放射性衰变常数与半衰期：HSC 物理详解
了解衰变常数与半衰期之间的关系、为甚么大量样本的放射性衰变可以预测，以及如何解答 HSC 物理题目。
放射性衰变常数与半衰期：HSC 物理详解
一个放射性样本可能在一段时间内看起来完全没有变化，接著突然剩下少得多的不稳定原子核。这带来了一个难以理解的预测问题：如果一个铀原子核今天发生衰变的机率与明天一样，那么我们究竟如何预测这个样本何时会耗尽？
假设你有 1,000,000 个不稳定原子核。你可能会预期，经过一段时间后，其中一半会衰变；再经过相同的时间，剩下的一半又会衰变。为甚么会出现这种规律？即使我们无法预测单一次个别衰变，为甚么仍然能够预测大量原子核的整体行为？
关键概念是：对个别原子核而言，放射性衰变是随机的；但对大量原子核而言，其整体行为是可以预测的。衰变常数将这两个概念连系起来。它告诉我们每个原子核在指定时间内发生衰变的可能性有多大。
01建立放射性衰变的概念
想像一大群人正离开体育场。
如果每个人在下一分钟内离开的机率都相同，而且这个机率很小，你就无法准确预测下一个离开的人是谁。然而，由于人数众多，你仍然能够相当准确地预测每分钟会有多少人离开。
放射性原子核的行为也很相似。
每个不稳定原子核都有一定的衰变机率。它不会「等到」某个特定的年龄才发生衰变。一个已存在 1 秒的原子核，在接下来 1 秒内发生衰变的机率，与一个已存在 1000 年的原子核相同。
这称为无记忆过程（memoryless process）。
一个常见的预测是：
「如果一半的原子核发生衰变，剩下的原子核应该会变得更稳定，因为它们已经存活了更久。」
这个想法听起来很合理，因为许多日常物品确实会随时间老化。手机电池使用多年后会逐渐变弱，汽车零件也会随时间磨损。
放射性原子核则不同。剩下的原子核并不是「更强韧的幸存者」。它们发生衰变的机率与之前完全相同。
02从机率到衰变常数
衰变常数以符号 \(\lambda\)（lambda）表示，用来量度每单位时间内发生衰变的机率。
较大的 \(\lambda\) 代表：
- 个别原子核在指定时间内更有可能发生衰变，
- 样本的数量减少得更快，
- 半衰期更短。
较小的 \(\lambda\) 代表：
- 个别原子核发生衰变的可能性较低，
- 样本的数量减少得更慢，
- 半衰期更长。
衰变常数与半衰期之间的关系为：
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
其中：
- \(\lambda\) 是衰变常数，单位为 \(\text{s}^{-1}\)（或其他倒数时间单位），
- \(\ln 2\) 是 2 的自然对数，约为 \(0.693\)，
- \(t_{1/2}\) 是半衰期，单位为秒（或与 \(\lambda\) 所使用的时间单位相同）。
为甚么会出现 \(0.693\)？
放射性物质的数量会以指数方式减少。经过一个半衰期后，剩余的物质数量为：
\[ \frac{1}{2} \]
指数衰变模型为：
\[ N = N_0 e^{-\lambda t} \]
其中：
- \(N\) 是经过时间 \(t\) 后尚未衰变的原子核数目，
- \(N_0\) 是原本的原子核数目，
- \(e\) 是欧拉数，约为 \(2.718\)，
- \(t\) 是时间。
经过一个半衰期时：
\[ \frac{N}{N_0}=\frac{1}{2} \]
因此：
\[ \frac{1}{2}=e^{-\lambda t_{1/2}} \]
解出这个方程式可得：
\[ \lambda t_{1/2}=\ln 2 \]
因此：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
这条方程式并不是一条关于个别原子的全新规则，而是以数学方式描述大量随机事件所形成的规律。
03将半衰期视为简便方法
与衰变常数相比，半衰期通常更容易理解和想像。
如果一个样本最初含有 \(N_0\) 个原子核：
- 经过一个半衰期：\(N=\frac{N_0}{2}\)
- 经过两个半衰期：\(N=\frac{N_0}{4}\)
- 经过三个半衰期：\(N=\frac{N_0}{8}\)
原子核数目并不是每次都减少相同的数量，而是每次都减少相同比例。
例如，一个样本的变化可以如下表示：
