密立根油滴实验：HSC 物理详解

20 世纪初，物理学家已经掌握强而有力的证据，显示原子内含有带负电的微小粒子。J. J. 汤姆森（J. J. Thomson）的阴极射线实验甚至已经测得电子的电荷质量比（荷质比）\(e/m\)。但仍有一个棘手的问题：知道两个量的比值，不代表知道其中任何一个量的实际数值。

想像有人告诉你，两个人的身高比是 \(2:1\)。你仍然不知道他们的身高究竟是 2 m 和 1 m，还是 1.6 m 和 0.8 m。汤姆森面对的正是同样的问题。要找出电子的质量，物理学家需要独立测量电子的电荷量。

罗伯特・密立根（Robert Millikan）的油滴实验提供了这项缺失的测量结果。更重要的是，这个实验显示电荷以离散的单位存在：油滴所带的电荷量，总是某个最小数值的整数倍。

这个最小数值称为基本电荷量（elementary charge）：

\[ e \approx 1.60\times10^{-19}\ \text{C}. \]

将 \(e\) 与汤姆森先前测得的 \(e/m\) 结合，就能计算出电子的质量。

01究竟需要测量甚么？

假设一个微小物体以某种方式获得了额外的电子。它所带的电荷可能是

\[ -e,\quad -2e,\quad -3e,\quad \ldots \]

但在密立根的年代，这种规律是需要透过实验检验的，而不是可以直接假设的。

实验上的问题相当棘手。电子实在太小，根本无法放在天平上称重。电子的质量约为 \(9.11\times10^{-31}\) kg。即使是一粒微小的灰尘，也包含数量极其庞大的原子。

因此，密立根采取了间接的方法：让一个大到足以观察的物体带上少量电荷，再利用作用在它上面的力，反过来推算电荷量。

这个物体就是一颗微小的油滴。

为甚么选择油？因为微小的油滴可以保持足够长时间的稳定状态，方便观察。水滴则会逐渐蒸发，导致半径改变，质量也随之改变，而这些变化偏偏发生在你尝试测量的过程中。这正是那种看似不起眼、却可能悄悄破坏精巧实验方法的麻烦。

02想像实验装置的样子

实验装置的核心部分有两块水平金属板，一上一下排列，中间相隔一小段距离。

在两块金属板之间施加电压，就会在板间产生近似均匀的电场。

上方金属板的上面设有雾化器（atomiser），用来向装置内喷出极微小的油滴。部分油滴会穿过上方金属板上的小孔，进入两块金属板之间的空隙。

油滴会获得电荷，常见的原因是电离过程令电子转移到油滴上，或从油滴转移出去。

一盏灯从侧面照亮油滴。密立根则透过显微镜观察个别油滴。

现在，在脑海中追踪其中一颗油滴。

它离开雾化器，穿过小孔，进入两块金属板之间的空间，并在重力作用下向下坠落。密立根透过显微镜观察它的运动。

接著，电场被接通。

如果电场的方向和强度适当，电力便可以抵抗重力。只要仔细调整电压，就能让油滴几乎静止不动。

这颗静止的油滴，就是关键的测量对象。

03预测受力平衡

假设一颗带负电的油滴静止悬浮在两块金属板之间。

这时，作用在油滴上的力必须满足甚么条件？

一个常见的初步想法是：重力不知怎的停止了作用。事实并非如此。油滴之所以静止，是因为各个力互相平衡。

重力向下拉动油滴，电力则向上作用。

在最简化的 HSC 模型中，

\[ F_g=mg \]

而

\[ F_E=qE, \]

其中：

• \(m\) 是油滴的质量，单位为千克；
• \(g\) 是重力场强度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)；
• \(q\) 是油滴电荷量的大小，单位为库仑；
• \(E\) 是电场强度，单位为 \(\text{N C}^{-1}\)。

对于静止的油滴，

\[ F_E=F_g, \]

因此

\[ qE=mg. \]

所以，

\[ q=\frac{mg}{E}. \]

如果两块金属板近似平行，而且可以忽略边缘效应，

\[ E=\frac{V}{d}, \]

