质量亏损：缺失的质量如何转化为核束缚能

原子核的质量亏损：缺失的质量如何转化为核束缚能

一个原子核的质量可能比构成它的粒子总质量还小。乍看之下，这似乎不可能。如果你取一些质子和中子，将它们结合在一起，再放到天平上，你可能会预测，原子核的质量应该与这些独立粒子的总质量完全相同。

但事实并非如此。

一个氦原子核包含两个质子和两个中子，但它的质量略小于这四个粒子的总质量。那么，缺失的质量去了哪里？

继续阅读之前，先预测一下：如果质量在原子核形成的过程中消失了，究竟是有某种东西被摧毁了，还是它转变成了另一种形式？答案是后者。缺失的质量已转化为将原子核束缚在一起的能量。这就是质量亏损背后的概念。

01质量亏损所解决的问题

想像用一块块独立的砖头建造一栋房子。完工后的房子，其质量几乎会与那堆砖头的总质量完全相同。排列砖头所涉及的能量，相较于砖头本身的质量而言微不足道。

原子核则不同。

在原子核内，质子和中子受到强核力的束缚。当核子结合在一起时，能量会被释放。由于能量与质量彼此相关，离开系统的能量会使最终形成的原子核质量减少。

这可以用爱因斯坦的关系式表示：

\[ E = mc^2 \]

其中：

• \(E\) 是以焦耳（J）为单位的能量，
• \(m\) 是以公斤（kg）为单位的质量，
• \(c\) 是以公尺每秒（m/s）为单位的光速。

重要的概念并不是质量凭空消失了，而是缺失的质量转化成了能量。

一个有助于理解的比喻是小组专题：一开始，每个人都付出相同程度的「努力」。当团队共同合作后，部分努力会体现在将团队凝聚在一起的紧密关系中。对原子核而言，这种「关系能量」就是束缚能。这个比喻并不完全适用，因为人不会转化成能量，但原子核确实存在可测量的质量差异。

02建立概念：从核子到原子核

质子具有一定的质量，中子也具有一定的质量。如果我们知道某个原子核含有多少个质子和中子，就能计算这些独立核子的预期总质量。

接著，我们将这个数值与实际测量的原子核质量进行比较。

两者之间的差值就是质量亏损。

\[ \text{质量亏损} = \text{独立核子的总质量} - \text{原子核的质量} \]

质量亏损通常非常小，常以原子质量单位（u）表示。

一个原子质量单位为：

\[ 1\text{ u} = 1.66 \times 10^{-27}\text{ kg} \]

质量亏损之所以有用，是因为它能告诉我们原子核中以束缚能形式储存的能量。

\[ E_b = \Delta m c^2 \]

其中：

• \(E_b\) 是以焦耳（J）为单位的束缚能，
• \(\Delta m\) 是以公斤（kg）为单位的质量亏损，
• \(c\) 是光速（\(3.00 \times 10^8\text{ m/s}\)）。

03第一个简化：我们实际上在比较哪种质量？

一个常见的错误是比较了不正确的数值。

在 HSC 计算题中，你必须留意自己使用的是：

• 原子核质量，不包含电子，
• 原子质量，包含电子。

大多数考试题目都会提供所需的资讯。如果题目给的是原子质量，电子的质量通常会相互抵消，因为比较两边的质子数相同，因此电子数也相同。

物理概念始终相同：

质量亏损来自束缚前的质量与束缚后的质量之间的差异。

04计算范例：计算质量亏损

计算范例：氦原子核

一个氦-4 原子核包含两个质子和两个中子。

质子的质量为 \(1.0073\text{ u}\)。
中子的质量为 \(1.0087\text{ u}\)。
氦-4 原子核的实测质量为 \(4.0015\text{ u}\)。

计算质量亏损。

步骤 1：求独立核子的总质量。

有两个质子和两个中子：

\[ m_{\text{独立核子}} = 2(1.0073) + 2(1.0087) \]

\[ m_{\text{独立核子}} = 2.0146 + 2.0174 \]

\[ m_{\text{独立核子}} = 4.0320\text{ u} \]

步骤 2：减去实际的原子核质量。

\[ \Delta m = 4.0320 - 4.0015 \]

\[ \Delta m = 0.0305\text{ u} \]

