麦克斯韦对光速的预测：HSC 物理

想像一下，你从未测量过光速。你只知道电荷彼此之间的电力有多强，以及电流产生磁场的能力有多强。这些测量结果能告诉你光传播得有多快吗？

麦克斯韦方程组说可以。方程中包含两个电磁常数，\(\varepsilon_0\) 和 \(\mu_0\)，而当这两个常数结合起来时，就会得到一个速度：

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

在计算之前，先作一个预测。如果这个速度刚好与实际测得的光速相同，你会把它视为纯粹的巧合吗？

麦克斯韦不这样认为。这个吻合正是线索，指出光本身就是一种电磁波。

01隐藏在电与磁之中的速度

初次接触这两个常数时，它们看起来相当普通。

你可以在库仑定律中看到 \(\varepsilon_0\)：

\[ F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} \]

在这里，\(F\) 是以牛顿为单位的电力，\(q_1\) 和 \(q_2\) 是以库仑为单位的电荷量，而 \(r\) 是它们之间以米为单位的距离。

你也可以在长直载流导线周围的磁场公式中看到 \(\mu_0\)：

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

在这里，\(B\) 是以特斯拉为单位的磁场强度，\(I\) 是以安培为单位的电流，而 \(r\) 是距离导线的米数。

乍看之下，这些方程似乎描述的都是静态情况：电荷停留在原处，或稳定电流流经导线。当中没有任何东西明显让人想到「光」。

但当场随时间变化时，情况就不同了。

02麦克斯韦如何让场形成波

法拉第定律把变化中的磁场与电场连系起来。安培－麦克斯韦定律则把变化中的电场与磁场连系起来。

因此，想像电场中出现一个扰动。这些方程不容许这个扰动只保持为纯粹的电场现象。电与磁的行为彼此耦合，使这个扰动可以在空间中传播。

一个有用的类比，是绷紧弦线上的波。弦波的速度并不是由摇动弦线的人任意决定的，而是取决于系统本身的性质，例如张力和单位长度的质量。

电磁波也有同样的基本概念：它的传播速度由控制方程中本来就存在的物理量所决定。

但类比到这里就应停止。真空并不真的是某种物质弦线，而 \(\varepsilon_0\) 和 \(\mu_0\) 也不是光需要某种隐藏介质才能传播的证据。

当麦克斯韦方程组在真空中结合起来时，会得到一个波动方程。以电场的一个分量为例，其形式为

\[ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \]

在这里，\(E\) 是电场分量，\(x\) 是位置，而 \(t\) 是时间。

你不需要被导数符号分散注意力，也能看出关键的一步。一般的一维波动方程具有以下形式：

\[ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \]

其中 \(y\) 是正在波动的物理量，而 \(v\) 是波速。

比较两者的系数：

\[ \frac{1}{v^2}=\mu_0\varepsilon_0 \]

因此，

\[ v^2=\frac{1}{\mu_0\varepsilon_0} \]

所以

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

这就是麦克斯韦的预测。

留意这里发生了甚么。我们并没有在任何地方代入实际测得的光速。这个速度是直接从电与磁的方程中得出的。

03为甚么这个数值上的吻合如此重要

在十九世纪，人们已经透过光学测量估算出光速。麦克斯韦则从完全不同的方向切入这个问题：电与磁。

他的理论预测了电磁波，而且其速度接近以独立方法测得的光速。

这比单纯发现两种东西都移动得很快有力得多。这些方程在计算中根本不需要先代入「光」，就预测出了一个特定的速度。因此，麦克斯韦主张光就是一种电磁扰动。

这个速度结果，是 麦克斯韦对电磁波的预测 中更完整论证的一部分。

不过，在推理上仍然值得保持谨慎。速度吻合是支持这种判定的有力证据，但单凭数值吻合本身并不是某种神奇的证明。完整理论还对电磁波的电场与磁场结构、传播方式和行为作出了其他预测。

04如果常数改变，会发生甚么？

由

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

可以看出，波速取决于乘积 \(\mu\varepsilon\)。

由此可以得到一个实用的判断规则：

• 如果 \(\mu\varepsilon\) 增加，\(v\) 便减小；
• 如果 \(\mu\varepsilon\) 减小，\(v\) 便增加；
• 如果 \(\mu\varepsilon\) 保持不变，\(v\) 也保持不变。

平方根很重要。把乘积加倍并不会令速度减半，而是令速度变为原来的 \(1/\sqrt{2}\)。

若要与真空作比较，通常把两个速度方程相除会更简洁：

\[ \frac{v}{c} = \sqrt{ \frac{\mu_0\varepsilon_0}{\mu\varepsilon} } \]

