利用都卜勒位移测量恒星运动：HSC Physics

一条氢吸收线在实验室中的波长为 \(656.3\) nm，但在恒星的光谱中却出现在稍微不同的波长。这个位移可以告诉我们恒星正以多快的速度朝向或远离我们。不过，假设同一条谱线也明显比实验室中的谱线更宽。这只是测量比较不精确，还是恒星其实正在告诉我们其他资讯？

先预测一下：如果整颗恒星直接远离地球，它的光谱线在波长图上主要应该是向旁边移动，还是变得更宽？

它主要会向旁边移动。不过，如果恒星正在自转，其表面的不同部分会同时朝向和远离我们。它们各自稍有不同的都卜勒位移叠加在一起，就会形成一条展宽的谱线。

因此，同一份光谱能提供两种不同的线索：谱线位移可以揭示径向速度，而谱线展宽则可以揭示投影自转速度。

01两种运动会留下不同的特征

把一颗无法在空间上分辨出表面细节的恒星想像成一个微小而旋转的圆盘。

如果整颗恒星正在远离地球，每一个可见部分都共同具有这个整体运动。它的光谱线会移向较长的波长。如果恒星朝向我们移动，光谱线则会移向较短的波长。

自转则不同。旋转恒星的一侧有部分速度朝向我们，而另一侧则有部分速度远离我们。

接近我们的一侧会产生少量蓝移。远离我们的一侧会产生少量红移。介于这两个极端之间的区域具有介于两者之间的视线方向速度，因此也会产生介于两者之间的位移。

对遥远恒星而言，望远镜通常无法把所有这些表面区域分别辨认出来。它会把它们的光一起收集起来。因此，结果不是一组整齐分开的谱线，而是一条展宽的光谱线。

因此，一个实用的初步模型是：

「初步」这个词很重要。谱线展宽并不只由自转造成。温度、气体运动、压力效应以及测量仪器也都可能使光谱线变宽。只有在已经辨认出自转展宽，或已经把其他展宽因素计算在内之后，我们才能推断自转。

如果你需要复习吸收线和发射线是如何形成的，可以阅读 连续光谱、发射光谱与吸收光谱：HSC Physics。

02径向速度来自谱线的位置

假设某种元素在实验室中产生波长为 \(\lambda_0\) 的谱线。我们在恒星的光谱中观察到同一条谱线的波长为 \(\lambda_{\text{obs}}\)。

波长变化为

\[
\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}}-\lambda_0
\]

其中：

• \(\lambda_0\) 是静止实验室光源所测得的波长，
• \(\lambda_{\text{obs}}\) 是从恒星观察到的波长，而
• \(\Delta\lambda\) 是都卜勒位移。

对于远低于光速的速度，适合 HSC 使用的都卜勒关系式为

\[
\frac{v_r}{c}\approx\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

所以

\[
v_r\approx c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

这里，\(v_r\) 是恒星的径向速度，而 \(c=3.00\times10^8\) m/s 是光速。

我们采用以下正负号惯例：

• \(v_r>0\)：远离我们，因此谱线红移；
• \(v_r<0\)：朝向我们，因此谱线蓝移。

为甚么称为「径向」速度，而不只是「速度」？

因为光谱学只能测量沿我们视线方向的运动分量。一颗恒星也可能在天空中横向移动。这个横向分量不会产生这种简单的都卜勒位移。

03自转改变的是宽度，而不只是中心位置

现在想像同一颗恒星正在自转。

令它的赤道自转速度为 \(v_{\text{eq}}\)。除非我们正好沿著它的自转轴观察，否则其中一侧边缘会有朝向我们的自转速度分量，而相反的一侧则会有远离我们的速度分量。

那么，为甚么一侧的蓝移不会刚好与另一侧的红移互相抵消？

因为望远镜相加的是光强度，而不是波长位移。恒星的一个部分会在稍短的波长产生吸收，另一个部分则会在稍长的波长产生吸收，而其他区域会在两者之间的波长产生吸收。这些贡献彼此重叠，形成一个更宽的吸收特征。

这有点像十个人试图唱出同一个音，其中一些人站在朝你移动的电动步道上，另一些人则正在远离你。原本的音并没有改变，但你接收到的是一系列经过都卜勒位移的版本。这个类比并不完全精确，因为恒星谱线的轮廓取决于恒星表面不同区域的亮度和速度，也会受到其他展宽机制影响。

倾角问题

这里有一个重要的复杂因素。

假设一颗恒星自转得非常快，但它的自转轴几乎直接指向地球。从我们的角度看，大部分表面运动便是横向的。沿视线方向的速度分量很小，因此自转展宽也可能很小。

定义 \(i\) 为自转轴与我们视线方向之间的夹角。

• \(i=0^\circ\)：我们几乎从恒星的极区方向观察它。
• \(i=90^\circ\)：我们从恒星的赤道方向观察它。

因此，光谱展宽通常给出的是

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\]

