HSC 物理楞次定律：判断感应电流方向

把条形磁铁的北极移向一个导电线圈。虽然没有连接电池，却会出现电流。把磁铁拉远，电流方向便会反转。

在继续之前，先作一个很有用的判断：假设穿过线圈的磁场指向纸面内，而且正在变弱。线圈应该产生指向纸面外的磁场来「反抗磁铁」，还是产生指向纸面内的磁场，以补回正在消失的磁通量？

它会产生指向纸面内的磁场。

这就是楞次定律的核心概念。感应效应所反抗的是磁通量的变化，而不一定是磁场本身。

01楞次定律究竟在反抗甚么？

想像一个正面朝向你的圆形导线线圈。有一个外加磁场穿过线圈，方向指向纸面内。

如果磁场变强，穿入纸面内的磁通量便会增加。线圈会作出反应，产生一个指向纸面外的磁场。这个感应磁场会反抗磁通量的增加。

现在改为令外加磁场变弱。穿入纸面内的磁通量正在减少。这一次，线圈会产生一个指向纸面内的感应磁场。它的作用是阻止原有磁通量那么快消失。

因此，同一个外加磁场方向可以产生方向相反的电流。

可以用一个有点傻气的方式理解楞次定律：想像有一个人并不讨厌目前的情况；他讨厌的是情况改变。音乐变大声，他便把音量调低。音乐变小声，他便把音量调高。当然，这个比喻并不完全成立，因为导电线圈没有意图或意识。这种反应来自电磁感应。

规则是：

感应电流的方向，会使它产生的磁场反抗造成它的磁通量变化。

其中最重要的字是变化。

02先从磁通量开始

当你不再只想着磁场，而是开始考虑磁通量时，楞次定律便会容易得多。

对于穿过平面线圈的均匀磁场，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中：

• \(\Phi\) 是穿过每一匝线圈的磁通量，单位为韦伯（\(\text{Wb}\)），
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉（\(\text{T}\)），
• \(A\) 是线圈面积，单位为平方米（\(\text{m}^2\)），以及
• \(\theta\) 是磁场方向与线圈法线之间的夹角。

法线是一条假想的直线，垂直于线圈所在的平面。如果最后一句听起来令人有点抽象，磁通量指南会从几何关系开始建立这个概念。

磁通量可能因为以下原因而改变：

• \(B\) 改变，
• 面积 \(A\) 改变，
• 角度 \(\theta\) 改变，或
• 线圈移入或移出磁场不同的区域。

楞次定律所回应的是由此产生的磁通量变化。它不在乎是哪一种改变造成了磁通量变化。

这一点在较难的题目中特别重要，因为两种变化可能互相竞争。

03四种方向情况

对于画在纸面上的线圈，可用叉号表示指向纸面内的磁场，用圆点表示指向纸面外的磁场。

这样便有四种基本情况。

不要把这个表格当成四项互不相关的事实来背诵。有一个可靠得多的方法。

04解答楞次定律题目的可靠方法

步骤 1：找出外加磁通量的方向

穿过线圈的相关磁场是指向纸面内、纸面外、左、右、上，还是下？

这时先不要考虑电流。

步骤 2：判断磁通量正在增加还是减少

很多题目的成败就在这一步。

例如：

• 磁铁接近线圈可能令磁通量增加，
• 磁铁远离线圈可能令磁通量减少，
• 磁场变弱会令磁通量减少，
• 线圈进入磁场区域时会增加磁通量，以及
• 即使线圈正在移动，只要它完全位于均匀磁场内，磁通量仍可能保持不变。

步骤 3：判断感应磁场的方向

问自己：甚么方向的感应磁场能够反抗这个特定的变化？

例如，如果指向纸面内的磁通量正在增加，指向纸面外的感应磁场便会反抗这个增加。

如果指向纸面内的磁通量正在减少，指向纸面内的感应磁场便会尝试维持原有磁通量。

步骤 4：把感应磁场转换成电流方向

现在使用右手握拳定则。

让右手手指沿着传统电流方向弯曲，你的拇指便会指出线圈所产生磁场的方向。

因此：

• 逆时针电流会产生指向纸面外的磁场，而
• 顺时针电流会产生指向纸面内的磁场。

把各个步骤分开：

\[ \text{磁通量变化} \rightarrow \text{感应磁场} \rightarrow \text{感应电流} \]