其中 \(V\) 是两块金属板之间的电位差，\(d\) 是两板之间的距离。

结合以上方程式，可得

\[ q=\frac{mgd}{V}. \]

这就是方法巧妙的地方。只要知道油滴的质量、金属板间距，以及使油滴保持平衡所需的电压，就能计算出油滴的电荷量。

不过，这句话里其实隐藏著一个明显的问题。

你要怎样知道一个微观物体的质量？

04下落的油滴揭示它的大小

密立根无法直接取出一颗油滴，再放到实验室天平上称重。

相反，他利用油滴在空气中的运动来取得有关其大小的资讯。

当一个微小球体在空气中下落时，重力起初会使它加速。随著速度增加，空气阻力也会增大。最终，向上的阻力变得足够大，使合力趋近于零。

这时，油滴会以固定速度下落，这个速度称为终端速度（terminal velocity）。

对于在流体中缓慢运动、尺寸足够小的球体，斯托克斯定律（Stokes’ law）给出的阻力为

\[ F_D=6\pi\eta rv, \]

其中：

• \(\eta\) 是空气的动力黏度；
• \(r\) 是油滴的半径；
• \(v\) 是油滴的速率。

当油滴达到终端速度时，向下的重力作用会与向上的阻力及浮力达到平衡。

简化的课堂模型可能写成

\[ mg=6\pi\eta rv. \]

更准确的处理方法会考虑油滴排开空气所产生的浮力。此时，有效的向下作用力为

\[ F_{\text{effective}}= \frac{4}{3}\pi r^3(\rho_{\text{oil}}-\rho_{\text{air}})g. \]

当油滴以终端速度 \(v_t\) 下落时，

\[ 6\pi\eta rv_t= \frac{4}{3}\pi r^3(\rho_{\text{oil}}-\rho_{\text{air}})g. \]

解出 \(r\)，可得

\[ r= \sqrt{ \frac{9\eta v_t} {2(\rho_{\text{oil}}-\rho_{\text{air}})g} }. \]

知道半径后，就能计算油滴的体积：

\[ V_{\text{drop}}=\frac{4}{3}\pi r^3, \]

而它的质量约为

\[ m=\rho_{\text{oil}}V_{\text{drop}}. \]

因此，这个实验把两项观察结果联系起来：

1. 当油滴的运动受重力和空气阻力控制时，它下落得有多快；
2. 需要多强的电场才能使油滴保持平衡。

根据这些测量结果，就能推算油滴的电荷量。

最初的概念模型 \(qE=mg\) 很有用，因为它掌握了实验的核心原理。不过，实际测量需要更加谨慎，因为空气阻力、浮力、油滴大小、黏度，以及极小尺度下的修正因素，都会影响结果。

05为甚么使用油，而不是水？

早期使用微小液滴的实验曾遇到一个难题：液滴可能蒸发。

想像你正在测量某人的质量，但那个人却在测量过程中不断消失。这显然有点麻烦。

如果水滴缩小，半径就会改变。由于体积随 \(r^3\) 改变，质量也会跟著改变。它的终端速度同样会改变。这样一来，就更难判断运动的变化究竟是由电荷改变引起，还是单纯因为蒸发所致。

使用挥发性低得多的油，可以让个别油滴在测量期间保持更稳定的状态。

这并不代表实验变得完美无缺。密立根仍须考虑微小球体在空气中运动的特性，而在极小尺度下，斯托克斯定律也需要作出修正。不过，油滴实验的设计大幅提高了持续追踪同一颗油滴的能力，让研究人员有足够时间进行重复测量。

07只测量一颗油滴并不足够

假设密立根测量一颗油滴，得到

\[ q=4.8\times10^{-19}\ \text{C}. \]

他能立即断定基本电荷量是 \(1.6\times10^{-19}\ \text{C}\) 吗？

不能。

这颗油滴可能带有一个大小为 \(4.8\times10^{-19}\) C 的基本电荷单位，也可能带有两个大小为 \(2.4\times10^{-19}\) C 的单位，或三个大小为 \(1.6\times10^{-19}\) C 的单位。