步骤 3：解释结果。

质量亏损为：

\[ \boxed{0.0305\text{ u}} \]

这表示氦原子核形成时，有 \(0.0305\text{ u}\) 的质量转化成了束缚能。

05计算范例：将质量亏损转换为能量

计算范例：氦-4 的束缚能

上一个范例中的氦原子核，其质量亏损为 \(0.0305\text{ u}\)。计算它的束缚能。

使用：

\[ 1\text{ u}=1.66\times10^{-27}\text{ kg} \]

以及：

\[ c=3.00\times10^8\text{ m/s} \]

步骤 1：将质量亏损换算成公斤。

\[ \Delta m = 0.0305 \times 1.66\times10^{-27} \]

\[ \Delta m = 5.06\times10^{-29}\text{ kg} \]

步骤 2：使用质能方程式。

\[ E_b=\Delta mc^2 \]

代入数值：

\[ E_b=(5.06\times10^{-29})(3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_b=(5.06\times10^{-29})(9.00\times10^{16}) \]

\[ E_b=4.55\times10^{-12}\text{ J} \]

步骤 3：说明结果的意义。

束缚能为：

\[ \boxed{4.55\times10^{-12}\text{ J}} \]

这是氦原子核由独立核子形成时所释放的能量。

对单一原子核而言，这个能量非常微小。但如果一个样本含有数兆个原子核，总能量就会变得极其庞大。

06更深入的概念：束缚能不只是「额外的能量」

较稳定的原子核并不只是因为含有更多粒子，就必然具有更大的质量亏损。较大的原子核通常具有较大的总束缚能，因为它们包含更多核子。

然而，真正有用的比较指标是每核子束缚能。

\[ \text{每核子束缚能}=\frac{\text{总束缚能}}{\text{核子数目}} \]

这个数值能告诉我们，平均而言，每个核子受到束缚的程度有多强。

铁原子核的每核子束缚能位居最高之列。这有助于解释为什么：

• 非常轻的原子核可以透过核融合释放能量，
• 非常重的原子核可以透过核分裂释放能量。

这两种过程都会使原子核朝著更稳定的状态发展。

你可以将这个概念与核衰变联系起来。在核衰变中，不稳定的原子核会转变成更稳定的排列方式。例如，α 衰变涉及原子核释放一个氦原子核，详情可参阅α 衰变：核方程式与辐射特性。这些变化随时间发生的机率，则与衰变常数与半衰期等概念有关。

07常见迷思：「质量被摧毁了」

我们很容易说：

「原子核失去了质量，所以物质消失了。」

这种预测看似合理，因为我们通常将质量视为物体的一种性质。但在核物理学中，质量与能量彼此相关。

更恰当的说法是：

原子核的质量较小，是因为能量已从系统中释放出来。

另一个常见的陷阱，是认为较大的原子核必定具有较大的每核子束缚能。更多核子可能代表更大的总束缚能，但每核子的平均束缚能取决于这些核子的排列方式，以及它们受到束缚的紧密程度。

一个巨大的原子核可能具有较大的总束缚能，但每核子的稳定性仍可能低于较小的原子核。

08问题与解答

问题 1

一个锂-7 原子核包含三个质子和四个中子。

质子的质量为 \(1.0073\text{ u}\)。
中子的质量为 \(1.0087\text{ u}\)。
锂-7 原子核的实测质量为 \(7.0144\text{ u}\)。

计算质量亏损。

解答 1

质量亏损为 \(0.0408\text{ u}\)。

步骤 1：计算独立核子的总质量。

\[ m_{\text{独立核子}}=3(1.0073)+4(1.0087) \]

\[ m_{\text{独立核子}}=3.0219+4.0348 \]

\[ m_{\text{独立核子}}=7.0567\text{ u} \]

步骤 2：减去原子核的质量。

\[ \Delta m=7.0567-7.0144 \]

\[ \Delta m=0.0423\text{ u} \]

因此：

\[ \boxed{\Delta m=0.0423\text{ u}} \]

一个容易犯的错误，是只用质子的总质量减去原子核质量，但中子同样会对原始总质量有所贡献。必须将每一个核子都计算在内。

问题 2

某个原子核的质量亏损为 \(0.0150\text{ u}\)。计算其以焦耳为单位的束缚能。

使用：

\[ 1\text{ u}=1.66\times10^{-27}\text{ kg} \]

