巴耳末系：氫如何產生光譜線

氫的巴耳末系：氫如何產生光譜線

氫原子為什麼會產生特定的可見光顏色，而不是連續光譜？本指南運用 HSC 物理概念，說明電子躍遷如何形成巴耳末系光譜線。

教室裡接上一盞氫氣放電燈後，它並沒有產生平滑連續的彩虹色光，而是出現幾條清晰的光譜線：紅色、藍綠色和紫色。為什麼氫不會產生所有可能的顏色？

一個直覺的預測可能是：「氫原子中的電子可以具有任意能量，所以它應該能失去任意多的能量，並產生任何顏色。」這聽起來很合理。畢竟，物體落下時可以停在許多不同的高度。

但氫的行為並不相同。它的電子只能具有某些特定的能量。當電子在這些允許的能階之間移動時，就會釋放具有特定能量的光子。氫所產生的可見光譜線，證明原子具有結構，而不是具有連續範圍的可能能量。

巴耳末系是指電子躍遷至第二能階時所產生的一組氫原子發射光譜線。理解這個系列，可以直接連結原子的能階、光子，以及我們觀察到的光。

01問題：為什麼氫產生的是光譜線，而不是彩虹？

想像你把一顆球沿著樓梯往下丟。

球不可能停在某一階的中間。它可以停在某一階或另一階，但樓梯上的每一階都對應固定的高度。

原子中的電子也有類似的行為。電子並不能具有任意可能的能量，而只能存在於某些允許的能量狀態。

樓梯是一個有用的思考模型：

• 每一階代表一個允許的電子能階，
• 向下移動一階會釋放能量，
• 向上移動一階則需要輸入能量。

不過，如果你過度按照字面理解這個比喻，它就不再適用了。電子並不是一顆沿著實際樓梯繞原子核運行的微小球體。能階是用來描述電子可能狀態的量子模型。

關鍵概念是：

發射光的顏色取決於兩個電子能階之間的能量差。

想一想：如果氫原子中發生兩種不同的電子躍遷，它們會產生相同顏色的光嗎？

不會。較大的能量下降會釋放能量較高的光子。由於光子能量與頻率相關，不同的能量下降會產生不同的顏色。

02氫的能階

氫是最簡單的原子，因為它只有一個質子和一個電子。

電子可以處於以主量子數 \(n\) 標記的能階：

• \(n = 1\) 是最低能階，
• \(n = 2\) 的能量較高，
• \(n = 3\) 的能量更高，
• 依此類推。

每個能階的能量都是負值，因為電子受到原子核束縛。電子越靠近原子核，受到的束縛就越強。

對氫而言：

\[ E_n = \frac{-13.6}{n^2}\text{ eV} \]

其中：

• \(E_n\) 是電子所在能階的能量，單位為電子伏特（eV），
• \(n\) 是主量子數，
• \(13.6\text{ eV}\) 是氫原子從基態游離所需的游離能。

部分能階如下：

03什麼會形成巴耳末系？

當電子躍遷至 \(n=2\) 時，就會形成巴耳末系。

例如：

\[ n=3 \rightarrow n=2 \]

會產生一條氫原子的可見光譜線。

\[ n=4 \rightarrow n=2 \]

會產生另一條氫原子的可見光譜線。

\[ n=5 \rightarrow n=2 \]

則會產生另一條光譜線。

電子會失去能量，因為最終狀態的能量較低。失去的能量會以光子的形式離開原子。

光子的能量為：

\[ E_{\text{photon}} = E_i - E_f \]

其中：

• \(E_i\) 是電子的初始能量，
• \(E_f\) 是電子的最終能量。

由於光子的能量由能量差決定，其波長也會固定：

\[ E_{\text{photon}} = hf \]

以及

\[ c = f\lambda \]

其中：

• \(h\) 是普朗克常數，
• \(f\) 是光子的頻率，
• \(c\) 是光速，
• \(\lambda\) 是波長。

能量較高的光子具有較高的頻率和較短的波長。

因此，較大的電子躍遷會產生：

\[ \text{較大的能量下降} \rightarrow \text{較高的頻率} \rightarrow \text{較短的波長} \]

04常見迷思：「電子只是持續不斷地失去能量」

一個看似合理的想法是，電子會螺旋式地靠近原子核，並逐漸失去能量，因而產生連續範圍的顏色。

這曾是早期原子模型面臨的問題。如果電子可以具有任意能量，原子就應該產生連續光譜。

然而，氫產生的是分立的光譜線。

這項觀察迫使我們得出不同的結論：

• 電子只能處於特定的能量狀態，
• 電子會在這些狀態之間發生躍遷，
• 發射出的光子具有特定的能量。

光譜不只是一種色彩圖案，它還是原子結構的證據。

05將巴耳末系視為能量差問題

一個實用的考試習慣是，先不要理會顏色。

相反地，應該先問：

1. 電子的起始能階是多少？
2. 電子的最終能階是多少？
3. 能量差是多少？
4. 這個能量對應的光子波長是多少？

巴耳末系一律符合：

\[ n_i > 2,\qquad n_f = 2 \]

