核分裂：核分裂产物、中子与能量

假设一颗中子进入铀-235 原子核，而该原子核分裂成两个较小的原子核。过程中有另外三颗中子飞出，并释放出约 200 MeV 的能量。这些能量从何而来？为甚么这三颗中子能让这个过程再次发生？

这些问题正是理解核分裂的切入点。重要的概念不只是大型原子核「分裂开来」，而是你需要追踪产物是甚么、中子从何而来，以及为甚么最终粒子的总静止质量比初始系统少。

01核分裂实际上会发生甚么？

从一个铀-235 原子核开始。它有 92 个质子和 143 个中子。

一颗中子可以被原子核吸收：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U}+{}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{236}_{92}\mathrm{U}^{*} \]

星号表示铀-236 原子核处于激发态。它具有额外的能量，而且不稳定到足以发生形变并分裂。

中子在这里很有用，因为它不带电。当带正电的质子接近同样带正电的铀原子核时，会受到静电斥力；中子则不会面对这种斥力。

想像原子核被拉长

一个有用的初步模型，是把重原子核想像成一团挤得很密的核子。如果它获得足够的激发能量，就可能被拉长成哑铃状，然后分离。

这个过程涉及几种作用力之间的竞争。

• 强核力将彼此接近的核子束缚在一起。
• 静电力使带正电的质子互相排斥。
• 在非常重的原子核中，质子的数目很多，因此总静电斥力相当大。

想像一群非常拥挤的人试图围著一张小桌子挤在一起。两端的人彼此之间的直接互动并不强，但他们仍然都想离开拥挤的人群。分成两群，可能比维持一个难以容身的队形更容易。

这个类比并不完全准确，因为原子核是量子系统，而不是一群人；此外，强核力的作用范围非常短。不过，它仍然能提供正确的初步图像：当重原子核发生足够大的形变，使核吸引力与质子斥力之间的平衡有利于分离时，就会发生核分裂。

02核分裂产物并不总是相同

一个常见的错误，是以为铀-235 每次都会分裂成两个相等的部分。

事实并非如此。

只要符合守恒定律，一次核分裂就可以产生许多不同组合的两个中等质量原子核。这两个较大的原子核称为核分裂碎片，它们通常具有放射性。

其中一种可能的核分裂反应是：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{92}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n} + \text{能量} \]

检查各项数值。

反应前的总质量数为：

\[ 235+1=236 \]

反应后：

\[ 141+92+3=236 \]

反应前的总原子序为：

\[ 92+0=92 \]

反应后：

\[ 56+36=92 \]

因此，这两个量都符合守恒。

在这里，\(A\) 是质量数，即质子与中子的总数；而 \(Z\) 是原子序，即质子的数目。

这带出一个重要的考试概念区分：

最后一列正是能量的来源。

03那么，能量从何而来？

令人意外的是：

产物的总静止质量略小于反应物的总静止质量。

这并不违反能量守恒。减少的静止质量已转化为其他形式的能量，其中主要是核分裂碎片的动能。

这个关系式来自爱因斯坦：

\[ E=mc^2 \]

其中，\(E\) 是能量，\(m\) 是质量，而 \(c\) 是真空中的光速。

由于 \(c^2\) 的数值极大，即使质量只减少一点点，也会对应到大量能量。

束缚能提供了物理上的原因

我们可以把解释说得更精确。

与原本非常重的原子核相比，核分裂产物通常具有较高的每核子束缚能。换句话说，它们的核子处于能量较低的原子核排列状态。

初始状态与最终状态之间的能量差便会释放出来。

你可以把它想像成物体从较高的架子移到较低的架子。物体下落时会失去重力位能。在核分裂中，原子核转变成能量较低的核排列状态，而两者之间的能量差就会以释放能量的形式出现。

