HSC 化學：溶液稀釋計算

你向 \(30\,\mathrm{mL}\) 的糖溶液中加入純水，直到總體積達到 \(90\,\mathrm{mL}\)。在計算之前，先預測一下：糖的量會減少，還是只有糖的濃度會降低？

假設糖沒有損失，也沒有發生反應，只有濃度會降低。同樣份量的糖現在分散在三倍的溶液體積中。每毫升所含的糖只有原來的三分之一。這就是稀釋：加入溶劑以降低溶液的濃度。 :chatgpt-content-reference{index=”0″}

01相同的溶質，更多的溶液

在這裡，糖是溶質，也就是被溶解的物質；水則是溶劑。

把已溶解的糖想像成 12 個圓點。加水後仍然有 12 個圓點，只是它們分散在更大的體積中。稀釋不會讓圓點消失。

這個圖像是簡化表示。每個圓點代表相同份量的已溶解糖，而不是一粒未溶解的糖。圖中也省略了水分子，因此圓點之間的空隙並不代表真正的空白空間。

要計算濃度，我們必須區分存在多少溶質與每公升含有多少溶質。

莫耳濃度為 \(c = n/V\)。其中，\(c\) 是以每公升莫耳數表示的濃度，單位為 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)；\(n\) 是溶質的物質的量，單位為莫耳，\(\mathrm{mol}\)；而 \(V\) 是溶液的總體積，單位為公升，\(\mathrm{L}\)。莫耳是用來量度物質的量的單位。 :chatgpt-content-reference{index=”1″}

整理可得 \(n = cV\)：濃度乘以溶液體積，可以求出該體積中所含的溶質的量。

在稀釋過程中，\(n\) 保持不變，而 \(V\) 增加，因此 \(c\) 會降低。

02跟隨被轉移的樣品，而不是整瓶原液

原液是用來經稀釋配製其他溶液的溶液。從原液量取的一部分稱為分取樣。

稀釋前，該分取樣中的溶質的量，等於稀釋後整份溶液中的溶質的量。它並不等於整瓶原液中的溶質的量。

把這兩個量稱為 \(n_1\) 和 \(n_2\)，其中下標 1 和 2 分別代表稀釋前和稀釋後。由於 \(n_1 = n_2\)，代入 \(n = cV\) 可得：

\[ c_1V_1 = c_2V_2 \]

這些符號描述的是同一份被轉移樣品在兩個階段的情況。 :chatgpt-content-reference{index=”2″}

這個方程式假設所加入的溶劑不含正在追蹤的溶質，而且該溶質沒有損失、沒有在反應中被消耗，也沒有從溶液中被移除。

保持單位一致

一公升等於 1000 毫升：\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{mL}\)。

使用 \(n = cV\) 計算莫耳數時，如果濃度的單位是 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)，體積就要使用公升。

直接使用 \(c_1V_1 = c_2V_2\) 時，兩個體積可以都用公升，也可以都用毫升，因為共同的換算因子會相消。兩個濃度也必須使用相同的單位。 :chatgpt-content-reference{index=”3″}

錯誤之處在於，一個體積使用毫升，另一個卻使用公升，而沒有先進行換算。

03最終溶液體積並不是所加入的水量

「稀釋至 \(100\,\mathrm{mL}\)」的指示，是指完成後的溶液總體積為 \(100\,\mathrm{mL}\)。被轉移的樣品本身已經是這個體積的一部分。

它並不是指「加入 \(100\,\mathrm{mL}\) 的水」。

這個錯誤看起來很合理，因為你實際加入的確實是水。但濃度的計算使用的是整份溶液的體積，而不只是所加入的水量。

當計算假設體積可以直接相加時，所加入的水的體積 \(V_{\text{水}}\) 為 \(V_{\text{水}} = V_2 - V_1\)。在準確的實驗室配製中，應轉移所需的樣品，再加入水，直到溶液達到容量瓶的刻度線。該刻度線指定的是最終溶液體積。 :chatgpt-content-reference{index=”4″}

04取出較小的樣品並不等於稀釋

假設你把一份充分混合的溶液取出一半，放到另一個容器中。原容器中剩下一半溶液的濃度也會減半嗎？

不會。溶質的量和溶液體積都減半了，因此它們的比值 \(n/V\) 保持不變。你只是有較少的溶液，而不是得到更稀的溶液。

因此，你可以作出以下三種有用的判斷：

• **加入純水：**溶質的量保持不變，體積增加，濃度降低。
• **取出分取樣：**分取樣的濃度與它所取自的充分混合溶液相同，但只含有其中一部分溶質。
• **損失部分溶液：**先計算還剩多少溶質，再除以最終體積。

進行連續稀釋時，應對每一次實際轉移的樣品分別套用方程式。如果只有一份分取樣被轉移到第二個容器，就不要把第一個容器中的全部莫耳數都帶入第二個容器。

對純水稀釋的結果作出判斷前，應預期 \(c_2 < c_1\) 且 \(V_2 > V_1\)。如果計算結果顯示濃度反而升高，請重新檢查所使用的體積或所提出的操作方法。

