双缝干涉与条纹证据：HSC 物理

将雷射照向两条狭窄的缝，并在后方放置一个萤幕。你认为会出现甚么？如果把光想像成一颗颗沿直线穿过各个开口的小投射物，那么预测会看到两条亮带似乎很合理。

但实际上并非如此。你会看到一列明暗相间的条纹。

真正奇特的是暗纹。打开第二条缝后，萤幕上的某些位置所接收到的光，反而会比只有一条缝打开时更少。任何光的模型都必须能解释这一点。

01是甚么产生亮纹和暗纹？

每一条狭缝都会使入射光向外扩散。这种扩散称为绕射，而它使来自两条缝的光能够在萤幕上重叠。

在两个波于任何一点重叠时，它们的电场会相加。

在继续之前，先预测一下萤幕正中央会发生甚么。这一点与两条缝的距离相同，所以两个波所走的距离相等。如果两条缝受到同相位的光照射，那么波到达时也会同相位。波峰与波峰对齐，波谷与波谷对齐，因此中央是亮的。

不过，稍微向旁边移动后，其中一条缝与观察点之间的距离就会比另一条更远。其中一个波现在必须多走一段距离。

这段额外距离就是路径差。

一个有用的想像方式，是把波的叠加比作两个人在推秋千。如果两人都在秋千运动的同一阶段推动，它们的效果就会互相加强。如果其中一人推动的时刻，恰好是另一人的作用方向相反时，它们的效果就会互相抵消。

对光而言，这些「推动」其实是振荡的电场。不过，类比到此为止：光并不是实体的秋千，而且光强度取决于合成波振幅的平方。

重要的规律是：

这里的 \(\lambda\) 是光的波长。

这立即解释了为甚么会出现一整列条纹。当你沿著萤幕移动时，路径差会逐渐改变。两个波会反复由互相加强，变成互相抵消，再回到互相加强。

02将路径差转化为 \(d\sin\theta=m\lambda\)

以上的概念告诉我们条纹为甚么会出现。现在，我们需要一个方法来准确预测亮纹会出现在哪里。

令：

当萤幕与狭缝之间的距离远大于狭缝间距时，前往同一观察点的两条光线几乎互相平行。根据几何关系，路径差为

\[ \Delta=d\sin\theta \]

当路径差等于波长的整数倍时，就会出现亮纹：

\[ \Delta=m\lambda \]

将两者结合，就得到用于亮纹的双缝干涉方程式：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

中央极大的 \(m=0\)。两侧的第一条亮纹有 \(|m|=1\)，第二条有 \(|m|=2\)，如此类推。

注意 \(m\) 所代表的意思。它不是距离，也不是以米为单位量度。它只是计算路径差中包含了多少个完整波长。

对暗纹而言，两个波到达时必须相差半个周期。在中央其中一侧，

\[ d\sin\theta=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \]

其中 \(m=0,1,2,\ldots\)。

范例：求亮纹的角度

波长为 \(600\text{ nm}\) 的雷射通过两条相距 \(0.250\text{ mm}\) 的狭缝。计算中央轴与一级亮纹之间的角度。

步骤 1：找出亮纹的条件。

一级极大的 \(m=1\)，所以

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

步骤 2：将两个长度都换算成米。

\[ \lambda=600\text{ nm}=600\times10^{-9}\text{ m} \]

\[ d=0.250\text{ mm}=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]

步骤 3：代入并求出角度。

\[ \begin{aligned} (2.50\times10^{-4})\sin\theta &=(1)(600\times10^{-9})\\ \sin\theta &=2.40\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(2.40\times10^{-3})\\ &=0.138^\circ \end{aligned} \]

步骤 4：解释结果。

第一条亮纹与中央轴之间只有 \(0.138^\circ\)。这样的小角度很正常，因为光学波长与典型的狭缝间距相比非常小。

03将角度与萤幕上的位置连系起来

考试题目有时会给出狭缝到萤幕的距离，而不是直接给出条纹角度。

如果萤幕与狭缝之间的垂直距离为 \(L\)，而某条条纹与中央的距离为 \(y\)，那么根据一般的直角三角形几何关系，

\[ \tan\theta=\frac{y}{L} \]