如果尝试直接从「磁铁向这个方向移动」跳到「电流是顺时针」，就很容易累积方向或正负号错误。

05为甚么楞次定律必须如此运作

这种反抗背后有一个更深层的原因：能量守恒。

想像把磁铁的北极推向一个闭合导电线圈。

增加的磁通量会感应出电流。这股电流会产生磁场，使线圈靠近磁铁的一面表现得像北极。因此，正在接近的北极会受到排斥力。

你必须做功，才能继续把磁铁向前推。

这些机械功可以转化成电路中的电能；如果导线有电阻，还可以转化成热能。

现在想像相反的定律存在。假设感应电流不是反抗变化，而是帮助变化。

接近线圈的北极便会感应出一个吸引它的磁场。磁铁会加速冲向线圈。更快的运动会造成更大的磁通量变化，产生更大的电流，而这又会更强烈地拉动磁铁。

这样你便能在没有提供相应能量的情况下，同时获得动能和电能。

这是不可能的。

楞次定律防止了这种失控过程。

有一项限定值得记住。当磁通量变化完全由磁铁与导体之间的相对运动造成时，感应磁力通常会反抗这种运动。不过，「力总是反抗运动」并不是基本定律。基本定律是：感应效应会反抗磁通量的变化。

稍后我们会看到一个例子：外部电源正在改变磁场，而感应磁力实际上可以与物体的运动方向相同。

06法拉第定律中的负号

法拉第定律给出感应电动势的大小和正负方向：

\[ \varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

其中：

• \(\varepsilon\) 是感应电动势，单位为伏特（\(\text{V}\)），
• \(N\) 是线圈匝数，
• \(\Delta\Phi\) 是每一匝线圈的磁通量变化，单位为韦伯（\(\text{Wb}\)），以及
• \(\Delta t\) 是变化发生的时间，单位为秒（\(\text{s}\)）。

这个负号就是以数学形式表示的楞次定律。

它并不表示电路具有某种绝对意义上的「负电压」。电压方向取决于你选择的参考方向。负号表示感应电动势的作用方向会反抗磁通量的变化。

对大多数 HSC 方向判断题，一个好方法是：

1. 使用法拉第定律计算大小，以及
2. 再利用楞次定律和右手握拳定则，分开判断方向。

这样通常比较不容易出现正负号错误。

如想进一步了解如何计算感应电动势本身，请参阅 HSC 物理的法拉第定律。

07磁铁版本：接近与离开

假设磁铁的北极朝向一个导电线圈。

当北极接近时，穿过线圈的磁通量增加。线圈会产生一个磁场来反抗这个增加。线圈靠近磁铁的一面表现得像另一个北极，因此产生排斥作用。

现在让磁铁经过线圈后开始远离。

原有磁通量此时正在减少。感应电流会反向，使线圈尝试维持正在消失的磁通量。此时线圈与正在离开的磁铁之间会产生吸引作用。

在两个阶段中，磁力都会抵抗由磁铁运动造成的变化：

• 磁铁接近：排斥，
• 磁铁离开：吸引。

这就是为甚么磁铁从导电管中掉落时，可以比单纯受重力作用时慢得多。机械能会透过感应电流转移，最后以热能形式耗散。

如果把导电路径切断，使电路成为开路，仍然可以产生感应电动势。不过，由于没有可供显著电流持续流动的闭合路径，磁煞车效应便会大幅减弱。

感应电动势与感应电流之间的这项区别，也是常见的考试陷阱。

08三个值得厘清的误解

「感应磁场总是反抗外加磁场」

不是。

如果外加磁通量正在增加，感应磁场会与它的方向相反。

如果外加磁通量正在减少，感应磁场会指向相同方向，以尝试维持原有磁通量。

永远先问：究竟是甚么正在改变？

「在磁场中移动一定会产生感应电流」

不是。

线圈可以在完全均匀的磁场中移动，而它的面积、方向和所处磁场强度全部保持不变。

此时磁通量保持恒定：

\[ \Delta\Phi=0 \]

因此，对整个线圈而言，

\[ \varepsilon=0 \]