在这里，\(c\) 是真空中的电磁波速度。

05这些常数并不是电磁「阻力」

一个常见的直觉图像是：较大的介电常数或磁导率会使空间变得某种程度上「更厚」，所以波必须更费力地穿过。

这种图像很快就会产生误导。

\(\varepsilon_0\) 和 \(\mu_0\) 都不是摩擦系数。真空中的电磁波不会仅仅因为这些常数不为零，就持续损失能量。这些常数决定了麦克斯韦方程组中电与磁的物理量之间的关系，而它们的乘积则决定波速。

还有另一个很诱人的过度简化说法：「电场产生磁场，然后磁场再产生另一个电场，两者就这样永远轮流下去。」

这个说法大概有十秒钟的用处。

更准确地说，电场和磁场在空间与时间上的变化，是透过麦克斯韦方程组彼此耦合的。在真空中传播的正弦电磁波里，电场和磁场是一起振荡，而不是像两个人互传愈来愈焦急的讯息那样，礼貌地轮流行动。

06先谈真空，再谈物质

在真空中，

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

对于简单、均匀且线性的材料，相应的模型是

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

其中 \(\mu\) 和 \(\varepsilon\) 描述材料的性质。

真实材料可能更复杂。它们的电磁响应可能取决于频率，而且也可能吸收能量。对于使用这个关系式的 HSC 类型计算题，除非题目另有说明，否则应假设所给的 \(\mu\) 和 \(\varepsilon\) 是适用的有效值。

一旦知道波速，一般的波动关系式仍然适用：

\[ v=f\lambda \]

其中 \(f\) 是以赫兹为单位的频率，而 \(\lambda\) 是以米为单位的波长。

当波从一种介质进入另一种介质时，它的频率由波源决定，并在边界两侧保持连续。如果速度改变，波长也会随之改变。

当你把麦克斯韦的结果与电磁波谱连系起来时，这项区别就会变得很重要。

07一个现代细节：今日的 SI 改变了甚么才算是独立检验

麦克斯韦当年的历史性计算，与今天把现代标准表列常数代入计算机之间，存在一个细微但重要的差别。

在现代 SI 中，真空中的光速被指定为精确值

\[ c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

而且自 1983 年起一直用于「米」的定义。自 2019 年 SI 修订后，\(\mu_0\) 已不再被指定为旧有的精确数值。不过，在 SI 中，这些电磁常数仍然严格满足以下关系：

\[ \mu_0\varepsilon_0=\frac{1}{c^2} \]

BIPM

因此，如果你取用现代、彼此自洽的 SI 表列 \(\mu_0\) 和 \(\varepsilon_0\) 数值，把它们代入麦克斯韦公式并重新得到 \(c\)，你所验证的是这些数值彼此一致。你并没有重现麦克斯韦当年把电磁测量与光学测量作独立比较的同一种检验。

这与为甚么光速现在被用来定义米密切相关。

08问题与解答

问题 1

在某个假想区域中，磁导率与介电常数的乘积为

\[ \mu\varepsilon=1.60\times10^{-17}\ \mathrm{s^2\,m^{-2}} \]

计算：

a. 该区域中的电磁波速度；

b. 波传播 \(750\ \mathrm{m}\) 所需的时间。

解答 1

波速为 \(2.50\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，而传播 \(750\ \mathrm{m}\) 需要 \(3.00\times10^{-6}\ \mathrm{s}\)。

对于 a 部分，麦克斯韦的波速关系式为

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

代入：

\[ v = \frac{1}{ \sqrt{1.60\times10^{-17}} } \]

由于

\[ \sqrt{1.60\times10^{-17}} = 4.00\times10^{-9}\ \mathrm{s\,m^{-1}} \]

因此得到

\[ v = \frac{1}{4.00\times10^{-9}} = 2.50\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

对于 b 部分，

\[ t=\frac{d}{v} \]

所以

\[ t = \frac{750} {2.50\times10^8} = 3.00\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

最主要的陷阱是忘记开平方，直接计算 \(1/(\mu\varepsilon)\)。那个结果甚至不会具有速度的单位。

问题 2

一个电磁波在某个假想的类真空区域中以 \(2.80\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 传播。该区域的磁导率为 \(1.20\times10^{-6}\ \mathrm{H\,m^{-1}}\)。

a. 计算它的介电常数。

b. 把你的结果与 \(\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\) 比较。

c. 解释为甚么只知道波的速度比真空中的光速慢，并不能告诉你究竟是磁导率、介电常数，还是两者都发生了变化。

解答 2

介电常数为 \(1.06\times10^{-11}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)，比 \(\varepsilon_0\) 大约高 \(20\%\)；单凭波速无法判断哪一个个别常数发生了变化，因为波速只限制它们的乘积。

