直流發電機：旋轉線圈如何產生直流電

在磁鐵兩極之間旋轉一個矩形線圈，就能產生電動勢。但這立即帶來一個問題：線圈轉過半圈後，線圈的每一側都會沿相反方向穿過磁場。那麼，為甚麼直流發電機不會直接產生交流電呢？

在繼續閱讀前，先試著預測答案。如果旋轉線圈中的感應電動勢每半圈反轉一次，有甚麼方法可以讓流過外部電阻的電流始終沿同一方向流動？

答案並不是某種特殊的電磁感應。線圈中的電動勢確實會反轉。直流發電機使用分裂環換向器，在完全相同的時刻交換線圈與外部電路的連接。兩次反轉同時發生，因此外部電流仍保持同一方向。

這就是直流發電機的核心概念。

01從一條移動的導體開始

想像一條直金屬導線橫向穿過磁場。導線內含有可移動的電子，而這些電荷會隨導線一起移動。

在磁場中移動的電荷會受到磁力：

\[ F = qvB\sin\theta \]

其中 \(F\) 是以牛頓為單位的磁力，\(q\) 是以庫侖為單位的電荷量，\(v\) 是電荷以米每秒為單位的速度，\(B\) 是以特斯拉為單位的磁場強度，而 \(\theta\) 是速度方向與磁場方向之間的夾角。

當導線垂直於磁場方向移動時，\(\theta = 90^\circ\)，所以磁力最大。正電荷和負電荷會被推向導體的相反兩端。這種電荷分離會在導線兩端產生電勢差，也就是電動勢。

因此，我們可以先建立一個有用的圖像：讓導體穿過磁場移動，導體內的電荷便可能沿著導體受到推動。

不過，這還不是發電機的完整解釋。實際的發電機使用整個旋轉線圈，因此導體不同部分會沿不同方向移動，而穿過線圈的磁通量也會持續改變。

02把導體組成旋轉線圈

取一個矩形線圈，把它放在磁鐵的北極和南極之間。假設有外力以穩定的角速度轉動線圈。

先集中考慮線圈中穿越磁場的兩條邊。

當線圈轉動時：

• 一側向上移動，而另一側向下移動，
• 磁力會使這兩側的電荷沿相反方向受到推動，
• 這些作用沿整個迴路相加，產生電動勢。

現在跟隨線圈轉過半圈。線圈的每一側都來到運動路徑的相反位置，而且其穿過磁場的速度方向也已反轉。

感應電動勢應該會怎樣？

它會反轉。

如果我們直接把旋轉線圈連接到兩個連續的滑環，外部電流便會每半圈反轉一次。這種裝置會產生交流電。

直流發電機還需要多一個組件。

03分裂環換向器改變外部電路所看到的輸出

分裂環換向器由兩個導電的半環組成，分別連接旋轉線圈的兩端。固定的碳刷壓在旋轉的換向器片上，並把它們連接到外部電路。

在其中半圈期間，線圈的一端接觸電刷 A，另一端接觸電刷 B。

轉過半圈後，換向器片已交換所接觸的電刷。

這個交換恰好在線圈中的感應電動勢極性反轉時發生。

因此會出現兩次反轉：

1. 旋轉線圈內的感應電動勢反轉；
2. 換向器反轉線圈哪一端與各電刷連接。

從外部電路的角度來看，這兩次反轉彼此抵消。流過負載的電流會繼續沿同一方向流動。

這裡可以用一個稍微有點滑稽的類比來幫助理解。想像兩個人輪流拿著托盤穿過一道門，但每次他們交換位置時，也會交換用哪一隻手把托盤向前遞。內部發生了很多反轉，但托盤整體上仍沿同一方向通過門口。