这个类比只涉及能量状态。原子核并不是字面意义上在空间中向下掉落。

对于铀等重原子核，核分裂会使核子转变成每核子束缚能较高的原子核。束缚能的增加，就是核分裂能够释放能量的根本原因。

如果你还不熟悉质量亏损的概念，可以参考 tutorgum 的质量亏损与核束缚能指南，其中会更详细地讲解相关计算。

释放出来的能量会变成甚么？

核分裂事件释放的能量并非全部由同一种粒子携带。

一次典型的核分裂事件总共会释放约 200 MeV，但确切数值会因核分裂事件而异。

其中大部分能量最初会以两个重核分裂碎片的动能形式出现。由于两个碎片都带正电，并且彼此强烈排斥，因此它们会向相反方向飞离。

部分能量也会以以下形式出现：

• 放出中子的动能，
• 伽马射线，
• 与核分裂产物之后的放射性衰变有关的能量。

当高速粒子与周围物质相互作用时，它们的动能会传递给该物质。在核反应堆中，这些能量最终会转化为热能，可用来加热水并产生蒸汽。

04放出的中子有甚么作用？

中子是核分裂过程中能把一次核反应转变成多次核反应的关键。

在上面的例子中，一次核分裂会产生三颗中子。这些中子可以与其他铀-235 原子核相互作用，并引发进一步的核分裂。

这就形成了连锁反应。

但要小心措辞。

三颗中子并不等于一定会引发三次进一步的核分裂。

一颗中子可能会：

• 引发另一次核分裂，
• 逃离材料，
• 在不引发核分裂的情况下被吸收，
• 或以其他方式发生相互作用。

因此，重要的量并不只是「每次核分裂产生多少颗中子」。真正重要的是，有多少颗中子能成功引发进一步的核分裂。

在简单的连锁反应模型中，增殖因子 \(k\) 用来描述核分裂次数如何随每一代而改变。

如果 \(k>1\)，核分裂次数通常会增加。

如果 \(k=1\)，连锁反应会以大致相同的速率持续进行。

如果 \(k<1\)，反应通常会逐渐减弱，最后停止。

核反应堆的实际行为比这个简单模型复杂得多，但这个概念非常有用。

快速判断核分裂题目的方法

当你看到一道核分裂题目时，可以把资讯分成三个部分：

1. 核分裂产物

会产生两个主要原子核，而且它们通常具有放射性。

2. 中子

每次核分裂通常会放出两至三颗瞬发中子，具体数目取决于该次核分裂事件。

3. 能量

产物的总静止质量较低，而总束缚能较高，因此质量差会以能量形式释放。

只要把这三种产物分开考虑，就能避免几种常见错误。

05为甚么核分裂产物具有放射性？

核分裂碎片所含的中子，往往比同等大小的稳定原子核所能容纳的中子更多。

因此，它们会经历放射性衰变，逐步转变成较稳定的原子核排列状态。

其中一种常见的衰变途径是β⁻ 衰变。在 β⁻ 衰变中，一颗中子会转变成一颗质子，同时放出一颗电子。

例如，钡-141 可以发生以下反应：

\[ {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} \rightarrow {}^{141}_{57}\mathrm{La} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} + \bar{\nu}_e \]

质量数维持在 141，因为核子总数并没有改变。

原子序由 56 增加至 57，因为一颗中子已转变成一颗质子。

放出的电子就是 β⁻ 粒子，而 \(\bar{\nu}_e\) 代表电子反中微子。

这与 β 衰变和核反应方程式 有直接关系。

这里有一个重要的时间先后区别：

先发生核分裂。核分裂产物之后才可能发生放射性衰变。

因此，当题目提到核分裂产物发出的 β 或 γ 辐射时，不要自动把它们视为原始分裂事件的一部分。部分能量会在核分裂时立即释放，而另一部分则会在不稳定的产物之后衰变时才释放。

06最容易令人误解的概念

一名学生可能会说：

「原子核分裂了，所以能量是由中子撞击原子核而产生的。」

这并不是主要的解释。

入射中子很重要，因为它能触发核分裂过程，尤其是在它被合适的可裂变原子核吸收时。不过，大量能量的释放，是来自初始与最终核能量状态之间的差异。

另一名学生可能会说：

「有三颗中子飞出，所以一定有另外三个原子核分裂。」

同样地，这是不正确的。

放出的中子只是令连锁反应有可能发生。连锁反应是否会持续增长，取决于这些中子之后的去向。

第三名学生可能会说：

「质量是守恒的，所以不可能有质量亏损。」

正确的说法是，核反应方程式中的质量数守恒，但静止质量可以减少。核反应守恒的是总质量能，而不是单独的静止质量。

07题目与解答

题目 1

一个铀-235 原子核吸收一颗中子，并产生氙-140、锶-94 和 \(x\) 颗中子。

求出 \(x\)，并验证原子序是否守恒。

解答 1

放出的中子数目是 2，因为根据质量数守恒：

\[ 235+1=140+94+x \]

\[ 236=234+x \]

因此：

\[ x=2 \]

原子序的检查如下：

\[ 92=54+38 \]

所以电荷也守恒。

配平后的反应为：

\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow {}^{140}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{94}_{38}\mathrm{Sr} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n} + \text{能量} \]