其中：

• \(n_i\) 是初始能階，
• \(n_f\) 是最終能階。

躍遷決定光子的性質。

光子不會自行選擇躍遷。

06範例：氫原子中的電子從 \(n=3\) 躍遷至 \(n=2\)

氫原子中的電子從 \(n=3\) 躍遷至 \(n=2\)。計算所產生光子的波長。

步驟 1：求出各電子能階的能量。

當 \(n=3\) 時：

\[ E_3=\frac{-13.6}{3^2} \]

\[ E_3=-1.51\text{ eV} \]

當 \(n=2\) 時：

\[ E_2=\frac{-13.6}{2^2} \]

\[ E_2=-3.40\text{ eV} \]

步驟 2：計算光子能量。

電子移至較低的能階，因此：

\[ E_{\text{photon}}=E_i-E_f \]

\[ E_{\text{photon}}=(-1.51)-(-3.40) \]

\[ E_{\text{photon}}=1.89\text{ eV} \]

將能量換算為焦耳：

\[ 1.89 \times 1.60\times10^{-19} \]

\[ E_{\text{photon}}=3.02\times10^{-19}\text{ J} \]

步驟 3：使用光子能量公式。

\[ E=hf \]

重新整理：

\[ f=\frac{E}{h} \]

代入數值：

\[ f=\frac{3.02\times10^{-19}}{6.63\times10^{-34}} \]

\[ f=4.56\times10^{14}\text{ Hz} \]

步驟 4：求出波長。

\[ c=f\lambda \]

重新整理：

\[ \lambda=\frac{c}{f} \]

代入數值：

\[ \lambda=\frac{3.00\times10^8}{4.56\times10^{14}} \]

\[ \lambda=6.58\times10^{-7}\text{ m} \]

\[ \lambda=658\text{ nm} \]

這個光子的波長約為 \(658\text{ nm}\)，屬於可見紅光。這就是著名的氫原子 H-alpha 光譜線。

07範例：求出較高階巴耳末躍遷所釋放的能量

氫原子中的電子從 \(n=5\) 躍遷至 \(n=2\)。計算所發射光子的能量。

步驟 1：求出初始能量。

\[ E_5=\frac{-13.6}{5^2} \]

\[ E_5=-0.544\text{ eV} \]

步驟 2：求出最終能量。

\[ E_2=-3.40\text{ eV} \]

步驟 3：計算釋放的能量。

\[ E_{\text{photon}}=E_i-E_f \]

\[ E_{\text{photon}}=(-0.544)-(-3.40) \]

\[ E_{\text{photon}}=2.86\text{ eV} \]

換算為焦耳：

\[ E_{\text{photon}}=2.86(1.60\times10^{-19}) \]

\[ E_{\text{photon}}=4.58\times10^{-19}\text{ J} \]

發射光子的能量為 \(2.86\text{ eV}\)，大於從 \(n=3\) 躍遷至 \(n=2\) 時的能量。這表示它的波長較短，且在可見光譜中更接近紫色的一端。

08巴耳末系與里德伯公式

還有另一種方法可以直接計算氫原子的波長。里德伯公式將發射光的波長與電子躍遷聯繫起來：

\[ \frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right) \]

其中：

• \(\lambda\) 是光子的波長，
• \(R_H\) 是氫原子的里德伯常數，
• \(n_f\) 是最終能階，
• \(n_i\) 是初始能階。

對巴耳末系而言：

\[ n_f=2 \]

因此，每一個巴耳末波長都對應於最終能階為 \(n=2\) 的躍遷。

當題目要求快速求出波長時，里德伯公式很有用；而當題目要求解釋物理原理時，能階法通常更合適。

你可以在我們的指南中了解這兩種方法之間的關聯：里德伯公式：計算氫原子的波長。

09為什麼巴耳末系對現代物理學很重要？

巴耳末系是促使科學家發展原子量子模型的線索之一。

這種規律過於有系統，不可能只是隨機現象。這些波長遵循數學規則，暗示原子本身具有某種隱藏的結構。

這也與另一項支持量子物理的重要證據有關：電子繞射。正如光展現出類似粒子的行為，電子也展現出類似波的行為，挑戰了物質與輻射完全以不同方式運作的傳統觀念。你可以在電子繞射：德布羅意物質波的實驗證據中進一步探索這種關聯。