你可以先求出 \(\theta\)，再使用 \(d\sin\theta=m\lambda\)。

对非常小的角度而言，当 \(\theta\) 以弧度量度时，\(\sin\theta\) 和 \(\tan\theta\) 几乎相等。由此可得到常见的近似式

\[ y\approx\frac{m\lambda L}{d} \]

这很有用，但它只是近似。如果题目提供足够资料让你直接求出角度，使用三角函数关系能使推理更清晰。

范例：利用量得的条纹求波长

两条狭缝相距 \(0.200\text{ mm}\)。萤幕距离狭缝 \(2.00\text{ m}\)。量得二级亮纹与中央相距 \(12.0\text{ mm}\)。求光的波长。

步骤 1：求出量得条纹的角度。

这里，

\[ y=12.0\text{ mm}=0.0120\text{ m} \]

而

\[ L=2.00\text{ m} \]

所以

\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{0.0120}{2.00}\\ \theta&=\tan^{-1}(0.00600)\\ &=0.3438^\circ \end{aligned} \]

步骤 2：确定级次。

题目指出这是二级亮纹，所以 \(m=2\)。

步骤 3：重新整理干涉方程式。

\[ \lambda=\frac{d\sin\theta}{m} \]

其中

\[ d=0.200\text{ mm}=2.00\times10^{-4}\text{ m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \lambda &=\frac{(2.00\times10^{-4})\sin(0.3438^\circ)}{2}\\ &=6.00\times10^{-7}\text{ m}\\ &=600\text{ nm} \end{aligned} \]

步骤 4：解释结果。

量得的条纹位置表示波长约为 \(600\text{ nm}\)。这就是为甚么干涉不只是一幅漂亮的图样：我们可以利用条纹的几何关系来量度光的一项物理性质。

04条纹提供了甚么证据

单纯看到光通过两条缝后扩散，并不是干涉的有力证据。每一条狭缝本身已经会产生绕射。

更有力的证据，是有规律地排列的明暗区域。

在暗纹的位置，单独来自任何一条缝的光其实都能到达该点。然而，当两个相干的波以适当的相位差同时到达时，它们的电场会互相抵消。把光看成两股彼此独立的光流，无法解释这种交替出现的抵消和加强。

波动模型预测的并不只是条纹的存在。它还能预测条纹的角度：

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

改变波长，角度便会改变。改变狭缝间距，角度也会再次改变。之后便可以把量度结果与这些预测作比较。

定量预测与实际观察到的图样相符，才是重要的证据。

这个实验背后还隐含著另一件事。来自每一条缝的光都必须扩散得足够宽，两者才能重叠。这就是为甚么光的绕射与双缝干涉互相关联。真实的双缝图样通常是一组位于较宽绕射包络内的干涉条纹。

05甚么会改变条纹间距？

这条方程式提供了一个有用的方法，让你在动用计算机之前先进行推理。

对某一特定级次 \(m\)，

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d} \]

因此，较大的波长会产生较大的条纹角度。图样会向外展开。

较大的狭缝间距则会产生相反的效果。它会减小产生相同路径差所需的角度，因此条纹会变得更靠近。

第二个结果常常令人困惑。很容易直觉地认为，将狭缝移得更开，条纹之间也应该变得更远。但萤幕上的图样是由路径差控制，而不是把狭缝本身的实际间距直接复制到萤幕上。

正弦函数之中还隐藏著一个硬性限制。由于

\[ |\sin\theta|\leq1 \]

某一级亮纹只有在

\[ |m|\lambda\leq d \]