| 经过的时间 | 剩余比例 |
|---|---|
| 0 个半衰期 | \(1\) |
| 1 个半衰期 | \(\frac{1}{2}\) |
| 2 个半衰期 | \(\frac{1}{4}\) |
| 3 个半衰期 | \(\frac{1}{8}\) |
这正是学生经常犯错的地方。他们看到「半衰期」一词，就以为样本每次都会失去原始数量的一半。
这是不正确的。
经过第一个半衰期后，原始样本的一半已经衰变。经过第二个半衰期后，额外衰变的只有原始样本的四分之一。
04将衰变常数与活度连系起来
放射性活度是原子核发生衰变的速率。
活度的单位是贝可（Bq），其中：
\[ 1\text{ Bq}=1\text{ 次衰变每秒} \]
活度 \(A\) 与尚未衰变的原子核数目之间的关系为：
\[ A=\lambda N \]
其中：
- \(A\) 是活度，单位为贝可，
- \(\lambda\) 是衰变常数，
- \(N\) 是尚未衰变的原子核数目。
这条方程式赋予了 \(\lambda\) 一个重要的物理意义。
如果两个样本含有相同数目的放射性原子核，衰变常数较大的样本便具有较高的活度，因为每个原子核发生衰变的机率较高。
然而，一个快速衰变同位素的小样本，其活度可能低于一个缓慢衰变同位素的大样本。因此，原子核的数目同样重要。
05计算示例：根据半衰期求衰变常数
某放射性同位素的半衰期为 8.0 天。计算其衰变常数，并以 \(\text{day}^{-1}\) 为单位表示。
步骤 1
公式为：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
已知半衰期为：
\[ t_{1/2}=8.0\text{ 天} \]
步骤 2
\[ \lambda=\frac{0.693}{8.0} \]
步骤 3
\[ \lambda=0.0866\text{ day}^{-1} \]
步骤 4
衰变常数为 \(\,0.0866\text{ day}^{-1}\)。这表示每个原子核每天发生衰变的机率可由这个衰变常数描述，而整个样本则遵循这种平均衰变规律。
06计算示例：利用衰变常数求活度
某样本含有 \(3.0\times10^{20}\) 个放射性原子核，其衰变常数为 \(2.0\times10^{-6}\text{ s}^{-1}\)。计算其活度。
步骤 1
\[ A=\lambda N \]
其中：
- \(A\) 是活度，单位为 Bq，
- \(\lambda=2.0\times10^{-6}\text{ s}^{-1}\)，
- \(N=3.0\times10^{20}\)。
步骤 2
\[ A=(2.0\times10^{-6})(3.0\times10^{20}) \]
步骤 3
\[ A=6.0\times10^{14}\text{ Bq} \]
步骤 4
平均而言，这个样本每秒发生 \(6.0\times10^{14}\) 次衰变。个别原子核仍然是随机地发生衰变，但大量原子核的存在使活度变得可以预测。
07简单模型需要更谨慎处理的情况
以上方程式假设：
- 样本没有被添加物质或移除物质，
- 同位素正在自然衰变，
- 衰变常数维持不变，
- 原子核的数目足够多，使统计规律具有可靠性。
对单一原子核而言，说「衰变的机率是 \(\lambda\)」并不完全准确。机率取决于所考虑的时间间隔。衰变常数是一个速率，而不是预测某个特定原子会在某个特定时刻发生衰变。
这个区别正是放射性衰变既随机又可以预测的原因。
你不能说：
「那个原子核明天就会衰变。」
你可以说：
「在大量相似的原子核中，我们预期有一个可预测的比例会在这段时间内发生衰变。」
08与核反应方程式的连系
衰变常数与半衰期描述放射性样本变化的速度。要理解样本会转变成甚么，你需要研究辐射的种类以及核反应本身。
例如，阿尔法衰变会透过释放一个阿尔法粒子来改变原子核。这些反应背后的守恒规则，会在阿尔法衰变：核反应方程式与辐射特性中进一步解释。
09问题与解答
问题 1
某放射性同位素的半衰期为 12 小时。计算其衰变常数，并以 \(\text{hour}^{-1}\) 为单位表示。
解答 1