单次测量无法揭示共同的基本单位。

真正的关键在于对大量油滴重复进行实验。

假设测得的电荷量大小包括接近以下数值的结果：

\[ 1.6\times10^{-19}\ \text{C}, \]

\[ 3.2\times10^{-19}\ \text{C}, \]

\[ 4.8\times10^{-19}\ \text{C}, \]

以及

\[ 8.0\times10^{-19}\ \text{C}. \]

这些数值可以写成

\[ e,\quad 2e,\quad 3e,\quad 5e. \]

虽然电荷量不同，但它们都具有一个共同的最小单位。

这就是电荷量子化（charge quantisation）：

\[ q=ne, \]

其中 \(n\) 是整数，而 \(e\) 是基本电荷量的大小。

油滴并非全部带有相同的电荷。事实上，如果它们的电荷都相同，反而无法提供那么多资讯。正是不同的电荷量，揭示了背后重复出现的共同单位。

想像你找到几张购物收据，总额分别是 $12、$20、$28 和 $36，然后发现每件商品的价格都是 $4。虽然总额不同，但共同的增量揭示了基本单位。当然，这个比喻并不完全贴切，因为在实验中，电荷并不是透过逐一购买相同物件来组成的。这个比喻只是帮助你理解，为甚么多个不同的测量结果能揭示共同的增量。

08实验结果揭示了电子的甚么特性？

测得的基本电荷量约为

\[ e=1.602\times10^{-19}\ \text{C}. \]

一个电子所带的电荷为

\[ q_e=-e=-1.602\times10^{-19}\ \text{C}. \]

负号表示电荷的种类。按照惯例，\(e\) 本身代表基本电荷量的正值大小。

一个质子带有 \(+e\) 的电荷。

因此，如果一颗油滴的电荷为

\[ q=-6.41\times10^{-19}\ \text{C}, \]

那么

\[ \frac{|q|}{e} \approx \frac{6.41\times10^{-19}} {1.602\times10^{-19}} \approx4.00. \]

因此，在考虑测量不确定度的前提下，这颗油滴有四个额外电子。

留意这里的措辞：四个额外电子。油滴内的电子总数远远超过四个。它带负电，表示它比维持电中性所需的电子数目多出四个电子。

10密立根并没有直接测量电子的质量

这个区别十分重要。

密立根的实验测量的是基本电荷量，而不是直接称量电子的质量。

之所以能计算电子质量，是因为汤姆森先前已测得电子的电荷质量比。

阴极射线偏转实验得到的结果约为

\[ \frac{e}{m_e}=1.76\times10^{11}\ \text{C kg}^{-1}, \]

其中 \(m_e\) 是电子的质量。

现在已知 \(e\)，便可重整方程式：

\[ m_e=\frac{e}{e/m_e}. \]

代入数值：

\[ m_e= \frac{1.602\times10^{-19}\ \text{C}} {1.76\times10^{11}\ \text{C kg}^{-1}}. \]

因此，

\[ m_e\approx9.10\times10^{-31}\ \text{kg}. \]

库仑单位互相约去，最后剩下千克。

这是一个很好的例子，说明两项实验如何分别解决同一问题的不同部分：

如果你对汤姆森的实验仍不太清楚，建议先复习阴极射线如何提供电子存在的证据，再记住这一连串推论。理解背后的逻辑，比死记两位科学家的姓氏更重要。

12当油滴获得或失去一个电子时，会发生甚么变化？

这个实验有一个特别有用的特点：有时候，研究人员可以在持续观察同一颗油滴的过程中，看到它的电荷发生变化。

假设油滴的质量基本保持不变，但电荷量大小由 \(3e\) 变成 \(4e\)。

对于悬浮的油滴，

\[ qE=mg. \]

由于 \(m\) 和 \(g\) 没有改变，

\[ E=\frac{mg}{q}. \]

因此，当 \(q\) 的大小增加时，悬浮同一颗油滴所需的电场强度便会减小。

对于平行金属板，

\[ E=\frac{V}{d}. \]

如果 \(d\) 固定，保持平衡所需的电压也会降低。

有些学生可能会作出相反的预测：「电荷越多，电力就越强，所以我们需要更高的电压。」这句话的前半部分是正确的。在相同电场下，电荷量越大，电力确实越强。正因如此，要产生相同大小的向上作用力，所需的电场反而更弱。