而不是 \(v_{\text{eq}}\) 本身。

这个量称为投影自转速度。

因此，一条狭窄的谱线并不能证明恒星自转缓慢。它可能自转得很快，只是我们几乎从极区方向观察它。

04把位移和展宽分开

对一条理想化的展宽谱线，假设其因自转展宽而形成的蓝端和红端分别是 \(\lambda_{\text{blue}}\) 和 \(\lambda_{\text{red}}\)。

其中心约为

\[
\lambda_c=\frac{\lambda_{\text{red}}+\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

这个中心相对实验室波长的位移告诉我们径向速度：

\[
v_r\approx c\frac{\lambda_c-\lambda_0}{\lambda_0}
\]

自转半宽为

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

而在同样的低速近似下，

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\Delta\lambda_{\text{rot}}}{\lambda_0}
\]

或

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2\lambda_0}
\]

这些方程式是表示自转展宽的一种理想化方式。真实的光谱线通常没有完全清晰锐利的「边缘」，因此天文学家会分析整条谱线轮廓的形状，并把其他展宽机制计算在内。

对 HSC 的推理而言，核心区别更简单：

• 利用谱线中心研究整体径向运动；
• 利用中心两侧的展开范围研究自转。

05最容易犯的错误

错误 1：「谱线红移表示整颗恒星看起来都变红了」

不一定。

涉及的波长变化相对于可见光谱的整体宽度可能非常微小。我们通常是透过精确测量已知光谱线来辨认都卜勒运动，而不是判断恒星肉眼看起来是否更红或更蓝。

这要求你首先知道自己正在观察哪一条谱线。利用光谱线辨认元素：HSC Physics 解释了谱线图样如何像元素的指纹一样用来辨认元素。

错误 2：「谱线越宽就一定代表自转越快」

不对。

自转可以使光谱线展宽，但热运动以及其他物理或仪器效应也能造成展宽。若要由展宽判断自转速度，就必须先分离或合理确定其中由自转造成的部分。

错误 3：「谱线最红的一端给出恒星的径向速度」

这尤其容易令人误判。

对一颗旋转的恒星而言，最红的一端同时包含整颗恒星的径向运动，以及旋转边缘额外远离我们的运动。最蓝的一端则包含整体径向运动，以及接近侧边缘的自转贡献。

中心位置可以分离出整体运动。半宽则可以分离出方向相反的自转运动。

错误 4：「每一条发生都卜勒位移的谱线都会移动相同数目的奈米」

重要的是相对位移，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

而不是只有 \(\Delta\lambda\)。

如果同一颗移动中的恒星有一条 \(400\) nm 的谱线和另一条 \(600\) nm 的谱线，那么在相同径向速度下，\(600\) nm 的谱线以奈米计的波长位移应该更大。

错误 5：「光谱学给出完整的自转速度」

通常它给出的是 \(v_{\text{eq}}\sin i\)。

这个隐藏的 \(\sin i\) 是这项测量最重要的限制之一。

06一个简洁的解题方法

遇到恒星光谱题时，按以下顺序处理。

1. 找出实验室波长 \(\lambda_0\)。
2. 找出观察到的谱线中心。
3. 将中心与 \(\lambda_0\) 比较，以求出径向速度。
4. 如果题目提供自转展宽资讯，求谱线的半宽。
5. 将该半宽换算成 \(v_{\text{eq}}\sin i\)。
6. 只有在已知倾角 \(i\)，或已知等效资讯时，才计算 \(v_{\text{eq}}\) 本身。
7. 检查题目是否有充分理由把谱线宽度视为自转展宽。

顺序很重要。如果一开始就把红端当成径向都卜勒位移，自转就会干扰你的结果。

07问题与解答

问题 1

一条光谱线的实验室波长为 \(486.1\) nm。在一颗恒星的光谱中，该谱线中心测得为 \(486.3\) nm。

计算恒星的径向速度，并说明它是朝向还是远离地球。

解答 1

恒星正以约 \(123\) km/s 远离地球。

观察到的波长大于实验室波长，因此该谱线发生红移。

先求位移：

\[
\Delta\lambda=486.3-486.1=0.2\text{ nm}
\]

然后使用

\[
v_r=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

代入数值：

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.2}{486.1}\\
&=1.23\times10^5\text{ m/s}\\
&=123\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

