HSC 物理磁通量：使用 Φ = BA cos θ

一个导线回路位于磁场中。磁场很强，回路也很大，但穿过它的磁通量却可以恰好为零。

为甚么？

继续阅读之前，先想像一个像相框一样的平面回路。如果磁场直接穿过相框中央，你会预期磁通量很大。现在把相框转动，使磁场改为沿著它的表面方向延伸。同一个磁场仍然存在，但没有任何磁场穿过回路。

这就是磁通量所测量的概念：有多少磁场穿过一个表面。

01先从物理图像开始

想像雨水垂直落到天窗上。

水平的天窗会接到很多雨水。把它倾斜，接到的雨水就会减少。把它完全转成垂直方向，几乎就没有雨水穿过它的开口。

磁通量的表现很相似。磁场就是「雨水」，而回路则提供了我们所关注的表面。

这个类比有一项重要的限制。磁力线并不是实际流过回路的粒子流。它们只是表示磁场的一种方式。磁通量是一个数学量，用来衡量有多少磁场穿过所选定的表面。

假设三个回路的面积都相同，而且都位于同一个磁场中。

哪一个应该有最大的磁通量？

第一个，也就是磁场直接穿过回路的情况。倾斜的回路磁通量较小，而磁场沿著回路表面延伸时，磁通量为零。

这告诉我们，磁通量所取决的并不只有磁场强度。

02磁通量方程式

对于均匀磁场中的平面表面，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中：

• \(\Phi\) 是磁通量，单位为韦伯，\(\text{Wb}\)
• \(B\) 是磁通密度，单位为特斯拉，\(\text{T}\)
• \(A\) 是表面的面积，单位为平方米，\(\text{m}^2\)
• \(\theta\) 是磁场与表面法线之间的夹角

最后一点造成的错误，比方程式其他部分加起来还多。

角度是从法线量起的

法线是一条假想直线，与表面成 \(90^\circ\)。

因此，如果磁场直接穿过一个回路，磁场就与法线平行。

这表示

\[ \theta = 0^\circ \]

所以

\[ \Phi = BA\cos 0^\circ = BA \]

此时磁通量的大小达到最大值。

如果磁场沿著回路所在的平面延伸，它便与法线垂直。此时

\[ \theta = 90^\circ \]

因此

\[ \Phi = BA\cos 90^\circ = 0 \]

没有磁通量穿过这个表面。

学生有时会这样推理：「磁场与回路成 \(90^\circ\)，所以我应该使用 \(90^\circ\)。」这听起来很合理，因为日常语言会让我们倾向把磁场和表面本身作比较。

但这个方程式不是这样做的。它比较的是磁场与法线。

一个很有用的习惯，是在写下 \(\theta\) 之前先画出法线。

03为甚么会出现余弦？

与其死记余弦，不如看看它从何而来。

假设回路倾斜了。磁场不再直接穿过回路完整的有效面积。

从磁场的角度来看，回路就像具有一个较小的面积：

\[ A_{\perp} = A\cos\theta \]

其中 \(A_{\perp}\) 是相对于磁场而言有效垂直的面积。

于是磁通量为

\[ \Phi = B A_{\perp} \]

所以

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

这就是为甚么当 \(\theta\) 从 \(0^\circ\) 增加并趋近 \(90^\circ\) 时，磁通量会减少。

回路本身在物理上并没有缩小。改变的是它相对于磁场的有效面积。

04改变磁通量的三种方式

方程式

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

显示了三种直接改变磁通量的方法。

改变磁场强度

如果 \(A\) 和 \(\theta\) 保持不变，增加 \(B\) 会使磁通量增加。

例如，将 \(B\) 加倍，\(\Phi\) 也会加倍。

如果一个 \(0.020\,\text{m}^2\) 的回路与磁场垂直，因此 \(\theta=0^\circ\)，那么把磁场从 \(0.10\,\text{T}\) 改变至 \(0.30\,\text{T}\)，会使磁通量从

\[ \Phi_i=(0.10)(0.020)=2.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

变为

\[ \Phi_f=(0.30)(0.020)=6.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

磁通量的变化为

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=4.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

