光電效應的實驗證據：截止頻率與立即發射

假設你將一道明亮的低頻光束照射到金屬上，卻沒有電子逸出。你把光束調得更亮，但仍然沒有任何電子逸出。接著，你改用一道暗得多、頻率卻更高的光束，電子幾乎立即逸出。為什麼較暗的光束能奏效，明亮的光束卻不行？這正是光電效應的核心謎題。

我們需要解釋的兩項觀察結果是：

• 存在一個截止頻率，低於此頻率時，不論光的強度有多大，都不會有電子逸出
• 高於此截止頻率時，即使光非常微弱，電子也會在沒有可測量延遲的情況下逸出（openstax.org）

這兩項觀察結果都難以用光的古典波動模型解釋，卻能由光子模型自然地說明。

01從波動模型開始

在引入光子之前，先想像一下較早期的古典觀點。

光被視為連續的電磁波。波的強度表示能量傳遞至特定面積的速率。強度越大的波，每秒傳遞至單位面積的能量就越多。

現在想像金屬內的一個電子。電子受到金屬束縛，因此需要一定的最低能量才能將它移除。

根據連續波的觀點，電子可以逐漸吸收入射波的能量。如果光很微弱，能量傳遞的速度就會很慢。只要時間足夠，電子最終應該能累積足夠的能量而逸出。

這使古典模型得出一個相當簡單的預測：

如果微弱的光無法使電子逸出，就把光調得更亮，或等待更長的時間。

這聽起來很合理，但實驗結果並不符合這個預測。

只要將頻率與強度分開考慮，問題就會更加清楚。

在古典波動的觀點下，改變強度會改變能量傳遞的多少，但模型中並沒有一項內在規則，規定每個獨立的光能量單位必須根據頻率而具有特定的能量。

光電效應正好揭示了這項缺失。

02證據一：截止頻率

對於特定金屬，入射光必須達到某個最低頻率，才能產生光電發射。這個頻率稱為截止頻率，記作 \(f_0\)。

如果

\(f < f_0\)

就不會發生光電發射，即使大幅提高光的強度也一樣。

如果

\(f > f_0\)

就可能發生光電發射。

這是一條明確的界線，並不只是光是否「夠強」的問題。

為什麼這對波動模型構成問題？

假設某種金屬的截止頻率為 \(6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)。

你將頻率為 \(5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射到金屬上。

現在將光束的強度提高至原來的 100 倍。

古典模型預測，更大的能量傳遞量最終應該能讓電子獲得足夠的總能量而逸出。然而，實驗顯示，提高低於截止頻率的光的強度，並不會產生一般的單光子光電發射。（openstax.org）

光子模型提供了更清楚的解釋。

關鍵概念來自普朗克的量子化觀點：電磁輻射可以透過稱為光子的離散能量包來交換能量。一個光子的能量為

\(E_\gamma = hf\)

其中：

• \(E_\gamma\) 是光子的能量，單位為焦耳（\(\text{J}\)）
• \(h\) 是普朗克常數，數值為 \(6.63\times10^{-34}\,\text{J s}\)
• \(f\) 是光的頻率，單位為赫茲（\(\text{Hz}\)）

因此，頻率現在有了直接的物理意義：它決定每個光子所攜帶的能量。

如果你想了解引出這個概念的推導步驟，請參閱光能量的普朗克量子化。

功函數

金屬具有一個稱為功函數的量，記作 \(\phi\)。它是將電子從金屬表面移除所需的最低能量。

在截止狀態下，光子恰好具有足夠的能量使電子逸出，不會剩下任何動能：

\(hf_0=\phi\)

因此，

\(f_0=\frac{\phi}{h}\)