单纯运动并不足够。磁通量必须改变。

「感应电流会尝试阻止磁通量」

也不是。

稳定不变的磁通量不会产生感应电动势。

楞次定律所反抗的是磁通量的变化，而不是磁通量本身。一旦磁通量停止改变，产生感应电动势的原因也会消失。

09问题与解答

问题 1

从正面观察一个圆形导电线圈。一个指向纸面外的磁场正在增强。

判断感应电流的方向，并解释你的推理。

解答 1

感应电流方向为顺时针。

指向纸面外的外加磁通量正在增加。根据楞次定律，线圈会产生一个感应磁场来反抗这个增加，因此感应磁场必须指向纸面内。

利用右手握拳定则，顺时针的传统电流会产生指向纸面内的磁场。

一个很容易犯的错误，是只记住「磁场方向相反」，却没有先检查磁通量是在增加还是减少。这种想法在这题恰好成立，只因为指向纸面外的外加磁通量正在增加。

问题 2

一个 40 匝的长方形线圈以 \(2.5\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向右移动，进入一个均匀磁场区域。磁场大小为 \(0.60\ \text{T}\)，方向指向纸面内。跨越磁场边界的线圈垂直边长为 \(0.12\ \text{m}\)。线圈总电阻为 \(1.5\ \Omega\)。

假设线圈以题目所述的恒定速度运动。

求：

a. 线圈进入磁场区域时的感应电动势和电流，

b. 线圈进入时的电流方向，

c. 整个线圈完全位于均匀磁场中时的电流，以及

d. 线圈之后以相同速度离开磁场区域时的电流方向。

解答 2

线圈进入时，感应电动势为 \(7.2\ \text{V}\)，电流为 \(4.8\ \text{A}\)，方向为逆时针；当线圈完全位于均匀磁场内时，电流为零；线圈离开时，电流方向为顺时针。

线圈进入磁场时，位于磁场中的面积增加。因此，指向纸面内的磁通量增加。

对于以恒定速度跨越直线磁场边界的线圈，进入磁场的面积变化率为

\[ \frac{\Delta A}{\Delta t}=lv \]

其中 \(l=0.12\ \text{m}\) 是跨越边界的边长，而 \(v=2.5\ \text{m s}^{-1}\) 是速度。

因此，感应电动势为

\[ \varepsilon=NBlv =40(0.60)(0.12)(2.5) =7.2\ \text{V} \]

利用欧姆定律，

\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{7.2}{1.5} =4.8\ \text{A} \]

正在增加的外加磁通量指向纸面内。因此，感应磁场必须指向纸面外，需要逆时针电流。

当线圈完全位于均匀磁场内时，它的面积、方向和磁场强度全部保持不变。因此，即使线圈仍在移动，它的磁通量仍然恒定：

\[ \Delta\Phi=0 \]

所以感应电动势和电流都为零。

当线圈离开时，指向纸面内的磁通量减少。感应磁场此时指向纸面内，以反抗这个减少，因此电流变成顺时针。

一个看似合理但错误的思路，是认为移动中的导体一定有感应电流。缺少的条件是：穿过完整电路的磁通量必须改变。一旦线圈完全位于均匀磁场内，就没有这种改变。

问题 3

一个 100 匝的导电线圈保持与一个指向纸面外的均匀磁场垂直。在 \(0.10\ \text{s}\) 的时间内，磁场强度由 \(0.40\ \text{T}\) 增加至 \(0.55\ \text{T}\)，同时线圈所包围的面积由 \(0.020\ \text{m}^2\) 减少至 \(0.014\ \text{m}^2\)。

线圈的电阻为 \(0.50\ \Omega\)。

求平均感应电流，包括其方向。

解答 3

平均感应电流为 \(0.60\ \text{A}\)，方向为逆时针。

关键是：虽然磁场强度增加，但磁通量并不只取决于 \(B\)。还必须把面积缩小这项变化计算在内。

最初，

\[ \Phi_i=B_iA_i =(0.40)(0.020) =8.0\times10^{-3}\ \text{Wb} \]

每匝。

最后，

\[ \Phi_f=B_fA_f =(0.55)(0.014) =7.7\times10^{-3}\ \text{Wb} \]

每匝。

因此，

\[ \Delta\Phi =7.7\times10^{-3}-8.0\times10^{-3} =-3.0\times10^{-4}\ \text{Wb} \]

尽管磁场强度增加，指向纸面外的磁通量实际上减少了。

平均感应电动势的大小为

\[ |\varepsilon| =N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} =100\left(\frac{3.0\times10^{-4}}{0.10}\right) =0.30\ \text{V} \]

所以

\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.30}{0.50} =0.60\ \text{A} \]

由于指向纸面外的磁通量正在减少，感应磁场会指向纸面外，以反抗这个减少。

因此，电流方向为逆时针。

一个很容易出现的预测是：「\(B\) 增加，所以感应磁场一定要反抗 \(B\)。」这忽略了面积同时也在改变。楞次定律回应的是 \(\Phi=BA\) 的净变化，而在这题中，面积减少的影响略大于磁场强度增加的影响。