改变暴露于磁场中的面积

较大的面积可以具有较大的磁通量。

这不一定表示要实际拉伸回路。回路可以移入或移出具有磁场的区域，因此实际位于磁场内的面积会发生变化。

假设一个平面回路只有一半位于均匀磁场内。如果该区域以外的磁场为零，就不能直接在 \(\Phi=BA\cos\theta\) 中使用整个回路的面积。

你应使用相关磁场实际穿过的面积。

在涉及回路进入或离开磁场的电磁感应问题中，这项区别会变得非常重要。

改变角度

即使 \(B\) 和 \(A\) 保持不变，转动回路也会改变 \(\theta\)，因而改变 \(\cos\theta\)。

对于固定的回路和磁场：

负值需要特别小心处理。

05负的磁通量代表甚么？

一个表面有两个可能的法线方向。一旦我们选定其中一个方向为正方向，若磁场有一部分朝向该方向，就会得到正磁通量。若磁场以相反方向穿过表面，就会得到负磁通量。

负磁通量并不表示「存在的磁场比较少」。

它表示磁场以与所选方向相反的方向穿过该表面。

在许多简单的 HSC 计算中，你可能主要关心的是大小。不过，在追踪磁通量的变化时，符号会变得很重要。

例如，假设一个回路从

\[ \theta_i=0^\circ \]

转动至

\[ \theta_f=180^\circ \]

而 \(B\) 和 \(A\) 保持不变。

起初，

\[ \Phi_i=BA \]

最后，

\[ \Phi_f=-BA \]

所以磁通量的变化为

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i=-BA-BA=-2BA \]

其大小为 \(2BA\)，而不是零。

一个很容易让人信服的说法是：「回路开始和结束时，都有相同的最大量磁场穿过它。」

这个说法忽略了方向。磁通量的符号已经反转。

06磁通量并不等于磁场强度

磁通量 \(\Phi\) 和磁通密度 \(B\) 彼此相关，但它们并不是同一个物理量。

即使磁场为 \(2.0\,\text{T}\)，如果磁场沿著某个特定回路所在的平面延伸，穿过该回路的磁通量仍可以为零。

另一方面，如果较弱的磁场穿过方向适当的表面，也可以产生非零磁通量。

因此，以下说法是错误的：

较大的磁场总是代表较大的磁通量。

只有当相关面积和方向都没有改变时，这个说法才成立。

一个更好的判断方法，是检查以下三个因素：

\[ B,\qquad A,\qquad \cos\theta \]

只要其中任何一个改变，磁通量就可能改变。

07小心包含多匝的线圈

磁通量 \(\Phi\) 指的是穿过一个表面的磁通量。

如果一个线圈包含 \(N\) 个相同的线匝，而且相同的磁通量穿过每一匝，则总磁通链为

\[ N\Phi \]

这项区别在电磁感应中会变得很重要。

例如，如果每一匝的磁通量都是 \(2.0\times10^{-3}\,\text{Wb}\)，而线圈有 \(50\) 匝，那么穿过每一匝的磁通量仍然是

\[ 2.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

而磁通链则为

\[ N\Phi=(50)(2.0\times10^{-3})=0.100\,\text{Wb-turn} \]

增加匝数并不会神奇地增加 \(B\)、回路面积，或穿过单一线匝的磁通量。

它增加的是受到该磁通量影响的线匝数目。

08哪些情况下 \(\Phi=BA\cos\theta\) 已经不足够

这个简单方程式假设磁场在整个平面表面上都是均匀的。

如果表面的不同部分受到不同强度或不同方向的磁场作用，那么单一的 \(B\) 值和单一的 \(\theta\) 值便无法精确描述整个表面。

更深层的概念仍然相同：磁通量取决于穿过表面每一部分的磁场分量。

对于 HSC 常见的均匀磁场题目，\(\Phi=BA\cos\theta\) 可以直接完成这项工作。

09问题与解答

问题 1

一个面积为 \(0.030\,\text{m}^2\) 的平面回路被置于一个均匀的 \(0.50\,\text{T}\) 磁场中。磁场与回路的法线平行。

计算穿过回路的磁通量。

解答 1

磁通量为 \(1.5\times10^{-2}\,\text{Wb}\)。

因为磁场与法线平行，

\[ \theta=0^\circ \]

使用

\[ \Phi=BA\cos\theta \]

代入数值，

\[ \Phi=(0.50)(0.030)\cos0^\circ \]

\[ \Phi=0.015\,\text{Wb} \]

所以

\[ \boxed{\Phi=1.5\times10^{-2}\,\text{Wb}} \]

一个很容易犯的错误，是认为磁场与表面成 \(90^\circ\)，所以代入 \(90^\circ\)。磁通量方程式中的角度是从法线量起的，而不是从回路所在的平面量起的。

