熱輻射光譜的峰值能告訴我們甚麼？

一塊高溫金屬起初呈現暗紅色。繼續加熱後，它會變成橙色，接著變成黃白色。這並不是因為材料突然學會了發出不同顏色的光，而是因為溫度改變了它所發射的電磁輻射分布。

在開始計算之前，先預測一下：如果物體的溫度升高，它發射最強輻射所對應的波長，會向較長波長還是較短波長移動？

答案是向較短波長移動。維恩位移定律（Wien’s displacement law）可以量化這種變化。這意味著，即使研究對象是一顆無法直接接觸的恆星，我們仍然可以透過測量其光譜來推算溫度，就像使用溫度計一樣。

01熱輻射光譜的峰值能告訴我們甚麼？

高溫物體會在一系列不同波長上發射電磁輻射，而不是只發射單一波長的輻射。

想像我們把發射出的輻射按波長由短至長排列，並測量每個微小波長區間內的輻射量。光譜中會有一個部分比其他部分更高。這個峰值所對應的波長稱為 \(\lambda_{\max}\)，讀作「lambda max」（最大波長）。

其中的重要規律是：

• 溫度較低的物體具有較長的 \(\lambda_{\max}\)；
• 溫度較高的物體具有較短的 \(\lambda_{\max}\)。

因此，如果一顆恆星的光譜峰值位於可見光的藍光區域，而另一顆位於紅光區域，那麼前者的溫度較高，前提是兩者的光譜都能合理地用熱黑體輻射模型描述。

這種現象屬於更廣泛的黑體輻射概念。維恩位移定律專注於光譜中一個特別有用的特徵：峰值出現的位置。

02從光譜規律推導維恩位移定律

對於理想黑體，

\[ \lambda_{\max}T=b \]

或者，將公式整理成以溫度為主項：

\[ T=\frac{b}{\lambda_{\max}} \]

其中：

• \(\lambda_{\max}\) 是光譜強度達到最大值時的波長，單位為米 \((\text{m})\)；
• \(T\) 是絕對溫度，單位為開爾文 \((\text{K})\)；
• \(b\) 是維恩位移常數，

\[ b=2.898\times10^{-3}\ \text{m K} \]

對大多數 HSC 計算題而言，使用 \(2.90\times10^{-3}\ \text{m K}\) 已經足夠精確，除非題目提供了其他數值。

最重要的是這個反比關係。如果 \(\lambda_{\max}\) 減半，\(T\) 就會加倍。

這也符合我們剛才對光譜的理解：加熱會使峰值向較短波長移動。

最容易出錯的單位換算

光譜中的波長通常以納米或微米表示，但上述 \(b\) 的標準數值使用米作為長度單位。

例如，

\[ 520\ \text{nm}=520\times10^{-9}\ \text{m}=5.20\times10^{-7}\ \text{m} \]

如果你直接把 \(520\) 代入 \(T=b/\lambda_{\max}\)，答案就會相差 \(10^9\) 倍。這絕不是微小的四捨五入誤差。

03為甚麼必須使用開爾文？

假設有人嘗試在維恩定律中使用攝氏溫度，問題就不只是單位使用慣例那麼簡單。

維恩定律涉及絕對溫度。\(0^\circ\text{C}\) 並不代表「沒有熱能」，而是相當於 \(273.15\ \text{K}\)。只有從絕對零度開始量度溫度，這個反比關係才具有正確的物理意義。

使用以下公式將攝氏溫度轉換成開爾文：

\[ T(\text{K})=T({}^\circ\text{C})+273.15 \]

不過，維恩定律的題目通常會要求你直接求出以開爾文表示的溫度 \(T\)。

05一個實用的心算技巧

由於 \(T\) 和 \(\lambda_{\max}\) 成反比，你通常可以在使用計算機之前，先判斷答案是否合理。

假設恆星 A 的峰值波長為 \(400\ \text{nm}\)，而恆星 B 的峰值波長為 \(800\ \text{nm}\)。

哪一顆溫度較高？

答案是恆星 A。它的峰值波長只有恆星 B 的一半，因此其溫度必然是恆星 B 的兩倍：

\[ \frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_{\max,B}}{\lambda_{\max,A}} = \frac{800}{400} =2 \]