解答 2

束缚能为 \(2.24\times10^{-12}\text{ J}\)。

步骤 1：换算质量亏损。

\[ \Delta m=0.0150(1.66\times10^{-27}) \]

\[ \Delta m=2.49\times10^{-29}\text{ kg} \]

步骤 2：套用 \(E_b=\Delta mc^2\)。

\[ E_b=(2.49\times10^{-29})(3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_b=(2.49\times10^{-29})(9.00\times10^{16}) \]

\[ E_b=2.24\times10^{-12}\text{ J} \]

对单一原子核而言，这个结果很小，但核反应涉及数量极其庞大的原子核，因此总能量可能非常巨大。

问题 3

两个原子核在不同的反应中形成。

• 原子核 A 的质量亏损为 \(0.20\text{ u}\)，并包含 20 个核子。
• 原子核 B 的质量亏损为 \(0.50\text{ u}\)，并包含 80 个核子。

哪个原子核具有较大的每核子束缚能？为什么？

解答 3

原子核 A 具有较大的每核子束缚能。

步骤 1：利用质量亏损比较每核子束缚能。

由于束缚能与质量亏损成正比：

对 A 而言：

\[ \frac{0.20}{20}=0.010\text{ u per nucleon} \]

对 B 而言：

\[ \frac{0.50}{80}=0.00625\text{ u per nucleon} \]

原子核 B 的总束缚能较大，因此很容易让人误以为它受到更紧密的束缚。然而，它的能量分散在更多核子之中。

正确的比较方式是比较每核子的能量，因此：

\[ \boxed{\text{原子核 A 的每核子束缚程度较高}} \]

这就是为什么总束缚能与稳定性并不是同一种衡量指标。

问题 4

一名学生说：

「核融合反应一定会释放能量，因为两个原子核结合在一起，而结合物体总是会产生更多束缚。」

解释为什么这个说法并不完整。

解答 4

这个说法并不完整，因为只有当产物的每核子束缚能高于原始原子核时，核融合才会释放能量。

步骤 1：找出隐含的假设。

这名学生假设，原子核结合在一起就必然会变得更稳定。事实并非总是如此。

步骤 2：套用每核子束缚能的概念。

非常轻的原子核可以透过融合释放能量，因为它们会朝著铁附近每核子束缚能较高的区域发展。

然而，质量比铁大的原子核通常无法透过融合提高稳定性。形成的原子核不一定具有更大的每核子束缚能。

关键的限制因素是稳定性的变化，而不只是原子核是否结合在一起。

问题 5

一名研究人员比较两种可能的核反应。

反应 X 将一组轻原子核转变成一个更接近铁的原子核。总质量减少了 \(3.0\times10^{-12}\text{ kg}\)。

反应 Y 将一个非常重的原子核转变成两个中等大小的原子核。总质量同样减少了 \(3.0\times10^{-12}\text{ kg}\)。

一名学生认为，反应 X 必定会释放更多能量，因为核融合比核分裂「更强大」。这名学生的说法正确吗？

解答 5

这名学生的说法不正确。如果质量亏损相同，两种反应释放的能量就相同。

步骤 1：使用基本原理。

释放的能量取决于缺失的质量：

\[ E=\Delta mc^2 \]

两种反应的质量亏损都是：

\[ \Delta m=3.0\times10^{-12}\text{ kg} \]

因此：

\[ E=(3.0\times10^{-12})(3.00\times10^8)^2 \]

\[ E=2.7\times10^5\text{ J} \]

两种反应都会释放：

\[ \boxed{2.7\times10^5\text{ J}} \]

步骤 2：解释这个陷阱。

这名学生混淆了反应的类型与释放的能量大小。核融合与核分裂是描述原子核如何改变的名称。能量的来源是质量亏损。

更细微的一点是，在真实的核反应中，质量亏损取决于所涉及的确切原子核。「核融合」并不会自动代表释放更多能量。决定因素是系统在多大程度上朝著束缚更紧密的状态发展。

理解质量亏损，能让你掌握解释核反应为何会释放能量的方法，并进一步预测哪些原子核较稳定、为什么会发生衰变，以及束缚能曲线为什么会呈现目前的形状。