时才可能存在。

因此，这条方程式并不保证会有无限多个可观察的级次。

06公式背后隐藏的假设

熟悉的式子

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

并不是只要有两条缝就必定适用的神奇规则。

它假设离开两条缝的波之间具有固定的相对相位，而且在标准的杨氏双缝装置中，两个波实际上彼此同相位。通常的方法，是用同一个相干光源照射两条狭缝。

相干光源能维持稳定的相位关系。

这为甚么重要？假设相对相位随机变动。萤幕上的某一点可能在某个时刻是亮的，下一刻却变暗。在长时间曝光下，稳定的干涉图样可能会被平均掉而消失。

还有另一个较细微的假设。如果在光离开其中一条缝之前，刻意使它产生固定的半周期相位移，那么相等的路径长度便不再产生相长干涉。即使几何路径差为零，中央也可能变暗。

这并不表示干涉失效了。它表示路径差只是总相位差的其中一项贡献。

07常见的错误思路

08问题与解答

问题 1

一束 \(600\text{ nm}\) 的雷射照射两条相距 \(0.300\text{ mm}\) 的狭缝。计算从中央轴到一级亮纹的角度。

解答 1

一级亮纹与中央轴之间的角度约为 \(0.115^\circ\)。

对亮纹而言，

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

这里，

\[ d=0.300\text{ mm}=3.00\times10^{-4}\text{ m} \]

\[ \lambda=600\text{ nm}=6.00\times10^{-7}\text{ m} \]

而 \(m=1\)。因此，

\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{(1)(6.00\times10^{-7})}{3.00\times10^{-4}}\\ &=2.00\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(2.00\times10^{-3})\\ &=0.1146^\circ \end{aligned} \]

所以，

\[ \theta\approx0.115^\circ \]

一个常见错误，是在尚未将波长和狭缝间距换算成相容单位之前，就直接用 \(600\) 除以 \(0.300\)。这条方程式比较的是两个长度，因此它们的单位必须一致。

问题 2

两条狭缝相距 \(0.250\text{ mm}\)，萤幕距离狭缝 \(1.80\text{ m}\)。三级亮纹与中央相距 \(11.23\text{ mm}\)。

计算光的波长，然后求出离中央更远的下一条暗纹的位置。

解答 2

波长约为 \(520\text{ nm}\)，而下一条暗纹与中央的距离约为 \(13.1\text{ mm}\)。

先求出三级极大的角度：

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{0.01123}{1.80}\\ \theta &\approx0.3575^\circ \end{aligned} \]

对三级亮纹，\(m=3\)，所以

\[ \lambda=\frac{d\sin\theta}{m} \]

其中

\[ d=0.250\text{ mm}=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \lambda &=\frac{(2.50\times10^{-4})\sin(0.3575^\circ)}{3}\\ &\approx5.20\times10^{-7}\text{ m}\\ &=520\text{ nm} \end{aligned} \]

现在考虑离中央更远的下一条暗纹。

第三条亮纹的路径差为 \(3\lambda\)。下一个相消干涉条件出现在

\[ \Delta=3.5\lambda \]

所以

\[ d\sin\theta_{\text{暗纹}}=3.5\lambda \]

因此，

\[ \begin{aligned} \sin\theta_{\text{暗纹}} &=\frac{3.5(520\times10^{-9})}{2.50\times10^{-4}}\\ \theta_{\text{暗纹}} &\approx0.4171^\circ \end{aligned} \]

萤幕上的位置为

\[ \begin{aligned} y &=L\tan\theta_{\text{暗纹}}\\ &=(1.80)\tan(0.4171^\circ)\\ &=1.31\times10^{-2}\text{ m}\\ &=13.1\text{ mm} \end{aligned} \]

容易犯的错误，是把下一条暗纹的 \(m\) 设为 \(4\)。整数级次描述的是亮纹。位于第三和第四个极大之间的暗纹，其路径差为 \(3.5\lambda\)。

问题 3

实验 A 使用波长为 \(450\text{ nm}\) 的光，以及 \(0.300\text{ mm}\) 的狭缝间距。

实验 B 使用另一种单色光源，以及 \(0.400\text{ mm}\) 的狭缝间距。实验 B 中各亮纹出现的角度，与实验 A 中相应亮纹的角度完全相同。

求实验 B 所使用的波长。然后解释为甚么仅仅观察到相同的角度条纹图样，并不能证明两个光源具有相同波长。

解答 3

实验 B 使用波长为 \(600\text{ nm}\) 的光；除非狭缝间距也已知，否则相同的角度条纹位置并不能唯一决定波长。

对某一特定级次，

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d} \]