从

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

开始，两边平方：

\[ v^2=\frac{1}{\mu\varepsilon} \]

整理求 \(\varepsilon\)：

\[ \varepsilon=\frac{1}{\mu v^2} \]

代入数值：

\[ \begin{aligned} \varepsilon &= \frac{1}{ (1.20\times10^{-6}) (2.80\times10^8)^2 }\\ &= \frac{1}{ (1.20\times10^{-6})(7.84\times10^{16}) }\\ &= 1.06\times10^{-11}\ \mathrm{F\,m^{-1}} \end{aligned} \]

与 \(\varepsilon_0\) 比较：

\[ \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = \frac{1.06\times10^{-11}} {8.85\times10^{-12}} \approx1.20 \]

因此，介电常数约大 \(20\%\)。

对于 c 部分，控制条件为

\[ \mu\varepsilon=\frac{1}{v^2} \]

因此，测量 \(v\) 所决定的是乘积 \(\mu\varepsilon\)，而不是分别决定 \(\mu\) 和 \(\varepsilon\)。许多不同的 \(\mu\) 与 \(\varepsilon\) 组合都可能产生相同的波速。

一个很诱人的做法，是把较慢的速度归因于题目所给的磁导率。但如果没有至少对其中一个常数进行独立测量，单凭速度无法把两者的影响分开。

问题 3

一个频率为 \(2.00\times10^8\ \mathrm{Hz}\) 的单色电磁波，在某均匀材料中传播，波长为 \(1.20\ \mathrm{m}\)。假设 \(\mu=\mu_0\)，并取 \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

a. 计算波在材料中的速度。

b. 求 \(\varepsilon/\varepsilon_0\)。

c. 接著，波离开材料并进入真空。写出它在真空中的频率和波长，并解释哪一个物理量会在边界处改变。

解答 3

波的速度为 \(2.40\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，材料具有 \(\varepsilon=1.56\varepsilon_0\)；进入真空后，频率保持为 \(2.00\times10^8\ \mathrm{Hz}\)，而波长增加至 \(1.50\ \mathrm{m}\)。

对于 a 部分，使用

\[ v=f\lambda \]

所以

\[ v = (2.00\times10^8)(1.20) = 2.40\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

对于 b 部分，

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon}} \]

而在真空中，

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

把两个方程相除：

\[ \frac{c}{v} = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}} \]

因为 \(\mu=\mu_0\)。

平方后得到

\[ \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = \left(\frac{c}{v}\right)^2 \]

因此，

\[ \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = \left( \frac{3.00\times10^8} {2.40\times10^8} \right)^2 = (1.25)^2 = 1.5625 \]

所以

\[ \varepsilon\approx1.56\varepsilon_0 \]

对于 c 部分，频率保持为

\[ f=2.00\times10^8\ \mathrm{Hz} \]

因为振荡速率由波源决定。当波重新进入真空后，其速度变为 \(c\)，所以

\[ \lambda_0=\frac{c}{f} \]

而

\[ \lambda_0 = \frac{3.00\times10^8} {2.00\times10^8} = 1.50\ \mathrm{m} \]

一个很诱人的预测是：较慢的波一定会以较慢的频率振荡。实际上，在一般的静止边界上，频率保持不变，而波长会调整以配合新的波速。

问题 4

某个假想的均匀区域 \(X\) 遵循一般的电磁方程。

实验发现两项事实：

• 两个固定电荷在相同距离下所受的力，只有它们在真空中所受力的 \(\frac{2}{3}\)；
• 区域 \(X\) 中的电磁波恰好以真空中的速度 \(c\) 传播。

求：

a. \(\varepsilon_X/\varepsilon_0\)；

b. \(\mu_X/\mu_0\)；

c. 对同一条长直导线，在相同距离、承载相同电流时，磁场比值 \(B_X/B_0\)。

一名学生认为，由于波速没有改变，所以两个电磁常数都必须等于它们的真空值。请准确解释这个推理错在哪里。

解答 4

所需比值为 \(\varepsilon_X/\varepsilon_0=3/2\)、\(\mu_X/\mu_0=2/3\)，以及 \(B_X/B_0=2/3\)；波速不变所固定的是乘积 \(\mu\varepsilon\)，而不是分别固定两个常数。

