莫耳與阿伏伽德羅常數：HSC 化學指南

一個密封容器中裝有 \(0.250\ \text{mol}\) 的水。你無法逐一數出水分子，但在化學中，你仍然需要說明其中有多少個水分子。

在計算之前，先作一個預測。\(0.250\ \text{mol}\) 比較接近一千個分子、十億個分子，還是 \(10^{23}\) 個分子？

它的數量級是 \(10^{23}\)。這個極其龐大的數字，正是我們需要使用莫耳的原因。原子、分子和離子都非常微小，因此實驗室中具有實際用途的樣本會含有數量大得驚人的粒子。莫耳讓我們能以實用的方式計數這些粒子，而不必真的逐一數出它們。

01莫耳是一種計數單位

你其實早已在使用把物件成組計數的單位。例如，一打表示 12 個物件。如果有人說「兩打雞蛋」，你馬上就知道那是 24 顆雞蛋。

莫耳的運作方式相同，只不過化學需要大得多的一組：

\[ 1\ \text{mol} = 6.02214076 \times 10^{23}\ \text{個指定粒子} \]

這個數字與阿伏伽德羅常數 \(N_A\) 有關：

\[ N_A = 6.02214076 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1} \]

在計算中，你經常會看到它取近似值為 \(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}\)。如果題目提供了一個數值，就使用題目所提供的數值。

因此：

• 1 mol 的氦含有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 個氦原子。
• 1 mol 的水含有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 個水分子。
• 1 mol 的氯化鈉含有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 個 \(\ce{NaCl}\) 化學式單位。

「一打」的類比很有用，但也有其限制。一打告訴你有 12 個物件，而一莫耳告訴你有 \(6.02214076 \times 10^{23}\) 個實體。兩者都不會告訴你這些物件是甚麼，或它們有多重。

一打保齡球和一打棉花糖所包含的物件數量相同，但質量顯然不會相同。莫耳也是同樣的道理。

02「粒子」實際上是指甚麼？

很多莫耳題目會在這裡不知不覺變得更難。

假設一道題目說有 \(6.022 \times 10^{23}\) 個「粒子」。究竟是在數甚麼？

你需要辨認出指定實體。

例如，\(1\ \text{mol}\) 的 \(\ce{O2}\) 含有 \(6.022 \times 10^{23}\) 個 \(\ce{O2}\) 分子。

但每個分子含有兩個氧原子。因此，\(1\ \text{mol}\) 的 \(\ce{O2}\) 所含的氧原子數是兩倍：

\[ 2(6.022 \times 10^{23}) = 1.2044 \times 10^{24}\ \text{個氧原子} \]

分子與分子內部原子之間的這項區別，是粒子計數題中最常見的陷阱之一。

03將莫耳數與粒子數連結起來

我們使用三個符號：

• \(n\) 是物質的量，以莫耳（\(\text{mol}\)）為單位。
• \(N\) 是指定粒子的數目。
• \(N_A\) 是阿伏伽德羅常數，以 \(\text{mol}^{-1}\) 為單位。

如果你知道物質的量，想求粒子數：

\[ N = nN_A \]

為甚麼要相乘？

因為每一莫耳都含有 \(6.022 \times 10^{23}\) 個粒子。如果莫耳數更多，就表示你有更多組這個龐大的粒子數。

單位方面也合理：

\[ \text{mol} \times \text{mol}^{-1} \]

莫耳單位會相消，最後留下實體的個數。

04反過來計算：粒子數轉換為莫耳數

現在把問題反過來。

假設你知道一個樣本含有 \(3.011 \times 10^{23}\) 個分子。這是多少莫耳？

由於 \(1\ \text{mol}\) 對應 \(6.022 \times 10^{23}\) 個粒子，因此 \(3.011 \times 10^{23}\) 應該是半莫耳。

形式上，把

\[ N = nN_A \]

重新整理為

\[ n = \frac{N}{N_A} \]