這條方程式解釋了為什麼截止頻率取決於金屬本身，而不是燈的種類。

功函數較大的金屬需要能量更高的光子，因此具有較高的截止頻率。

一個有用的理解方式，是把功函數想像成入場費。在光子模型中，每個光子到達時都帶有自己的「付款」。頻率決定這筆付款的價值，而強度則決定有多少光子到達。

能量不足的光子無法支付這筆入場費。送來更多能量相同的低能量光子，也不會使其中任何一個光子的能量增加。

這個比喻並不完全成立，因為光子不是真正的硬幣，電子也不是站在夜店門外的人。這個比喻真正有用的地方，只在於區分每個光子的能量與光子的數量。

頻率與波長

由於

\(c=f\lambda\)

其中 \(c\) 是真空中的光速，而 \(\lambda\) 是以公尺為單位的波長，因此截止頻率也對應一個截止波長。

較高的頻率代表：

• 較高的光子能量
• 較短的波長

較低的頻率代表：

• 較低的光子能量
• 較長的波長

因此，如果題目提供的是波長而不是頻率，請記住：波長越短，光子的能量越高。

03證據二：立即發射

現在來看第二項觀察結果。

當頻率高於截止頻率的光開啟時，電子幾乎立即逸出。即使光的強度非常低，情況仍然如此。（openstax.org）

乍看之下，這似乎只是個小細節，但事實並非如此。

波動模型會作出什麼預測？

如果能量是連續傳遞的，低強度光束就會緩慢地傳遞能量。

假設電子需要達到某個能量，才能逸出。在高強度下，這些能量可能相對迅速地累積起來；在低強度下，累積相同的能量就應該需要更長時間。

因此，古典波動模型預測會出現時間延遲，尤其是在光的強度非常低時。

但實驗並沒有顯示這種累積過程。

電子不會待在原地想著：「我現在大概累積了 30% 的能量；再給我幾分鐘吧。」

相反，只要合適的輻射到達金屬表面，電子就會逸出，而不會出現可測量的能量累積延遲。

光子的解釋

在光子模型中，電子不需要從許多個波週期逐漸累積能量。

一個能量足夠的光子與電子發生交互作用，並在一次交互作用中傳遞其能量。如果

\(hf>\phi\)

光子的能量就足以使電子逸出。

剩餘的能量會轉化為動能：

\(K_{\max}=hf-\phi\)

其中 \(K_{\max}\) 是逸出電子的最大動能，單位為焦耳。

這就解釋了為什麼沒有延遲：電子不需要隨時間逐漸累積能量。

有一個細節值得特別注意。

立即發射並不代表，當你打開一盞極暗的燈時，探測器必須在同一瞬間就測得一個電子。 在極低強度下，光子的到達頻率較低，因此你可能需要等待一段時間，才能等到合適的光子到達。重要的觀察結果是：光子到達後，電子不會因為需要逐漸累積能量而產生額外延遲。

這個區別正是實驗要檢驗的重點。

04將兩項證據結合起來

這兩項觀察結果分別針對古典波動模型預測的不同部分提出挑戰。

前兩項觀察結果是本指南的關鍵證據。兩者結合起來，說明了為什麼古典連續波的描述不足以完整解釋這種能量傳遞過程。（openstax.org）

這並不代表光不再具有波動性。干涉與繞射仍然是真實的波動現象。重要的結論是：電磁能量與物質之間的交換具有量子化特性。

05最常見的誤解

一個非常常見的錯誤預測是：

「光的強度越大，電子的能量就越高。」

對一般光電效應而言，這是錯誤的。

在頻率固定時，提高強度代表每秒有更多光子到達，而不是每個光子的能量增加。

因此，對於頻率滿足 \(f>f_0\) 的光：

• 提高頻率會增加光子能量及 \(K_{\max}\)
• 提高強度會增加逸出電子的數量，因此增加光電流
• 提高強度不會增加 \(K_{\max}\)

