为甚么绕射光栅会在特定方向产生亮纹？

绕射光栅可以将两个原本看起来混成一片模糊颜色的波长，分离成两条清晰的亮线。这正是绕射光栅的主要用途：它不只是产生干涉图样，还能精确地分离不同波长，让光谱仪能够辨别它们。

假设两种黄光的波长相差不到 \(1\text{ nm}\)。你认为，使用两条狭缝，还是两千条等间距的狭缝，能更清楚地将它们分开？狭缝间距固然重要，但还有另一个因素。当狭缝数量很多时，明亮的干涉极大值会变得非常狭窄，因此相近波长的光较不容易重叠成同一个峰值。

因此，我们需要理解两件不同的事：光谱极大值会出现在哪些位置，以及光栅能多精确地分辨相近的波长。

01为甚么绕射光栅会在特定方向产生亮纹？

先考虑光栅中两条相邻的狭缝。来自两条狭缝的光都朝向远处的同一点传播，但其中一条光线通常需要走稍长的距离。

两条光线的额外路程差为

\[ d\sin\theta \]

其中：

• \(d\) 是相邻狭缝之间的距离，单位为米，
• \(\theta\) 是出射光线与光栅法线之间的夹角。

现在试著预测：甚么情况下，两列波会同相到达并互相增强？是路程差为半个波长，还是整数倍波长？

答案是整数倍波长。如果第二列波比第一列波多走了刚好 \(1\lambda\)、\(2\lambda\)、\(3\lambda\)，如此类推，那么波峰仍会与波峰同时到达。

因此，明亮的主极大值满足

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中：

• \(\lambda\) 是光的波长，单位为米，
• \(m\) 是极大值的级次：\(0,\pm1,\pm2,\ldots\)。

中央极大值的 \(m=0\)，因此 \(\theta=0^\circ\)。第一级极大值的 \(m=\pm1\)，第二级极大值的 \(m=\pm2\)，如此类推。

这与双狭缝干涉中的相长干涉条件相同。如果你对这部分的概念有点生疏，可以阅读 双狭缝干涉指南 复习。

我们可以用一个简单的比喻来理解光栅：想像一大群人尝试同步拍手。在某些特定方向上，来自每条狭缝的波都恰好「同步拍手」，因此各波的振幅会强烈叠加。只要稍微偏离这些方向，整组波的相位便会逐渐出现差异。

这个比喻有助理解相位，但也有其局限。狭缝并不是各自决定何时发光的独立小物体。光栅实际上是将同一个相干波前分开，而产生的各个波振幅会互相叠加。

02如何将每毫米刻线数转换为狭缝间距

题目经常会以「每毫米 500 条刻线」等方式描述光栅，而不是直接给出 \(d\)。

如果刻线密度为 \(n\)，则

\[ d=\frac{1}{n} \]

前提是 \(n\) 和 \(d\) 所使用的单位必须一致。

例如，每毫米 \(500\) 条刻线表示

\[ 500\text{ 条刻线 mm}^{-1} =500\,000\text{ 条刻线 m}^{-1}. \]

因此，

\[ d=\frac{1}{500\,000} =2.00\times10^{-6}\text{ m}. \]

一个非常常见的错误，是直接将 \(500\) 代入 \(d=1/n\)，然后把计算结果当成以米为单位的数值。必须先完成单位转换。

03快速求出可能出现的最高级次

由于

\[ \sin\theta\leq1, \]

光栅方程式必须满足

\[ \frac{m\lambda}{d}\leq1. \]

因此，

\[ m\leq\frac{d}{\lambda}. \]

符合此条件的最大整数，就是可能出现的最高级次。

以上一个例子为例，

\[ \frac{d}{\lambda} =\frac{2.00\times10^{-6}}{6.00\times10^{-7}} =3.33, \]

因此最高级次为 \(m=3\)。

还有一个值得注意的实际情况。如果计算结果恰好是 \(\sin\theta=1\)，则 \(\theta=90^\circ\)。这在数学上是允许的，但光线会沿著平行于光栅表面的方向传播，因此通常无法在实际光谱仪中有效利用。