对于同一颗没有其他变化的油滴，

\[ q_1E_1=q_2E_2. \]

因此，如果它的电荷量大小由 \(3e\) 变成 \(4e\)，

\[ 3eE_1=4eE_2, \]

可得

\[ E_2=\frac34E_1. \]

这种推理能力，比把 \(qE=mg\) 当成一条只需机械式代入数字的公式更有用。

13为甚么布朗运动和微小油滴的物理特性很重要？

把油滴做得更小，表面上有一个优点：它的重量会变得非常小，因此控制它所需的电力也会很小。

但油滴并不是越小越好。

微小油滴会不断受到空气分子的碰撞。这些分子碰撞会造成不规则的布朗运动（Brownian motion）。物体越小，这种随机运动相对于平稳的重力下落运动就越明显。

因此，测量时需要作出取舍。

较大的油滴下落得更快，受布朗运动主导的程度较低，但需要更大的电力。非常小的油滴较容易受到电场影响，但其运动也更难准确测量。

还有另一个复杂因素。一般的斯托克斯定律把周围的空气视为连续流体。对于极微小的油滴，这个近似便不再完全准确，因为油滴的尺度相对于气体分子运动的尺度开始变得重要。因此，需要加入修正。

在 HSC Physics 中，你通常不需要完整重现这些修正的数学推导。但你需要理解实验原理：简单的受力方程式描述了核心模型，而精密测量则需要修正理想模型中忽略的效应。

14究竟有哪些证据支持电荷量子化？

我们很容易这样说：「密立根测得 \(1.6\times10^{-19}\) C，所以电荷是量子化的。」

但这种说法略过了整个推论中最有力的部分。

支持量子化的证据，来自大量测量结果所呈现的规律。

如果电荷可以完全连续地取值，那么原则上，测量结果可以出现任意数值，例如

\[ 2.37\times10^{-19}\ \text{C} \]

或

\[ 5.11\times10^{-19}\ \text{C} \]

而不需要符合任何共同单位的整数倍。

然而，实际测得的油滴电荷量，却集中在某个共同数值的整数倍附近。

因此，最重要的证据并不只是某个特定数字，而是不断重复出现的结构：

\[ q=ne. \]

实验不确定度会令测得的数值出现一些分散。要辨认整数倍的规律，就需要检查数据是否与某个共同电荷单位的整数倍一致。

15观察结果、科学解释与现代观点

把这个实验分成三个层次来理解，会更清楚。

观察结果是：不同油滴需要特定强度的电场来平衡自身重量，而由此推算出的电荷量呈现重复的数值规律。

科学解释是：电荷以离散单位存在，而不是可以任意取值。

从现代物理学的角度回看，这个单位直接对应于质子或电子所带电荷量的大小：

\[ e=1.602176634\times10^{-19}\ \text{C}. \]

现今的国际单位制（SI）利用基本电荷量的一个精确数值来定义库仑。当然，密立根当时并不是在验证一个现代的单位定义。他的实验属于物理学发展的较早阶段，当时基本电荷量的数值及其离散性，仍然是需要透过实验回答的问题。

16HSC 答案应该提出甚么主张，又应避免甚么说法？

如果题目问及密立根的贡献，一份出色的答案应清楚区分他实际测量了甚么，以及后来可以利用结果计算出甚么。

简洁的因果推论链如下：

\[ \text{油滴运动} \rightarrow \text{油滴大小与质量} \rightarrow \text{电力平衡} \rightarrow \text{油滴电荷量} \rightarrow \text{共同的基本电荷量}. \]

接著：

\[ e + \frac{e}{m_e} \rightarrow m_e. \]

避免以下常见错误：

17问题与解答

问题 1

一颗质量为 \(3.2\times10^{-15}\) kg 的油滴，在大小为 \(9.8\times10^4\ \text{N C}^{-1}\) 的垂直电场中保持静止。

取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

计算：

a. 油滴所带电荷量的大小；以及
b. 如果油滴带负电，它有多少个额外电子。

使用 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。

解答 1

油滴所带电荷量的大小为 \(3.2\times10^{-19}\) C，相当于两个额外电子。

由于油滴静止，其加速度为零，向上的电力与油滴的重量互相平衡：

\[ qE=mg. \]

