核束缚能：使用 E = mc² 将质量亏损转换为能量

想像一下，先测量一群自由质子和中子的总质量，再让它们形成一个原子核。形成后的原子核，其质量会比这些粒子分开时的总质量略小。这些质量去了哪里？又为什么如此微小的质量差异，能转化成数个 MeV 的能量？

答案是 \(E=mc^2\)，但 HSC 考试中重要的技能，是准确判断应使用哪一个质量差、已知的单位是什么，以及计算出的能量实际代表什么。

01从物理图像开始

可以把自由核子想像成位于较高的能阶。当它们形成稳定的束缚原子核时，整个系统会转移到较低的能量状态。

要发生这种转变，系统必须释放能量。由于质量与能量等价，能量较低的原子核，其静止质量也较小。

这个质量差称为质量亏损，记作 \(\Delta m\)。

其定义为

\[ \Delta m = m_{\text{自由核子}} - m_{\text{原子核}} \]

因此，对一般的束缚原子核而言，质量亏损为正值。

相应的束缚能，记作 \(E_b\)，是将原子核完全分解成各个自由质子和中子所需的能量。在初始状态与最终状态相同的前提下，这也等于自由核子形成束缚原子核时所释放的能量。

这里有一个有用但有其局限的心智模型：想像一颗球滚进较低的山谷。球在谷底时的位能较低，而两个位置之间的能量差已经释放出来。当然，原子核并不是真的像球一样滚进山谷。原子核的状态由量子力学描述，而这个图像也无法解释核力。它只是帮助我们理解能量差的一种方式。

那么，\(E=mc^2\) 在这里有什么作用？

严格来说，\(E=mc^2\) 给出的是与质量 \(m\) 相对应的静止能量。

对于质量的变化，应使用

\[ \Delta E = \Delta m c^2 \]

其中：

• \(\Delta E\) 是相应的静止能量变化，单位为焦耳；
• \(\Delta m\) 是质量差，单位为公斤；
• \(c\) 是光速，\(3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

计算原子核的束缚能时，我们取其正值：

\[ E_b=\Delta m c^2 \]

令人惊讶的地方在于 \(c^2\)。因为

\[ c^2 \approx 9.00\times10^{16}\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}, \]

即使质量亏损极小，也会对应到相当可观的能量。

02让计算变简单的单位选择

在使用计算机之前，先查看质量亏损的单位。

这里的 \(\mathrm{u}\) 是原子质量单位，而 \(A\) 是质量数，即质子和中子的总数。

这个快捷换算式

\[ 1\ \mathrm{u}\,c^2 \approx 931.5\ \mathrm{MeV} \]

直接源自 \(E=mc^2\)，并不是另一套不同的物理原理。

使用

\[ 1\ \mathrm{u}=1.6605\times10^{-27}\ \mathrm{kg}, \]

可得

\[ (1\ \mathrm{u})c^2 \approx 1.49\times10^{-10}\ \mathrm{J}, \]

这相当于约 \(931.5\ \mathrm{MeV}\)。

因此，如果质量亏损已经以 u 表示，再乘一次 \(c^2\) 就是错误的。\(c^2\) 已经包含在 \(931.5\ \mathrm{MeV/u}\) 这个换算关系中。

03计算范例：氦-4 原子核的束缚能

氦-4 原子核的质量亏损为 \(0.0304\ \mathrm{u}\)。计算其总束缚能，分别以 MeV 和焦耳表示。

步骤 1：由于质量亏损以原子质量单位表示，因此使用快捷换算式。

\[ E_b=\Delta m\times931.5 \]

步骤 2：代入质量亏损。

\[ E_b=(0.0304)(931.5) \]

\[ E_b=28.3176\ \mathrm{MeV} \]

步骤 3：将答案适当地四舍五入。

\[ \boxed{E_b\approx28.3\ \mathrm{MeV}} \]

步骤 4：如果题目有要求，将 MeV 转换成焦耳。

由于 \(1\ \mathrm{MeV}=1.602\times10^{-13}\ \mathrm{J}\)，

\[ E_b=(28.3176)(1.602\times10^{-13}) \]

\[ \boxed{E_b\approx4.54\times10^{-12}\ \mathrm{J}} \]

步骤 5：解释结果的物理意义。

要将氦-4 原子核完全分解成两个自由质子和两个自由中子，需要约 \(28.3\ \mathrm{MeV}\) 的能量。

请注意，这个答案并不是说原子核内含有一小包 \(28.3\ \mathrm{MeV}\) 的能量，可以直接将它取出。束缚能描述的是束缚原子核与核子彼此分离时的状态之间的能量差。