這個類比並不完全成立，因為換向器並不是把電流從一個載體實際交給另一個載體。它是在切換電路連接。不過，它抓住了重要的一點：內部方向可以反轉，而外部方向仍保持不變。

04直流發電機不會產生完全恆定的直流電

這是這個主題中最容易出現的誤解之一。

學生看到「直流發電機」幾個字，可能會想像像電池那樣呈水平直線的電壓。

基本的直流發電機並不會產生這種輸出。

旋轉線圈產生隨正弦變化的電動勢。分裂環換向器把波形的負半週翻轉，使外部極性保持相同。

結果是脈動直流電。它只有一個方向，但其大小會持續改變。

實際的直流發電機可以使用多個線圈和多個換向器片。各線圈的電動勢峰值會在不同時間出現，因此總輸出會平滑得多。

05為甚麼電動勢會在每次旋轉期間改變

現在，我們可以利用磁通量來建立更精確的模型。

對於穿過平面線圈的均勻磁場，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中 \(\Phi\) 是穿過單匝線圈、以韋伯為單位的磁通量，\(B\) 是以特斯拉為單位的磁場強度，\(A\) 是以平方米為單位的線圈面積，而 \(\theta\) 是磁場方向與線圈平面的法線之間的夾角。

法線是一條想像中的直線，垂直於線圈所在的平面。

這個角度的定義十分重要。如果線圈平面垂直於磁場，法線便與磁場平行，因此 \(\theta = 0^\circ\)，磁通量最大。

如果線圈平面平行於磁場，法線便與磁場成 \(90^\circ\)，所以磁通量為零。

法拉第定律告訴我們，當磁通鏈發生變化時，就會產生感應電動勢：

\[ \varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

其中 \(\varepsilon\) 是以伏特為單位的感應電動勢，而 \(N\) 是線圈匝數。

負號代表楞次定律：感應效應的方向會反抗造成它的變化。

這裡有一個容易忽略的重點。電動勢並不是在磁通量最大時最大，而是在磁通量變化最快時最大。

假設線圈在某一瞬間垂直於磁場。此時磁通量最大，但在那一瞬間，其變化率為零。因此感應電動勢為零。

再轉四分之一圈後，磁通量為零，但變化速度最快。此時電動勢的大小最大。

這個區別在發電機題目中經常出現。

06旋轉線圈的電動勢方程式

如果線圈以恆定角速度 \(\omega\) 旋轉，其角度可寫成

\[ \theta = \omega t \]

其中 \(\omega\) 是以弧度每秒為單位的角速度，而 \(t\) 是以秒為單位的時間。

把它代入磁通量公式可得

\[ \Phi = BA\cos(\omega t) \]

對於 \(N\) 匝線圈，對磁通鏈求導可得

\[ \varepsilon = NBA\omega\sin(\omega t) \]

如果我們選擇在磁通量最大時令 \(t=0\)。

因此，感應電動勢的峰值為

\[ \varepsilon_{\text{max}} = NBA\omega \]

這個方程式提供了一個有用的判斷規則：

注意，換向器並沒有出現在這個方程式中。換向器不會使電磁感應變得更強。它改變的是連接方式，使外部極性保持相同。

對理想的單線圈直流發電機而言，外部電動勢可表示為

\[ \varepsilon_{\text{out}} = \left|\varepsilon_{\text{max}}\sin(\omega t)\right| \]

絕對值符號就是分裂環作用的數學表示。

07在旋轉的哪個位置，電動勢最大？

在使用方程式之前，先試著根據實際運動來預測答案。

當線圈平面垂直於磁場時，每一條有效邊在那一瞬間大致沿平行於磁場的方向移動。它們不能有效地切割磁場，因此電動勢為零。

轉過四分之一圈後，線圈平面與磁場平行。有效邊垂直於磁場方向移動，因此它們切割磁場的速率最快。此時電動勢的大小最大。

再轉四分之一圈後，電動勢又回到零。

因此，在線圈完整旋轉一圈的過程中，電動勢大小會遵循以下模式：

\[ 0\rightarrow \varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \rightarrow\varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \]

在線圈內部，兩個最大值具有相反極性。經過換向後，它們在外部電刷上都會以相同極性出現。

08電流需要完整的電路

即使沒有連接負載，也可以存在電動勢。電流則需要一條閉合的導電路徑。

如果我們把發電機模擬成具有內阻 \(r\)，並將它接到外部負載電阻 \(R\)，那麼在任何瞬間都有

\[ I=\frac{\varepsilon_{\text{out}}}{R+r} \]

其中 \(I\) 是以安培為單位的電流。

對簡單的電阻性負載而言，電流因此具有與輸出電動勢相同的脈動形狀。

提高旋轉速度的影響不只是讓脈衝更頻繁地出現。由於

\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega, \]

