轨道速率：HSC 物理的推导与计算

想像一颗位于地球表面上方 400 km 的卫星。它的引擎关闭了。重力一直将它拉向地球，那么，为甚么它没有直接坠毁？

继续阅读之前，先预测一下：如果你希望卫星在更高的轨道上运行，它需要移动得更快还是更慢？

直觉上，答案似乎是更快。毕竟，速度越快，听起来就越能帮助卫星「对抗」重力。然而，对于圆形轨道，答案是更慢。理解其中的原因，就能让我们推导出轨道速率方程式，而不只是多记住一条公式。

01卫星一直在下落，却没有碰到地面

先从熟悉的情况开始。将球水平抛出时，它会向侧面移动，同时受到重力作用而向下落。抛得越快，它在碰到地面之前就会飞得越远。

现在，想像三个不切实际、但有助理解的改变：

• 没有空气阻力，
• 地球是完美的球体，而且
• 你能以极快的速度抛出球。

当球的水平速度达到某个特定值时，它向地球下落的速率，恰好等于地球弯曲表面在它下方逐渐远离的速率。于是，它会不断错过地面。

这就是圆形轨道的基本概念。

这个图像很有用，但并不完整。真实的轨道并不是单靠「快速向侧面移动」就能形成的。对于指定的圆形轨道半径，速度必须恰好具有某个特定值。速度太小或太大，都会形成不同的轨迹。

我们需要找出这个特定的速度值。

02重力负责改变运动方向

沿圆形轨道运动的物体，其运动方向会不断改变。即使速率保持不变，它的速度仍然会改变，因为速度包含方向。

这种速度的改变需要一个指向圆心的向心加速度：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)；
• \(v\) 是轨道速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)；以及
• \(r\) 是圆形轨道半径，单位为公尺。

对于绕行行星的卫星而言，是甚么提供这个向内的加速度？

重力。

这一点值得准确理解。重力与「向心力」并不是两个分别指向行星的力。向心力是指圆周运动所需的合向内力。在这种情况下，重力正是负责提供这个力的作用。

可以把「向心力」想成一个职位名称，而不是另一名员工。汽车在平坦道路上转弯时，摩擦力可能负责这个职位。在轨道运动中，则由重力负责。这个类比到此为止：实际涉及的力并不相同。

质量为 \(M\) 的行星与质量为 \(m\) 的卫星之间的万有引力为

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2} \]

其中，\(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是万有引力常数。

如果你需要复习这条方程式的推导来源，请参阅 HSC 物理：牛顿万有引力定律。

03推导圆形轨道速率

对于圆形轨道，重力必须恰好提供所需的向心力。

所需的向心力为

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

因此，我们将万有引力设为等于所需的向心力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

注意这条方程式在物理上的意义。左边表示重力的大小，右边表示要让卫星沿半径为 \(r\) 的圆形路径运动，所需要的向内作用力。

现在，约去卫星的质量 \(m\)：

\[ \frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r} \]

等式两边同乘 \(r\)：

\[ \frac{GM}{r}=v^2 \]

因此，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

这就是圆形轨道速率方程式。

其中：

• \(v\) 是圆形轨道速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)；
• \(G\) 是万有引力常数；
• \(M\) 是中心天体的质量，单位为 kg；以及
• \(r\) 是从中心天体的中心到卫星的距离，单位为公尺。

在 HSC 题目中，计算所求的通常是速率的大小，但题目往往会使用「轨道速度」一词。严格来说，速度是向量，而且它的方向会随著卫星沿轨道运行而持续改变。

04轨道半径不等于高度

这可能是轨道速率计算题中最常见的错误。

假设一颗卫星位于地球表面上方 400 km。你不能直接将 \(400\text{ km}\) 代入 \(r\)。

这条方程式使用的是卫星到地球中心的距离：

\[ r=R_E+h \]

其中，\(R_E\) 是地球半径，而 \(h\) 是卫星的高度。

如果

\[ R_E=6.37\times10^6\text{ m} \]

而

\[ h=400\text{ km}=4.00\times10^5\text{ m}, \]

那么

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+4.00\times10^5\\ &=6.77\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