04为甚么光栅能分离不同波长？

现在想像两种不同波长的光通过同一个光栅。

对于固定的级次 \(m\)，

\[ d\sin\theta=m\lambda. \]

如果 \(d\) 和 \(m\) 保持不变，而 \(\lambda\) 增加，\(\sin\theta\) 就必须增加。因此，波长较长的光会出现在较大的角度。

这就是光栅能将白光分散成光谱的原因。在同一级光谱中，红光与中央的夹角比紫光更大。

留意 \(m=0\) 有一个特别之处：

\[ d\sin0^\circ=0. \]

所有波长都符合这个条件。因此，中央极大值不会将不同波长分开。光谱分离只会在非零级次开始出现。

对于两个相近的波长，可以使用以下近似式：

\[ \Delta\theta\approx \frac{m\Delta\lambda}{d\cos\theta}, \]

其中 \(\Delta\lambda\) 是两者的波长差，而 \(\Delta\theta\) 是它们之间以弧度表示的微小角度差。

这告诉我们，在一般情况下，以下因素会使相近波长的角度分离更加明显：

• 级次 \(m\) 较大，
• 狭缝间距 \(d\) 较小，
• 绕射角较大。

较小的 \(d\) 代表每毫米有更多光栅刻线。

但角度分离只是问题的一半。

05分离程度不等于解析度

想像两条光谱线的极大值相距 \(0.05^\circ\)。

听起来似乎不错。但如果每个亮峰的宽度都是 \(0.10^\circ\)，会怎样？两个峰会严重重叠，看起来很可能只是一条线。

现在假设两个极大值仍然相距 \(0.05^\circ\)，但每个峰都非常狭窄。这时便可以分辨出两条线。

这就是解析度所涉及的关键区别。

绕射光栅能提高波长解析度，是因为大量等间距狭缝所形成的主极大值，比双狭缝装置产生的主极大值狭窄得多。

为甚么会这样？

在主极大值的确切方向上，来自每条狭缝的波都同相到达。只要稍微偏离这个角度，相邻狭缝的波之间便会出现微小的相位差。

如果只有两条狭缝，这种微小的相位不匹配不会立即令亮纹消失。

但如果有数百甚至数千条狭缝，这种相位不匹配便会在整个光栅上逐渐累积。来自光栅不同位置的波因而产生强烈的相消干涉，使强度在主极大值两侧迅速下降。

这带出一个重要区别：

单狭缝绕射图样仍然很重要，因为每条狭缝都有有限的宽度。它会形成整体的绕射包络线，影响各个光栅极大值的强度。光的绕射指南 对这部分有更详细的解释。

06理想绕射光栅的分辨本领

对于理想光栅，其分辨本领可表示为

\[ R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda_{\min}}=mN \]

其中：

• \(R\) 是分辨本领，
• \(\lambda\) 是正在观察的光波长，
• \(\Delta\lambda_{\min}\) 是刚好能被分辨的最小波长差，
• \(m\) 是绕射级次，
• \(N\) 是受光照射的光栅刻线总数。

因此，

\[ \Delta\lambda_{\min} =\frac{\lambda}{mN}. \]

\(mN\) 的数值越大，波长解析度就越高。

不要将 \(N\)（受光照射的刻线总数）与刻线密度混淆。

如果光栅的刻线密度为 \(n\)，而受光照射的宽度为 \(W\)，则近似有

\[ N=nW, \]

前提是各单位一致。

例如，某光栅每毫米有 \(600\) 条刻线，而受光照射的宽度为 \(4.0\text{ mm}\)，则

\[ N=(600)(4.0)=2400 \]

即共有 \(2400\) 条刻线受到光照射。

这个分辨本领公式描述的是理想光栅。实际光谱仪的表现还可能受到入射狭缝、探测器解析度、光学像差、对准情况及其他因素限制。

07不要假设每毫米刻线数越多就一定「越好」

这是一个很容易令人采用的简化判断。

较高的刻线密度代表较小的间距 \(d\)。根据

\[ d\sin\theta=m\lambda, \]