注意，在計算比值時，波長單位會互相約去，因此這裡兩個波長都可以保留以納米表示。

這是一個很實用的合理性檢查。如果計算機得出的結果顯示峰值波長為 \(800\ \text{nm}\) 的物體溫度較高，那就表示計算過程出了問題。

06峰值波長並不是唯一發射的波長

一個常見錯誤是看到 \(\lambda_{\max}=900\ \text{nm}\)，便得出以下結論：「這個物體只發射紅外線，不會發射可見光。」

維恩定律並不是這個意思。

峰值只是光譜達到最大值的位置。熱輻射體會在峰值兩側的一系列波長上發射輻射。

想像一場派對，其中一首歌曲吸引最多人跳舞。稱它為最受歡迎的歌曲，並不代表其他歌曲突然全部消失。\(\lambda_{\max}\) 代表光譜中強度最大的部分，而不是唯一存在的輻射。

當然，這個類比並不完全準確，因為輻射光譜是連續的，而不是由一首首獨立歌曲組成。不過，它有助我們理解「最大」和「唯一」之間的分別。

這也解釋了為甚麼即使高溫物體計算所得的 \(\lambda_{\max}\) 仍然位於紅外線區域，它也可以發出肉眼可見的光。

07利用維恩定律測量溫度

計算本身通常很簡短。比較困難的是判斷題目給出的波長是否真正代表 \(\lambda_{\max}\)。

一套可靠的解題步驟如下：

1. 找出物體熱輻射光譜的峰值波長。
2. 將該波長換算成米。
3. 使用 \(T=b/\lambda_{\max}\)。
4. 以開爾文表示溫度。
5. 檢查結果是否符合反比關係：峰值波長越短，溫度應該越高。

此外，步驟 1 還隱含了一個重要的模型條件。

維恩定律可直接應用於黑體輻射。真實的恆星和高溫物體並不是完美的黑體。它們的光譜可能包含吸收線、發射線、大氣效應、探測器效應，以及其他複雜因素。

在許多 HSC 題目中，題目會指示你將物體視為黑體，或者提供一條平滑的熱輻射光譜，並預期你使用黑體近似模型。在這些情況下，使用維恩定律是恰當的。

08維恩定律無法告訴我們甚麼？

假設兩顆恆星具有完全相同的 \(\lambda_{\max}\)。

你能否因此斷定它們發射的總功率相同？

不能。

在黑體模型下，你可以推斷它們具有相同的溫度，但維恩定律本身並沒有提供任何關於它們大小的資訊。

一顆巨大的恆星和另一顆小得多的恆星，可以具有相同的表面溫度，因此也具有相同的 \(\lambda_{\max}\)，但兩者發射的總能量卻可能相差很大。

同樣地，實測光譜的高度與峰值的位置，是兩種不同的資訊。維恩定律使用的是峰值的位置。

當你之後把黑體光譜與斯特藩-玻爾茲曼定律（Stefan-Boltzmann law）聯繫起來時，這個區別就會變得重要。該定律指出，溫度和發射表面積都會影響總輻射功率。

09一個容易忽略的精確概念

我們熟悉的公式

\[ \lambda_{\max}=\frac{b}{T} \]

特別適用於以每單位波長表示的光譜，其峰值所對應的波長。

這個說法聽起來有點繁瑣，但它能避免一個真正的錯誤。如果光譜改為以頻率作為橫軸繪製，那麼頻率圖上的最高點，並不能簡單地利用 \(\lambda=c/f\) 轉換成波長光譜的峰值。

從波長區間改為頻率區間，會改變光譜的分組方式，因此最大值的位置也會改變。

在一般 HSC 維恩定律題目中，題目通常會直接給出峰值波長。但請不要隨意把某個「峰值頻率」轉換成 \(\lambda_{\max}\)，然後假設兩者沒有任何差別。

10練習題與解答

題目 1

某顆恆星可近似視為黑體，其峰值波長為 \(725\ \text{nm}\)。

計算其表面溫度。

解答 1

這顆恆星的表面溫度約為 \(4.00\times10^3\ \text{K}\)。

根據維恩位移定律，

\[ T=\frac{b}{\lambda_{\max}} \]

首先將 \(725\ \text{nm}\) 換算成米：

\[ 725\ \text{nm} = 725\times10^{-9}\ \text{m} = 7.25\times10^{-7}\ \text{m} \]