04计算范例：总束缚能与每核子束缚能

假设铁-56 原子核的质量亏损为 \(0.5285\ \mathrm{u}\)。计算其总束缚能，以及每核子的束缚能。

步骤 1：利用质量亏损计算总束缚能。

\[ E_b=(0.5285)(931.5) \]

\[ E_b=492.3\ \mathrm{MeV} \]

因此，总束缚能为

\[ \boxed{E_b\approx492\ \mathrm{MeV}} \]

步骤 2：除以质量数，求出每核子的束缚能。

铁-56 的 \(A=56\)。

\[ \frac{E_b}{A} \= \frac{492.3}{56} \]

\[ \boxed{\frac{E_b}{A}\approx8.79\ \mathrm{MeV/nucleon}} \]

步骤 3：分别解释这两个数值。

\(492\ \mathrm{MeV}\) 是整个原子核的束缚能。

\(8.79\ \mathrm{MeV/nucleon}\) 是平均值，可用来比较不同大小的原子核。

这并不代表每个核子都恰好贡献 \(8.79\ \mathrm{MeV}\)。核子之间并不是平均分配核束缚能的。

05提交答案前值得检查的错误

1. 使用错误的单位

如果 \(\Delta m\) 的单位是 kg，

\[ E_b=\Delta m c^2 \]

得出的单位是焦耳。

如果 \(\Delta m\) 的单位是 u，

\[ E_b=\Delta m\times931.5 \]

得出的单位是 MeV。

不要在第二个计算中再次乘上 \(c^2\)。

2. 把质量亏损的相减次序颠倒

一般采用的定义是

\[ \Delta m \= m_{\text{自由核子}} - m_{\text{原子核}} \]

如果正常的束缚原子核算出负值，请检查相减的次序。

束缚能以正值表示：

\[ E_b=\Delta m c^2 \]

这里使用的是正的质量亏损。

3. 混淆总束缚能与每核子束缚能

含有较多核子的原子核，其总束缚能可能大得多，单是因为它含有更多核子。

比较不同原子核时，每核子束缚能通常更有参考价值：

\[ \text{每核子束缚能} \= \frac{E_b}{A} \]

除非题目要求计算每核子的数值，否则不要除以 \(A\)。

4. 认为质量只是被摧毁了

更准确的说法是：束缚原子核的静止质量较低，因为系统已经释放能量。

总质能守恒。

「消失的质量」是一种方便的简称，但质量并没有凭空消失。

5. 把所有核能释放都称为束缚能

束缚能是将特定原子核分解成自由核子所需的能量。

核衰变或核反应则是另一类问题。要计算核反应释放的能量，应比较初始状态与最终状态的总质能。

这个区别在核分裂中特别重要。

如果你需要先利用质子、中子和原子核的质量计算质量亏损，请参阅质量亏损：消失的质量如何转化为原子核的束缚能。

06可靠的 HSC 计算流程

遇到质量亏损题目时，依照以下次序处理：

1. 确认 \(\Delta m\) 的单位。
2. 选择相应的公式。
3. 计算总束缚能。
4. 只有在题目要求其他单位时，才进行单位换算。
5. 只有在题目要求每核子束缚能时，才除以 \(A\)。
6. 检查答案的数值大小和单位是否合理。
7. 说明能量的物理意义。

最后一步很容易被忽略。在书面答案中，不要只把 \(E_b=492\ \mathrm{MeV}\) 留在纸上。应说明这是将原子核分解成自由核子所需的能量。

07题目与解答

题目 1

某原子核的质量亏损为 \(0.00400\ \mathrm{u}\)。计算其以 MeV 表示的束缚能。

解答 1

束缚能为 \(3.73\ \mathrm{MeV}\)。 由于质量亏损以原子质量单位表示，因此使用 \(931.5\ \mathrm{MeV/u}\) 的换算关系。

\[ E_b=\Delta m\times931.5 \]

\[ E_b=(0.00400)(931.5) \]

\[ \boxed{E_b=3.73\ \mathrm{MeV}} \]

关键在于选择适当的单位换算方式。如果直接使用 \(E_b=\Delta mc^2\)，就必须先将质量亏损由 u 转换成 kg。

题目 2

某原子核的质量亏损为 \(6.64\times10^{-29}\ \mathrm{kg}\)。

计算：

• 以焦耳表示的束缚能；
• 以 MeV 表示的束缚能。

解释为什么以 MeV 表示时，数值会大幅增加。

解答 2

束缚能为 \(5.98\times10^{-12}\ \mathrm{J}\)，亦即 \(37.4\ \mathrm{MeV}\)。 质量亏损已经以公斤表示，因此可以直接使用 \(E_b=\Delta mc^2\)。

步骤 1：代入质量亏损和光速。

\[ E_b \= (6.64\times10^{-29}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_b=5.976\times10^{-12}\ \mathrm{J} \]