最容易記住的規則是：

頻率決定每個光子的能量。強度決定到達的光子數量。

不要把這句話誤解成「頻率比強度更重要」。它們控制的是不同的物理量。

06可靠的 HSC 判斷規則

看到光電效應的題目時，先檢查頻率。

回答長答題時，不要只寫「這證明光子存在」。你應該建立完整的因果推理：

1. 說明實驗觀察結果。
2. 說明古典波動模型的預測。
3. 解釋兩者之間的矛盾。
4. 解釋光子的量子化如何解決這個矛盾。

這比只提及模型名稱就直接進入下一點更有說服力。

07範例：求截止頻率

某種金屬的功函數為 \(2.30\,\text{eV}\)。計算其截止頻率，然後求出截止波長。

步驟 1：使用截止條件。

在截止狀態下，光子的能量恰好等於功函數：

\(hf_0=\phi\)

因此

\(f_0=\frac{\phi}{h}\)

使用 \(h=4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}\)，

\(f_0=\frac{2.30\,\text{eV}}{4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}}\)

步驟 2：計算截止頻率。

\(f_0=5.56\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，金屬需要頻率約為 \(5.56\times10^{14}\,\text{Hz}\) 或更高的光，才能產生光電發射。

步驟 3：將截止頻率換算為波長。

使用

\(c=f\lambda\)

其中 \(c=3.00\times10^8\,\text{m s}^{-1}\)。

因此，

\(\lambda_0=\frac{c}{f_0}\)

\(\lambda_0=\frac{3.00\times10^8}{5.56\times10^{14}}\)

\(\lambda_0=5.40\times10^{-7}\,\text{m}\)

或

\(\lambda_0=540\,\text{nm}\)

步驟 4：解釋結果。

波長長於 \(540\,\text{nm}\) 的光，其頻率低於截止頻率，因此無論強度多大，都無法使這種金屬產生一般的光電發射。

波長短於 \(540\,\text{nm}\) 的光，其頻率高於截止頻率，因此能使電子逸出。

08範例：頻率如何改變電子能量

某種金屬的截止頻率為 \(6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)。現在以頻率為 \(8.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射該金屬。計算其功函數及逸出電子的最大動能。如果光的強度加倍，最大動能會有什麼變化？

步驟 1：由截止頻率求出功函數。

在截止狀態下，

\(\phi=hf_0\)

使用 \(h=4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}\)，

\(\phi=(4.14\times10^{-15})(6.0\times10^{14})\)

\(\phi=2.48\,\text{eV}\)

因此，使電子逸出所需的最低能量為 \(2.48\,\text{eV}\)。

步驟 2：求出一個入射光子的能量。

\(E_\gamma=hf\)

\(E_\gamma=(4.14\times10^{-15})(8.0\times10^{14})\)

\(E_\gamma=3.31\,\text{eV}\)

步驟 3：減去功函數。

光子首先提供使電子逸出所需的 \(2.48\,\text{eV}\)，其餘能量轉化為動能。

\(K_{\max}=E_\gamma-\phi\)

\(K_{\max}=3.31-2.48\)

\(K_{\max}=0.83\,\text{eV}\)

步驟 4：將動能換算為焦耳。

使用 \(1\,\text{eV}=1.60\times10^{-19}\,\text{J}\)，

\(K_{\max}=(0.83)(1.60\times10^{-19})\)

\(K_{\max}=1.33\times10^{-19}\,\text{J}\)

步驟 5：考慮強度加倍的情況。

頻率沒有改變，因此每個光子的能量也沒有改變。因此，\(K_{\max}\) 仍然是

\(1.33\times10^{-19}\,\text{J}\)

強度加倍代表每秒有更多光子到達，因此每秒可以有更多電子逸出。最大動能不會加倍。

如需完整的數值計算，了解這種能量平衡，請參閱光電方程式。

09問題與解答

問題 1

某種金屬的截止頻率為 \(5.5\times10^{14}\,\text{Hz}\)。將頻率為 \(4.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射到金屬上，然後將光的強度提高至原來的 100 倍。