重整方程式：

\[ q=\frac{mg}{E}. \]

代入数值：

\[ q= \frac{(3.2\times10^{-15}\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2})} {9.8\times10^4\ \text{N C}^{-1}} =3.2\times10^{-19}\ \text{C}. \]

现在将结果与基本电荷量比较：

\[ n= \frac{q}{e} = \frac{3.2\times10^{-19}} {1.60\times10^{-19}} =2. \]

因此，一颗带负电的油滴有两个额外电子。

常见的陷阱是写成油滴「包含两个电子」。事实上，它包含数量极其庞大的电子。它的净负电荷只代表它比电中性状态多出两个电子。

问题 2

一颗带负电的油滴静止在两块水平平行金属板之间，板间距离为 \(5.0\times10^{-3}\) m。两板之间的电位差为 \(600\) V。

油滴的质量为 \(8.2\times10^{-15}\) kg。

a. 计算电场强度的大小。
b. 计算油滴所带电荷量的大小。
c. 估算额外电子的数目。

使用 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) 和 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。

解答 2

电场强度为 \(1.2\times10^5\ \text{N C}^{-1}\)，油滴所带电荷量的大小约为 \(6.7\times10^{-19}\) C。考虑实际测量的不确定度后，这个结果与约四个基本电荷单位相符。

对于平行金属板，

\[ E=\frac{V}{d}. \]

代入数值：

\[ E= \frac{600\ \text{V}} {5.0\times10^{-3}\ \text{m}} =1.2\times10^5\ \text{V m}^{-1}. \]

由于 \(1\ \text{V m}^{-1}=1\ \text{N C}^{-1}\)，

\[ E=1.2\times10^5\ \text{N C}^{-1}. \]

对于悬浮的油滴，

\[ qE=mg, \]

因此

\[ q=\frac{mg}{E}. \]

代入数值：

\[ q= \frac{(8.2\times10^{-15})(9.8)} {1.2\times10^5} =6.70\times10^{-19}\ \text{C}. \]

计算得到的基本电荷单位数目为

\[ n= \frac{6.70\times10^{-19}} {1.60\times10^{-19}} \approx4.19. \]

如果电荷量恰好为 \(4e\)，则

\[ 4e=6.40\times10^{-19}\ \text{C}. \]

计算结果没有恰好落在整数倍上，是因为题目提供的实验数值具有有限的精确度，而且简化的受力模型忽略了浮力等效应。

一个容易犯的错误，是把 \(4.19\) 解读成「4.19 个电子」。这并不是正确的物理解释。单一油滴应带有 \(e\) 的整数倍电荷；实验中出现非整数比值，反映的是不确定度、模型限制或测量误差，而不是油滴上存在分数个普通电子。

问题 3

某颗油滴最初在大小为 \(E_1=8.0\times10^4\ \text{N C}^{-1}\) 的电场中保持静止。在持续观察同一颗油滴的过程中，它获得了一个额外电子。

之后，油滴在 \(E_2=6.0\times10^4\ \text{N C}^{-1}\) 的电场中保持静止。

假设它的质量没有明显改变。

以 \(e\) 为单位，求油滴最初所带电荷量的大小。

解答 3

油滴最初的电荷量大小为 \(3e\)，获得一个电子后，电荷量大小变成 \(4e\)。

对于同一颗静止的油滴，

\[ qE=mg. \]

质量和重力场强度都没有改变，因此，在获得额外电子之前和之后，平衡时的乘积 \(qE\) 相同。

设最初的电荷量大小为 \(ne\)。获得一个电子后，电荷量大小变成 \((n+1)e\)。

因此，

\[ neE_1=(n+1)eE_2. \]

约去 \(e\)：

\[ nE_1=(n+1)E_2. \]

代入电场强度：

\[ n(8.0\times10^4) = (n+1)(6.0\times10^4). \]

约去 \(10^4\)：

\[ 8n=6n+6. \]

因此，

\[ 2n=6, \]

所以

\[ n=3. \]

故油滴最初的电荷量大小为

\[ 3e. \]