由此可得一個實用的判斷規則：

不要只是死記「往這個方向乘、往那個方向除」，卻不了解原因。應該想一想數值的大小。

一莫耳代表極其龐大的粒子數。因此，從一般大小的莫耳數轉換成個別粒子時，答案應該會變成一個很大的數。乘以 \(N_A\) 正好會產生這樣的結果。

把一個極大的粒子數轉換回莫耳數時，則應該得到小得多的數值。除以 \(N_A\) 就會做到這一點。

05下標會改變你正在計數的對象

想像有 \(0.100\ \text{mol}\) 的 \(\ce{CO2}\)。

一個很容易出現的預測是：既然有 \(0.100\ \text{mol}\) 的分子，它就含有 \(0.100\ \text{mol}\) 的原子。

這個預測忽略了每個分子內部包含甚麼。

每個 \(\ce{CO2}\) 分子含有：

• 1 個碳原子
• 2 個氧原子
• 總共 3 個原子

因此，\(0.100\ \text{mol}\) 的 \(\ce{CO2}\) 含有：

\[ 0.100\ \text{mol 的 C 原子} \]

\[ 0.200\ \text{mol 的 O 原子} \]

以及

\[ 0.300\ \text{mol 的原子總數} \]

化學式中的下標可以視為粒子之間的比例。

相同的推理也適用於離子化合物。一個 \(\ce{Al2(SO4)3}\) 化學式單位含有：

• 2 個鋁離子
• \(3\) 個硫酸根基團
• \(3 \times 4 = 12\) 個氧原子

最後一步十分重要。括號外的 3 會乘上括號內的每一項。

06解答粒子題的可靠方法

當一道題目同時涉及莫耳數和粒子數時，可以按以下順序處理。

1. 說明實體是甚麼。 你正在數的是原子、分子、化學式單位，還是離子？

2. 判斷你是否正在莫耳與實體之間轉換。

使用：

\[ N = nN_A \]

或

\[ n = \frac{N}{N_A} \]

3. 檢查化學式。 如果題目要求的是每個分子或化學式單位內部的原子或離子，就利用下標作為比例。

例如：

\[ \ce{CaCl2} \]

表示每個化學式單位含有兩個氯離子。知道 \(\ce{CaCl2}\) 化學式單位的數目後，再乘以 2，就能求出相應的氯離子數。

4. 準確標示最終答案。 只寫 \(4.2 \times 10^{23}\) 並不完整。應該寫 \(4.2 \times 10^{23}\) 個分子、氧原子、化學式單位，或實際正在計數的其他實體。

07最容易令人誤解的觀念：一莫耳總是代表相同數目的原子

並不是。

一莫耳總是代表相同數目的指定實體。

考慮 \(1\ \text{mol}\) 的氦和 \(1\ \text{mol}\) 的氫氣。

對氦而言：

\[ 1\ \text{mol He} = 6.022 \times 10^{23}\ \text{個 He 原子} \]

對氫氣而言：

\[ 1\ \text{mol \(\ce{H2}\)} = 6.022 \times 10^{23}\ \text{個 \(\ce{H2}\) 分子} \]

但每個 \(\ce{H2}\) 分子含有兩個氫原子。因此：

\[ 1\ \text{mol \(\ce{H2}\)} = 1.2044 \times 10^{24}\ \text{個 H 原子} \]

兩個樣本都含有一莫耳各自所述的物質。它們所含的實體數目相同，但原子數並不相同。

每當一道粒子題看起來簡單得過頭時，都應檢查題目是否在不明顯之處改變了正在計數的對象。

08題目與解答

問題 1

一個樣本含有 \(0.350\ \text{mol}\) 的氖。計算樣本中的氖原子數。

解答 1

此樣本含有 \(2.11 \times 10^{23}\) 個氖原子。

氖是單原子物質，因此每個氖實體就是一個原子。我們直接利用以下關係式把莫耳數轉換成原子數：

\[ N = nN_A \]

