}^2 \]

使用 \(B_{\text{avg}}=0.50\text{ T}\)，

\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB_{\text{avg}}\\ &=(40)(2.0)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]

所以转矩的数值确实相同。

一个很容易得出的结论是，用平均值取代不均匀磁场后，就已经解决整个问题。事实并非如此。标准的简单马达模型假设两侧的力大小相等、方向相反，因此合力为零。但在这里，线圈受到 \(0.80\text{ N}\) 的非零合力。

更完整而正确的方法，是计算线圈各部分所受的磁力，然后求出合力和合转矩。平均磁场能在这个特定的转矩计算中成立，是因为两侧的力臂相等。这个巧合并不代表磁场是均匀的。

问题 5

两个处于堵转状态的马达线圈使用相同的矩形框架，因此每一匝的面积都相同，为 \(A=2.0\times10^{-3}\text{ m}^2\)。两者都置于同一个 \(0.50\text{ T}\) 磁场中、处于最大转矩的位置，并分别接到理想的 \(12\text{ V}\) 电源。

线圈 A 有 100 匝，电阻为 \(4.0\,\Omega\)。

线圈 B 重新绕制成 200 匝，但所使用的铜的总体积与线圈 A 相同。假设因为框架不变，所以每一匝的长度相同。

使用

\[ R=\rho\frac{L}{S} \]

其中 \(\rho\) 是铜的电阻率，\(L\) 是导线总长度，\(S\) 是导线的截面积。

a. 求线圈 B 的电阻和电流。
b. 计算两个线圈各自的最大转矩。
c. 解释为甚么在这种情况下，把匝数加倍反而使转矩减小。
d. 如果改用理想电流源，强制使 \(3.0\text{ A}\) 的电流流过两个线圈，比较它们的最大转矩。

忽略因加热造成的电阻变化和反电动势。

解答 5

使用固定电压电源时，线圈 B 有

\[ \boxed{R_B=16\,\Omega,\qquad I_B=0.75\text{ A}} \]

而它只能产生

\[ \boxed{0.15\text{ N m}} \]

相比之下，线圈 A 的转矩为

\[ \boxed{0.30\text{ N m}} \]

尽管线圈 B 的匝数是两倍，它产生的转矩却只有一半。若改用理想的 \(3.0\text{ A}\) 电流源，线圈 B 的转矩则会是线圈 A 的两倍。

关键限制条件是铜的总量固定。

线圈 B 在相同框架上有两倍的匝数，所以其导线总长度加倍：

\[ L_B=2L_A \]

为了保持铜的体积不变，使用

\[ V_{\text{copper}}=LS \]

如果 \(L\) 加倍，导线的截面积就必须减半：

\[ S_B=\frac{S_A}{2} \]

现在比较电阻：

\[ R=\rho\frac{L}{S} \]

所以

\[ \frac{R_B}{R_A} = \frac{2L_A/(S_A/2)}{L_A/S_A} =4 \]

因此，

\[ R_B=4(4.0)=16\,\Omega \]

在堵转状态下，忽略反电动势，利用欧姆定律可得线圈 A 的电流：

\[ I_A=\frac{V}{R_A}=\frac{12}{4.0}=3.0\text{ A} \]

对线圈 B，

\[ I_B=\frac{12}{16}=0.75\text{ A} \]

现在计算线圈 A 的最大转矩：

\[ \begin{aligned} \tau_A &=nIAB\\ &=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.30\text{ N m} \end{aligned} \]

对线圈 B，

\[ \begin{aligned} \tau_B &=(200)(0.75)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.15\text{ N m} \end{aligned} \]

一个很容易采用的论点是

\[ \tau\propto n \]

所以把 \(n\) 加倍就应该使转矩加倍。

只有在 \(I\)、\(A\)、\(B\) 和 \(\theta\) 都保持不变时，这个正比关系才成立。这里并非如此。在保持铜总量不变的情况下把匝数加倍，会使电阻增加至四倍。在固定电压下，电流会减至原来的四分之一。

重要的是乘积 \(nI\)：

\[ (nI)_A=(100)(3.0)=300 \]

而

\[ (nI)_B=(200)(0.75)=150 \]

所以线圈 B 的最大转矩只有一半。

现在改变限制条件。假设使用理想电流源，使 \(3.0\text{ A}\) 的电流流过任一线圈。

则

\[ \tau_A=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.30\text{ N m} \]

而

\[ \tau_B=(200)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.60\text{ N m} \]

所以此时线圈 B 产生的转矩是两倍。

物理原理本身并没有互相矛盾。改变的是供电条件。「匝数越多，转矩越大」这个说法，只有在电流确实可以视为保持不变时才成立。

08接下来可以理解甚么

方程式

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

不只是用来计算一个数值。它解释了为甚么马达的转矩会随著转子转动而改变、为甚么线圈会有死点、为甚么换向器必须反转电流，以及为甚么改变马达的绕组可能同时影响多个变量。

下一个有用的步骤，是把这种变化中的转矩与电磁感应连结起来。当马达实际旋转时，运动中的线圈也会产生一个抵抗电源的感应电动势。这个反电动势会改变电流，而电流的改变又会再次改变转矩。因此，真实的马达其实是一个由运动、感应电动势、电流和转矩互相作用所形成的回馈系统，而不只是一个具有固定 \(nIAB\) 的线圈。