问题 4

一根长度为 \(0.50\ \text{m}\) 的导电棒在水平导电轨道上无摩擦地向右滑动。轨道与导电棒构成一个闭合长方形电路，其中有一个 \(2.0\ \Omega\) 的电阻。其他所有电阻均可忽略。

一个大小为 \(0.80\ \text{T}\) 的均匀磁场指向纸面内。一个恒定的 \(0.40\ \text{N}\) 外力把导电棒向右拉。

当导电棒移动时，电路所包围的面积增加。

a. 解释感应电流的方向，以及作用在导电棒上的磁力方向。

b. 计算导电棒的终端速度。

c. 计算终端速度下的电流和热能产生率。

d. 把电阻换成 \(4.0\ \Omega\)，并继续使用相同的恒定拉力。求新的终端速度和电流。解释为甚么在这种情况下，增加电阻不会减少终端电流。

解答 4

感应电流为逆时针，导电棒所受磁力向左；原本的终端速度为 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)。把电阻加倍后，终端速度增加至 \(10\ \text{m s}^{-1}\)，但终端电流仍然是 \(1.0\ \text{A}\)。

当导电棒向右移动时，电路包围的面积增加。外加磁场指向纸面内，因此指向纸面内的磁通量增加。

楞次定律要求感应磁场指向纸面外。因此，电流为逆时针。

在右侧正在移动的导电棒上，逆时针电流向上流动。作用在这根载流导电棒上的磁力向左，反抗令磁通量增加的运动。

对于以速度 \(v\) 垂直于磁场移动的导电棒，

\[ \varepsilon=Blv \]

所以电流为

\[ I=\frac{Blv}{R} \]

作用在导电棒上的磁力大小为

\[ F_B=BIl \]

代入电流，

\[ F_B =B\left(\frac{Blv}{R}\right)l =\frac{B^2l^2v}{R} \]

在终端速度下，加速度为零，因此磁力与外加拉力平衡：

\[ F_{\text{pull}}=F_B \]

因此，

\[ 0.40 =\frac{(0.80)^2(0.50)^2v}{2.0} \]

所以

\[ v =\frac{(0.40)(2.0)}{(0.80)^2(0.50)^2} =5.0\ \text{m s}^{-1} \]

在这个速度下，

\[ I =\frac{Blv}{R} =\frac{(0.80)(0.50)(5.0)}{2.0} =1.0\ \text{A} \]

热能产生率为

\[ P=I^2R =(1.0)^2(2.0) =2.0\ \text{W} \]

这与输入的机械功率相符：

\[ P=Fv=(0.40)(5.0)=2.0\ \text{W} \]

现在把电阻换成 \(R=4.0\ \Omega\)。

在终端速度下，

\[ v =\frac{F_{\text{pull}}R}{B^2l^2} =\frac{(0.40)(4.0)}{(0.80)^2(0.50)^2} =10\ \text{m s}^{-1} \]

新的电流为

\[ I =\frac{Blv}{R} =\frac{(0.80)(0.50)(10)}{4.0} =1.0\ \text{A} \]

所以终端电流仍然是 \(1.0\ \text{A}\)。

一个很容易想到的论点是：把电阻加倍一定会令电流减半。如果感应电动势保持不变，这确实正确。但感应电动势并不保持不变。

较大的电阻最初会令电流较小，因此磁煞车力也较小。恒定外力随后会令导电棒加速到更高速度。更高的速度又会产生更大的感应电动势。只有当电流再次大到足以使磁力平衡固定的 \(0.40\ \text{N}\) 拉力时，才会达到终端运动状态。

事实上，在终端速度下，

\[ F_{\text{pull}}=BIl \]

所以

\[ I=\frac{F_{\text{pull}}}{Bl} \]

当中完全没有电阻。

电阻控制的是产生这个电流所需要的终端速度。

这是楞次定律与能量守恒共同作用的结果，而不是两个彼此分离的物理概念。

问题 5

一个 50 匝、电阻为 \(0.50\ \Omega\) 的导电线圈，与一个电磁铁共轴，并位于电磁铁右方。电磁铁穿过线圈的磁场指向右方，而且越接近电磁铁的位置，磁场越强。

线圈已经在向右移动，亦即远离电磁铁。

在某一瞬间，有两个过程正在改变穿过每一匝线圈的外加磁通量：

• 由于线圈正在远离，向右的磁通量正以 \(6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\) 的速率减少；
• 由于外部电源正在增加电磁铁中的电流，向右的磁通量正以 \(9.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\) 的速率增加。

