光电效应的实验证据：截止频率与立即发射

假设你将一道明亮的低频光束照射到金属上，却没有电子逸出。你把光束调得更亮，但仍然没有任何电子逸出。接著，你改用一道暗得多、频率却更高的光束，电子几乎立即逸出。为什么较暗的光束能奏效，明亮的光束却不行？这正是光电效应的核心谜题。

我们需要解释的两项观察结果是：

• 存在一个截止频率，低于此频率时，不论光的强度有多大，都不会有电子逸出
• 高于此截止频率时，即使光非常微弱，电子也会在没有可测量延迟的情况下逸出（openstax.org）

这两项观察结果都难以用光的古典波动模型解释，却能由光子模型自然地说明。

01从波动模型开始

在引入光子之前，先想像一下较早期的古典观点。

光被视为连续的电磁波。波的强度表示能量传递至特定面积的速率。强度越大的波，每秒传递至单位面积的能量就越多。

现在想像金属内的一个电子。电子受到金属束缚，因此需要一定的最低能量才能将它移除。

根据连续波的观点，电子可以逐渐吸收入射波的能量。如果光很微弱，能量传递的速度就会很慢。只要时间足够，电子最终应该能累积足够的能量而逸出。

这使古典模型得出一个相当简单的预测：

如果微弱的光无法使电子逸出，就把光调得更亮，或等待更长的时间。

这听起来很合理，但实验结果并不符合这个预测。

只要将频率与强度分开考虑，问题就会更加清楚。

在古典波动的观点下，改变强度会改变能量传递的多少，但模型中并没有一项内在规则，规定每个独立的光能量单位必须根据频率而具有特定的能量。

光电效应正好揭示了这项缺失。

02证据一：截止频率

对于特定金属，入射光必须达到某个最低频率，才能产生光电发射。这个频率称为截止频率，记作 \(f_0\)。

如果

\(f < f_0\)

就不会发生光电发射，即使大幅提高光的强度也一样。

如果

\(f > f_0\)

就可能发生光电发射。

这是一条明确的界线，并不只是光是否「够强」的问题。

为什么这对波动模型构成问题？

假设某种金属的截止频率为 \(6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)。

你将频率为 \(5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射到金属上。

现在将光束的强度提高至原来的 100 倍。

古典模型预测，更大的能量传递量最终应该能让电子获得足够的总能量而逸出。然而，实验显示，提高低于截止频率的光的强度，并不会产生一般的单光子光电发射。（openstax.org）

光子模型提供了更清楚的解释。

关键概念来自普朗克的量子化观点：电磁辐射可以透过称为光子的离散能量包来交换能量。一个光子的能量为

\(E_\gamma = hf\)

其中：

• \(E_\gamma\) 是光子的能量，单位为焦耳（\(\text{J}\)）
• \(h\) 是普朗克常数，数值为 \(6.63\times10^{-34}\,\text{J s}\)
• \(f\) 是光的频率，单位为赫兹（\(\text{Hz}\)）

因此，频率现在有了直接的物理意义：它决定每个光子所携带的能量。

如果你想了解引出这个概念的推导步骤，请参阅光能量的普朗克量子化。

功函数

金属具有一个称为功函数的量，记作 \(\phi\)。它是将电子从金属表面移除所需的最低能量。

在截止状态下，光子恰好具有足够的能量使电子逸出，不会剩下任何动能：

\(hf_0=\phi\)

因此，

\(f_0=\frac{\phi}{h}\)

这条方程式解释了为什么截止频率取决于金属本身，而不是灯的种类。

功函数较大的金属需要能量更高的光子，因此具有较高的截止频率。

一个有用的理解方式，是把功函数想像成入场费。在光子模型中，每个光子到达时都带有自己的「付款」。频率决定这笔付款的价值，而强度则决定有多少光子到达。

能量不足的光子无法支付这笔入场费。送来更多能量相同的低能量光子，也不会使其中任何一个光子的能量增加。

这个比喻并不完全成立，因为光子不是真正的硬币，电子也不是站在夜店门外的人。这个比喻真正有用的地方，只在于区分每个光子的能量与光子的数量。

频率与波长

由于

\(c=f\lambda\)