容易犯的错误是只注意两个较大的碎片，却忘记有部分核子会以自由中子的形式离开。质量数计算会迫使你把它们也计算在内。

题目 2

某次核分裂事件的质量亏损为 \(0.214\,\mathrm{u}\)。

计算释放的能量，并分别以：

(a) 焦耳，以及
(b) MeV 表示。

然后解释为甚么核分裂产物的总静止质量比反应物低。

解答 2

释放的能量约为 \(3.2\times10^{-11}\,\mathrm{J}\)，即 \(200\,\mathrm{MeV}\)。产物的静止质量较低，是因为它们形成了束缚程度更高的原子核排列状态。

步骤 1：把质量亏损换算成公斤。

\[ \Delta m = 0.214\times1.66\times10^{-27} \]

\[ \Delta m = 3.55\times10^{-28}\,\mathrm{kg} \]

步骤 2：套用爱因斯坦的质能方程式。

\[ E=\Delta mc^2 \]

\[ E = (3.55\times10^{-28}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E \approx 3.20\times10^{-11}\,\mathrm{J} \]

步骤 3：换算成 MeV。

\[ E = \frac{3.20\times10^{-11}} {1.60\times10^{-13}} \]

\[ E\approx200\,\mathrm{MeV} \]

释放能量的物理原因，是核分裂产物的每核子束缚能比原本的重原子核更高。因此，最终核系统的静止质量能较低。两者之间的差值会以动能、辐射及其他释放能量的形式出现。

要避免的错误，是说质量只是「消失了」。事实并非如此。它的静止质量能已转移至其他形式的能量。

题目 3

在连锁反应的某一代中，发生了 100 次核分裂。每次核分裂恰好释放 3 颗中子。

在产生的 300 颗中子中：

• 20% 逃离，
• 30% 在不引发核分裂的情况下被吸收，
• 其余的中子各自引发一次进一步的核分裂。

假设每一代都遵循相同比例。

求出：

(a) 下一代的核分裂次数，
(b) 再下一代的核分裂次数，以及
(c) 判断连锁反应是在增长还是逐渐减弱。

解答 3

下一代会有 150 次核分裂，再下一代则有 225 次，因此连锁反应正在增长。

步骤 1：找出会引发核分裂的中子比例。

逃离及未引发核分裂的吸收比例合计为：

\[ 20\%+30\%=50\% \]

因此，有 50% 的中子会引发核分裂。

步骤 2：求出下一代的核分裂次数。

共有 300 颗中子：

\[ N_1=300\times0.50 \]

\[ N_1=150 \]

因此，下一代会发生 150 次核分裂。

步骤 3：求出这 150 次核分裂所产生的中子数目。

每次核分裂会产生 3 颗中子：

\[ 150\times3=450 \]

步骤 4：套用相同的 50% 成功率。

\[ N_2=450\times0.50 \]

\[ N_2=225 \]

因此，再下一代会有 225 次核分裂。

反应正在增长，因为每一代的核分裂次数都比上一代多：

\[ 100\rightarrow150\rightarrow225 \]

在这个简化模型中，增殖因子为：

\[ k=3\times0.50=1.5 \]

由于 \(k>1\)，核分裂次数会增加。

容易犯的错误，是看到每次核分裂会产生三颗中子，就假设会引发三次进一步的核分裂。这忽略了每颗中子的去向。中子的产生只是连锁反应的一部分。

题目 4

某次核分裂事件产生了具有放射性的核分裂产物 \({}^{141}_{56}\mathrm{Ba}\)。

一名学生声称：

「既然核分裂已经释放能量，钡产物就一定是稳定的。」

评估这个说法。写出一个适用于钡-141 的 β⁻ 衰变方程式，并说明其质量数、原子序和中子数会怎样改变。

解答 4

这个说法不正确。钡-141 可以发生 β⁻ 衰变，因为这种核分裂产物富含中子，并且可以透过将一颗中子转变成一颗质子，形成更稳定的原子核。

简化的核反应方程式为：

\[ {}^{141}_{56}\mathrm{Ba} \rightarrow {}^{141}_{57}\mathrm{La} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e} + \bar{\nu}_e \]

步骤 1：追踪质量数。

质量数保持不变：

\[ 141\rightarrow141 \]

β⁻ 衰变不会使原子核失去核子。

步骤 2：追踪原子序。

原子序会增加：

\[ 56\rightarrow57 \]

这是因为一颗中子转变成一颗质子。

步骤 3：追踪中子数。

衰变前：

\[ N=141-56=85 \]

衰变后，子核的中子数为：

\[ N=141-57=84 \]

因此，中子数减少一，而质子数增加一。

步骤 4：把这一点与核分裂能量联系起来。

原本的核分裂事件与之后的放射性衰变是两个不同阶段。核分裂会产生不稳定的钡原子核。之后，钡可以透过 β 衰变及可能发生的 γ 衰变释放额外能量，并逐渐转变成较稳定的状态。