把向右的磁通量定义为正。

a. 求每匝外加磁通量的净变化率。

b. 计算感应电动势与电流的大小。

c. 一名观察者站在线圈右侧，望回电磁铁。判断他看到的感应电流是顺时针还是逆时针。

d. 判断此刻线圈所受磁力是朝向电磁铁还是远离电磁铁。由此判断磁力是反抗还是协助线圈目前的运动。

e. 电磁铁造成的磁通量增加率要是多少，才会令感应电流瞬间为零？解释如果电源造成的磁通量增加率稍微低于这个值，电流和磁力会发生甚么变化。

假设感应电流足够小，因此题目给出的外加磁通量变化率可视为固定不变。

解答 5

向右的净磁通量正以 \(3.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\) 的速率增加，产生 \(0.015\ \text{V}\) 的感应电动势，以及从右侧观察为顺时针、大小 \(0.030\ \text{A}\) 的电流。此刻，感应磁相互作用会把线圈推离电磁铁，因此磁力会协助线圈目前的运动，而不是反抗它。这并不违反楞次定律或能量守恒。

先把造成磁通量变化的两个原因合并。

把向右磁通量的增加定义为正。线圈运动造成的贡献为

\[ -6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1} \]

而电磁铁电流增加造成的贡献为

\[ +9.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1} \]

因此，

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 9.0\times10^{-4} - 6.0\times10^{-4} = 3.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1} \]

外加磁通量的净结果是向右增加。

感应电动势的大小为

\[ |\varepsilon| =N\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| =50(3.0\times10^{-4}) =1.5\times10^{-2}\ \text{V} \]

所以

\[ |\varepsilon|=0.015\ \text{V} \]

电流为

\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{0.015}{0.50} =0.030\ \text{A} \]

现在判断方向。

向右的外加磁通量正在增加，因此线圈必须产生一个向左的磁场。

观察者站在线圈右侧，向左望。如果磁场向右，它便会指向观察者，相当于从他的视角看是指向纸面外。因此，所需的向左感应磁场会指离观察者，相当于指向纸面内。

这需要顺时针电流。

现在考虑力。

电磁铁的磁场指向右方。线圈的感应磁场指向左方，所以线圈的磁矩与电磁铁的磁场方向相反。由于越接近电磁铁，外加磁场越强，这个方向相反的磁矩会被推向较弱磁场的区域，也就是远离电磁铁。

线圈本身已经正在远离，因此磁力与它的速度方向相同。

这看起来可能与常见说法「楞次定律反抗运动」矛盾，但其实并不矛盾。

线圈并不只是在回应自身的运动。它的运动正在尝试减少磁通量，但由外部电源驱动的电磁铁令磁通量以更快的速率增加。净结果是向右的磁通量正在增加。

感应电流正是按照楞次定律的要求，反抗这个净增加。

额外的机械能和热能可以来自驱动电磁铁的外部电源。并没有凭空产生能量。

要令电流瞬间变成零，两个磁通量变化的贡献必须互相抵消：

\[ \left(\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right)_{\text{source}} = 6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1} \]

在这个确切速率下，

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0 \]

所以

\[ \varepsilon=0 \]

因此没有感应电流。

如果电源造成的磁通量增加率稍微低于 \(6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\)，由运动造成的磁通量减少便会成为较大的效应。向右的净磁通量此时会减少。

感应磁场会反向，改为指向右方，因此从右侧观察时，电流会变成逆时针。线圈的磁矩此时与外加磁场方向一致，因此线圈会被吸向电磁铁附近较强的磁场区域。

这个力指向左方，反抗线圈向外远离的运动。

这题最难掌握的关键在于，楞次定律并不问：「物体正在向哪个方向移动？」它问的是：「总磁通量正在发生甚么变化？」

10楞次定律让你接下来能理解甚么

一旦你能够把外加磁通量变化、感应磁场和感应电流分开处理，几个 HSC 电磁学概念便会容易得多。

法拉第定律告诉你磁通量变化会产生多大的感应电动势。楞次定律告诉你它的方向或取向。电动机效应再告诉你，这股感应电流在磁场中可能受到甚么力。

把这些概念结合起来，你便可以分析磁煞车、发电机、运动导体、反电动势和能量转移，而不必依赖死记顺时针或逆时针的模式。

要保留的习惯很简单：在使用右手定则之前，先准确判断磁通量到底正在发生甚么变化。