问题 2

一个面积为 \(0.12\,\text{m}^2\) 的回路被置于均匀磁场中。磁场强度从 \(0.25\,\text{T}\) 增加至 \(0.70\,\text{T}\)，同时磁场与回路法线之间的夹角从 \(30^\circ\) 改变至 \(60^\circ\)。

计算初始磁通量、最终磁通量，以及磁通量的变化。并说明磁场强度增加是否能保证磁通量增加。

解答 2

磁通量由约 \(0.0260\,\text{Wb}\) 增加至 \(0.0420\,\text{Wb}\)，因此 \(\Delta\Phi\approx0.0160\,\text{Wb}\)。只增加 \(B\) 本身，并不能保证磁通量一定增加。

起初，

\[ \Phi_i=B_iA\cos\theta_i \]

\[ \Phi_i=(0.25)(0.12)\cos30^\circ \]

\[ \Phi_i=2.60\times10^{-2}\,\text{Wb} \]

最后，

\[ \Phi_f=B_fA\cos\theta_f \]

\[ \Phi_f=(0.70)(0.12)\cos60^\circ \]

\[ \Phi_f=4.20\times10^{-2}\,\text{Wb} \]

因此，

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=(4.20-2.60)\times10^{-2} \]

\[ \Delta\Phi=1.60\times10^{-2}\,\text{Wb} \]

一个很容易采用的错误思路，是只看 \(B\)，然后因为磁场变强，就立刻断定磁通量必定增加。

但是

\[ \Phi=BA\cos\theta \]

同时取决于 \(B\) 和 \(\theta\)。在这里，角度增加会使 \(\cos\theta\) 减少，因而部分抵销较强磁场的影响。恰好 \(B\) 的增加幅度足够大，所以最终磁通量仍然较大。

在另一组不同的数值下，磁场可能变强，但磁通量反而减少。

问题 3

一个正方形回路的边长为 \(0.20\,\text{m}\)。它有一部分位于一个均匀 \(0.60\,\text{T}\) 磁场的区域内。磁场垂直于回路所在的平面。

起初，回路面积的四分之一位于磁场内。接著回路在不转动的情况下移动，直到其面积的四分之三位于磁场内。

计算磁通量的变化。

解答 3

磁通量增加 \(0.012\,\text{Wb}\)。

整个回路的面积为

\[ A=(0.20)^2=0.040\,\text{m}^2 \]

磁场垂直于回路所在的平面，因此与法线平行，而且

\[ \theta=0^\circ \]

起初，只有四分之一的回路位于磁场内：

\[ A_i=\frac14(0.040)=0.010\,\text{m}^2 \]

因此，

\[ \Phi_i=BA_i\cos0^\circ \]

\[ \Phi_i=(0.60)(0.010)=0.0060\,\text{Wb} \]

最后，

\[ A_f=\frac34(0.040)=0.030\,\text{m}^2 \]

所以

\[ \Phi_f=(0.60)(0.030)=0.018\,\text{Wb} \]

变化量为

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=0.018-0.0060 \]

\[ \boxed{\Delta\Phi=0.012\,\text{Wb}} \]

一个很容易犯的错误，是在两个位置都使用完整的 \(0.040\,\text{m}^2\) 面积。这样会预测磁通量没有改变，因为 \(B\)、回路的总面积和方向都没有改变。

被忽略的限制条件是，磁场只存在于部分区域。当回路跨过边界时，实际受到磁场作用的有效面积会改变。

问题 4

一个面积固定为 \(A\) 的回路位于均匀磁场中。起初，磁场大小为 \(B\)，而且与回路的法线平行。

接著，在磁场强度同时加倍的情况下，把回路转动至与磁场成 \(60^\circ\) 的角度。

一名学生主张：

「把回路转动至 \(60^\circ\) 会使它的磁通量减半，但把 \(B\) 加倍又会使它加倍，所以最终磁通量一定等于初始磁通量。」

这名学生是否正确？接著判断：如果磁场加倍时，回路改为转动至 \(120^\circ\)，会发生甚么？

解答 4

对于 \(60^\circ\) 的情况，这名学生是正确的，但在 \(120^\circ\) 的情况下，磁通量大小相同而符号相反。

起初，

\[ \Phi_i=BA\cos0^\circ=BA \]

对于第一个最终状态，

\[ B_f=2B \]