在同一级次中，这通常会产生较大的绕射角，以及相近波长之间更大的角度分离。

到目前为止，这个推论没有问题。

但较小的 \(d\) 同时会限制可出现的级次，因为

\[ m\lambda\leq d. \]

因此，刻线密度非常高的光栅，可能完全无法产生第二级、第三级或更高级的极大值。

这一点很重要，因为分辨本领为

\[ R=mN. \]

刻线密度较低的光栅，虽然受光照射的刻线数量可能较少，却可能容许更高的绕射级次。在某些情况下，它的分辨本领可以等于甚至超过刻线密度较高的光栅。

因此，正确的问题不是「哪个光栅每毫米有更多刻线？」

而是「实际上可以使用甚么级次，以及有多少条刻线受到光照射？」

08其他值得留意的常见陷阱

只要弄清楚每个物理量控制甚么，光栅题目通常就会容易得多。

另外，也要留意以下常见误解。

绕射角并不会与级次成正比增加。真正与级次成正比的是 \(\sin\theta\)：

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}. \]

因此，将 \(m\) 加倍，通常不会令 \(\theta\) 加倍。

光栅间距 \(d\) 也不是单一狭缝的宽度。狭缝间距决定干涉极大值的位置，而每条狭缝本身的宽度则有助决定绕射包络线。

最后，如果题目涉及屏幕，就必须考虑几何关系。如果屏幕与光栅之间的垂直距离为 \(L\)，而某个极大值与中央位置的位移为 \(x\)，则

\[ x=L\tan\theta. \]

除非有充分理由使用小角度近似，否则不要将 \(\tan\theta\) 直接替换为 \(\sin\theta\)。

09题目与解答

题目 1

某绕射光栅每毫米有 \(400\) 条刻线。波长为 \(500\text{ nm}\) 的光垂直入射光栅。

计算第一级极大值的绕射角。

解答 1

第一级极大值出现在与法线约成 \(11.5^\circ\) 的方向。

首先转换刻线密度：

\[ n=400\times1000 =4.00\times10^5\text{ m}^{-1}. \]

因此，

\[ d=\frac{1}{n} =\frac{1}{4.00\times10^5} =2.50\times10^{-6}\text{ m}. \]

对于第一级，\(m=1\)，而

\[ \lambda=500\text{ nm} =5.00\times10^{-7}\text{ m}. \]

利用

\[ d\sin\theta=m\lambda, \]

可得

\[ \sin\theta =\frac{(1)(5.00\times10^{-7})}{2.50\times10^{-6}} =0.200. \]

因此，

\[ \theta=\sin^{-1}(0.200)=11.5^\circ. \]

常见陷阱是将 \(400\text{ 条刻线 mm}^{-1}\) 误当成 \(400\text{ m}^{-1}\)。在计算 \(d\) 之前先转换刻线密度，就能避免这个错误。

题目 2

某光栅每毫米有 \(600\) 条刻线。入射光包含波长为 \(450\text{ nm}\) 和 \(650\text{ nm}\) 的光。

探测器只能接收中央两侧绕射角不超过 \(50^\circ\) 的光。

对每个波长，判断实际上会记录到哪些非零级次的绕射极大值。

解答 2

对于 \(450\text{ nm}\) 的光，探测器会记录到第一级和第二级极大值；但对于 \(650\text{ nm}\) 的光，只会记录到第一级极大值。

首先求光栅间距：

\[ n=600\times1000 =6.00\times10^5\text{ m}^{-1}, \]

因此

\[ d=\frac{1}{6.00\times10^5} =1.667\times10^{-6}\text{ m}. \]

对于 \(450\text{ nm}\)，第一级为

\[ \sin\theta_1 =\frac{450\times10^{-9}}{1.667\times10^{-6}} =0.270, \]

得到

\[ \theta_1=15.7^\circ. \]

第二级为

\[ \sin\theta_2 =\frac{2(450\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.540, \]

因此

\[ \theta_2=32.7^\circ. \]

第三级为

\[ \sin\theta_3 =\frac{3(450\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.810, \]

因此

\[ \theta_3=54.1^\circ. \]