获得额外电子后，电荷量大小变成 \(4e\)。

一个容易产生的错误预测是：获得更多电荷后，应该需要更强的电场才能维持平衡。事实刚好相反。由于 \(F_E=qE\)，电荷量越大，产生相同向上作用力所需的电场就越弱。

这种测量方式特别有力，因为油滴未知的质量可以在计算中约去。观察同一颗油滴在电荷改变一个电子单位前后的状态，就能在不需要先知道其质量的情况下，揭示电荷量之间的整数关系。

问题 4

两个小组分析同一组油滴实验数据。

A 组表示：

「测得的电荷量分别是 \(3.21\)、\(4.78\)、\(6.42\) 和 \(8.01\)，单位均为 \(10^{-19}\) C。这些数值接近 \(1.60\times10^{-19}\) C 的整数倍，因此 \(e\approx1.60\times10^{-19}\) C。」

B 组回应：

「这些数值也接近 \(0.80\times10^{-19}\) C 的整数倍，分别约为 \(4\)、\(6\)、\(8\) 和 \(10\) 个单位。因此，这个实验无法区分 \(e=1.60\times10^{-19}\) C 与 \(e=0.80\times10^{-19}\) C。」

单凭这四次测量结果，B 组的论点在逻辑上是否成立？请解释还需要甚么额外证据，才能判断 \(1.60\times10^{-19}\) C 是否真的是基本电荷单位。

解答 4

B 组指出了一个真正存在的逻辑限制：单凭这四次测量结果，并不能证明 \(1.60\times10^{-19}\) C 是最小的可能单位。

测得的数值约为

\[ 3.2,\ 4.8,\ 6.4,\ 8.0 \]

单位均为 \(10^{-19}\) C。

如果

\[ e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}, \]

它们就符合

\[ 2e,\ 3e,\ 4e,\ 5e. \]

但如果

\[ e'=0.80\times10^{-19}\ \text{C}, \]

它们也可以近似写成

\[ 4e',\ 6e',\ 8e',\ 10e'. \]

因此，这四个数值确立了共同的间隔规律，但本身并不能证明较大的候选单位不可再分。

如果较小的数值才是真正的基本电荷量，关键的额外证据就是测量到带有 \(0.80\times10^{-19}\) C 奇数倍电荷量的油滴。

例如，即使可靠地测得接近

\[ 1.60\times10^{-19}\ \text{C} \]

的电荷量，仍然无法区分两个模型，因为它等于 \(2e'\)。

但如果观察到稳定的电荷量接近

\[ 0.80\times10^{-19}\ \text{C}, \]

\[ 2.40\times10^{-19}\ \text{C}, \]

或 \(0.80\times10^{-19}\) C 的其他奇数倍，就会支持较小的基本单位。

如果灵敏度足够高的测量反复显示，电荷量出现在

\[ 1.60,\ 3.20,\ 4.80,\ 6.40,\ldots \]

乘以 \(10^{-19}\) C 的位置，却从未出现在 \(0.80\times10^{-19}\) C 假说所容许的中间数值，那么较小单位的假说就会失去支持。

一个容易想到的方法是说：「找出这些数字的最大公因数。」但真实测量值并不是精确整数，而且在数学上，总可以选择更小的公因数。实验上要证明电荷量子化，不能只是找出某个能近似整除测量结果的数字。还需要证据显示电荷变化具有观察到的最小增量，而且在实验的解析度范围内，不存在其他容许的中间数值。

这就是为甚么大量测量结果，尤其是观察个别油滴的电荷以离散步幅改变，比一张只有少量整数倍数值的表格更具说服力。

问题 5

一颗质量未知的油滴带负电，其电荷量大小为 \(5e\)。当向上的电力使它保持静止时，所需的平衡电场强度大小为 \(E_1\)。

之后，油滴失去一个电子。在电场尚未调整之前，它开始向下移动。实验人员增加电场强度，直到油滴再次静止，此时的电场强度为 \(E_2\)。

一位学生认为：

「因为油滴向下移动，所以重力一定变强了。因此，除非我们已经知道油滴的质量，否则这项观察无法告诉我们任何关于电荷量子化的资讯。」

另一位学生认为：

「不需要知道质量。单靠两次平衡条件，就能检验电荷是否恰好改变了一个基本单位。」

假设失去一个电子对油滴总质量造成的变化可以忽略。

a. 求 \(E_2/E_1\)。
b. 解释为甚么油滴在失去电子后立即向下移动，是可以预期的现象。
c. 说明如何在不测定油滴质量的情况下，利用同一颗未知质量油滴的一连串平衡电场测量结果，提供支持电荷量子化的证据。
d. 指出概念上的限制：为甚么单靠平衡电场的比值，仍然无法确定 \(e\) 以库仑表示的数值？