其中 \(c\) 是真空中的光速，而 \(\lambda\) 是以公尺为单位的波长，因此截止频率也对应一个截止波长。

较高的频率代表：

• 较高的光子能量
• 较短的波长

较低的频率代表：

• 较低的光子能量
• 较长的波长

因此，如果题目提供的是波长而不是频率，请记住：波长越短，光子的能量越高。

03证据二：立即发射

现在来看第二项观察结果。

当频率高于截止频率的光开启时，电子几乎立即逸出。即使光的强度非常低，情况仍然如此。（openstax.org）

乍看之下，这似乎只是个小细节，但事实并非如此。

波动模型会作出什么预测？

如果能量是连续传递的，低强度光束就会缓慢地传递能量。

假设电子需要达到某个能量，才能逸出。在高强度下，这些能量可能相对迅速地累积起来；在低强度下，累积相同的能量就应该需要更长时间。

因此，古典波动模型预测会出现时间延迟，尤其是在光的强度非常低时。

但实验并没有显示这种累积过程。

电子不会待在原地想著：「我现在大概累积了 30% 的能量；再给我几分钟吧。」

相反，只要合适的辐射到达金属表面，电子就会逸出，而不会出现可测量的能量累积延迟。

光子的解释

在光子模型中，电子不需要从许多个波周期逐渐累积能量。

一个能量足够的光子与电子发生交互作用，并在一次交互作用中传递其能量。如果

\(hf>\phi\)

光子的能量就足以使电子逸出。

剩余的能量会转化为动能：

\(K_{\max}=hf-\phi\)

其中 \(K_{\max}\) 是逸出电子的最大动能，单位为焦耳。

这就解释了为什么没有延迟：电子不需要随时间逐渐累积能量。

有一个细节值得特别注意。

立即发射并不代表，当你打开一盏极暗的灯时，探测器必须在同一瞬间就测得一个电子。 在极低强度下，光子的到达频率较低，因此你可能需要等待一段时间，才能等到合适的光子到达。重要的观察结果是：光子到达后，电子不会因为需要逐渐累积能量而产生额外延迟。

这个区别正是实验要检验的重点。

04将两项证据结合起来

这两项观察结果分别针对古典波动模型预测的不同部分提出挑战。

前两项观察结果是本指南的关键证据。两者结合起来，说明了为什么古典连续波的描述不足以完整解释这种能量传递过程。（openstax.org）

这并不代表光不再具有波动性。干涉与绕射仍然是真实的波动现象。重要的结论是：电磁能量与物质之间的交换具有量子化特性。

05最常见的误解

一个非常常见的错误预测是：

「光的强度越大，电子的能量就越高。」

对一般光电效应而言，这是错误的。

在频率固定时，提高强度代表每秒有更多光子到达，而不是每个光子的能量增加。

因此，对于频率满足 \(f>f_0\) 的光：

• 提高频率会增加光子能量及 \(K_{\max}\)
• 提高强度会增加逸出电子的数量，因此增加光电流
• 提高强度不会增加 \(K_{\max}\)

最容易记住的规则是：

频率决定每个光子的能量。强度决定到达的光子数量。

不要把这句话误解成「频率比强度更重要」。它们控制的是不同的物理量。

06可靠的 HSC 判断规则

看到光电效应的题目时，先检查频率。

回答长答题时，不要只写「这证明光子存在」。你应该建立完整的因果推理：

1. 说明实验观察结果。
2. 说明古典波动模型的预测。
3. 解释两者之间的矛盾。
4. 解释光子的量子化如何解决这个矛盾。

这比只提及模型名称就直接进入下一点更有说服力。

07范例：求截止频率

某种金属的功函数为 \(2.30\,\text{eV}\)。计算其截止频率，然后求出截止波长。

步骤 1：使用截止条件。

在截止状态下，光子的能量恰好等于功函数：

\(hf_0=\phi\)

因此

\(f_0=\frac{\phi}{h}\)

使用 \(h=4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}\)，

\(f_0=\frac{2.30\,\text{eV}}{4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}}\)

步骤 2：计算截止频率。

\(f_0=5.56\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，金属需要频率约为 \(5.56\times10^{14}\,\text{Hz}\) 或更高的光，才能产生光电发射。

步骤 3：将截止频率换算为波长。

使用

\(c=f\lambda\)

其中 \(c=3.00\times10^8\,\text{m s}^{-1}\)。

因此，

\(\lambda_0=\frac{c}{f_0}\)

\(\lambda_0=\frac{3.00\times10^8}{5.56\times10^{14}}\)

\(\lambda_0=5.40\times10^{-7}\,\text{m}\)

或

\(\lambda_0=540\,\text{nm}\)