第三级极大值在物理上确实存在，但它超出了探测器的 \(50^\circ\) 接收范围。因此，对于 \(450\text{ nm}\) 的光，探测器只会记录 \(m=1\) 和 \(m=2\)。

对于 \(650\text{ nm}\)，

\[ \sin\theta_1 =\frac{650\times10^{-9}}{1.667\times10^{-6}} =0.390, \]

因此

\[ \theta_1=23.0^\circ. \]

对于第二级，

\[ \sin\theta_2 =\frac{2(650\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.780, \]

得到

\[ \theta_2=51.3^\circ. \]

这个极大值同样存在，但刚好超出了探测器的接收角度限制。

容易犯的错误，是只考虑某个级次在数学上是否可能存在。即使某个级次符合 \(\sin\theta\leq1\)，如果仪器无法接收该角度的光，仍然可能无法探测到它。

题目 3

某光栅对波长为 \(520\text{ nm}\) 的光，在 \(20.0^\circ\) 方向产生第一级极大值。

求出：

• 光栅间距，
• 以每毫米刻线数表示的刻线密度，
• 波长为 \(650\text{ nm}\) 的光的第一级绕射角，
• 波长为 \(520\text{ nm}\) 的光的第二级极大值角度。

一名学生声称，最后一题的答案必定是 \(40.0^\circ\)，因为级次加倍了。解释他的错误。

解答 3

光栅间距为 \(1.52\times10^{-6}\text{ m}\)，刻线密度约为 \(658\text{ 条刻线 mm}^{-1}\)，\(650\text{ nm}\) 光的第一级极大值约位于 \(25.3^\circ\)，而 \(520\text{ nm}\) 光的第二级极大值约位于 \(43.2^\circ\)，并不是 \(40.0^\circ\)。

对于已知的第一级极大值，

\[ d\sin20.0^\circ=(1)(520\times10^{-9}\text{ m}). \]

因此，

\[ d =\frac{520\times10^{-9}}{\sin20.0^\circ} =1.52\times10^{-6}\text{ m}. \]

刻线密度为

\[ n=\frac{1}{d} =\frac{1}{1.52\times10^{-6}} \approx6.58\times10^5\text{ m}^{-1}. \]

由于 \(1000\text{ mm}=1\text{ m}\)，

\[ n\approx658\text{ 条刻线 mm}^{-1}. \]

对于 \(650\text{ nm}\) 的第一级，

\[ \sin\theta =\frac{650\times10^{-9}}{1.52\times10^{-6}} \approx0.428, \]

因此

\[ \theta\approx25.3^\circ. \]

对于 \(520\text{ nm}\) 的第二级，

\[ \sin\theta =\frac{2(520\times10^{-9})}{1.52\times10^{-6}} \approx0.684, \]

得到

\[ \theta\approx43.2^\circ. \]

这名学生的预测看起来合理，因为 \(m\) 直接出现在光栅方程式中。然而，方程式实际表示的是

\[ \sin\theta\propto m, \]

而不是

\[ \theta\propto m. \]

将级次加倍，会使 \(\sin\theta\) 加倍，而不是令角度本身加倍。正是 \(\theta\) 与 \(\sin\theta\) 之间的非线性关系，导致计算结果不同。

题目 4

现有两个光栅，可用来分离接近 \(500\text{ nm}\) 的光谱线。

光栅 A 每毫米有 \(600\) 条刻线。

光栅 B 每毫米有 \(1200\) 条刻线。

两个光栅各有 \(2.0\text{ mm}\) 的宽度受到光照射。光谱仪可以接收任何满足 \(\theta<80^\circ\) 的极大值。

两条光谱线的波长分别为 \(500.00\text{ nm}\) 和 \(500.18\text{ nm}\)。

对每个光栅：

• 求出最高可用绕射级次，
• 计算该级次的理想分辨本领，
• 判断能否分辨这两个波长。

解释为甚么单纯选择刻线密度较高的光栅，会得出错误的结论。

解答 4

光栅 A 在理想情况下可以利用第三级分辨这两个波长，而光栅 B 即使使用其最高可用级次，也无法分辨它们。这里刻线密度较低的光栅表现更好，因为它能使用更高的绕射级次，而这个优势足以弥补其受光照射刻线数量较少的不足。