光電發射會開始發生嗎？請解釋原因。

解答 1

不會開始發生光電發射。 光的頻率仍然低於截止頻率，而提高強度並不會增加每個光子的能量。

步驟 1：比較頻率。

\(4.0\times10^{14}<5.5\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，入射光的頻率低於截止頻率。即使強度提高至原來的 100 倍，每個光子的能量仍然不足以使電子逸出。

問題 2

某種金屬的截止頻率為 \(6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)，功函數為 \(2.60\,\text{eV}\)。以頻率為 \(8.00\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光照射金屬。

計算逸出電子的最大動能，並說明如果光的強度增加至原來的四倍，最大動能會如何變化。

解答 2

逸出電子的最大動能為 \(0.712\,\text{eV}\)，即 \(1.14\times10^{-19}\,\text{J}\)。強度增加至四倍不會改變最大動能。

步驟 1：比較入射光的頻率與截止頻率。

\(8.00\times10^{14}>6.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，光的頻率高於截止頻率，會發生光電發射。

步驟 2：計算入射光子的能量。

\(E_\gamma=hf\)

\(E_\gamma=(4.14\times10^{-15})(8.00\times10^{14})\)

\(E_\gamma=3.31\,\text{eV}\)

步驟 3：求出最大動能。

\(K_{\max}=E_\gamma-\phi\)

\(K_{\max}=3.31-2.60\)

\(K_{\max}=0.712\,\text{eV}\)

換算為焦耳：

\(K_{\max}=(0.712)(1.60\times10^{-19})\)

\(K_{\max}=1.14\times10^{-19}\,\text{J}\)

步驟 4：考慮強度增加至四倍的情況。

頻率沒有改變，因此每個光子的能量仍然是 \(3.31\,\text{eV}\)。所以 \(K_{\max}\) 仍然是 \(1.14\times10^{-19}\,\text{J}\)。

強度較高代表每秒有更多光子到達，因此每秒會有更多電子逸出，前提是實驗不受收集效率或飽和效應限制。

陷阱在於將 \(K_{\max}\) 乘以四。強度改變的是光子的數量，而不是每個光子所攜帶的能量。

問題 3

某個實驗得到一張最大光電子動能對入射頻率的關係圖。圖線與頻率軸的交點為 \(6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)。

接著，使用兩種光源照射同一種金屬：

• 光源 A 的頻率為 \(5.8\times10^{14}\,\text{Hz}\)，強度高。
• 光源 B 的頻率為 \(7.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)，強度低。

一名學生表示：

「光源 A 應該能使電子逸出，因為它的強度大得多。如果它不能立即奏效，電子還可以吸收更長時間的能量。」

評估這項說法。計算金屬的功函數，以及光源 B 所產生電子的最大動能。

解答 3

學生的說法不正確：光源 B 會產生光電子，而光源 A 不會。功函數約為 \(2.57\,\text{eV}\)，而光源 B 所產生電子的最大動能約為 \(0.33\,\text{eV}\)。

步驟 1：從圖中讀取截止頻率。

橫軸截距就是截止頻率：

\(f_0=6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)

步驟 2：比較光源 A 的頻率與截止頻率。

\(5.8\times10^{14}<6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，光源 A 的頻率低於截止頻率。

無論光源 A 的強度有多大，其光子的能量都不足以在一般光電效應過程中使電子逸出。

步驟 3：計算功函數。

在截止狀態下，

\(\phi=hf_0\)

\(\phi=(4.14\times10^{-15})(6.2\times10^{14})\)

\(\phi=2.57\,\text{eV}\)

步驟 4：檢查光源 B。

\(7.0\times10^{14}>6.2\times10^{14}\,\text{Hz}\)

因此，光源 B 的頻率高於截止頻率，可以使電子逸出。

步驟 5：計算光源 B 的光子能量。

\(E_\gamma=hf\)

\(E_\gamma=(4.14\times10^{-15})(7.0\times10^{14})\)

\(E_\gamma=2.90\,\text{eV}\)