解答 5

第二位学生是正确的：\(E_2/E_1=5/4\)。对同一颗油滴重复测量平衡电场的比值，可以在不知道其质量的情况下揭示整数单位的电荷变化。不过，单靠这些比值，无法确定 \(e\) 以库仑表示的大小。

最初的电荷量大小为

\[ q_1=5e. \]

由于油滴静止，

\[ 5eE_1=mg. \]

失去一个电子后，负电荷量的大小变成

\[ q_2=4e. \]

要让油滴再次保持静止，

\[ 4eE_2=mg. \]

由于两个式子都等于相同的 \(mg\)，

\[ 5eE_1=4eE_2. \]

约去 \(e\)：

\[ 5E_1=4E_2. \]

因此，

\[ \frac{E_2}{E_1}=\frac54=1.25. \]

所需的电场强度必须增加 25%。

然而，在刚失去电子的一刻，电场仍然是 \(E_1\)。因此，向上的电力会由

\[ F_{E,\text{before}}=5eE_1 \]

变成

\[ F_{E,\text{after}}=4eE_1. \]

但重力仍然是

\[ mg=5eE_1. \]

因此，

\[ F_{E,\text{after}}<mg. \]

合力向下，所以油滴开始向下加速。

重力并没有变强。向上的电力变弱，是因为电荷量的大小减少了。

现在来看看，为甚么对同一颗油滴进行重复测量如此有用。对于每一个静止平衡状态，

\[ q_iE_i=mg. \]

如果油滴的质量保持不变，

\[ q_i\propto\frac{1}{E_i}. \]

假设连续的电荷状态分别对应

\[ 5e,\quad4e,\quad3e,\quad2e. \]

它们的平衡电场必须满足

\[ 5eE_5=4eE_4=3eE_3=2eE_2=mg. \]

因此，电场强度的大小会与以下数值成正比：

\[ \frac15,\quad\frac14,\quad\frac13,\quad\frac12. \]

所以，测得的电场强度之间的比值，可以揭示不同电荷状态之间简单的整数关系，而不需要知道 \(m\)。

这就推翻了第一位学生的论点。在比较同一颗油滴的多个平衡状态时，未知的重力并不是障碍，因为每条方程式中都出现相同的 \(mg\)，可以互相约去。

更深一层的限制出现在 d 小题。

假设实验令人信服地显示，油滴经历了电荷量相对大小为

\[ 2:3:4:5 \]

的不同状态。

这确立了离散的规律，但平衡电场的比值并不包含电荷量的绝对尺度。对于某个 \(e\) 值，方程式可以涉及

\[ 2e,\ 3e,\ 4e,\ 5e \]

也可以对另一个未知单位 \(k\) 写成

\[ 2k,\ 3k,\ 4k,\ 5k, \]

而电场强度的比值完全相同。

要确定基本电荷量以库仑表示的数值，就需要进行绝对力值的测量。这要求我们知道油滴的有效重量、电场强度大小等物理量，而不能只依靠不同电荷状态之间的比值。

这里的核心概念是：证明量子化与确定绝对数值，是两项不同的成就。

对同一颗油滴进行重复测量，可以揭示电荷以离散的步幅改变。但要确定每一步的大小具体约为

\[ 1.60\times10^{-19}\ \text{C} \]

就需要一个经过独立校准的测量尺度。

这个区别也把密立根的研究与汤姆森的工作联系起来。汤姆森确立了电荷质量比；密立根则提供了电荷量的绝对尺度。结合这两项测量，物理学家便能从阴极射线行为所呈现的规律，进一步确定电子本身的数值性质。