05題目與解答

假設所加入的水不含該溶質、不發生化學反應，而且溶液在取樣前都已充分混合。任何溶質損失都會明確說明。

題目 1

將 \(18.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.360\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 氯化鈉溶液稀釋至 \(90.0\,\mathrm{mL}\)。計算最終濃度以及稀釋後溶液中氯化鈉的物質的量。

解答 1

最終濃度為 \(0.0720\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)，而稀釋後的溶液含有 \(0.00648\,\mathrm{mol}\) 的氯化鈉。

步驟 1：求出原始樣品中的溶質的量。

\[ \begin{aligned} n_1 &= c_1V_1 \\ &= (0.360\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0180\,\mathrm{L}) \\ &= 0.00648\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

步驟 2：在最終體積中使用相同的溶質的量。

\[ \begin{aligned} c_2 &= \frac{n_2}{V_2} \\ &= \frac{0.00648\,\mathrm{mol}}{0.0900\,\mathrm{L}} \\ &= 0.0720\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

體積增加了五倍，因此濃度變成原來的五分之一。溶質的量並沒有變成五分之一：全部 \(0.00648\,\mathrm{mol}\) 仍然存在。

題目 2

某個方法需要把整份 \(32.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.225\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 硝酸鉀溶液稀釋至 \(0.0600\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。一份草擬的指示寫著：「加入 \(120.0\,\mathrm{mL}\) 的水。」

求出所需的最終溶液體積，以及實際需要加入的水量。說明這份草擬指示是否正確。假設體積可以直接相加。

解答 2

所需的最終體積為 \(120\,\mathrm{mL}\)，因此需要 \(88.0\,\mathrm{mL}\) 的水。草擬指示會使溶液過度稀釋。

步驟 1：計算現有的溶質的量。

\[ \begin{aligned} n &= c_1V_1 \\ &= (0.225\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0320\,\mathrm{L}) \\ &= 0.00720\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

步驟 2：求出能得到所需濃度的體積。

重新整理 \(c_2 = n/V_2\)。

\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{n}{c_2} \\ &= \frac{0.00720\,\mathrm{mol}}{0.0600\,\mathrm{mol\,L^{-1}}} \\ &= 0.120\,\mathrm{L} \\ &= 120\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

步驟 3：減去樣品體積，以求出水的體積。

\[ \begin{aligned} V_{\text{水}} &= V_2 - V_1 \\ &= 0.120\,\mathrm{L} - 0.0320\,\mathrm{L} \\ &= 0.0880\,\mathrm{L} \\ &= 88.0\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

如果加入 \(120.0\,\mathrm{mL}\) 的水，反而會得到 \(152.0\,\mathrm{mL}\) 的溶液。同樣的溶質會分布在超過所需 \(120\,\mathrm{mL}\) 的體積中，因此濃度會低於目標值。

題目 3

將 \(8.00\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.750\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 硝酸鉀溶液稀釋至 \(50.0\,\mathrm{mL}\)。混合後，只取其中 \(5.00\,\mathrm{mL}\) 轉移到第二個容器中，再稀釋至 \(75.0\,\mathrm{mL}\)。

計算最終濃度。原先 \(8.00\,\mathrm{mL}\) 樣品中的溶質，有多少比例進入第二個容器？

解答 3

最終濃度為 \(0.00800\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。原始樣品中的溶質只有十分之一進入第二個容器。

步驟 1：計算第一次稀釋後的濃度。

令 \(n_A\) 和 \(c_A\) 分別代表第一次稀釋後溶液中的溶質的量和濃度。

\[ \begin{aligned} n_A &= (0.750\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.00800\,\mathrm{L}) \\ &= 0.00600\,\mathrm{mol} \\ c_A &= \frac{0.00600\,\mathrm{mol}}{0.0500\,\mathrm{L}} \\ &= 0.120\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

步驟 2：計算第二份分取樣帶走多少溶質。

這份 \(5.00\,\mathrm{mL}\) 分取樣的濃度是 \(c_A\)，而不是原始原液的濃度。令 \(n_B\) 為它所轉移的溶質的量，\(c_B\) 為最終濃度。

\[ \begin{aligned} n_B &= (0.120\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.00500\,\mathrm{L}) \\ &= 0.000600\,\mathrm{mol} \\ c_B &= \frac{0.000600\,\mathrm{mol}}{0.0750\,\mathrm{L}} \\ &= 0.00800\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

步驟 3：確定被轉移的比例。

分取樣佔充分混合後第一次溶液的 \(5.00/50.0 = 0.100\)，也就是十分之一。因此，它也帶走了該溶液中十分之一的溶質。

容易出錯的地方，是把原本的 \(0.00600\,\mathrm{mol}\) 直接視為最終容器中的量。其實大部分莫耳數仍留在第一個容器中。

題目 4

一個儲液槽中有 \(100.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.110\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 氯化鈉溶液。你需要 \(80.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.125\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 溶液。