然後代入公式：

\[ T= \frac{2.898\times10^{-3}\ \text{m K}} {7.25\times10^{-7}\ \text{m}} = 3.997\times10^3\ \text{K} \]

因此，

\[ T\approx4.00\times10^3\ \text{K} \]

一個容易犯的錯誤是直接把 \(725\) 代入公式。由於 \(b\) 的數值以米·開爾文為單位，因此必須先將波長換算成米。

題目 2

某個熔爐的爐壁可近似視為溫度為 \(1450\ \text{K}\) 的黑體。

計算其峰值波長。一名學生接著說：「這代表爐壁不可能發射可見光，因為它的峰值位於可見光譜之外。」

評估這名學生的說法。

解答 2

峰值波長約為 \(2.00\ \mu\text{m}\)，位於紅外線區域，但該學生對可見光的結論並不正確。

使用

\[ \lambda_{\max}=\frac{b}{T} \]

可得

\[ \lambda_{\max} = \frac{2.898\times10^{-3}\ \text{m K}} {1450\ \text{K}} = 1.999\times10^{-6}\ \text{m} \]

因此，

\[ \lambda_{\max}\approx2.00\times10^{-6}\ \text{m} =2.00\ \mu\text{m} \]

所以，最大值位於紅外線區域。

然而，黑體光譜包含連續的波長範圍。峰值指出光譜強度最大的波長，並不代表物體只會發射這個波長的輻射。

容易犯的錯誤是把 \(\lambda_{\max}\) 當成唯一的發射波長。熱輻射並不是這樣運作的。即使熔爐的光譜在紅外線區域達到最大值，它仍然可以發射部分可見光輻射。

題目 3

兩顆恆星 A 和 B 均可近似視為黑體。

恆星 A 的 \(\lambda_{\max}=420\ \text{nm}\)，而恆星 B 的 \(\lambda_{\max}=700\ \text{nm}\)。

求溫度比 \(T_A/T_B\)。一名觀測者還發現，從地球觀察時，兩顆恆星的視亮度相同。觀測者能否因此斷定兩顆恆星的半徑相同？請解釋。

解答 3

溫度比為 \(T_A/T_B=1.67\)，但視亮度相同並不能證明兩顆恆星具有相同的半徑。

由於

\[ T=\frac{b}{\lambda_{\max}}, \]

因此溫度比為

\[ \frac{T_A}{T_B} = \frac{b/\lambda_{\max,A}} {b/\lambda_{\max,B}} = \frac{\lambda_{\max,B}} {\lambda_{\max,A}} \]

代入數值：

\[ \frac{T_A}{T_B} = \frac{700\ \text{nm}}{420\ \text{nm}} = 1.67 \]

因此，恆星 A 的溫度約為恆星 B 的 \(1.67\) 倍。

第二個結論無法從維恩定律推導出來。視亮度不只取決於溫度，發射面積和物體與觀測者之間的距離尤其重要。

容易出現的錯誤推理是：觀測到的亮度相同，就代表實際發射功率相同，因此兩者的大小可能也相同。但視亮度與總發射功率並不是同一回事。即使我們已經利用維恩定律求出溫度，如果沒有距離和光度等因素的額外資訊，仍然不足以判斷兩顆恆星是否具有相同的半徑。

題目 4

一名天文學家透過一個理想濾光片觀測某個熱輻射源。

濾光片會阻擋所有短於 \(700\ \text{nm}\) 的波長，並讓所有等於或長於 \(700\ \text{nm}\) 的波長通過。在透射光譜中，測得的最大強度出現在 \(700\ \text{nm}\)，而在所有更長的波長上，強度都持續下降。

一名學生計算

\[ T=\frac{2.898\times10^{-3}}{700\times10^{-9}} \]