要避免的错误，是把「核分裂产物」当成「稳定产物」的同义词。核分裂产物往往具有放射性，正是因为分裂会产生中子与质子比例不理想的原子核。

题目 5

两个理想化的可裂变系统 A 和 B，最初都发生了相同的 100 次核分裂。

本题假设以下平均行为在每一代中都完全准确：

假设没有引发核分裂的中子不会产生其他影响。

求出：

(a) 哪个系统在下一代产生较多核分裂，
(b) 哪个系统在下一代释放较多能量，
(c) 哪个系统在第五代释放较多能量，以及
(d) 解释为甚么 (b) 的答案可能与 (a) 的答案不同。

解答 5

系统 A 在之后每一代都会产生较多核分裂，因为它的中子增殖因子较大；但系统 B 的每次核分裂释放较多能量。系统 B 在最初几代释放较多能量，而系统 A 最终会超越它，因为 A 的核分裂数量增长得更快。到了第五代，系统 A 释放的能量略多。

步骤 1：求出每个系统的增殖因子。

对于 A，每次核分裂会产生 3 颗中子，其中 55% 会引发另一次核分裂：

\[ k_A=3\times0.55 \]

\[ k_A=1.65 \]

对于 B：

\[ k_B=2\times0.80 \]

\[ k_B=1.60 \]

因此，A 的增殖因子较大。

步骤 2：求出下一代的核分裂次数。

从 100 次核分裂开始：

\[ N_{A,1}=100\times1.65=165 \]

\[ N_{B,1}=100\times1.60=160 \]

因此，A 在下一代产生较多核分裂。

步骤 3：计算该代释放的能量。

对于 A：

\[ E_{A,1}=165\times190 \]

\[ E_{A,1}=31\,350\,\mathrm{MeV} \]

对于 B：

\[ E_{B,1}=160\times220 \]

\[ E_{B,1}=35\,200\,\mathrm{MeV} \]

因此，B 在下一代释放较多能量。

这是整道题目的关键。B 的核分裂次数较少，但每次核分裂释放的能量较多。

步骤 4：追踪第五代。

第 \(n\) 代的核分裂次数，可以透过每一代乘以相应的 \(k\) 值求得。

对于 A：

\[ N_{A,5} = 100(1.65)^5 \]

\[ N_{A,5} \approx1223 \]

对于 B：

\[ N_{B,5} = 100(1.60)^5 \]

\[ N_{B,5} \approx1049 \]

现在计算该代释放的能量。

对于 A：

\[ E_{A,5} = 1223\times190 \]

\[ E_{A,5} \approx232\,000\,\mathrm{MeV} \]

对于 B：

\[ E_{B,5} = 1049\times220 \]

\[ E_{B,5} \approx231\,000\,\mathrm{MeV} \]

因此，到了第五代，系统 A 释放的能量略多。

容易犯的错误，是因为 \(220\,\mathrm{MeV}\) 大于 \(190\,\mathrm{MeV}\)，就直接选择 B。这只比较了单次核分裂所释放的能量，却忽略了核分裂的次数。

更深层的关键在于，每次核分裂的能量与中子增殖是不同的物理量。一个系统即使每次核分裂都释放较多能量，其连锁反应仍可能增长得较慢。在这个例子中，A 较大的增殖因子最终会带来足够多的额外核分裂，抵销它每次核分裂释放能量较少的劣势。

在真实的核反应堆中，这个简单模型并不完整。中子能量、几何形状、中子泄漏、吸收、燃料成分及控制系统，都会影响连锁反应。不过，这个区分仍然非常重要：中子决定核分裂次数如何改变，而每次核分裂释放的能量，则取决于初始与最终状态之间的核能量差。

08必须一起理解的三个概念

在 HSC 作答时解释核分裂，应该把各个部分连系起来，而不是把它们分开列出：

1. 一颗中子可以被重的可裂变原子核吸收，形成激发态原子核。
2. 激发态原子核可以发生形变，并分裂成两个核分裂碎片。
3. 这些碎片不一定大小相等，而且通常具有放射性。
4. 通常会放出两至三颗瞬发中子，因此有可能形成连锁反应。
5. 最终核产物的总静止质量较低，而总束缚能较高。
6. 质量差会转化为释放的能量，主要表现为核分裂碎片的动能。
7. 具有放射性的核分裂产物之后可能发生 β 衰变和 γ 衰变，释放额外能量。

下一个值得学习的步骤，是把这个微观图像与核反应堆的运作联系起来：当你能辨认核分裂产物、中子和能量的去向时，就能理解为甚么中子慢化与控制会决定连锁反应是逐渐减弱、维持稳定，还是持续增长。