对于光栅 A，

\[ n_A=600\text{ 条刻线 mm}^{-1}, \]

因此

\[ d_A=\frac{1}{600\,000} =1.667\times10^{-6}\text{ m}. \]

对于接近 \(500\text{ nm}\) 的光，可能出现的最高级次须满足

\[ m\leq\frac{d_A}{\lambda} =\frac{1.667\times10^{-6}}{500\times10^{-9}} =3.33. \]

因此最高级次为 \(m=3\)。

检查仪器能否接收这个级次：

\[ \sin\theta =\frac{3(500\times10^{-9})}{1.667\times10^{-6}} =0.900, \]

因此

\[ \theta=64.2^\circ, \]

小于 \(80^\circ\)。

受光照射的刻线数量为

\[ N_A=(600)(2.0)=1200. \]

因此，

\[ R_A=mN=(3)(1200)=3600. \]

最小可分辨波长差约为

\[ \Delta\lambda_{\min,A} =\frac{500\text{ nm}}{3600} =0.139\text{ nm}. \]

由于

\[ 0.180\text{ nm}>0.139\text{ nm}, \]

光栅 A 在理想情况下可以分辨这两条光谱线。

对于光栅 B，

\[ d_B =\frac{1}{1.20\times10^6} =8.33\times10^{-7}\text{ m}. \]

允许的级次须满足

\[ m\leq \frac{8.33\times10^{-7}}{500\times10^{-9}} =1.67. \]

因此只有 \(m=1\) 可用。

受光照射的刻线数量为

\[ N_B=(1200)(2.0)=2400. \]

所以

\[ R_B=(1)(2400)=2400. \]

其最小可分辨波长差为

\[ \Delta\lambda_{\min,B} =\frac{500\text{ nm}}{2400} =0.208\text{ nm}. \]

由于

\[ 0.180\text{ nm}<0.208\text{ nm}, \]

光栅 B 在理想情况下无法分辨这两个波长。

一个很容易令人采用的解题方法，是注意到光栅 B 每毫米的刻线数是光栅 A 的两倍，因此受光照射的刻线数也是两倍。这确实正确，但并不完整。

光栅 B 的狭缝间距较小，使第二级和第三级无法出现。由于分辨本领取决于 \(mN\) 的乘积，光栅 A 的第三级可达到

\[ 3\times1200=3600, \]

而光栅 B 只能达到

\[ 1\times2400=2400. \]

绕射级次绝不是无关紧要的细节，它会直接改变结果。

题目 5

三个光栅均有相同的受光照射宽度 \(10.0\text{ mm}\)。现考虑使用它们分辨两条接近 \(480\text{ nm}\)、波长相差 \(0.030\text{ nm}\) 的光谱线。

• 光栅 A：每毫米 \(500\) 条刻线
• 光栅 B：每毫米 \(1000\) 条刻线
• 光栅 C：每毫米 \(1250\) 条刻线

假设光栅是理想的，并且可以使用物理上允许的最高非零级次。

对每个光栅，求出最高允许级次及最大理想分辨本领。判断哪些光栅能够分辨这两条光谱线。

然后利用 \(d\sin\theta=m\lambda\) 和 \(R=mN\)，解释为甚么当受光照射的宽度固定时，增加刻线密度并不保证最大可能分辨本领会提高。

解答 5

光栅 A 和 B 的最大理想分辨本领相同，均为 \(20\,000\)，因此可以分辨 \(0.030\text{ nm}\) 的波长差；光栅 C 的最大分辨本领则较低，只有 \(12\,500\)，因此无法分辨。关键限制在于，增加刻线密度虽然会增加 \(N\)，却也可能同时迫使最高可用级次 \(m\) 降低。

对于光栅 A，

\[ d_A =\frac{1}{500\,000} =2.00\times10^{-6}\text{ m}. \]