代入：

\[ \begin{aligned} N &= (0.350\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\ &= 2.1077 \times 10^{23}\\ &\approx 2.11 \times 10^{23} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{N = 2.11 \times 10^{23}\ \text{個 Ne 原子}} \]

結果非常大，因為即使只是一莫耳的一部分，也含有極其龐大的微觀粒子數。

問題 2

一個容器中有 \(4.82 \times 10^{23}\) 個 \(\ce{NH3}\) 分子。計算 \(\ce{NH3}\) 的物質的量，以莫耳表示。

解答 2

容器中有 \(0.800\ \text{mol}\) 的 \(\ce{NH3}\)。

我們已知分子數，要求莫耳數，因此要除以阿伏伽德羅常數：

\[ n = \frac{N}{N_A} \]

代入：

\[ \begin{aligned} n &= \frac{4.82 \times 10^{23}}{6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}}\\ &= 0.8004\ \text{mol}\\ &\approx 0.800\ \text{mol} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{n = 0.800\ \text{mol \(\ce{NH3}\)}} \]

使用除法是合理的，因為我們正在把極大量的個別分子分組成以莫耳為大小的群組。

問題 3

一個樣本含有 \(0.0750\ \text{mol}\) 的 \(\ce{Al2(SO4)3}\)。計算這個硫酸鋁物質的量所代表的氧原子數。

解答 3

此樣本含有 \(5.42 \times 10^{23}\) 個氧原子。

首先求出 \(\ce{Al2(SO4)3}\) 化學式單位的數目：

\[ N = nN_A \]

\[ \begin{aligned} N(\ce{Al2(SO4)3}) &= (0.0750\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\ &= 4.5165 \times 10^{22}\ \text{個化學式單位} \end{aligned} \]

現在檢查化學式。每個化學式單位含有三個 \(\ce{SO4}\) 基團，而每個基團含有四個氧原子：

\[ 3 \times 4 = 12\ \text{個 O 原子／化學式單位} \]

因此：

\[ \begin{aligned} N(\ce{O}) &= 12(4.5165 \times 10^{22})\\ &= 5.4198 \times 10^{23}\\ &\approx 5.42 \times 10^{23} \end{aligned} \]

所以：

\[ \boxed{N(\ce{O}) = 5.42 \times 10^{23}\ \text{個氧原子}} \]

陷阱在於求出化學式單位的數目後便停止。題目要求的是氧原子，因此還必須使用化學式中的資訊。

問題 4

準備了兩個密封容器。

• 容器 A 含有 \(0.200\ \text{mol}\) 的 \(\ce{Ne}\)。
• 容器 B 含有 \(0.200\ \text{mol}\) 的 \(\ce{N2}\)。

一名學生說：「兩個容器含有相同數目的原子，因為兩者都有 \(0.200\ \text{mol}\)。」

這名學生的說法正確嗎？計算每個容器中的原子數，並解釋兩者的差異。

解答 4

這名學生的說法不正確。兩個容器含有相同數目的指定粒子，但容器 B 的原子數是容器 A 的兩倍。

對容器 A 而言，氖是單原子的：

\[ \begin{aligned} N(\text{\(\ce{Ne}\) 原子}) &= (0.200\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\ &= 1.2044 \times 10^{23}\ \text{個原子} \end{aligned} \]

因此：

\[ \boxed{N_A = 1.20 \times 10^{23}\ \text{個原子}} \]

對容器 B 而言，最初的莫耳計算得到的是 \(\ce{N2}\) 分子的數目：

\[ \begin{aligned} N(\text{\(\ce{N2}\) 分子}) &= (0.200\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\ &= 1.2044 \times 10^{23}\ \text{個分子} \end{aligned} \]

每個 \(\ce{N2}\) 分子含有兩個氮原子，因此：

\[ \begin{aligned} N(\text{\(\ce{N}\) 原子}) &= 2(1.2044 \times 10^{23})\\ &= 2.4088 \times 10^{23}\ \text{個原子} \end{aligned} \]