因此，

\[ \boxed{E_b=5.98\times10^{-12}\ \mathrm{J}} \]

步骤 2：将焦耳转换成 MeV。

由于

\[ 1\ \mathrm{MeV}=1.60\times10^{-13}\ \mathrm{J}, \]

\[ E_b \= \frac{5.976\times10^{-12}} {1.60\times10^{-13}} \]

\[ \boxed{E_b\approx37.4\ \mathrm{MeV}} \]

数值之所以改变，是因为 MeV 是比焦耳小得多的能量单位。实际的物理能量并没有增加。

一个容易犯的错误，是看到 \(6.64\times10^{-29}\ \mathrm{kg}\)，便预期能量也会有同样小的数值。将这个微小质量差转换成大得多的能量尺度，关键就在于因子 \(c^2\)。

题目 3

原子核 A 的质量数为 \(A=40\)，质量亏损为 \(0.342\ \mathrm{u}\)。

原子核 B 的质量数为 \(A=16\)，质量亏损为 \(0.150\ \mathrm{u}\)。

计算每个原子核的总束缚能和每核子束缚能。哪个原子核的总束缚能较大？哪个原子核的每核子束缚能较大？

解答 3

原子核 A 的总束缚能较大，但原子核 B 的每核子束缚能较大。 这题的陷阱，是假设「总束缚能较大」和「每核子束缚能较大」必定会指向同一个原子核。

对原子核 A：

\[ E_{b,A}=(0.342)(931.5) \]

\[ E_{b,A}=318.6\ \mathrm{MeV} \]

因此，

\[ \boxed{E_{b,A}\approx319\ \mathrm{MeV}} \]

每核子的束缚能为

\[ \frac{E_{b,A}}{A} \= \frac{318.6}{40} \]

\[ \boxed{7.96\ \mathrm{MeV/nucleon}} \]

对原子核 B：

\[ E_{b,B}=(0.150)(931.5) \]

\[ E_{b,B}=139.7\ \mathrm{MeV} \]

因此，

\[ \boxed{E_{b,B}\approx140\ \mathrm{MeV}} \]

每核子的束缚能为

\[ \frac{E_{b,B}}{A} \= \frac{139.7}{16} \]

\[ \boxed{8.73\ \mathrm{MeV/nucleon}} \]

因此，A 的总束缚能较大，因为 \(319\ \mathrm{MeV}>140\ \mathrm{MeV}\)。

B 的每核子束缚能较大，因为 \(8.73>7.96\ \mathrm{MeV/nucleon}\)。

关键在于两个原子核的核子数不同。总束缚能是整个原子核中束缚能的总和，而每核子束缚能则消除了原子核大小的影响。

题目 4

某原子核处于基态时，质量亏损为 \(0.250\ \mathrm{u}\)。它吸收了 \(5.00\ \mathrm{MeV}\) 的能量，并在核子数没有增加或减少的情况下进入激发态。

计算：

• 激发态原子核以 u 表示的质量亏损；
• 激发态原子核以 MeV 表示的束缚能。

一名学生说：「原子核获得了能量，所以它的质量亏损必定增加。」解释为什么这个说法是错误的。

解答 4

激发态原子核的质量亏损为 \(0.2446\ \mathrm{u}\)，束缚能为 \(227.9\ \mathrm{MeV}\)。 关键在于，加入能量会增加原子核的质能，使其质量更接近彼此分离的核子的总质量。因此，它的质量亏损会减少。

步骤 1：计算基态的束缚能。

\[ E_b=(0.250)(931.5) \]

\[ E_b=232.875\ \mathrm{MeV} \]

步骤 2：将 \(5.00\ \mathrm{MeV}\) 的激发能转换成相应的质量。

由

\[ E=\Delta mc^2, \]

并使用核物理的换算关系，

\[ \Delta m \= \frac{5.00}{931.5} \]

\[ \Delta m=0.00537\ \mathrm{u} \]

步骤 3：求出激发态的质量亏损。

自由核子的参考质量并没有改变。激发态原子核的质量增加了 \(0.00537\ \mathrm{u}\)，所以质量亏损会减少：

\[ \Delta m_{\text{激发态}} \= 0.250-0.00537 \]

\[ \boxed{\Delta m_{\text{激发态}} \=0.2446\ \mathrm{u}} \]

步骤 4：求出激发态的束缚能。

\[ E_{b,\text{激发态}} \= (0.2446)(931.5) \]

\[ \boxed{E_{b,\text{激发态}}\approx227.9\ \mathrm{MeV}} \]

学生的预测听起来似乎合理，因为「更多能量」容易让人联想到「更强的束缚」。但激发态的情况恰好相反：原子核移至较高的能量状态，相对于自由核子的参考状态而言，其束缚程度较低。束缚能恰好减少了 \(5.00\ \mathrm{MeV}\)。