10問題與解答

問題 1

氫原子中的電子從 \(n=4\) 躍遷至 \(n=2\)。

解釋為什麼這種躍遷會產生可見光，而不是紫外線或紅外線。

解答 1

從 \(n=4\) 躍遷至 \(n=2\) 會產生可見光，因為這是一次巴耳末躍遷，其光子能量落在可見光的能量範圍內。

電子釋放的能量等於兩個能階之間的能量差。由於最終能階是 \(n=2\)，這次躍遷屬於巴耳末系。

一個常見的錯誤是認為所有電子向下躍遷都會產生可見光。事實並非如此。最終能階為 \(n=1\) 的躍遷通常會釋放能量較高的紫外光子，而較高能階之間的某些較小能量差則會產生紅外線。

能隙決定光子的能量，而光子的能量則決定它所屬的電磁波譜區域。

問題 2

一名學生說：

「電子從 \(n=6\) 移至 \(n=2\)，產生的顏色一定與電子從 \(n=3\) 移至 \(n=2\) 時相同，因為兩者的最終能階都是 \(n=2\)。」

這名學生的說法正確嗎？請解釋。

解答 2

這名學生的說法不正確，因為初始能階也會決定光子的能量。

這兩種躍遷都屬於巴耳末系，因為它們的最終能階都是 \(n=2\)，但兩者的能量下降幅度不同。

對於 \(n=6\rightarrow n=2\)，電子的起始能階高得多，因此比起 \(n=3\rightarrow n=2\)，它會失去更多能量。

能量損失較大表示：

\[ E_{\text{photon}} \uparrow \]

因此：

\[ f \uparrow \]

而且：

\[ \lambda \downarrow \]

所以，\(n=6\rightarrow n=2\) 所產生的光子，波長會比 \(n=3\rightarrow n=2\) 所產生的光子更短。

這道題的陷阱在於只關注最終能階。發射光子的性質取決於兩個能階之間的差值。

問題 3

一個氫原子吸收光子後，其電子從 \(n=2\) 移至 \(n=5\)。

之後，電子直接返回 \(n=2\)。

比較被吸收的光子與發射的光子。

解答 3

如果電子直接從 \(n=5\) 返回 \(n=2\)，被吸收與發射的光子就具有相同的能量和波長。

向上的躍遷需要：

\[ E_{\text{absorbed}}=E_5-E_2 \]

向下的躍遷則會釋放：

\[ E_{\text{emitted}}=E_5-E_2 \]

兩者的能量差完全相同。

一個看似合理的答案是，由於吸收與發射是相反的過程，因此發射的光子應該有所不同。真正重要的限制是，這兩個過程涉及相同的兩個能階。反轉躍遷方向只會改變能量是進入原子還是離開原子，不會改變能量變化的大小。

問題 4

兩個氫原子都會發射可見光。

原子 A 產生一條明亮的紅色巴耳末系光譜線。

原子 B 則只產生紫色的巴耳末系光譜線。

一名學生因此得出結論：原子 B 的電子比原子 A 的電子「更靠近原子核」。

解釋為什麼這個結論缺乏充分的依據。

解答 4

這個結論缺乏充分的依據，因為巴耳末光子的顏色反映的是一次躍遷，而不是電子永久所在的位置。

紫色光譜線來自以 \(n=2\) 為終點、能量下降幅度較大的躍遷，例如從較高的初始能階躍遷而來。電子可能起始於 \(n=5\)、\(n=6\) 或其他更高的能階。

一種容易讓人誤入歧途的想法，是把電子想像成行星，認為它會實際地向原子核移動，並停留在更靠近原子核的位置。這種模型忽略了量子概念。電子處於允許的能量狀態，而發射光的顏色揭示的是不同狀態之間的能量差。

更合理的結論是：與原子 A 產生紅光的躍遷相比，原子 B 的電子經歷了能量下降幅度更大的躍遷，並最終到達 \(n=2\)。

問題 5

氫原子的光譜中有一條巴耳末系光譜線，在氫氣非常冷時無法觀察到。當氣體受熱後，這條光譜線便出現了。

一名學生主張：

「加熱一定改變了這次巴耳末躍遷的波長。」

請評估這個說法。

解答 5

這個說法不正確，因為加熱會改變處於激發態的電子數量，而不是改變躍遷的波長。

波長由兩個能階之間的能量差決定：

\[ E_{\text{photon}}=E_i-E_f \]

氫原子的能階不會僅僅因為氣體受熱就發生改變。

在低溫的氫氣中，大多數電子仍處於最低的能量狀態，因此能夠經歷某些向上激發、並在之後產生那些發射光譜線的原子數量較少。

當氣體受熱時，碰撞可以提供足夠的能量，將更多電子激發至較高能階。當這些電子返回 \(n=2\) 時，巴耳末系光譜線就會變得更強，也更容易觀察到。

更深層的概念是，光譜不僅取決於允許的躍遷，也取決於有多少原子能夠發生這些躍遷。某條光譜線缺失，並不代表能階必然已經改變。

巴耳末系讓我們能夠從可見光中讀取原子的隱藏結構。一旦你熟悉如何將光譜線與電子躍遷聯繫起來，下一步就是運用波長進行數學計算，進而辨識躍遷本身。