正位移表示恒星正在远离。

一个容易犯的错误是把 \(123\) km/s 描述为恒星的总速度。它只是相对于观察者的径向速度分量。

问题 2

一条实验室波长为 \(656.3\) nm 的谱线因恒星自转而展宽。它的自转轮廓从 \(656.12\) nm 延伸到 \(656.56\) nm。

假设其他展宽效应都已经计算在内。

计算：

a. 恒星的径向速度，

b. 投影自转速度 \(v_{\text{eq}}\sin i\)，以及

c. 解释为甚么直接把 \(656.56\) nm 当成恒星经都卜勒位移后的波长，会得到错误的径向速度。

解答 2

恒星正以约 \(18.3\) km/s 远离我们，而其投影自转速度约为 \(101\) km/s。不能直接利用红端求径向速度，因为红端同时包含整体远离运动和远离侧边缘的自转运动。

对 a 部分，先求谱线中心：

\[
\lambda_c=\frac{656.12+656.56}{2}=656.34\text{ nm}
\]

中心位移了

\[
\Delta\lambda=656.34-656.30=0.04\text{ nm}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.04}{656.3}\\
&=1.83\times10^4\text{ m/s}\\
&=18.3\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

对 b 部分，自转半宽为

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{656.56-656.12}{2}
=0.22\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.22}{656.3}\\
&=1.01\times10^5\text{ m/s}\\
&=101\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

对 c 部分，\(656.56\) nm 来自因自转而展宽的轮廓最红的一端。产生这部分光谱的恒星区域除了具有整颗恒星的整体径向速度外，也因自转而正在远离我们。

一个很容易想到但错误的方法是计算

\[
c\frac{656.56-656.30}{656.30}
\]

然后把结果称为径向速度。这样做会把两种不同的运动混在一起。代表整体径向位移的是谱线的中点，而不是最红的一端。

问题 3

同一颗恒星的两条已辨认光谱线具有以下实验室波长和观察到的中心波长：

移除其他展宽来源后，谱线 A 的自转全宽为 \(0.24\) nm，而谱线 B 的自转全宽为 \(0.36\) nm。

判断这两条谱线是否与同一个径向速度及同一个投影自转速度一致。计算这两个速度。

解答 3

是。两条谱线都与朝向地球的 \(60.0\) km/s 径向速度，以及 \(90.0\) km/s 的投影自转速度一致。

对谱线 A，其中心位移为

\[
\Delta\lambda_A=399.92-400.00=-0.08\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{r,A}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.08}{400.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

对谱线 B，

\[
\Delta\lambda_B=599.88-600.00=-0.12\text{ nm}
\]

而

\[
\begin{aligned}
v_{r,B}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.12}{600.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

两者以奈米表示的位移不同，但相对位移相同。

现在考虑自转。

谱线 A 的半宽为

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},A}=\frac{0.24}{2}=0.12\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.12}{400.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

谱线 B 的半宽为

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},B}=\frac{0.36}{2}=0.18\text{ nm}
\]

因此

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.18}{600.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

同样地，以奈米表示的宽度不同，但相对宽度相等。

一个很容易得出的错误结论是，因为 \(0.08\neq0.12\) 且 \(0.24\neq0.36\)，所以两条谱线的结果不一致。这是在比较绝对波长变化。都卜勒运动与相对波长变化有关，因此两组测量描述的是相同的运动。

问题 4

一颗恒星的半径为 \(6.0\times10^8\) m，每 \(10.0\) 小时完成一次自转。

一条实验室波长为 \(550.00\) nm 的吸收线，其自转边界位于 \(550.055\) nm 和 \(550.165\) nm。假设所有非自转造成的展宽都已被移除。

求：

a. 恒星的径向速度，

b. 它的投影自转速度，

c. 利用半径和周期求它的赤道自转速度，以及

d. 它的自转轴相对我们视线方向的大约倾角 \(i\)。

解释为甚么只根据光谱线宽度把这颗恒星描述为「自转缓慢」会造成误导。

解答 4

恒星正以 \(60.0\) km/s 远离我们，投影自转速度为 \(30.0\) km/s，但其赤道实际自转速度约为 \(105\) km/s。它的自转轴与我们视线方向的夹角只有约 \(17^\circ\)。

对 a 部分，谱线中心为

\[
\lambda_c=\frac{550.055+550.165}{2}=550.110\text{ nm}
\]

所以

\[
\Delta\lambda=550.110-550.000=0.110\text{ nm}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.110}{550.00}\\
&=6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

对 b 部分，自转半宽为

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{550.165-550.055}{2}
=0.055\text{ nm}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.055}{550.00}\\
&=3.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=30.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

对 c 部分，赤道上的一点每次自转都会走过一个圆周：

\[
v_{\text{eq}}=\frac{2\pi R}{T}
\]