衰变常数为 \(\,0.0578\text{ hour}^{-1}\)。可利用以下公式，将半衰期转换为衰变速率：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
代入数值：
\[ \lambda=\frac{0.693}{12} \]
\[ \lambda=0.0578\text{ hour}^{-1} \]
这个结果表示，与衰变常数较小的同位素相比，该同位素每小时的衰变机率较高，但这并不代表每个原子核都以这个速率发生衰变。
问题 2
某样本最初含有 \(8.0\times10^{18}\) 个放射性原子核，半衰期为 5.0 天。经过 15 天后，还剩下多少个原子核？
解答 2
经过 15 天后，样本还剩下 \(1.0\times10^{18}\) 个原子核。关键在于认清 15 天相当于三个半衰期。
首先，计算半衰期的数目：
\[ \text{半衰期数目}=\frac{15}{5.0}=3 \]
套用逐次减半的规律：
\[ N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
\[ N=(8.0\times10^{18})\left(\frac{1}{8}\right) \]
\[ N=1.0\times10^{18} \]
一个容易令人误入歧途的错误，是连续三次减去原始数量的一半。放射性衰变会使剩余数量减半，而不是使原始数量每次减半。
问题 3
两个放射性样本含有相同数目的原子核。样本 A 的半衰期为 2 天，样本 B 的半衰期为 20 天。解释哪个样本的初始活度较高，以及原因。
解答 3
样本 A 的初始活度较高，因为它具有较大的衰变常数。活度取决于：
\[ A=\lambda N \]
两个样本的 \(N\) 相同，因此比较结果只取决于 \(\lambda\)。
根据：
\[ \lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
半衰期越短，衰变常数就越大。由于样本 A 的半衰期较短，因此在初始时，每秒发生衰变的原子核数目较多。
容易掉进的陷阱，是以为寿命较长的样本储存了更多「放射性」。放射性活度反映的是衰变速率，而不是同位素能存续多久。
问题 4
一位科学家测量某放射性样本的活度，发现活度在 18 小时内由 \(1600\text{ Bq}\) 降至 \(200\text{ Bq}\)。样本没有损失任何物质。求出半衰期，并解释为甚么这个结果不代表每个原子核都等待 6 小时才发生衰变。
解答 4
半衰期为 6.0 小时，因为活度经过连续三次减半。
活度的变化如下：
\[ 1600\text{ Bq}\rightarrow800\text{ Bq}\rightarrow400\text{ Bq}\rightarrow200\text{ Bq} \]
这相当于三个半衰期。
\[ 3t_{1/2}=18\text{ h} \]
\[ t_{1/2}=6.0\text{ h} \]
第二部分尤其重要：个别原子核并没有按照固定时间表发生衰变。有些原子核较早发生衰变，有些则在 18 小时后仍未衰变。半衰期描述的是整个样本的统计行为。
问题 5
一名学生提出以下论点：
「同位素 X 的半衰期比同位素 Y 短，因此经过非常长的时间后，同位素 X 必定会比同位素 Y 剩下更少尚未衰变的原子核。」
两个样本最初含有相同数目的原子核。评估这个说法。
解答 5
这个说法不一定正确，因为结果取决于所考虑的时间。
半衰期较短，代表同位素 X 的衰变常数较大，数量减少得更快。因此，在开始衰变后的许多时间点上，X 会比 Y 剩下更少尚未衰变的原子核。
然而，经过极长的时间后，两个样本中剩余的原子核数目都会趋近于零。这个说法使用了「必定」一词，因此过于绝对。
两者之间的确切关系为：
\[ N=N_0e^{-\lambda t} \]
由于同位素 X 的 \(\lambda\) 较大，因此它的曲线下降得更快。然而，两者的数值都取决于所选择的时间 \(t\)。当 \(t=0\) 时，两者相等；当 \(t\) 非常大时，两者都会极度接近零。
更深一层的概念是：较大的衰变常数会改变过程的速度，而不会改变最终的趋向。放射性衰变并不是一场让其中一个样本最终到达不同终点的竞赛，而是一个由衰变常数所支配、持续进行的机率过程。这个相同的概念也有助于比较核物理应用中不同的放射性示踪剂。