完成这一步之后，才可以使用轨道速率方程式。

05为甚么较高的圆形轨道反而较慢

回想一开始的预测。为甚么较高的卫星移动得更慢？

由

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

可知，对于同一颗行星，\(G\) 和 \(M\) 都是常数。因此，

\[ v\propto\frac{1}{\sqrt r}. \]

增加 \(r\)，所需的圆形轨道速率便会降低。

这个结果可能令人觉得违反直觉，因为学生常常把速度想像成让卫星抵抗重力、避免坠落的因素。但实际情况并非如此。

在较大的轨道半径上，重力较弱。因此，卫星所受的向内加速度较小。较慢的水平运动便能以恰当的速率弯曲，沿著较大的圆形路径前进。

这会带来一个重要结果：

最后一列需要稍作解释。

一个完整轨道的圆周长为 \(2\pi r\)，因此

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

其中 \(T\) 是轨道周期，单位为秒。

重新整理可得

\[ T=\frac{2\pi r}{v}. \]

较高的圆形轨道不但需要走过更长的距离，而且轨道速率更低。这两个因素都会令轨道周期变长。

将 \(v=\sqrt{GM/r}\) 代入，可得

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \]

因此

\[ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3. \]

这就是开普勒第三定律背后关系式在圆形轨道中的形式。

06题目不一定会给出行星的质量

有时，题目会提供行星表面的重力场强度，而不是行星的质量。

在表面，

\[ g_s=\frac{GM}{R^2}, \]

其中 \(g_s\) 是表面重力场强度，而 \(R\) 是行星半径。

重新整理，

\[ GM=g_sR^2. \]

接著，你可以直接将这个结果代入

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

这通常比先单独计算 \(M\) 更简洁。

07为甚么卫星的质量会消去

推导轨道速率时，卫星的质量 \(m\) 会消去：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]

这揭示的是一个物理现象，而不只是代数运算的结果。

质量加倍的卫星会受到两倍的万有引力：

\[ F_g\propto m. \]

但是，要产生相同的向心加速度，质量加倍也需要两倍的力：

\[ F_c\propto m. \]

这两种效应会同步增加。因此，两颗质量较小、在同一颗行星周围相同圆形轨道半径上运行的卫星，无论质量是否相同，都需要相同的轨道速率。

这个结论采用了 HSC 常用的近似假设，即卫星的质量相对于行星的质量极小。如果两个天体的质量相近，它们都会绕共同的质心运行，而精确的二体问题需要考虑两者的质量。对于一般绕地球运行的人造卫星而言，这项修正小得几乎可以忽略。

08三条方程式，其实是同一个概念

对于重力作用下的圆形轨道，以下方程式从不同角度描述同一种运动：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2}, \]

\[ a_c=\frac{v^2}{r}, \]

以及

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

一个实用的判断方法，是先问自己题目实际提供了甚么资料。

这些并不是彼此无关的解题技巧。它们全部源自重力提供向心加速度这个原理。

如需更完整地了解这种关系，请参阅 HSC 物理：圆形轨道中的重力与向心力。

09这条公式只适用于圆形轨道

有一种使用

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

的方式特别容易出错。

这条方程式并不代表每个经过半径 \(r\) 的物体都必须具有这个速率。

它的意思是：

物体若要以半径 \(r\) 绕质量为 \(M\) 的天体作圆形轨道运动，就需要这个速率。

在椭圆轨道上运行的太空船，经过相同的半径时，速率可以不同。正在逃离行星的太空船，经过该半径时也可以具有不同的速率。

因此，如果一艘原本在圆形轨道上运行的太空船短暂启动引擎，你不能只根据新的速率计算出一个新半径，就断定它已经进入另一个圆形轨道。在引擎停止的瞬间，它的位置几乎没有改变。如果它的速率不再是该半径所需的圆形轨道速率，它的路径就不可能继续保持圆形。

这就是这条公式背后更深层的概念：圆形轨道速率是特定轨迹所需的条件，而不是位置与速率之间的普遍关系。

10题目与解答

问题 1

一颗卫星在地球表面上方 500 km 的圆形轨道上运行。

使用以下数值计算其轨道速率：

\[ M_E=5.97\times10^{24}\text{ kg}, \]

\[ R_E=6.37\times10^6\text{ m}, \]