步骤 4：解释结果。

波长长于 \(540\,\text{nm}\) 的光，其频率低于截止频率，因此无论强度多大，都无法使这种金属产生一般的光电发射。

波长短于 \(540\,\text{nm}\) 的光，其频率高于截止频率，因此能使电子逸出。

08范例：频率如何改变电子能量

某种金属的截止频率为 \(6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)。现在以频率为 \(8.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射该金属。计算其功函数及逸出电子的最大动能。如果光的强度加倍，最大动能会有什么变化？

步骤 1：由截止频率求出功函数。

在截止状态下，

\(\phi=hf_0\)

使用 \(h=4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}\)，

\(\phi=(4.14\times10^{-15})(6.0\times10^{14})\)

\(\phi=2.48\,\text{eV}\)

因此，使电子逸出所需的最低能量为 \(2.48\,\text{eV}\)。

步骤 2：求出一个入射光子的能量。

\(E_\gamma=hf\)

\(E_\gamma=(4.14\times10^{-15})(8.0\times10^{14})\)

\(E_\gamma=3.31\,\text{eV}\)

步骤 3：减去功函数。

光子首先提供使电子逸出所需的 \(2.48\,\text{eV}\)，其余能量转化为动能。

\(K_{\max}=E_\gamma-\phi\)

\(K_{\max}=3.31-2.48\)

\(K_{\max}=0.83\,\text{eV}\)

步骤 4：将动能换算为焦耳。

使用 \(1\,\text{eV}=1.60\times10^{-19}\,\text{J}\)，

\(K_{\max}=(0.83)(1.60\times10^{-19})\)

\(K_{\max}=1.33\times10^{-19}\,\text{J}\)

步骤 5：考虑强度加倍的情况。

频率没有改变，因此每个光子的能量也没有改变。因此，\(K_{\max}\) 仍然是

\(1.33\times10^{-19}\,\text{J}\)

强度加倍代表每秒有更多光子到达，因此每秒可以有更多电子逸出。最大动能不会加倍。

如需完整的数值计算，了解这种能量平衡，请参阅光电方程式。

09问题与解答

问题 1

某种金属的截止频率为 \(5.5\times10^{14}\,\text{Hz}\)。将频率为 \(4.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射到金属上，然后将光的强度提高至原来的 100 倍。

光电发射会开始发生吗？请解释原因。

解答 1

不会开始发生光电发射。 光的频率仍然低于截止频率，而提高强度并不会增加每个光子的能量。

步骤 1：比较频率。

\(4.0\times10^{14}<5.5\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，入射光的频率低于截止频率。即使强度提高至原来的 100 倍，每个光子的能量仍然不足以使电子逸出。

问题 2

某种金属的截止频率为 \(6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)，功函数为 \(2.60\,\text{eV}\)。以频率为 \(8.00\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射金属。

计算逸出电子的最大动能，并说明如果光的强度增加至原来的四倍，最大动能会如何变化。

解答 2

逸出电子的最大动能为 \(0.712\,\text{eV}\)，即 \(1.14\times10^{-19}\,\text{J}\)。强度增加至四倍不会改变最大动能。

步骤 1：比较入射光的频率与截止频率。

\(8.00\times10^{14}>6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，光的频率高于截止频率，会发生光电发射。

步骤 2：计算入射光子的能量。

\(E_\gamma=hf\)

\(E_\gamma=(4.14\times10^{-15})(8.00\times10^{14})\)

\(E_\gamma=3.31\,\text{eV}\)

步骤 3：求出最大动能。

\(K_{\max}=E_\gamma-\phi\)

\(K_{\max}=3.31-2.60\)

\(K_{\max}=0.712\,\text{eV}\)

换算为焦耳：

\(K_{\max}=(0.712)(1.60\times10^{-19})\)

\(K_{\max}=1.14\times10^{-19}\,\text{J}\)

步骤 4：考虑强度增加至四倍的情况。

频率没有改变，因此每个光子的能量仍然是 \(3.31\,\text{eV}\)。所以 \(K_{\max}\) 仍然是 \(1.14\times10^{-19}\,\text{J}\)。

强度较高代表每秒有更多光子到达，因此每秒会有更多电子逸出，前提是实验不受收集效率或饱和效应限制。

陷阱在于将 \(K_{\max}\) 乘以四。强度改变的是光子的数量，而不是每个光子所携带的能量。

问题 3

某个实验得到一张最大光电子动能对入射频率的关系图。图线与频率轴的交点为 \(6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)。