較大的角速度也會使脈衝的峰值更高。

把 \(\omega\) 加倍，峰值電動勢也會加倍。

09為甚麼產生電能會令發電機更難轉動

假設發電機連接到一個電阻。此時電流會流過旋轉線圈。

載流導體位於磁場中時會受到磁力。由此產生的轉矩會反抗正在產生電流的旋轉運動。

這就是楞次定律在機械上的表現。

這也提供了一個重要的能量檢查方法。如果接上負載後反而令發電機自行加速，機器便會在沒有額外能量輸入的情況下，同時產生電能和額外的轉動能。這是不可能的。

相反，當取出的電功率增加時，驅動發電機的外部裝置就必須提供更多機械能。

這也能解釋一個起初可能有點反直覺的結果：雖然旋轉線圈中的電流每半圈反轉一次，但電磁轉矩並不會突然開始幫助旋轉。換向器和感應電流的反轉共同作用，使發電機的電磁效應持續反抗驅動運動。

相同的基本電磁感應原理，也會從相反方向出現在馬達中。當直流馬達已經在旋轉時，其旋轉導體會產生一個反抗供應電壓的電壓。這就是直流馬達中的反電動勢。

10要分清楚的三個概念

大多數直流發電機的錯誤，都是因為把三個不同概念混在一起。

所以，說「電流從不反轉」太含糊。

外部電流不會反轉。相對於旋轉線圈而言，電流方向則會反轉。

同樣地，說「分裂環產生電動勢」也是錯誤的。電磁感應產生電動勢。分裂環則以機械方式切換外部連接。

11問題與解答

問題 1

一個 150 匝、面積為 \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\) 的線圈，在 \(0.20\text{ T}\) 的均勻磁場中以 \(40\text{ rad s}^{-1}\) 旋轉。

計算線圈產生的最大電動勢。

解答 1

最大感應電動勢為 \(\boxed{3.0\text{ V}}\)。

對旋轉線圈而言，

\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega. \]

其中，

\[ N=150,\qquad B=0.20\text{ T},\qquad A=2.5\times10^{-3}\text{ m}^2,\qquad \omega=40\text{ rad s}^{-1}. \]

因此，

\[ \varepsilon_{\text{max}} =(150)(0.20)(2.5\times10^{-3})(40) =3.0\text{ V}. \]

線圈中的感應電動勢會在 \(+3.0\text{ V}\) 和 \(-3.0\text{ V}\) 之間變化。使用理想分裂環換向器後，外部電路則會接收到介乎 \(0\) 與 \(3.0\text{ V}\) 之間、具有單一極性的脈衝。

一個容易出現的錯誤，是假設直流發電機會持續輸出 \(3.0\text{ V}\)。所計算出的數值是最大值，而不是恆定輸出。

問題 2

一台直流發電機的峰值感應電動勢為 \(18\text{ V}\)。在某一瞬間，其旋轉線圈的法線與磁場成 \(140^\circ\)。

發電機接到一個 \(5.0\,\Omega\) 電阻，並具有 \(1.0\,\Omega\) 的內阻。

計算：

a. 此瞬間感應電動勢的大小，以及
b. 負載電流的大小。

解釋為甚麼流過外部電阻的電流，仍可以與線圈位於 \(40^\circ\) 時具有相同方向。

解答 2

電動勢大小約為 \(\boxed{11.6\text{ V}}\)，而電流大小約為 \(\boxed{1.93\text{ A}}\)。外部電流保持原來的方向，是因為分裂環換向器在這半圈期間已交換線圈的連接。

對旋轉線圈而言，

\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin\theta|. \]

代入：

\[ |\varepsilon| =(18)|\sin140^\circ| \approx(18)(0.643) \approx11.6\text{ V}. \]

電路的總電阻為

\[ R_{\text{total}}=5.0+1.0=6.0\,\Omega. \]

利用歐姆定律，

\[ I=\frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} =\frac{11.6}{6.0} \approx1.93\text{ A}. \]

一個容易令人誤判的說法是，\(140^\circ\) 位於與 \(40^\circ\) 不同的半圈，因此外部電流一定已經反轉。對於旋轉線圈內部的電動勢而言，前半句確實正確：它的極性已經反轉。