你可以取出充分混合的部分溶液、加入純水並混合。你不能加入溶質，也不能選擇性地移除水。

一名學生認為這個配製方法可行，因為儲液槽所含的莫耳數多於所需溶液。利用計算及允許的操作評估這個論點。

解答 4

即使有足夠的溶質，使用所允許的操作仍無法完成這項配製。

步驟 1：比較現有與所需的物質的量。

令 \(n_{\text{可用}}\) 表示儲液槽中的物質的量，\(n_{\text{所需}}\) 表示目標溶液所需的物質的量。

\[ \begin{aligned} n_{\text{可用}} &= (0.110\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.1000\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0110\,\mathrm{mol} \\ n_{\text{所需}} &= (0.125\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0800\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0100\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

就總物質的量而言，這名學生是正確的。然而，擁有足夠的莫耳數並不足夠。

步驟 2：求出恰好含有所需物質的量的原液體積。

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{n_{\text{所需}}}{c_1} \\ &= \frac{0.0100\,\mathrm{mol}}{0.110\,\mathrm{mol\,L^{-1}}} \\ &= 0.0909\,\mathrm{L} \\ &= 90.9\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

這份樣品本身的體積已經大於所需的 \(80.0\,\mathrm{mL}\)。

如果移除部分充分混合的溶液，水和溶質都會一起被移除，因此濃度保持不變。加入水則會降低濃度。

這兩種操作都不能把濃度從 \(0.110\) 提高至 \(0.125\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。目標需要的是提高濃度，而不是稀釋。

題目 5

一份 \(30.0\,\mathrm{mL}\) 的 \(0.400\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 硝酸鉀溶液正在被稀釋至 \(120.0\,\mathrm{mL}\)。

在某個未知的中間階段，溶液混合均勻後，有 \(3.00\,\mathrm{mL}\) 意外灑失。剩餘的溶液隨後再稀釋至原定的最終體積。測得其濃度為 \(0.0950\,\mathrm{mol\,L^{-1}}\)。

求出灑失發生前一刻的溶液總體積。說明為甚麼不能直接在原始樣品與最終溶液之間套用 \(c_1V_1 = c_2V_2\)。在這道推理題中，將所給數值視為精確值。

解答 5

灑失前一刻的溶液體積為 \(60.0\,\mathrm{mL}\)。不能用單一的稀釋方程式直接連接原始溶液與最終溶液，因為有部分溶質離開了容器。

步驟 1：計算初始與最終的溶質的量。

令 \(n_{\text{初始}}\) 和 \(n_{\text{最終}}\) 分別代表這兩個物質的量。

\[ \begin{aligned} n_{\text{初始}} &= (0.400\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.0300\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0120\,\mathrm{mol} \\ n_{\text{最終}} &= (0.0950\,\mathrm{mol\,L^{-1}})(0.1200\,\mathrm{L}) \\ &= 0.0114\,\mathrm{mol} \end{aligned} \]

步驟 2：利用損失的溶質求出灑失時的濃度。

這兩個物質的量之差就是損失的溶質的量 \(n_{\text{損失}}\)。這些溶質全部隨 \(0.00300\,\mathrm{L}\) 的充分混合溶液一起灑出。

因此，灑失前一刻的濃度 \(c_{\text{灑失前}}\) 為：

\[ \begin{aligned} n_{\text{損失}} &= n_{\text{初始}} - n_{\text{最終}} \\ &= 0.0120\,\mathrm{mol} - 0.0114\,\mathrm{mol} \\ &= 0.000600\,\mathrm{mol} \\ c_{\text{灑失前}} &= \frac{0.000600\,\mathrm{mol}}{0.00300\,\mathrm{L}} \\ &= 0.200\,\mathrm{mol\,L^{-1}} \end{aligned} \]

步驟 3：求出在該濃度下含有原始溶質的量所需的體積。

灑失前只加入了水，因此全部 \(0.0120\,\mathrm{mol}\) 的溶質仍然存在。把該時刻的體積稱為 \(V_{\text{灑失前}}\)：

\[ \begin{aligned} V_{\text{灑失前}} &= \frac{n_{\text{初始}}}{c_{\text{灑失前}}} \\ &= \frac{0.0120\,\mathrm{mol}}{0.200\,\mathrm{mol\,L^{-1}}} \\ &= 0.0600\,\mathrm{L} \\ &= 60.0\,\mathrm{mL} \end{aligned} \]

樣品的體積已增加至原來的兩倍，因此灑失發生前，其濃度已降至原來的一半。

只要把損失的部分計入，溶質守恆仍然適用。正確的平衡關係是 \(n_{\text{初始}} = n_{\text{最終}} + n_{\text{損失}}\)，而不是 \(n_{\text{初始}} = n_{\text{最終}}\)。

06從已稀釋的測試樣品反推

稀釋後測得的濃度屬於稀釋後的溶液。要還原原始濃度，可以重新整理相同的關係式：\(c_1 = c_2V_2/V_1\)。

你是在反推濃度降低的過程，而不是創造額外的溶質。對於一連串稀釋，應沿著實際被轉移的分取樣，逐個階段反向計算。

在針對稀釋修正測試結果之前，要先確定被轉移的體積、最終溶液體積，以及是否有任何溶質損失。這些判斷決定你的計算所描述的是原始溶液，還是另一份完全不同的樣品。