HSC 物理中的抛体初速度分量

一个抛射体以 \(20.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率、相对水平线向上 \(30^\circ\) 发射。你知道它的速率和方向，但抛体运动方程需要更实用的资料：它一开始在水平方向移动得多快？在垂直方向又移动得多快？

在计算之前，先预测哪一个分量应该较大。由于发射方向比起垂直方向更接近水平方向，因此水平分量应该较大。如果之后的数学计算得出相反结果，这就是一个很有用的警示，表示某处可能出了问题。

01一个速度，从两个方向来看

抛射体实际上并不是同时具有一个水平速度和另一个垂直速度，两者彼此争著决定它要往哪里移动。它只有一个速度向量。

我们把这个向量分解成两个互相垂直的分量，是因为发射之后，水平运动和垂直运动的行为不同。

把速度箭头想像成直角三角形的斜边。它的水平分量是三角形的宽度，而垂直分量则是三角形的高度。

若初速为 \(u\)，并以相对水平线向上 \(\theta\) 的角度发射，

\[
u_x=u\cos\theta
\]

而

\[
u_y=u\sin\theta
\]

其中：

• \(u\) 是初速，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，
• \(u_x\) 是初始水平速度分量，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，
• \(u_y\) 是初始垂直速度分量，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，以及
• \(\theta\) 是从水平方向量起的发射角。

为甚么水平方向用余弦，而垂直方向用正弦？相对于角 \(\theta\)，\(u_x\) 是直角三角形的邻边，而 \(u_y\) 是对边。

最后这句话比死记「水平用 cos」更重要。如果角度是从另一个方向量起，正弦和余弦的关系也会改变。

02快速合理性检查

假设 \(u=20.0\ \text{m s}^{-1}\)，而 \(\theta=30^\circ\)。

则

\[
u_x=(20.0)\cos30^\circ=17.3\ \text{m s}^{-1}
\]

而

\[
u_y=(20.0)\sin30^\circ=10.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

这与我们的预测一致：水平分量较大。

注意，\(17.3+10.0\neq20.0\)。速度分量不能像普通数字那样直接相加，因为它们指向互相垂直的方向。

相反地，

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.
\]

检查一下，

\[
\sqrt{(17.3)^2+(10.0)^2}\approx20.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

这个毕氏定理检查，是最快发现分量计算错误的方法之一。

03角度决定哪个分量使用正弦

一个常见的快捷记法是：

水平 \(=\cos\)，垂直 \(=\sin\)

只有当题目所给的角度是从水平方向量起时，这个方法才适用。

假设速度向量改为与垂直方向形成角 \(\phi\)。现在垂直分量是该角的邻边，因此

\[
u_y=u\cos\phi,
\]

而水平分量是对边：

\[
u_x=u\sin\phi.
\]

因此，更可靠的规则是：

• 找出题目所给的角，
• 找出相对于该角的邻边，
• 邻边分量使用余弦，
• 对边分量使用正弦。

可以把正弦和余弦想成只在意三角形本身，而不是某个方向被命名为「水平」还是「垂直」。

04分量除了大小，也有正负号

到目前为止，两个分量都是正值。但情况不一定总是如此。

假设我们定义：

• 向右为正 \(x\) 方向，
• 向上为正 \(y\) 方向。

如果抛射体向右下方发射，则：

• \(u_x>0\)，
• \(u_y<0\)。

如果抛射体向左上方发射，则：

• \(u_x<0\)，
• \(u_y>0\)。

速率 \(u\) 本身是一个大小，因此不会是负数。速度分量则可以是负数，因为它们同时描述方向和大小。

05为甚么分解速度如此有用

这种分解之所以很有用，是因为在标准抛体运动模型下，两个分量随时间的变化方式不同。

在水平方向，忽略空气阻力时，

\[
a_x=0.
\]

因此水平速度保持不变：

\[
v_x=u_x.
\]

在垂直方向，

\[
a_y=-g,
\]

其中 \(g\approx9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

所以垂直速度会持续改变：

\[
v_y=u_y-gt.
\]

这就是为甚么分解初速度通常是抛体运动题目的第一个实质步骤。知道 \(u_x\) 和 \(u_y\) 之后，就可以分别使用水平和垂直方向的运动方程，同时让两个方向共用相同的时间 \(t\)。

这些结论取决于一般的抛体运动模型。尤其是，它们依赖一些假设，例如空气阻力可忽略，以及重力加速度近似保持不变。这些假设在 HSC 物理中的抛体运动假设详解 中有更详细的说明。