接著，使用两种光源照射同一种金属：

• 光源 A 的频率为 \(5.8\times10^{14}\,\text{Hz}\)，强度高。
• 光源 B 的频率为 \(7.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)，强度低。

一名学生表示：

「光源 A 应该能使电子逸出，因为它的强度大得多。如果它不能立即奏效，电子还可以吸收更长时间的能量。」

评估这项说法。计算金属的功函数，以及光源 B 所产生电子的最大动能。

解答 3

学生的说法不正确：光源 B 会产生光电子，而光源 A 不会。功函数约为 \(2.57\,\text{eV}\)，而光源 B 所产生电子的最大动能约为 \(0.33\,\text{eV}\)。

步骤 1：从图中读取截止频率。

横轴截距就是截止频率：

\(f_0=6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)

步骤 2：比较光源 A 的频率与截止频率。

\(5.8\times10^{14}<6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，光源 A 的频率低于截止频率。

无论光源 A 的强度有多大，其光子的能量都不足以在一般光电效应过程中使电子逸出。

步骤 3：计算功函数。

在截止状态下，

\(\phi=hf_0\)

\(\phi=(4.14\times10^{-15})(6.2\times10^{14})\)

\(\phi=2.57\,\text{eV}\)

步骤 4：检查光源 B。

\(7.0\times10^{14}>6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，光源 B 的频率高于截止频率，可以使电子逸出。

步骤 5：计算光源 B 的光子能量。

\(E_\gamma=hf\)

\(E_\gamma=(4.14\times10^{-15})(7.0\times10^{14})\)

\(E_\gamma=2.90\,\text{eV}\)

步骤 6：求出最大动能。

\(K_{\max}=E_\gamma-\phi\)

\(K_{\max}=2.90-2.57\)

\(K_{\max}=0.33\,\text{eV}\)

学生的推理之所以错误，是因为他把强度当成能够增加单个光子能量的因素，但事实并非如此。光源 A 每秒有更多光子到达，但每个光子的能量仍然低于使电子逸出所需的能量。

光源 B 虽然较暗，但每个光子的能量都足以使电子逸出。

问题 4

某种金属受到频率高于其截止频率的光照射。光的强度降低至原来的 \(10^6\) 分之一。即使强度大幅降低，当光到达金属后，仍然观察到电子在没有可测量延迟的情况下逸出。

一名学生认为：

「这并没有对波动模型构成挑战。波会立即到达金属，因此电子可以立即开始吸收能量。」

解释为什么这个论点混淆了两种不同的时间尺度。当强度变得非常小时，古典连续波模型会作出什么预测？光子模型又为什么能避免这个问题？

解答 4

学生混淆了光的传播时间与电子累积足够能量而逸出所需的时间。古典波动模型预测，强度越低，能量累积的延迟就越长；光子模型则不需要这种累积过程。

步骤 1：辨认第一种时间尺度。

光必须从光源传播至金属。光的传播时间并不是光电效应实验所检验的重点。

辐射到达表面后，真正的问题是：电子是否必须等待能量逐渐累积？

步骤 2：应用古典波动模型的预测。

在连续波模型中，能量是逐渐传递的。

将强度降低至原来的 \(10^6\) 分之一，会使能量传递至表面的速率相应降低。

如果电子需要一定的最低能量才能逸出，那么较低的能量传递速率就应该代表需要更长时间才能累积足够的能量。

因此，古典模型预测，光越微弱，延迟就会越明显。

步骤 3：与观察结果比较。

实验显示，即使在极低强度下，也没有可测量的能量累积延迟。（openstax.org）

这就是关键的矛盾。

步骤 4：应用光子模型。

在光子模型中，电子不需要从许多个波周期逐渐收集少量能量。

符合

\(hf>\phi\)

条件的光子，本身就已经具有足够的能量，可以在一次交互作用中使电子逸出。

因此，降低强度会使合适的光子较少到达，但不会延长交互作用本身所需的时间。

最后这个区别十分重要。在极低强度下，你可能需要等待更久，才能等到下一个光子到达。这段等待时间与光子到达后，电子缓慢储存能量所需的时间并不相同。

问题 5

某种金属的截止频率为

\(5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)。

两道单色光束照射金属上面积相等的区域。两道光束的总强度相同，均为 \(10\,\text{W m}^{-2}\)。

• 光束 A 完全由频率为 \(1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\) 的光组成。
• 光束 B 由两种成分组成，其中一半的强度来自频率为 \(1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\) 的光，另一半则来自频率为 \(4.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光。