以及

\[ G=6.67\times10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}. \]

解答 1

卫星的轨道速率约为 \(7.61\times10^3\text{ m s}^{-1}\)，即 \(7.61\text{ km s}^{-1}\)。

主要的陷阱是把 500 km 的高度当作轨道半径。轨道半径必须从地球中心量度。

首先换算高度：

\[ h=500\text{ km}=5.00\times10^5\text{ m}. \]

接著，

\[ \begin{aligned} r&=R_E+h\\ &=6.37\times10^6+5.00\times10^5\\ &=6.87\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

对于圆形轨道，

\[ v=\sqrt{\frac{GM_E}{r}}. \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} {6.87\times10^6}}\\ &=7.61\times10^3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{v\approx7.61\text{ km s}^{-1}} \]

这是速率的大小。

由于轨道半径较大，所需的圆形轨道速率较低，因此这颗卫星的速度比在 400 km 高度运行的卫星稍慢。

问题 2

卫星 A 和卫星 B 在同一颗行星周围的圆形轨道上运行。卫星 A 的轨道周期为 \(2.00\) h。

卫星 B 的轨道速率是卫星 A 的 \(0.800\) 倍。

求出：

1. 比值 \(r_B/r_A\)；
2. 卫星 B 的轨道周期；以及
3. 两个轨道半径处的重力场强度之比 \(g_B/g_A\)。

解答 2

结果为

\[ \frac{r_B}{r_A}=1.5625, \]

\[ T_B=3.91\text{ h}, \]

以及

\[ \frac{g_B}{g_A}=0.4096. \]

一个容易犯的错误，是认为速率降低 20% 就代表半径增加 20%。轨道速率取决于半径的平方根，因此两者并非线性关系。

对于相同的中心天体质量，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

所以

\[ v\propto r^{-1/2}. \]

因此，

\[ \frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}. \]

已知 \(v_B/v_A=0.800\)，

\[ 0.800=\sqrt{\frac{r_A}{r_B}}. \]

两边平方，

\[ 0.640=\frac{r_A}{r_B}, \]

因此

\[ \frac{r_B}{r_A}=\frac{1}{0.640}=1.5625. \]

对于轨道周期，

\[ T=\frac{2\pi r}{v}. \]

因此，

\[ \frac{T_B}{T_A} = \frac{r_B}{r_A}\frac{v_A}{v_B}. \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} \frac{T_B}{T_A} &=(1.5625)\left(\frac{1}{0.800}\right)\\ &=1.953125. \end{aligned} \]

所以，

\[ \begin{aligned} T_B&=(1.953125)(2.00\text{ h})\\ &=3.91\text{ h}. \end{aligned} \]

最后，

\[ g=\frac{GM}{r^2}, \]

因此

\[ \begin{aligned} \frac{g_B}{g_A} &=\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2\\ &=\left(\frac{1}{1.5625}\right)^2\\ &=0.4096. \end{aligned} \]

因此，卫星 B 移动得更慢，绕行一圈所需的时间接近两倍，而且它所处的重力场强度只有卫星 A 的约 \(41\%\)。

问题 3

一颗球形行星的半径为 \(5.00\times10^6\text{ m}\)，表面重力场强度为 \(8.00\text{ m s}^{-2}\)。

观测到一颗卫星以 \(5.00\times10^3\text{ m s}^{-1}\) 的速率在圆形轨道上运行。

计算：

1. 卫星的轨道半径；
2. 卫星距离行星表面的高度；以及
3. 卫星的轨道周期。

解答 3

轨道半径为 \(8.00\times10^6\text{ m}\)，高度为 \(3.00\times10^6\text{ m}\)，周期约为 \(1.01\times10^4\text{ s}\)，即 \(2.79\) h。

关键在于题目没有直接给出行星的质量。表面重力场可以让我们求出 \(GM\)。

在表面，

\[ g_s=\frac{GM}{R^2}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} GM&=g_sR^2\\ &=(8.00)(5.00\times10^6)^2\\ &=2.00\times10^{14}\text{ m}^3\text{s}^{-2}. \end{aligned} \]