06最容易犯的错误：利用位移求发射角

假设一个抛射体之后到达某一点，该点在水平方向距离发射点 \(20\ \text{m}\)，并高出发射点 \(10\ \text{m}\)。

很容易让人直接写成

\[
\tan\theta=\frac{10}{20}
\]

然后得出发射角为 \(26.6^\circ\)。

一般来说，这样做并不正确。

从发射点指向抛射体之后位置的直线代表位移向量。初速度则沿著发射瞬间轨迹的切线方向。发射后，重力会使轨迹弯曲，因此位移方向和初速度方向通常并不相同。

可以把抛射体想像成一个人从家里出发时向东北方向走，但每一秒都受到一次向南的推力。从他家直接画一条直线连到他最后的位置，并不能告诉你他最初开始行走的方向。

这个比喻并不完全准确，因为重力是平滑地改变速度，而不是以一次又一次真正的推动来作用。真正重要的一点只是：之后的位置并不能直接告诉你初始方向。

07一套可靠的分量解题流程

对大多数 HSC 题目而言，以下简短流程就足够：

最后一列需要特别小心。计算机的反正切功能可能会给出一个角度，但它并不知道速度向量实际位于哪一个象限。一定要先画图确认 \(u_x\) 和 \(u_y\) 的正负号。

08问题与解答

问题 1

一个球以 \(25.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率、相对水平线向上 \(53.0^\circ\) 踢出。

求其初始水平和垂直速度分量。

解答 1

初始分量约为水平方向 \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\)，向上的垂直方向 \(u_y=20.0\ \text{m s}^{-1}\)。

由于角度是从水平方向量起，

\[
u_x=u\cos\theta,
\qquad
u_y=u\sin\theta.
\]

代入数值，

\[
\begin{aligned}
u_x&=(25.0)\cos53.0^\circ\\
&=15.0\ \text{m s}^{-1},
\\[4pt]
u_y&=(25.0)\sin53.0^\circ\\
&=20.0\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

一个很容易犯的错误是把正弦和余弦对调。几何关系可以帮你发现这个错误：\(53^\circ\) 的发射角比 \(45^\circ\) 更陡，因此垂直分量应该大于水平分量。

问题 2

一个抛射体从原点发射。经过 \(1.20\ \text{s}\) 后，它在水平方向距离发射点 \(18.0\ \text{m}\)，并高出发射点 \(8.00\ \text{m}\)。

忽略空气阻力，并取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

求：

• 初始水平速度分量，
• 初始垂直速度分量，
• 初速，以及
• 相对水平线向上的发射角。

解答 2

抛射体发射时的分量为 \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\) 和 \(u_y=12.5\ \text{m s}^{-1}\)，因此初速为 \(19.6\ \text{m s}^{-1}\)，发射角约为相对水平线向上 \(39.9^\circ\)。

在水平方向，加速度为零，因此

\[
x=u_xt.
\]

所以，

\[
u_x=\frac{x}{t}
=\frac{18.0}{1.20}
=15.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

在垂直方向，

\[
y=u_yt+\frac12a_yt^2,
\]

其中 \(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\)。因此，

\[
8.00=(u_y)(1.20)-\frac12(9.80)(1.20)^2.
\]

整理后，

\[
\begin{aligned}
u_y
&=\frac{8.00+\frac12(9.80)(1.20)^2}{1.20}\\
&=\frac{8.00+7.056}{1.20}\\
&=12.5\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

初速就是速度向量的大小：

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{(15.0)^2+(12.5)^2}\\
&=19.6\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

最后，

\[
\begin{aligned}
\tan\theta&=\frac{u_y}{u_x}\\
&=\frac{12.5}{15.0},
\end{aligned}
\]

所以

\[
\theta\approx39.9^\circ.
\]

一个很有诱惑力的做法是计算 \(8.00/1.20=6.67\ \text{m s}^{-1}\)，然后把它当成初始垂直速度。这是不对的。这个数值是 \(1.20\ \text{s}\) 时间区间内的平均垂直速度。整个运动过程中，重力一直在降低向上的速度，因此初始垂直分量必须更大。

问题 3

一个抛射体从地面以 \(40.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率、相对正水平方向向上未知角度 \(\theta\) 发射。