题目 5

考虑一个假想的原子核 X。

X 处于基态时，质量亏损为 \(0.400\ \mathrm{u}\)。X 最初处于高出基态 \(6.00\ \mathrm{MeV}\) 的激发态。

它最终可以透过以下任一途径，变成相同的两个基态子核：

• 途径 A： X 先放出一个 \(6.00\ \mathrm{MeV}\) 的伽玛射线光子，返回基态，然后分裂成两个子核。
• 途径 B： X 在仍处于激发态时直接分裂，产生相同的两个基态子核，而不先放出伽玛射线。

两个子核的质量亏损总和为 \(0.460\ \mathrm{u}\)。

假设没有核子被放出或吸收，且所有释放的能量都以伽玛射线或产物的动能形式带走。

计算途径 A 中分裂步骤所释放的能量，再计算两条途径从最初激发态开始所释放的总能量。最后，解释为什么途径 B 不会释放较少的总能量，即使激发态原子核的束缚能较小。

解答 5

两条途径都会释放总共 \(61.9\ \mathrm{MeV}\) 的能量，但途径 B 在直接分裂时释放 \(61.9\ \mathrm{MeV}\)，而途径 A 则先以伽玛辐射释放 \(6.00\ \mathrm{MeV}\)，再于随后的分裂过程中释放 \(55.9\ \mathrm{MeV}\)。 关键在于，两条途径都从相同的激发态开始，并以相同的最终状态结束。

步骤 1：计算 X 在基态时的束缚能。

\[ E_{b,X} \= (0.400)(931.5) \]

\[ E_{b,X}=372.6\ \mathrm{MeV} \]

步骤 2：计算两个子核的总束缚能。

\[ E_{b,\text{产物}} \= (0.460)(931.5) \]

\[ E_{b,\text{产物}} \= 428.49\ \mathrm{MeV} \]

因此，两个产物的总束缚程度比基态的母核更高。

步骤 3：求出基态 X 分裂时释放的能量。

总束缚能的增加量为

\[ 428.49-372.6 \= 55.89\ \mathrm{MeV} \]

因此，途径 A 中的分裂步骤会释放

\[ \boxed{55.9\ \mathrm{MeV}} \]

这里容易犯的错误，是直接把产物的质量亏损 \(0.460\ \mathrm{u}\) 当成释放的能量。这是不正确的。能量释放取决于最终与初始质能状态之间的差值。

步骤 4：计入初始激发能。

在两条途径开始之前，X 的能量比基态 X 多出 \(6.00\ \mathrm{MeV}\)。

对途径 A：

\[ E_{\text{总}} \= 6.00+55.89 \]

\[ \boxed{E_{\text{总}}=61.9\ \mathrm{MeV}} \]

最初的 \(6.00\ \mathrm{MeV}\) 以伽玛射线的形式释放。其余的 \(55.9\ \mathrm{MeV}\) 则在基态原子核分裂时释放。

步骤 5：考虑途径 B。

激发态原子核的初始能量比基态原子核高 \(6.00\ \mathrm{MeV}\)，但它与途径 A 一样，最终都会到达完全相同的状态。

因此，初始状态与最终状态之间的总能量差仍然是

\[ \boxed{61.9\ \mathrm{MeV}} \]

在途径 B 中，\(6.00\ \mathrm{MeV}\) 的激发能并没有消失。当激发态原子核分裂时，这部分能量仍然可供释放，因此直接分裂会释放

\[ 55.89+6.00 \= \boxed{61.9\ \mathrm{MeV}} \]

这些能量会由产物带走。

步骤 6：解释表面上的矛盾。

激发态原子核的束缚能确实比基态原子核小。这表示，相对于自由核子的状态而言，激发态原子核的束缚程度较低。

但是，「束缚程度较低」并不代表「能量较低」。

事实上，激发态原子核具有较高的质能。从较高能量的状态出发，并到达相同的最终状态，就会有更多能量可供释放。

因此，如果学生预测途径 B 必定释放较少能量，就代表他混淆了束缚能与初始能量。

更深层的原则很简单：如果两条核反应途径具有相同的初始状态和相同的最终状态，那么两者释放的总能量必定相同，即使能量在过程中的分配方式不同。

08这些知识如何帮助你理解下一个主题

一旦你能将质量亏损转换成束缚能，分析核反应就会容易得多。你可以比较初始与最终原子核的束缚能，并判断反应是否有可释放的能量。

这正是核分裂：分裂产物、中子与能量背后的关键概念：分裂产物的总束缚能可能高于原始原子核，这对应于较低的总质能，因此会释放能量。