而且

\[ \theta_f=60^\circ \]

因此，

\[ \Phi_f=(2B)A\cos60^\circ \]

由于

\[ \cos60^\circ=\frac12 \]

可得

\[ \Phi_f=(2B)A\left(\frac12\right)=BA \]

所以磁通量不变：

\[ \Delta\Phi=0 \]

在这个情况下，这名学生的推理是成立的。

现在考虑 \(120^\circ\)：

\[ \Phi_f=(2B)A\cos120^\circ \]

而

\[ \cos120^\circ=-\frac12 \]

所以

\[ \Phi_f=-BA \]

最终磁通量与初始磁通量的大小相同，但符号相反。

因此，

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=-BA-BA \]

\[ \boxed{\Delta\Phi=-2BA} \]

一个很容易采用的错误方法，是只使用 \(\cos120^\circ\) 的大小，把 \(120^\circ\) 当作与 \(60^\circ\) 等同。

从几何上看，有效面积的大小确实相同。然而在方向上，磁场现在是以相反方向穿过所选定的表面。这个符号反转会完全改变 \(\Delta\Phi\)。

问题 5

两个相同的平面回路 X 和 Y，各自的面积都是 \(A\)。

回路 X 位于大小为 \(B\) 的均匀磁场中。它的法线起初与磁场指向相同方向。接著它转动 \(90^\circ\)。

回路 Y 位于大小为 \(2B\) 的均匀磁场中。它的法线起初与磁场成 \(60^\circ\)。接著它以相同的转动方向转动 \(60^\circ\)，所以最终角度为 \(120^\circ\)。

一名学生认为，Y 的磁通量变化必定较大，因为它所在的磁场更强，而且转过了相当大的角度。

求每个回路的磁通量变化，并比较两者的大小。

解答 5

两个回路的磁通量变化大小完全相同，都是 \(BA\)，即使回路 Y 所在的磁场是两倍强。

对回路 X，初始磁通量为

\[ \Phi_{Xi}=BA\cos0^\circ=BA \]

转动 \(90^\circ\) 之后，

\[ \Phi_{Xf}=BA\cos90^\circ=0 \]

因此，

\[ \Delta\Phi_X=\Phi_{Xf}-\Phi_{Xi} \]

\[ \Delta\Phi_X=0-BA=-BA \]

所以

\[ |\Delta\Phi_X|=BA \]

现在考虑回路 Y。

它的磁场强度为 \(2B\)，初始角度为 \(60^\circ\)：

\[ \Phi_{Yi}=(2B)A\cos60^\circ \]

\[ \Phi_{Yi}=(2B)A\left(\frac12\right)=BA \]

它的最终角度为 \(120^\circ\)：

\[ \Phi_{Yf}=(2B)A\cos120^\circ \]

\[ \Phi_{Yf}=(2B)A\left(-\frac12\right)=-BA \]

因此，

\[ \Delta\Phi_Y=\Phi_{Yf}-\Phi_{Yi} \]

\[ \Delta\Phi_Y=-BA-BA=-2BA \]

所以

\[ |\Delta\Phi_Y|=2BA \]

因此，回路 Y 的磁通量变化大小实际上是两倍：

\[ \boxed{|\Delta\Phi_Y|=2|\Delta\Phi_X|} \]

不过，一开始那种看似合理的比较仍然是不完整的。只说「Y 的磁场较强」并不足以确立这个结果。只比较转动角度也同样不够。

决定性的特点是，回路 Y 从正磁通量跨越到负磁通量。它的磁通量从 \(+BA\) 变成 \(-BA\)，所以总变化跨越了 \(2BA\)。

回路 X 则只由 \(+BA\) 变为零。

因此，在处理磁通量问题时，最稳妥的方法是分别计算带符号的初始值和最终值：

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

而不是尝试只根据回路转动了多大的角度来判断变化量。

10磁通量接下来能帮助你理解甚么

当磁通量发生变化时，它尤其有用。

改变 \(B\)、改变暴露于磁场中的面积，或改变角度，都可以使 \(\Phi\) 发生变化。这让我们能用同一种方式描述表面上看似不同的情况：把回路移入磁场、转动线圈，或改变磁场本身。

下一步是法拉第定律。它把磁通量的变化率与感应电动势连结起来。到了那时，只问「磁通量是多少？」已经不够。你还需要问：「磁通量改变了多少，而这个变化发生得有多快？」