恰好在 \(2.00\ \text{s}\) 之后，它的速度方向指向正水平方向下方 \(10.0^\circ\)。

忽略空气阻力，并取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

求发射角 \(\theta\)。

解答 3

抛射体的发射角约为相对水平线向上 \(18.9^\circ\)。

重点在于要区分初速度与 \(2.00\ \text{s}\) 后的速度。水平分量一直保持不变，但重力已经改变了垂直分量。

起初，

\[
u_x=40.0\cos\theta
\]

以及

\[
u_y=40.0\sin\theta.
\]

经过 \(2.00\ \text{s}\) 后，

\[
v_x=40.0\cos\theta
\]

以及

\[
v_y=40.0\sin\theta-(9.80)(2.00).
\]

最终速度方向位于水平线下方 \(10.0^\circ\)，因此

\[
\frac{v_y}{v_x}=\tan(-10.0^\circ).
\]

所以，

\[
\frac{40.0\sin\theta-19.6}{40.0\cos\theta}
=-\tan10.0^\circ.
\]

整理后，

\[
\sin\theta+\tan10.0^\circ\cos\theta
=\frac{19.6}{40.0}.
\]

利用

\[
\sin\theta+\tan10^\circ\cos\theta
=\frac{\sin(\theta+10^\circ)}{\cos10^\circ},
\]

可得

\[
\sin(\theta+10.0^\circ)
=\frac{19.6}{40.0}\cos10.0^\circ.
\]

因此，

\[
\sin(\theta+10.0^\circ)\approx0.4826.
\]

对于向右发射且 \(0^\circ<\theta<90^\circ\) 的情况，

\[
\theta+10.0^\circ\approx28.9^\circ,
\]

所以

\[
\theta\approx18.9^\circ.
\]

一个很有诱惑力的做法，是把两秒后的 \(10^\circ\) 方向当成可以直接决定原本速度分量比例的资料。但这并不成立。重力已经改变了 \(v_y\)，而 \(v_x\) 仍与其初始值相同。

问题 4

一个抛射体从原点发射。之后它通过点 \(P\)，该点在水平方向距离发射点 \(20.0\ \text{m}\)，并高出发射点 \(10.0\ \text{m}\)。接著它到达点 \(Q\)，该点在水平方向距离发射点 \(40.0\ \text{m}\)，而且与发射点处于相同的垂直高度。

忽略空气阻力，并取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

判断或求出：

• \(P\) 是否为轨迹的最高点，
• 初始水平和垂直速度分量，
• 初速，以及
• 发射角。

解答 4

点 \(P\) 是最高点，而抛射体发射时 \(u_x=14.0\ \text{m s}^{-1}\)、\(u_y=14.0\ \text{m s}^{-1}\)，因此 \(u=19.8\ \text{m s}^{-1}\)，发射角为 \(45.0^\circ\)。

这题较细微的部分，是要证明 \(P\) 为最高点，而不是因为它的位置看起来刚好很方便，就直接假设它是最高点。

水平加速度为零，因此相同的水平距离对应相同的时间间隔。点 \(P\) 位于从 \(x=0\) 到 \(x=40.0\ \text{m}\) 的正中间，所以抛射体到达 \(P\) 的时间，是到达 \(Q\) 的总飞行时间的一半。

由于 \(Q\) 与发射点高度相同，垂直运动的上升和下降部分在时间上对称。抛射体会在整段飞行时间的一半时到达最高点。

因此，\(P\) 就是最高点。

在最高点，

\[
v_y=0.
\]

利用

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y,
\]

其中 \(\Delta y=10.0\ \text{m}\)，且 \(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\)，

\[
0=u_y^2-2(9.80)(10.0).
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
u_y&=\sqrt{196}\\
&=14.0\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

回到原本高度所需的总时间为

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(14.0)}{9.80}
=2.86\ \text{s}.
\]

在水平方向，

\[
x=u_xT,
\]

所以

\[
u_x=\frac{40.0}{2.86}
=14.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

初速为

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{(14.0)^2+(14.0)^2}\\
&=19.8\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

发射角满足

\[
\tan\theta=\frac{14.0}{14.0}=1,
\]

所以

\[
\theta=45.0^\circ.
\]

一个很容易做出的判断是：水平射程的中点一定就是最高点。对任意运动而言，这并不一定正确。这里之所以成立，是因为水平速度保持不变，而且抛射体最后回到与发射点相同的垂直高度。

问题 5

一个抛射体从原点以固定速率 \(25.0\ \text{m s}^{-1}\) 发射。它必须通过一个目标，该目标在水平方向距离发射点 \(30.0\ \text{m}\)，并高出发射点 \(5.00\ \text{m}\)。