可是，換向器也同時交換了每一個電刷所接觸的線圈端。兩次反轉一起發生，所以外部電阻看到的極性仍然相同。

問題 3

一台單線圈直流發電機以恆定角速度旋轉。其最大電動勢為 \(24\text{ V}\)，而電路總電阻為 \(8.0\,\Omega\)。

在線圈法線與磁場之間的夾角為 \(30^\circ\) 的某一瞬間：

a. 計算電流大小，
b. 計算傳送到電路的電功率，以及
c. 把此瞬間的反向電磁轉矩與夾角為 \(90^\circ\) 時的數值作比較。假設旋轉速度和電阻保持不變。

解答 3

電流為 \(\boxed{1.5\text{ A}}\)，電功率為 \(\boxed{18\text{ W}}\)，而反向電磁轉矩為 \(90^\circ\) 時最大值的 \(\boxed{\tfrac14}\)。

先求瞬時電動勢：

\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin30^\circ| =(24)(0.5) =12\text{ V}. \]

因此電流為

\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{12}{8.0} =1.5\text{ A}. \]

電功率為

\[ P=\varepsilon I =(12)(1.5) =18\text{ W}. \]

現在與 \(90^\circ\) 的位置比較。

在 \(90^\circ\) 時，

\[ \varepsilon=24\text{ V}, \]

所以

\[ I=\frac{24}{8.0}=3.0\text{ A} \]

而

\[ P=(24)(3.0)=72\text{ W}. \]

在角速度恆定時，與反向電磁轉矩相關的機械功率滿足

\[ P=\tau\omega, \]

其中 \(\tau\) 是以牛頓米為單位的轉矩，而 \(\omega\) 是角速度。由於 \(\omega\) 不變，

\[ \frac{\tau_{30}}{\tau_{90}} = \frac{P_{30}}{P_{90}} = \frac{18}{72} = \frac14. \]

因此，在 \(30^\circ\) 時的反向轉矩，是 \(90^\circ\) 時的四分之一。

一條看似合理但錯誤的思路，是因為電動勢減半，所以轉矩也應減半。但電流同樣也減半。對固定電阻而言，電功率按以下關係變化：

\[ P=\frac{\varepsilon^2}{R}, \]

因此，把電動勢減半會令功率減至四分之一，而在速度固定時，所需的反向轉矩也因此減至四分之一。

問題 4

一台理想直流發電機具有單一旋轉線圈和分裂環換向器。正常情況下，當感應電動勢通過零時，電刷會從一個換向器片轉而接觸另一個換向器片。

假設電刷的位置錯誤，使連接在每次線圈感應電動勢通過零之後，延遲 \(20^\circ\) 的旋轉角度才切換。

解釋每次完整旋轉期間，外部電壓的極性會發生甚麼變化。發電機是否仍能在所有時刻都只沿一個方向產生電流？

假設切換是完全瞬時的，並忽略火花。

解答 4

不能。外部電壓在每次旋轉的大部分時間都具有預期的極性，但在每次電動勢過零之後的一段 \(20^\circ\) 區間內，極性會相反。每轉一圈會出現兩個這樣的區間。

關鍵在於，本來應該同時發生兩件事：

• 線圈中的感應電動勢改變符號；
• 換向器交換線圈與電刷之間的連接。

當時序正確時，從外部電路的角度來看，這兩次反轉會彼此抵消。

但這裡兩者並沒有同時發生。

剛通過零點後，線圈已經進入下一個半圈，因此線圈電動勢已經反轉。但在接下來的 \(20^\circ\) 內，系統仍然使用舊的換向器連接方式。

在這段期間，只發生了一次反轉，而不是兩次。因此外部極性會反轉。

當延遲的換向器切換終於發生時，第二次反轉出現，預期的外部極性便會恢復。

同樣的問題會在下一次過零時再次出現，因此每次 \(360^\circ\) 的完整旋轉都會有兩個極性錯誤的區間。

它們的總角度範圍為

\[ 2(20^\circ)=40^\circ. \]

因此，每轉一圈，輸出具有錯誤極性的比例為

\[ \frac{40^\circ}{360^\circ} =\frac19 \]