首先使用库仑定律。对固定的电荷量和间距而言，

\[ F\propto\frac{1}{\varepsilon} \]

因此，

\[ \frac{F_X}{F_0} = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_X} \]

题目给出

\[ \frac{F_X}{F_0}=\frac{2}{3} \]

所以

\[ \frac{2}{3} = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_X} \]

因此

\[ \varepsilon_X=\frac{3}{2}\varepsilon_0 \]

对于 b 部分，波速不变：

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_X\varepsilon_X}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

因此，

\[ \mu_X\varepsilon_X = \mu_0\varepsilon_0 \]

代入 \(\varepsilon_X=\frac{3}{2}\varepsilon_0\)：

\[ \mu_X \left(\frac{3}{2}\varepsilon_0\right) = \mu_0\varepsilon_0 \]

所以

\[ \mu_X=\frac{2}{3}\mu_0 \]

对于 c 部分，长直导线周围的磁场为

\[ B=\frac{\mu I}{2\pi r} \]

当 \(I\) 和 \(r\) 保持不变时，

\[ B\propto\mu \]

所以

\[ \frac{B_X}{B_0} = \frac{\mu_X}{\mu_0} = \frac{2}{3} \]

这名学生的错误相当细微。由

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

开始，条件 \(v_X=c\) 告诉我们

\[ \mu_X\varepsilon_X=\mu_0\varepsilon_0 \]

它并不要求

\[ \mu_X=\mu_0 \]

以及

\[ \varepsilon_X=\varepsilon_0 \]

分别成立。

在这里，其中一个常数增加为原来的 \(3/2\)，而另一个减少为原来的 \(2/3\)。它们的乘积没有改变，所以即使静电和静磁响应都与真空不同，波速仍然保持不变。

这就是为甚么单凭测量波速，无法重建两个电磁常数各自的数值。

问题 5

在 2026 年，一名学生查阅 SI 表列的 \(\mu_0\) 和 \(\varepsilon_0\) 数值，计算

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

并得到 \(299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

他们得出结论：

「我已经以与麦克斯韦当年完全相同的方法，独立验证了麦克斯韦在十九世纪作出的预测。」

评估这项结论。你的答案应区分：

• 麦克斯韦的物理预测；
• 当年与实测光速进行的历史性比较；以及
• \(c\)、\(\mu_0\) 和 \(\varepsilon_0\) 在现代 SI 中的地位。

解答 5

这名学生的计算与麦克斯韦的电磁关系式一致，但它并不是与麦克斯韦当年的历史性比较同类型的独立现代实验验证。

麦克斯韦的物理预测来自他的电磁方程本身的结构。这些方程意味著电场和磁场中的扰动可以以下列速度传播：

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

历史上真正非凡的一步，是接著把由电磁物理量得到的速度，与透过独立光学测量得到的速度作比较。两者高度吻合，支持了麦克斯韦把光判定为电磁波的观点。

现代计算的逻辑结构则不同。

在今天的 SI 中，真空中的光速被指定为精确数值

\[ c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

而电磁常数严格满足

\[ \varepsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2} \]

自 2019 年 SI 修订后，\(\mu_0\) 本身已不再被指定为旧有的精确值 \(4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H\,m^{-1}}\)，但 \(\varepsilon_0\)、\(\mu_0\) 和 \(c\) 并不是三个可以彼此完全独立自由取值的表列数字。BIPM

因此，

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{1/c^2}} = c \]

对一组彼此自洽的 SI 数值而言，这个结果必然成立。

一个很诱人的思路，是看到如此令人印象深刻的数值吻合，便假设有两项独立测量从不同方向得到了相同结果。但在现代这种计算中，缺少的正是这种独立性。这些常数在 SI 框架中早已彼此建立了关系。

这并不削弱麦克斯韦的历史成就，也不代表电磁理论不能接受实验检验。它只表示，使用现代 SI 表列常数所进行的这种特定代入计算，并不是一次全新的独立检验。

09这个结果接下来开启了甚么

麦克斯韦的重要突破，并不只是算出了一个非常大的数字，而是发现控制电场和磁场的方程本身就包含一个波速，而且这个速度与光速吻合。

一旦光被确认为电磁辐射，熟悉的波动关系式

\[ c=f\lambda \]

便把每一种真空中的电磁波与其频率和波长连系起来。无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X 射线和伽马射线的 \(f\) 和 \(\lambda\) 差异极大，但麦克斯韦的理论把它们归入同一个电磁波家族。

这就是从麦克斯韦方程组通往电磁波谱的桥梁，再由此延伸到连续光谱、发射光谱与吸收光谱等概念。