周期为

\[
T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi(6.0\times10^8)}{3.60\times10^4}\\
&=1.05\times10^5\text{ m/s}\\
&=105\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

对 d 部分，

\[
v_{\text{eq}}\sin i=30.0\text{ km/s}
\]

所以

\[
\sin i=\frac{30.0}{105}=0.286
\]

因此

\[
i\approx17^\circ
\]

一个容易产生的错误解读是，较小的谱线宽度证明真正的自转速度也较小。独立得到的半径和周期资讯显示事实并非如此。这颗恒星正以约 \(105\) km/s 自转，但我们观察它的方向相当接近其极区，因此赤道速度沿我们视线方向显现出来的只有约 \(30\) km/s。

这正是为甚么单靠光谱学通常得到的是 \(v_{\text{eq}}\sin i\)，而不是 \(v_{\text{eq}}\)。

问题 5

一颗旋转中的恒星产生两条光谱线。其他展宽来源都已被移除。

对一条实验室波长为 \(500.00\) nm 的谱线，自转轮廓从 \(500.00\) nm 延伸至 \(500.40\) nm。

对另一条实验室波长为 \(650.00\) nm 的谱线，其轮廓从 \(650.00\) nm 延伸至 \(650.52\) nm。

一名学生提出：

两条谱线都没有延伸到比其实验室波长更短的位置，所以恒星没有任何可见部分正在朝向我们移动。因此，这种展宽不可能由自转造成。

这颗恒星的半径为 \(7.0\times10^8\) m，自转周期为 \(5.1\) 小时。

求恒星的径向速度、投影自转速度和大约倾角。然后准确解释学生的论点错在哪里。

解答 5

恒星正以约 \(120\) km/s 远离我们，其投影自转速度也约为 \(120\) km/s，而自转轴与我们视线方向的夹角约为 \(30^\circ\)。相对于恒星中心，接近侧的边缘确实正朝向我们运动，但它的自转蓝移几乎恰好抵消了恒星整体的红移。

先从 \(500.00\) nm 的谱线开始。

其观察到的中心为

\[
\lambda_c=\frac{500.00+500.40}{2}=500.20\text{ nm}
\]

因此中心位移了

\[
\Delta\lambda=0.20\text{ nm}
\]

所以径向速度为

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=1.20\times10^5\text{ m/s}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

自转半宽同样为

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{500.40-500.00}{2}
=0.20\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

\(650.00\) nm 的谱线确认了这个结果。

它的中心为

\[
\lambda_c=\frac{650.00+650.52}{2}=650.26\text{ nm}
\]

因此

\[
\frac{0.26}{650.00}=4.00\times10^{-4}
\]

所以

\[
v_r=120\text{ km/s}
\]

它的半宽为

\[
\frac{0.52}{2}=0.26\text{ nm}
\]

这给出相同的投影自转速度：

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

现在利用独立已知的半径和周期求真正的赤道速度。

先换算周期：

\[
T=5.1\times3600=1.836\times10^4\text{ s}
\]

然后

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi R}{T}\\
&=\frac{2\pi(7.0\times10^8)}{1.836\times10^4}\\
&\approx2.40\times10^5\text{ m/s}\\
&\approx240\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

由于

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

所以

\[
\sin i=\frac{120}{240}=0.500
\]

因此

\[
i\approx30^\circ
\]

现在来看这个表面上的矛盾。

在接近我们的一侧边缘，恒星整体的径向运动与它的自转运动方向相反。作一阶近似，其视线方向速度约为

\[
v_{\text{limb}}\approx v_r-v_{\text{eq}}\sin i
\]

在这里，

\[
v_{\text{limb}}\approx120-120=0\text{ km/s}
\]

因此，因自转而接近我们的那一侧，相对于恒星光谱的中心确实会产生蓝移。但是整颗恒星本身已经因以 \(120\) km/s 远离我们而发生红移。这两个效应在该边缘互相抵消，使它回到大约等于实验室波长的位置。

在另一侧边缘，两个效应则会相加：

\[
v_{\text{limb}}\approx120+120=240\text{ km/s，远离我们}
\]

因此产生明显红移的一端。

这名学生的错误在于，把「相对于实验室波长没有发生蓝移」等同于「没有因自转而朝向我们移动」。这是两种不同的比较。分析自转时，必须相对于恒星的整体径向运动来考虑。

这就是光谱线更深一层的用途：一个单一的谱线轮廓可以同时包含多种运动。只要学会把谱线中心与其宽度分开，就能从恒星表面的运动中分离出整颗恒星的运动。下一步，是把运动资讯与隐藏在同一份光谱中的其他资讯分开，包括温度；这部分可在 从光谱求恒星温度：HSC Physics 中进一步探讨。