如果所有相应级次都出现在相同角度，那么两个实验中的 \(\lambda/d\) 比值必须相同：

\[ \frac{\lambda_A}{d_A}=\frac{\lambda_B}{d_B} \]

代入数值，

\[ \frac{450\times10^{-9}}{0.300\times10^{-3}} = \frac{\lambda_B}{0.400\times10^{-3}} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \lambda_B &=(0.400\times10^{-3}) \frac{450\times10^{-9}}{0.300\times10^{-3}}\\ &=600\times10^{-9}\text{ m}\\ &=600\text{ nm} \end{aligned} \]

关键在于，干涉角度取决于比值

\[ \frac{\lambda}{d} \]

而不是只取决于 \(\lambda\)。

容易得出的错误结论，是认为图样相同就表示波长相同。只有在狭缝间距也完全相同时，才可以得出这个结论。这里，波长和狭缝间距都增加了相同倍数，因此它们的比值保持不变。

这指出了一个关于实验证据的重要概念：一个图样是透过模型实际连系的物理量来支持该模型。你需要有足够的独立量度，才能唯一确定未知量。

问题 4

一个单色可见光源通过两条相距 \(0.400\text{ mm}\) 的狭缝。探测器记录到亮的干涉峰，其角度满足

\[ \sin\theta=0.0030,\qquad 0.0045,\qquad 0.0075 \]

探测器的其他一些部分被遮挡，因此这些峰不一定是连续的条纹级次。

已知波长介乎 \(400\text{ nm}\) 与 \(700\text{ nm}\) 之间。

求出波长，以及每一个已记录峰的级次 \(m\)。然后预测中央与最大角度的已记录峰之间，两个缺失极大的角度。

解答 4

波长为 \(600\text{ nm}\)；已记录的峰分别是 \(m=2\)、\(m=3\) 和 \(m=5\)。缺失的极大为 \(m=1\)，角度约为 \(0.0859^\circ\)，以及 \(m=4\)，角度约为 \(0.3438^\circ\)。

不要立即把第一个记录到的峰称为 \(m=1\)，而是先计算每项量度所对应的路径差：

\[ \Delta=d\sin\theta \]

使用

\[ d=0.400\text{ mm}=4.00\times10^{-4}\text{ m} \]

可得

\[ \begin{aligned} \Delta_1 &=(4.00\times10^{-4})(0.0030) =1.20\times10^{-6}\text{ m} =1200\text{ nm}\\ \Delta_2 &=(4.00\times10^{-4})(0.0045) =1800\text{ nm}\\ \Delta_3 &=(4.00\times10^{-4})(0.0075) =3000\text{ nm} \end{aligned} \]

每一条亮纹都必须符合

\[ \Delta=m\lambda \]

因此，同一个可见光波长必须能把三个路径差都分成整数级次。

取波长为 \(600\text{ nm}\) 时，

\[ 1200\text{ nm}=2(600\text{ nm}) \]

\[ 1800\text{ nm}=3(600\text{ nm}) \]

\[ 3000\text{ nm}=5(600\text{ nm}) \]

因此，已记录峰的级次分别为 \(2\)、\(3\) 和 \(5\)。

\(m=1\) 的极大符合

\[ \begin{aligned} \sin\theta_1 &=\frac{600\times10^{-9}}{4.00\times10^{-4}}\\ &=0.0015 \end{aligned} \]

所以

\[ \theta_1=\sin^{-1}(0.0015)\approx0.0859^\circ \]

缺失的 \(m=4\) 极大符合

\[ \begin{aligned} \sin\theta_4 &=\frac{4(600\times10^{-9})}{4.00\times10^{-4}}\\ &=0.0060 \end{aligned} \]

所以

\[ \theta_4\approx0.3438^\circ \]

容易采取的错误做法，是假设第一个观察到的峰一定是 \(m=1\)。这会得到

\[ \lambda=1200\text{ nm} \]