忽略空气阻力，并取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

求：

• \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之间所有可能的发射角，
• 每种发射方式的初始水平和垂直速度分量，
• 每种发射方式到达目标所需的时间，以及
• 每种情况下，抛射体通过目标时的速率。

解释最后一个结果。

解答 5

共有两种可能的发射方式：角度约为 \(24.2^\circ\) 和 \(75.3^\circ\)。它们分别约在 \(1.32\ \text{s}\) 和 \(4.72\ \text{s}\) 后到达目标，但通过目标时的速率相同，皆约为 \(23.0\ \text{m s}^{-1}\)。

令人意外之处在于，其中一条轨迹在空中停留的时间长得多，但到达目标时的速率大小却相同。

先从分量方程开始：

\[
x=(u\cos\theta)t
\]

以及

\[
y=(u\sin\theta)t-\frac12gt^2.
\]

由水平方程，

\[
t=\frac{x}{u\cos\theta}.
\]

把它代入垂直方程：

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}.
\]

利用

\[
\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta,
\]

并代入 \(x=30.0\ \text{m}\)、\(y=5.00\ \text{m}\) 和 \(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\)，

\[
5.00
=30.0\tan\theta
-\frac{(9.80)(30.0)^2}{2(25.0)^2}
\left(1+\tan^2\theta\right).
\]

数值系数为

\[
\frac{(9.80)(900)}{1250}=7.056.
\]

令

\[
T=\tan\theta.
\]

则

\[
5.00=30.0T-7.056(1+T^2),
\]

所以

\[
7.056T^2-30.0T+12.056=0.
\]

解这个二次方程可得

\[
T\approx0.4494
\]

或

\[
T\approx3.802.
\]

因此，

\[
\theta\approx24.2^\circ
\]

或

\[
\theta\approx75.3^\circ.
\]

对于较低的轨迹，

\[
\begin{aligned}
u_x&=(25.0)\cos24.2^\circ\\
&=22.8\ \text{m s}^{-1},
\\
u_y&=(25.0)\sin24.2^\circ\\
&=10.2\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

它到达目标所需的时间为

\[
t=\frac{30.0}{22.8}=1.32\ \text{s}.
\]

对于较高的轨迹，

\[
\begin{aligned}
u_x&=(25.0)\cos75.3^\circ\\
&=6.36\ \text{m s}^{-1},
\\
u_y&=(25.0)\sin75.3^\circ\\
&=24.2\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

它到达目标所需的时间为

\[
t=\frac{30.0}{6.36}=4.72\ \text{s}.
\]

现在比较两种情况下到达目标时的速率。

对任何一种发射方式而言，水平加速度都是零，而垂直分量满足

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y.
\]

由于 \(a_y=-g\)，而 \(\Delta y=5.00\ \text{m}\)，

\[
v_y^2=u_y^2-2g(5.00).
\]

总速率满足

\[
v^2=v_x^2+v_y^2.
\]

由于 \(v_x=u_x\)，

\[
\begin{aligned}
v^2
&=u_x^2+u_y^2-2g(5.00)\\
&=u^2-2g(5.00).
\end{aligned}
\]

两个抛射体一开始的速率都相同，均为 \(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\)，而且我们比较它们时，两者都位于相同的最终高度。因此，

\[
\begin{aligned}
v^2
&=(25.0)^2-2(9.80)(5.00)\\
&=527,
\end{aligned}
\]

所以

\[
v=23.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

较低的轨迹到达目标时约有

\[
v_x=22.8\ \text{m s}^{-1},
\qquad
v_y=-2.65\ \text{m s}^{-1},
\]

而较高的轨迹到达时约有

\[
v_x=6.36\ \text{m s}^{-1},
\qquad
v_y=-22.1\ \text{m s}^{-1}.
\]

它们的方向非常不同，但速率大小相同。

一个很容易产生的预测是：较高的轨迹一定会以较慢的速率到达，因为重力作用的时间长得多。重力的确作用了更长时间，但抛射体也上升到高得多的位置，之后下落时又重新获得相应的垂直速率。在这个理想抛体运动模型下，若初速相同且最终高度相同，最终速率的大小就是固定的。

当你能熟练地把 \(u\) 分解成 \(u_x\) 和 \(u_y\) 之后，抛体运动就会变成两个彼此相关的一维运动问题。下一个实用步骤，是学会选择适当的水平或垂直方程来求出两个方向共用的时间，再利用同一个时间把两个方向的运动连结起来。