因此：

\[ \boxed{N_B = 2.41 \times 10^{23}\ \text{個原子}} \]

這名學生的推理看起來似乎合理，因為兩個容器都含有 \(0.200\ \text{mol}\)。隱藏的問題是，莫耳計數的是指定實體。對氖而言，這些實體是原子。對氮氣而言，這些實體是 \(\ce{N2}\) 分子，而每個分子都含有兩個原子。

問題 5

某種分子物質的樣本含有 \(1.8066 \times 10^{24}\) 個氫原子。該物質的每個分子含有三個氫原子。

計算此分子物質的物質的量，以莫耳表示。

解答 5

此樣本含有 \(1.000\ \text{mol}\) 的分子。

題目提供的粒子數是氫原子的數目，但阿伏伽德羅常數必須套用到我們要求其物質的量的實體；在這裡，這些實體是分子。

每個分子含有三個氫原子。因此，分子的數目為：

\[ \begin{aligned} N(\text{分子}) &= \frac{1.8066 \times 10^{24}}{3}\\ &= 6.022 \times 10^{23}\ \text{個分子} \end{aligned} \]

現在把分子數轉換成莫耳數：

\[ n = \frac{N}{N_A} \]

\[ \begin{aligned} n &= \frac{6.022 \times 10^{23}} {6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}}\\ &= 1.000\ \text{mol} \end{aligned} \]

因此：

\[ \boxed{n = 1.000\ \text{mol}} \]

重要的一步，是認出 \(1.8066 \times 10^{24}\) 並不是分子數。如果直接用 \(N_A\) 轉換這個數值，得到的會是氫原子的物質的量，而不是該分子物質的物質的量。

問題 6

一名學生得到 \(0.100\ \text{mol}\) 的 \(\ce{CaCl2}\)，並寫下：

\[ N = (0.100)(6.022 \times 10^{23}) = 6.022 \times 10^{22} \]

他因此得出結論，認為樣本含有 \(6.022 \times 10^{22}\) 個氯離子。

指出他的計算實際上求出了甚麼，然後求出這個樣本所代表的氯離子數。

解答 6

這項計算正確求出了 \(6.022 \times 10^{22}\) 個 \(\ce{CaCl2}\) 化學式單位，而不是氯離子。此樣本代表 \(1.2044 \times 10^{23}\) 個氯離子。

最初的莫耳轉換是正確的：

\[ \begin{aligned} N(\ce{CaCl2}) &= nN_A\\ &= (0.100\ \text{mol})(6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1})\\ &= 6.022 \times 10^{22}\ \text{個化學式單位} \end{aligned} \]

現在使用化學式 \(\ce{CaCl2}\)。每個化學式單位含有兩個氯離子。

因此：

\[ \begin{aligned} N(\mathrm{Cl}^{-}) &= 2(6.022 \times 10^{22})\\ &= 1.2044 \times 10^{23}\ \text{個氯離子} \end{aligned} \]

所以：

\[ \boxed{N(\mathrm{Cl}^{-}) = 1.20 \times 10^{23}\ \text{個氯離子}} \]

這名學生的算術並沒有問題。錯誤在於他把錯誤的意義賦予了計算結果。在莫耳計算中，準確辨認 \(N\) 究竟在計數甚麼，與使用正確的方程式同樣重要。

掌握了這種粒子計數關係後，下一個很有用的連結就是質量。莫耳質量讓你把克轉換成莫耳，而阿伏伽德羅常數再把這些莫耳轉換成粒子。這形成定量化學中其中一條最核心的轉換路徑：

\[ \text{質量} \longleftrightarrow \text{莫耳數} \longleftrightarrow \text{粒子數} \]

這條路徑也正是後續化學計量得以進行的基礎：化學方程式比較的是粒子，而實驗室中的測量通常以克為單位。