当 \(\lambda=480\text{ nm}\) 时，

\[ m\leq \frac{2.00\times10^{-6}}{480\times10^{-9}} =4.17. \]

因此，

\[ m_{\max,A}=4. \]

受光照射的刻线数量为

\[ N_A=(500)(10.0)=5000. \]

所以

\[ R_{\max,A}=mN=(4)(5000)=20\,000. \]

因此

\[ \Delta\lambda_{\min,A} =\frac{480\text{ nm}}{20\,000} =0.0240\text{ nm}. \]

由于 \(0.030\text{ nm}>0.0240\text{ nm}\)，光栅 A 在理想情况下可以分辨这两条光谱线。

对于光栅 B，

\[ d_B =\frac{1}{1.00\times10^6} =1.00\times10^{-6}\text{ m}. \]

因此，

\[ m\leq \frac{1.00\times10^{-6}}{480\times10^{-9}} =2.08, \]

所以

\[ m_{\max,B}=2. \]

受光照射的刻线数量为

\[ N_B=(1000)(10.0)=10\,000. \]

因此，

\[ R_{\max,B} =(2)(10\,000) =20\,000. \]

同样地，

\[ \Delta\lambda_{\min,B} =\frac{480\text{ nm}}{20\,000} =0.0240\text{ nm}. \]

因此，光栅 B 也能分辨 \(0.030\text{ nm}\) 的波长差。

对于光栅 C，

\[ d_C =\frac{1}{1.25\times10^6} =8.00\times10^{-7}\text{ m}. \]

级次必须满足

\[ m\leq \frac{8.00\times10^{-7}}{480\times10^{-9}} =1.67. \]

因此，

\[ m_{\max,C}=1. \]

受光照射的刻线数量为

\[ N_C=(1250)(10.0)=12\,500. \]

其最大理想分辨本领为

\[ R_{\max,C} =(1)(12\,500) =12\,500. \]

因此，

\[ \Delta\lambda_{\min,C} =\frac{480\text{ nm}}{12\,500} =0.0384\text{ nm}. \]

由于

\[ 0.030\text{ nm}<0.0384\text{ nm}, \]

光栅 C 在理想情况下无法分辨这两条光谱线。

更深一层的结论，可以透过结合两个主要限制条件得出。

对于任何可能存在的级次，

\[ m\lambda\leq d, \]

因此

\[ m\leq\frac{d}{\lambda}. \]

如果受光照射的光栅宽度为 \(W\)，则受光照射的刻线数量近似为

\[ N=\frac{W}{d}. \]

由于

\[ R=mN, \]

最大可能值受到以下关系限制：

\[ R \leq \frac{d}{\lambda}\frac{W}{d} =\frac{W}{\lambda}. \]

间距 \(d\) 在式中互相抵消。

这就是整个推论的关键。在相同宽度内排列更多刻线，会提高 \(N\)，但较小的间距也会减少能够存在的绕射级次。在理想化的连续变化分析中，这两种影响可以互相抵消。但在实际光栅中，\(m\) 必须是整数，因此可达到的分辨本领会呈阶梯式变化。

这就解释了起初看似奇怪的结果。光栅 B 的刻线密度是 A 的两倍，但其最高级次只有 A 的一半，因此两者的 \(mN\) 乘积完全相同：

\[ (4)(5000)=(2)(10\,000)=20\,000. \]

光栅 C 进一步提高了刻线密度，但其第二级已经不可能在物理上出现。额外增加的受光照射刻线数量，仍不足以弥补失去的绕射级次。

10接下来可以进一步理解甚么？

光栅方程式告诉我们每个波长的光会出现在哪个方向。分辨本领则告诉我们，当两个相近波长的光到达各自的位置后，是否仍然能够被区分。

下一步值得学习的是，将这些现象与一般的干涉和绕射概念连系起来。光栅狭窄而尖锐的主极大值来自多狭缝干涉，而它们的整体亮度则部分受到每条狭缝各自产生的绕射图样控制。结合这些概念，我们不但能解释光谱出现的位置，还能理解为甚么某些级次可能很明亮、很微弱，甚至实际上完全看不见。