步驟 6：求出最大動能。

\(K_{\max}=E_\gamma-\phi\)

\(K_{\max}=2.90-2.57\)

\(K_{\max}=0.33\,\text{eV}\)

學生的推理之所以錯誤，是因為他把強度當成能夠增加單個光子能量的因素，但事實並非如此。光源 A 每秒有更多光子到達，但每個光子的能量仍然低於使電子逸出所需的能量。

光源 B 雖然較暗，但每個光子的能量都足以使電子逸出。

問題 4

某種金屬受到頻率高於其截止頻率的光照射。光的強度降低至原來的 \(10^6\) 分之一。即使強度大幅降低，當光到達金屬後，仍然觀察到電子在沒有可測量延遲的情況下逸出。

一名學生認為：

「這並沒有對波動模型構成挑戰。波會立即到達金屬，因此電子可以立即開始吸收能量。」

解釋為什麼這個論點混淆了兩種不同的時間尺度。當強度變得非常小時，古典連續波模型會作出什麼預測？光子模型又為什麼能避免這個問題？

解答 4

學生混淆了光的傳播時間與電子累積足夠能量而逸出所需的時間。古典波動模型預測，強度越低，能量累積的延遲就越長；光子模型則不需要這種累積過程。

步驟 1：辨認第一種時間尺度。

光必須從光源傳播至金屬。光的傳播時間並不是光電效應實驗所檢驗的重點。

輻射到達表面後，真正的問題是：電子是否必須等待能量逐漸累積？

步驟 2：應用古典波動模型的預測。

在連續波模型中，能量是逐漸傳遞的。

將強度降低至原來的 \(10^6\) 分之一，會使能量傳遞至表面的速率相應降低。

如果電子需要一定的最低能量才能逸出，那麼較低的能量傳遞速率就應該代表需要更長時間才能累積足夠的能量。

因此，古典模型預測，光越微弱，延遲就會越明顯。

步驟 3：與觀察結果比較。

實驗顯示，即使在極低強度下，也沒有可測量的能量累積延遲。（openstax.org）

這就是關鍵的矛盾。

步驟 4：應用光子模型。

在光子模型中，電子不需要從許多個波週期逐漸收集少量能量。

符合

\(hf>\phi\)

條件的光子，本身就已經具有足夠的能量，可以在一次交互作用中使電子逸出。

因此，降低強度會使合適的光子較少到達，但不會延長交互作用本身所需的時間。

最後這個區別十分重要。在極低強度下，你可能需要等待更久，才能等到下一個光子到達。這段等待時間與光子到達後，電子緩慢儲存能量所需的時間並不相同。

問題 5

某種金屬的截止頻率為

\(5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)。

兩道單色光束照射金屬上面積相等的區域。兩道光束的總強度相同，均為 \(10\,\text{W m}^{-2}\)。

• 光束 A 完全由頻率為 \(1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\) 的光組成。
• 光束 B 由兩種成分組成，其中一半的強度來自頻率為 \(1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\) 的光，另一半則來自頻率為 \(4.0\times10^{14}\,\text{Hz}\) 的光。

假設金屬表面潔淨、實驗處於一般單光子作用範圍、電子收集完整，而且每個高於截止頻率的光子引起光電發射的機率相同。

求出：

1. 每道光束是否會產生光電子
2. 每道光束所產生電子的最大動能
3. 哪道光束每秒產生的光電子較多，以及多出多少倍

解釋為什麼兩道光束的總強度相同，並不代表它們會產生相同數量的光電子。

解答 5

兩道光束都會產生光電子，而且電子具有相同的最大動能，但光束 A 每秒產生的光電子數量是光束 B 的兩倍。 關鍵在於，強度相同代表每秒傳遞至單位面積的能量相同，而不是光子的數量相同。

步驟 1：求出功函數。

截止頻率為

\(f_0=5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

在截止狀態下，

\(\phi=hf_0\)