。

一個容易出現的說法是，換向器「最終總會修正方向」，所以輸出仍可算是單向直流電。問題正在於切換時機。分裂環換向器之所以有效，是因為它會在線圈電動勢改變符號的同時切換連接。延遲切換便會讓一個短暫的反向電壓脈衝進入外部電路。

這也解釋了為甚麼實際的換向是一個工程問題，而不只是把兩塊金屬做成半圓形那麼簡單。

問題 5

一名設計者希望讓直流發電機的輸出更平滑。

發電機不再只使用一個線圈，而是包含兩個相同的線圈，兩者繞同一轉軸安裝並相隔 \(90^\circ\)。每個線圈都有自己的理想換向器。它們整流後的輸出電壓以串聯方式連接，使兩者相加。

如果每個線圈單獨使用時，其最大電動勢都是 \(E_0\)。

令 \(\theta\) 為第一個線圈輸出符合下式時的角度：

\[ E_1=E_0|\sin\theta|. \]

由於第二個線圈領先 \(90^\circ\)，其輸出為

\[ E_2=E_0|\cos\theta|. \]

a. 求 \(\theta=0^\circ\)、\(45^\circ\) 和 \(90^\circ\) 時的總輸出。

b. 一名學生聲稱：「兩個線圈相隔 \(90^\circ\)，所以當一個線圈的電壓下降時，另一個線圈的電壓會增加完全相同的量。因此它們的總和一定是常數。」判斷這個說法是否正確。

c. 求四分之一圈 \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\) 期間的最小和最大總電壓，並解釋這對實際直流發電機使用多個線圈有甚麼啟示。

解答 5

總輸出在 \(0^\circ\) 時為 \(\boxed{E_0}\)，在 \(45^\circ\) 時為 \(\boxed{\sqrt2E_0}\)，而在 \(90^\circ\) 時為 \(\boxed{E_0}\)。因此，它比單一線圈的輸出更平滑，但並不是恆定的。

總電壓為

\[ E_{\text{total}} = E_1+E_2. \]

在第一象限內，正弦和餘弦都為正，因此

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin\theta+\cos\theta). \]

當 \(\theta=0^\circ\) 時，

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin0^\circ+\cos0^\circ) = E_0(0+1) = E_0. \]

當 \(\theta=45^\circ\) 時，

\[ E_{\text{total}} = E_0\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) = \sqrt2E_0. \]

當 \(\theta=90^\circ\) 時，

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin90^\circ+\cos90^\circ) = E_0(1+0) = E_0. \]

因此，這名學生的說法不可能正確。總輸出會從 \(E_0\) 變為 \(\sqrt2E_0\)，再回到 \(E_0\)。

這個容易令人誤判的推理源於一個真正的恆等式：

\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. \]

但發電機相加的是電壓，而不是電壓的平方。總輸出正比於

\[ \sin\theta+\cos\theta, \]

而這並不是常數。

若要在不使用複雜微積分的情況下找出極值，可以把這個和改寫成

\[ \sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin(\theta+45^\circ). \]

在

\[ 0^\circ\leq\theta\leq90^\circ, \]

範圍內，最大值出現在

\[ \theta=45^\circ, \]

因此

\[ E_{\text{max,total}}=\sqrt2E_0. \]

在區間的任一端點，

\[ E_{\text{min,total}}=E_0. \]

所以

\[ \boxed{E_0\leq E_{\text{total}}\leq\sqrt2E_0}. \]

重要的結論不只是「更多線圈會產生更高電壓」。由於各線圈處於不同的旋轉位置，它們的電動勢峰值會在不同時間出現。因此，當其中一個線圈接近低點時，另一個線圈仍可提供相當大的輸出。

若在轉子周圍分布更多線圈，並使用更多換向器片，這些彼此重疊的輸出可以使外部直流電平滑得多。不過，有限數目的普通旋轉線圈並不會神奇地把電磁感應過程變成完全恆定的電動勢。平滑效果來自把相位錯開的脈動輸出組合起來。

下一步值得掌握的正是這個概念：一旦你理解換向器控制的是極性，而線圈的幾何位置控制的是不斷變化的大小，實際發電機的設計便會容易理解得多。