而这已经超出题目指定的可见光范围。更重要的是，级次的指定必须令所有观察结果都能与同一个波长相符。缺失条纹的资讯表示，观察到的先后次序与条纹级次并不是同一回事。

问题 5

一个双缝装置的狭缝间距为 \(d=0.250\text{ mm}\)，并使用波长为 \(500\text{ nm}\) 的光。两条狭缝接收到振幅相等的相干波。

在装置 A 中，到达两条狭缝的波同相位。

在装置 B 中，其中一条狭缝所接收的波，相对于另一条狭缝已被施加固定的半周期相位移。

在装置 C 中，系统在装置 A 的相位关系与装置 B 的相位关系之间快速切换，并在两种状态中各停留相同时间。探测器只记录时间平均后的强度。

对每一个装置，判断中央轴上会发生甚么。对装置 B，计算最近一条亮纹的角度。最后，判断装置 C 的时间平均影像是否会产生一组稳定而细密的干涉条纹。在讨论细条纹时，假设两条狭缝的理想光强相等，并忽略宽广的绕射包络。

解答 5

装置 A 有亮的中央条纹；装置 B 的中央是暗的，而最接近中央的亮纹角度约为 \(0.0573^\circ\)；装置 C 的时间平均影像中没有稳定的细密干涉条纹。

对装置 A，两条狭缝受到同相位的光照射。在中央轴上，两条路径的长度相同，所以

\[ \Delta=0 \]

因此，两个波到达时的总相位差为零，并产生相长干涉。这就是一般的 \(m=0\) 中央极大。

对装置 B，中央轴上的几何路径差仍然为零。不过，其中一个波一开始已经与另一个波相差半个周期。

因此，相等的路径长度会保留这个半周期差异。中央点现在成为相消干涉的位置。

要把这个起始的半周期相位差转变为相长干涉，路径差必须再增加半个波长。因此，最近的亮纹符合

\[ d\sin\theta=\frac{\lambda}{2} \]

代入

\[ d=2.50\times10^{-4}\text{ m} \]

以及

\[ \lambda=5.00\times10^{-7}\text{ m} \]

可得

\[ \begin{aligned} \sin\theta &=\frac{5.00\times10^{-7}} {2(2.50\times10^{-4})}\\ &=1.00\times10^{-3}\\ \theta &=\sin^{-1}(1.00\times10^{-3})\\ &\approx0.0573^\circ \end{aligned} \]

所以，装置 B 中的图样发生了平移：在装置 A 中原本是极大的位置会变成极小，而新的极大位于原本各极大之间的中间位置。

装置 C 更为微妙。

在一半的曝光时间内，探测器接收到装置 A 的一般干涉图样。在另一半时间内，它接收到装置 B 的平移后图样。在两条狭缝光强相等时，第二个图样与第一个互补：在其中一种状态下，干涉项令某位置的强度增加；在另一种状态下，它会令该位置的强度降低相同的量。

把两者以相同比例平均后，与角度有关的干涉项便会消失。因此，探测器不会记录到稳定而细密的明暗干涉条纹。如果把每条狭缝的有限宽度也考虑在内，较宽的单缝绕射包络仍然可以保留下来。

容易出现的错误推论，是认为 \(d\) 和 \(\lambda\) 从未改变，所以

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

应该迫使三个装置都产生相同的图样。

缺少的条件，是在额外的路径差产生之前，两个波之间的相对相位。标准方程式假设的是一般的同相位双缝装置。干涉取决于总相位差，而不只是几何路径差。

这就是双缝实验更深层的意义：条纹图样并不是因为狭缝只是把光指向某些特定位置而产生。它来自相干的波在每一个位置彼此叠加。

09这个概念接下来能带你理解甚么

当你能够用路径差来解读双缝图样后，干涉就不再只是靠外观辨认的现象。你可以利用条纹位置推算波长、检验量度结果是否符合波动模型、预测装置的改动会如何改变图样，并辨认标准公式的假设何时已被破坏。

下一个有用的步骤，是把这种干涉图样与每一条狭缝各自产生的绕射连系起来。这两种效应会同时出现：绕射决定来自每条狭缝的光能扩散到哪些区域，而干涉则决定重叠的波在该区域内如何互相加强和抵消。