对于在圆形轨道上运行的卫星，

\[ v^2=\frac{GM}{r}. \]

重新整理，

\[ r=\frac{GM}{v^2}. \]

代入数值，

\[ \begin{aligned} r&=\frac{2.00\times10^{14}} {(5.00\times10^3)^2}\\ &=\frac{2.00\times10^{14}}{2.50\times10^7}\\ &=8.00\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

高度并不等于 \(r\)。我们必须减去行星半径：

\[ \begin{aligned} h&=r-R\\ &=8.00\times10^6-5.00\times10^6\\ &=3.00\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

对于轨道周期，

\[ T=\frac{2\pi r}{v}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{2\pi(8.00\times10^6)} {5.00\times10^3}\\ &=1.01\times10^4\text{ s}. \end{aligned} \]

换算成小时，

\[ T=\frac{1.01\times10^4}{3600}=2.79\text{ h}. \]

一种看似合理但错误的解法，是在轨道速率方程式中使用行星表面半径 \(R\)。这样描述的是位于行星表面的圆形轨道，而不是题目中观测到的卫星轨道。

问题 4

行星 A 和行星 B 都是球形。行星 B 的半径是行星 A 的三倍：

\[ R_B=3R_A. \]

一颗质量极小的卫星在每颗行星表面上方极近的位置运行，因此可以把其轨道半径视为行星半径。两颗卫星的轨道周期完全相同。

球形行星的平均密度为 \(\rho\)，因此

\[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho. \]

求出：

1. 比值 \(\rho_B/\rho_A\)；
2. 表面重力场强度之比 \(g_B/g_A\)；以及
3. 两颗卫星的轨道速率之比 \(v_B/v_A\)。

解答 4

两颗行星的平均密度相同，而行星 B 的表面重力场强度和表面轨道速率都是行星 A 的三倍：

\[ \frac{\rho_B}{\rho_A}=1, \qquad \frac{g_B}{g_A}=3, \qquad \frac{v_B}{v_A}=3. \]

一个容易令人作出错误预测的想法，是认为轨道周期相同就代表表面重力相同。事实并非如此，因为半径会改变两者之间的关系。

对于圆形轨道，

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} \]

因为轨道半径约等于 \(R\)。

现在代入

\[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho. \]

得到

\[ \begin{aligned} T &=2\pi\sqrt{ \frac{R^3} {G(4\pi R^3\rho/3)} }\\ &=2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}. \end{aligned} \]

化简后，

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}. \]

行星半径完全消去了。对于沿著行星表面运行的卫星，轨道周期取决于行星的平均密度，而不是直接取决于半径。

由于两颗卫星的周期相同，

\[ \rho_A=\rho_B, \]

因此

\[ \boxed{\frac{\rho_B}{\rho_A}=1}. \]

接著考虑表面重力场强度：

\[ g=\frac{GM}{R^2}. \]

利用 \(M=(4/3)\pi R^3\rho\)，

\[ g=\frac{4}{3}\pi G\rho R. \]

两颗行星的密度相同，因此 \(g\propto R\)。由于 \(R_B=3R_A\)，

\[ \boxed{\frac{g_B}{g_A}=3}. \]

最后，由于两颗卫星的周期相同，

\[ v=\frac{2\pi R}{T}. \]

当 \(T\) 相同时，轨道速率与 \(R\) 成正比。因此，

\[ \boxed{\frac{v_B}{v_A}=3}. \]

这个看似奇特的结果其实完全一致：行星 B 的体积较大，表面重力也较强，因此它的卫星可以以三倍的速率，沿著圆周长为三倍的路径运行，同时仍然在完全相同的时间内完成一圈。

问题 5

一艘太空船最初以半径为 \(r\) 的圆形轨道绕行质量为 \(M\) 的行星。它的圆形轨道速率为

\[ v_c=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

在 P 点，太空船沿著运动方向进行一次极短暂的引擎点火。点火后，它的速率立即变为

\[ 1.20v_c. \]