使用 \(h=4.14\times10^{-15}\,\text{eV s}\)，

\(\phi=(4.14\times10^{-15})(5.0\times10^{14})\)

\(\phi=2.07\,\text{eV}\)

步驟 2：求出高頻光子的能量。

兩道光束都含有頻率為

\(f_H=1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\)

的光子，因此

\(E_H=hf_H\)

\(E_H=(4.14\times10^{-15})(1.0\times10^{15})\)

\(E_H=4.14\,\text{eV}\)

這些光子的能量高於截止能量。

步驟 3：求出低頻光子的能量。

光束 B 也含有頻率為

\(f_L=4.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

的光子。

由於

\(4.0\times10^{14}<5.0\times10^{14}\,\text{Hz}\)

這些光子的頻率低於截止頻率。

它們無法產生一般的光電發射。

因此，光束 B 確實會產生電子，但只有其中的高頻成分會對光電發射有所貢獻。

步驟 4：求出最大動能。

對於兩道光束，能量最高的光子都具有 \(f=1.0\times10^{15}\,\text{Hz}\)。

因此，

\(K_{\max}=E_H-\phi\)

\(K_{\max}=4.14-2.07\)

\(K_{\max}=2.07\,\text{eV}\)

所以兩道光束都能產生最大動能為

\(K_{\max}=2.07\,\text{eV}\)

的電子。

換算為焦耳：

\(K_{\max}=(2.07)(1.60\times10^{-19})\)

\(K_{\max}=3.31\times10^{-19}\,\text{J}\)

步驟 5：計算光束 A 的光子到達率。

強度是每單位面積、每單位時間所傳遞的能量。

對單色光而言，單位面積的光子到達率為

\(\frac{\dot N}{A}=\frac{I}{E_\gamma}\)

其中 \(\dot N\) 是每秒到達的光子數量，\(A\) 是面積，而 \(I\) 是以 \(\text{W m}^{-2}\) 為單位的強度。

高頻光子的焦耳能量為

\(E_H=(4.14)(1.60\times10^{-19})\)

\(E_H=6.62\times10^{-19}\,\text{J}\)

光束 A 的高頻光強度為 \(10\,\text{W m}^{-2}\)，因此

\(\frac{\dot N_A}{A}=\frac{10}{6.62\times10^{-19}}\)

\(\frac{\dot N_A}{A}=1.51\times10^{19}\,\text{photons m}^{-2}\text{s}^{-1}\)

步驟 6：計算光束 B 中有效光子的到達率。

光束 B 只有一半的強度高於截止頻率。

因此，只有

\(5\,\text{W m}^{-2}\)

的強度來自能夠使電子逸出的高頻光子。

所以

\(\frac{\dot N_B}{A}=\frac{5}{6.62\times10^{-19}}\)

\(\frac{\dot N_B}{A}=7.54\times10^{18}\,\text{photons m}^{-2}\text{s}^{-1}\)

這恰好是光束 A 的有效光子到達率的一半。

因此，

\(\frac{\dot N_A}{\dot N_B}=2\)

在題目所列的假設下，光束 A 每秒產生的光電子數量是光束 B 的兩倍。

一個很容易令人信服的答案是：「強度相同，所以電子數量也相同。」但這忽略了一個問題：高頻光子所攜帶的能量比低頻光子多。要達到相同的能量通量，所需的高能量光子數量會較少。

更重要的是，光束 B 中低於截止頻率的光子無法彌補這個差距。在一般單光子模型中，這些光子不能彼此結合，形成能量更高的光子。它們就是無法引起光電發射。

這是頻率與強度之間區別的更深層意義：頻率決定每個光子所攜帶的能量，而強度表示到達的總輻射能量有多少。如果頻率改變，強度相同並不一定代表光子數量相同。

理解截止頻率與立即發射後，下一個值得學習的重點是完整的光電方程式與截止電壓。這些概念能將實驗證據轉化為定量工具，用來求出光子能量、功函數及電子的最大動能。