並聲稱該輻射源的溫度必然是 \(4140\ \text{K}\)。

這個精確溫度是否有充分根據？如果沒有，請判斷我們能對輻射源的溫度得出甚麼結論。假設未經濾光的輻射源是理想黑體。

解答 4

無法確定精確溫度為 \(4140\ \text{K}\)。已知資訊只能推斷，輻射源的溫度至少約為 \(4140\ \text{K}\)。

濾光片移除了所有低於 \(700\ \text{nm}\) 的波長。因此，\(700\ \text{nm}\) 是探測器能夠接收到的光譜左側邊界。

題目還告訴我們，在所有長於 \(700\ \text{nm}\) 的波長上，透射強度都持續下降。因此，真正的黑體光譜峰值不可能位於長於 \(700\ \text{nm}\) 的波長。如果峰值位於更長的波長，強度就應該先隨波長增加而上升，直到達到該峰值。

所以，未經濾光的光譜必須滿足

\[ \lambda_{\max}\leq700\ \text{nm} \]

根據維恩定律，

\[ T=\frac{b}{\lambda_{\max}} \]

由於溫度與 \(\lambda_{\max}\) 成反比，因此最大可能的峰值波長對應最小可能的溫度：

\[ T\geq \frac{2.898\times10^{-3}\ \text{m K}} {700\times10^{-9}\ \text{m}} \]

\[ T\geq4.14\times10^3\ \text{K} \]

因此，

\[ T\geq4140\ \text{K} \]

該學生容易犯的錯誤，是假設測得的最大值必然就是輻射源真正的光譜峰值。在這個情況下，儀器已經移除了整個較短波長的光譜部分。最大值出現在 \(700\ \text{nm}\)，可能只是因為這是探測器獲准接收的最短波長。

如果真正的 \(\lambda_{\max}\) 剛好是 \(700\ \text{nm}\)，那麼輻射源的溫度確實約為 \(4140\ \text{K}\)。但如果真正的峰值位於 \(600\ \text{nm}\)、\(500\ \text{nm}\) 或更短的波長，它就會被濾光片遮蔽，而輻射源的溫度也會更高。

題目 5

某個探測器使用等寬的頻率區間，而不是等寬的波長區間，記錄一個黑體的光譜。其頻率光譜圖在以下頻率達到最大值：

\[ f_{\text{peak}}=5.88\times10^{14}\ \text{Hz} \]

一名學生計算

\[ \lambda=\frac{c}{f_{\text{peak}}} = \frac{3.00\times10^8} {5.88\times10^{14}} \approx5.10\times10^{-7}\ \text{m} \]

然後使用 \(T=b/\lambda\)，聲稱該物體的溫度約為 \(5680\ \text{K}\)。

這樣使用維恩定律的波長形式是否有效？請解釋在使用 \(\lambda_{\max}=b/T\) 之前，需要知道甚麼資訊。

解答 5

無效。這項計算並不能利用維恩定律的波長形式，確定物體的溫度為 \(5680\ \text{K}\)。

學生所使用的單獨公式

\[ \lambda=\frac{c}{f} \]

本身是正確的，可以用來換算某個特定電磁波的頻率和波長。問題出現在下一步。

對於以每單位頻率表示的光譜，其最大值所對應的頻率，一般並不等於同一輻射光譜以每單位波長表示時，其峰值波長所對應的頻率。

原因是等寬的波長區間並不對應等寬的頻率區間。由於

\[ c=f\lambda, \]

頻率與波長成反比。在光譜的不同位置，相同的波長變化量會對應不同大小的頻率變化量。因此，當我們改用等寬的頻率區間來表示輻射分布時，繪製出的分布曲線形狀會改變，其數學最大值的位置也會移動。

數值

\[ \frac{c}{f_{\text{peak}}}=510\ \text{nm} \]

代表具有該特定頻率的光子所對應的波長，但我們尚未證明它就是以波長表示的光譜中的 \(\lambda_{\max}\)。

要使用

\[ \lambda_{\max}=\frac{b}{T}, \]

我們必須知道以每單位波長表示的光譜之峰值波長，或者具有能夠正確確定該波長域峰值的等效資訊。

這其實是所有維恩定律題目中核心原則的進階版本：不要隨便找一個看起來像波長的數值就代入公式。首先必須確認該物理量確實是 \(\lambda_{\max}\)。

一旦確認這一點，維恩位移定律就能把熱輻射光譜的峰值位置轉換成溫度。下一個有用的步驟，是把這項溫度資訊與黑體光譜的其他特性結合起來：維恩定律告訴我們峰值位於哪裡，而斯特藩-玻爾茲曼定律則告訴我們黑體的總輻射功率有多大。