点火期间，太空船的位置可视为没有改变，之后引擎便关闭。

在半径 \(r\) 处，逃逸速率为

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2}v_c. \]

假设没有大气，也没有其他具有显著影响的天体在附近。

判断并解释：

1. 太空船的新轨迹是圆形、非束缚轨道，还是有束缚但非圆形的轨道；
2. 为甚么太空船会开始移向更大的半径，而不是沿著原来的圆形轨道运行；
3. P 点会成为新轨道上最近的点还是最远的点；以及
4. 如果在稍后某个时刻，太空船在半径 \(r'\) 处的速率恰好等于 \(\sqrt{GM/r'}\)，单凭这一点是否足以证明太空船当时正在圆形轨道上运行。

解答 5

太空船会进入一个有束缚但非圆形的轨道；它最初会向外移动，P 点是新轨道上距离行星最近的点，而稍后的速率大小即使恰好等于当地的圆形轨道速率，也不能证明轨道是圆形的。

这题的陷阱，是把

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

当作所有位于半径 \(r\) 处的太空船都必须具有的速率。事实上，它只给出在该处维持圆形轨道所需的速率。

点火前，

\[ v_c=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

点火后的瞬间，太空船仍然位于相同的半径 \(r\)，但它的速率变为

\[ v'=1.20v_c. \]

在相同半径上，圆形轨道仍然需要速率 \(v_c\)，而不是 \(1.20v_c\)。因此，太空船无法继续沿著原来的圆形轨道运行。

它也尚未逃离行星。当地的逃逸速率为

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt2v_c\approx1.414v_c. \]

由于

\[ 1.20v_c<1.414v_c, \]

太空船的速率低于逃逸速率。因此，它的新轨迹仍然受到重力束缚。

所以，新的轨迹是一个有束缚但非圆形的轨道。

要理解它为甚么会向外移动，可以比较现有的重力加速度，以及以新速率维持半径 \(r\) 的圆形轨道所需的向内加速度。

重力所提供的加速度为

\[ \begin{aligned} a_g &=\frac{GM}{r^2}\\ &=\frac{v_c^2}{r}. \end{aligned} \]

如果太空船以 \(1.20v_c\) 的速率沿半径 \(r\) 的圆形路径运行，所需的加速度则为

\[ \begin{aligned} a_{\text{required}} &=\frac{(1.20v_c)^2}{r}\\ &=\frac{1.44v_c^2}{r}. \end{aligned} \]

但是，重力实际上只提供

\[ \frac{v_c^2}{r}, \]

而不是

\[ \frac{1.44v_c^2}{r}. \]

因此，重力无法以足够大的幅度改变这个更快的新速度方向，使太空船继续沿著原来的圆形轨道运行。它的路径弯曲程度会减小，并移到原来圆形轨道之外。

因此，P 点会成为新束缚轨道上距离行星最近的点，也就是近拱点。在 P 点，因为点火完全沿切线方向进行，太空船的径向速度为零。点火后，它的轨迹会朝著更大的半径移动，所以 P 点就是轨道半径的最小值。

最后，假设太空船稍后在半径 \(r'\) 处的速率大小恰好为

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r'}}. \]

这仍不足以证明它的运动是圆形的。

圆形轨道要求速率和方向都正确。速度必须完全沿切线方向，也就是垂直于半径，而且不能有向内或向外的径向分量。

沿非圆形轨道经过 \(r'\) 的太空船，可能具有与圆形轨道速率相同的速率大小，但同时仍然具有径向速度分量。只要一个数值相同，并不会自动消除这种运动。

这就是轨道速率公式真正的适用界限。当圆形路径已经指定时，它会告诉你所需的精确速率，但它本身并不能决定任意一艘正在运动的太空船必须沿著甚么路径运行。

接下来很自然的学习方向，是将这个圆形轨道的结果与轨道周期，以及不同轨道半径之间的比例关系连结起来。这会直接引导我们学习 HSC 物理：开普勒行星运动三大定律，其中的关系式 \(T^2\propto r^3\) 将成为更全面描述行星与卫星运动的一部分。