假设金属表面洁净、实验处于一般单光子作用范围、电子收集完整，而且每个高于截止频率的光子引起光电发射的机率相同。

求出：

1. 每道光束是否会产生光电子
2. 每道光束所产生电子的最大动能
3. 哪道光束每秒产生的光电子较多，以及多出多少倍

解释为什么两道光束的总强度相同，并不代表它们会产生相同数量的光电子。

解答 5

两道光束都会产生光电子，而且电子具有相同的最大动能，但光束 A 每秒产生的光电子数量是光束 B 的两倍。 关键在于，强度相同代表每秒传递至单位面积的能量相同，而不是光子的数量相同。

步骤 1：求出功函数。

截止频率为

\(f_0=5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

在截止状态下，

\(\phi=hf_0\)

使用 \(h=4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}\)，

\(\phi=(4.14\times10^{-15})(5.0\times10^{14})\)

\(\phi=2.07\,\text{eV}\)

步骤 2：求出高频光子的能量。

两道光束都含有频率为

\(f_H=1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\)

的光子，因此

\(E_H=hf_H\)

\(E_H=(4.14\times10^{-15})(1.0\times10^{15})\)

\(E_H=4.14\,\text{eV}\)

这些光子的能量高于截止能量。

步骤 3：求出低频光子的能量。

光束 B 也含有频率为

\(f_L=4.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

的光子。

由于

\(4.0\times10^{14}<5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

这些光子的频率低于截止频率。

它们无法产生一般的光电发射。

因此，光束 B 确实会产生电子，但只有其中的高频成分会对光电发射有所贡献。

步骤 4：求出最大动能。

对于两道光束，能量最高的光子都具有 \(f=1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\)。

因此，

\(K_{\max}=E_H-\phi\)

\(K_{\max}=4.14-2.07\)

\(K_{\max}=2.07\,\text{eV}\)

所以两道光束都能产生最大动能为

\(K_{\max}=2.07\,\text{eV}\)

的电子。

换算为焦耳：

\(K_{\max}=(2.07)(1.60\times10^{-19})\)

\(K_{\max}=3.31\times10^{-19}\,\text{J}\)

步骤 5：计算光束 A 的光子到达率。

强度是每单位面积、每单位时间所传递的能量。

对单色光而言，单位面积的光子到达率为

\(\frac{\dot N}{A}=\frac{I}{E_\gamma}\)

其中 \(\dot N\) 是每秒到达的光子数量，\(A\) 是面积，而 \(I\) 是以 \(\text{W m}^{-2}\) 为单位的强度。

高频光子的焦耳能量为

\(E_H=(4.14)(1.60\times10^{-19})\)

\(E_H=6.62\times10^{-19}\,\text{J}\)

光束 A 的高频光强度为 \(10\,\text{W m}^{-2}\)，因此

\(\frac{\dot N_A}{A}=\frac{10}{6.62\times10^{-19}}\)

\(\frac{\dot N_A}{A}=1.51\times10^{19}\,\text{photons m}^{-2}\text{s}^{-1}\)

步骤 6：计算光束 B 中有效光子的到达率。

光束 B 只有一半的强度高于截止频率。

因此，只有

\(5\,\text{W m}^{-2}\)

的强度来自能够使电子逸出的高频光子。

所以

\(\frac{\dot N_B}{A}=\frac{5}{6.62\times10^{-19}}\)

\(\frac{\dot N_B}{A}=7.54\times10^{18}\,\text{photons m}^{-2}\text{s}^{-1}\)

这恰好是光束 A 的有效光子到达率的一半。

因此，

\(\frac{\dot N_A}{\dot N_B}=2\)

在题目所列的假设下，光束 A 每秒产生的光电子数量是光束 B 的两倍。

一个很容易令人信服的答案是：「强度相同，所以电子数量也相同。」但这忽略了一个问题：高频光子所携带的能量比低频光子多。要达到相同的能量通量，所需的高能量光子数量会较少。

更重要的是，光束 B 中低于截止频率的光子无法弥补这个差距。在一般单光子模型中，这些光子不能彼此结合，形成能量更高的光子。它们就是无法引起光电发射。

这是频率与强度之间区别的更深层意义：频率决定每个光子所携带的能量，而强度表示到达的总辐射能量有多少。如果频率改变，强度相同并不一定代表光子数量相同。

理解截止频率与立即发射后，下一个值得学习的重点是完整的光电方程式与截止电压。这些概念能将实验证据转化为定量工具，用来求出光子能量、功函数及电子的最大动能。