由實驗數據求整數莫耳比｜HSC 化學

假設你讓固定量的鎂與鹽酸反應，並收集所產生的氫氣。一開始，加入更多酸會產生更多氫氣。接著卻出現一個奇怪的現象：即使再加入更多酸，最終的氫氣體積幾乎不再改變。

這種從「加入更多酸會產生更多產物」轉變為「再加酸也沒有作用」的現象，可以揭示反應的莫耳比。

在閱讀解釋之前，先作一個預測。如果 \(2.00\ \text{mmol}\) 的鎂恰好需要每一莫耳鎂配兩莫耳鹽酸，那麼在繼續加入鹽酸變得沒有作用之前，應該需要多少鹽酸？

答案應該是 \(4.00\ \text{mmol}\)。以下實驗說明，這個數值如何由測量結果找出，而不是直接從配平後的化學方程式中假定。

01讓莫耳比自己顯現出來

想像一個錐形瓶，裡面裝有經過測量的鎂。錐形瓶已密封。其中一個開口可用來加入鹽酸，而從瓶中伸出的導氣管則連接到氣體注射器。

過程很簡單：

1. 鹽酸進入錐形瓶。
2. 鹽酸與鎂接觸。
3. 形成氫氣。
4. 氫氣沿著導氣管移動。
5. 氫氣推動氣體注射器的活塞。
6. 反應完成後，記錄最終氣體體積。

每次試驗都使用相同量的鎂，但使用不同量的鹽酸。

重點不只是觀察氣泡。我們想找出酸的某個用量，使鎂從可用的酸太少轉變為酸的量超過鎂所能使用的量。

假設每次試驗都含有 \(0.0486\ \text{g}\) 的鎂。使用莫耳質量 \(24.3\ \text{g mol}^{-1}\)，

\[ n(\ce{Mg})=\frac{m}{M} =\frac{0.0486\ \text{g}}{24.3\ \text{g mol}^{-1}} =2.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

因此，每個錐形瓶都含有 \(2.00\ \text{mmol}\) 的鎂。

在這裡，\(n\) 是以莫耳表示的物質的量，\(m\) 是以克表示的質量，而 \(M\) 是以 \(\text{g mol}^{-1}\) 表示的莫耳質量。

現在使用 \(0.200\ \text{mol L}^{-1}\) 的鹽酸，並在每次試驗中逐步增加其體積。

以下是一組為教學而建構、並具有符合實際情況之測量離散程度的數據。這並不是某一次特定實驗操作的報告。

在 HCl 約增加至 \(4.00\ \text{mmol}\) 之前，加入更多酸會產生更多氫氣。超過這一點後，氣體體積便穩定在約 \(49\ \text{mL}\)。

數據中這個轉折才是關鍵。

02為甚麼平台區能揭示比例

先看第一次試驗。鎂的量很充足，但只有 \(1.00\ \text{mmol}\) 的 HCl。酸會先用完。

化學家把最先耗盡的反應物稱為限量試劑。一旦它被完全消耗，就無法再形成更多產物。

加入更多 HCl 後，就會有更多鎂能參與反應，因此氫氣體積上升。

最後，當 HCl 約為 \(4.00\ \text{mmol}\) 時，酸已足以與全部 \(2.00\ \text{mmol}\) 的鎂反應。超過這一點後，鎂變成限量試劑。即使再加入更多酸，也無法產生額外的氫氣，因為已經沒有鎂可以繼續反應。

因此，在這個轉換點，各物質的量約為

\[ n(\ce{HCl}):n(\ce{Mg}) =4.00:2.00 =2:1 \]

實驗支持鹽酸與鎂的莫耳比為 \(2:1\)。

範例：由轉折點推斷反應比例

一名學生讓 \(0.0486\ \text{g}\) 的鎂與不同體積的 \(0.200\ \text{mol L}^{-1}\) HCl 反應。當使用約 \(20.0\ \text{mL}\) 的酸後，最終氫氣體積便停止增加。求 HCl 與 Mg 的實驗莫耳比。

步驟 1：將鎂的質量換算成莫耳數。

\[ n(\ce{Mg}) =\frac{m}{M} =\frac{0.0486}{24.3} =2.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

因此，有 \(2.00\ \text{mmol}\) 的 Mg。

步驟 2：將酸的體積換算成公升，並計算其物質的量。

對於溶液，

\[ n=cV \]

其中 \(n\) 是以莫耳表示的物質的量，\(c\) 是以 \(\text{mol L}^{-1}\) 表示的濃度，而 \(V\) 是以公升表示的體積。

\[ n(\ce{HCl}) =(0.200\ \text{mol L}^{-1})(0.0200\ \text{L}) =4.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

因此，在轉折點有 \(4.00\ \text{mmol}\) 的 HCl。

步驟 3：求莫耳比。

\[ \ce{HCl}:\ce{Mg} =4.00:2.00 =2:1 \]

步驟 4：解釋結果。

數據顯示，每一莫耳 Mg 會與兩莫耳 HCl 反應。

配平後的分子方程式與此結果一致：

\[ \ce{Mg(s) + 2HCl(aq) -> MgCl2(aq) + H2(g)} \]

HCl 前面的係數 2 不只是為了把方程式配平而寫上的數字。它描述的是一個可由測量得出的化學計量關係。

03為甚麼比例會是整數？

在粒子層次上，鎂並不是與某種模糊、連續分布的氫離子發生反應。

有用的淨離子方程式是

\[ \ce{Mg(s) + 2H+(aq) -> Mg^2+(aq) + H2(g)} \]

一個鎂原子失去兩個電子後，變成一個 \(\mathrm{Mg}^{2+}\) 離子：

\[ \ce{Mg -> Mg^2+ + 2e^-} \]

兩個氫離子接受這兩個電子，形成一個氫分子：

\[ \ce{2H+ + 2e^- -> H2} \]

因此，每一次反應事件都需要一個 Mg 原子和兩個 \(\mathrm{H}^{+}\) 離子。粒子的數目是離散的。

一個稍微有點滑稽的想像方式，是把它看成一種非常嚴格的團體預約規則：每一個鎂原子都必須配上兩個氫離子。如果某個鎂原子只有一個氫離子可用，就無法湊成所需的組合。當每個鎂原子都已經反應後，多出的氫離子也會變得沒有作用。

這個類比的限制在於，粒子並不是真的有意識地組成小隊。真正的過程涉及碰撞和電子轉移。這個類比真正保留下來的，是其中的計數規則。

莫耳只是把粒子層次的計數放大到極大量的粒子。如果粒子比例是 \(2:1\)，莫耳比同樣也是 \(2:1\)。

這不代表反應只能使用整數莫耳的物質。

例如，

\[ 0.00340\ \text{mol Mg} \]

在相同的 \(2:1\) 比例下，需要

\[ 0.00680\ \text{mol HCl} \]

各個物質的量本身可以是小數。能化簡成小整數的是它們的比例。

04氣體體積合理嗎？

平台區大約位於 \(49\ \text{mL}\) 的氫氣。我們可以檢查這個數值的量級是否合理。

由方程式

\[ \ce{Mg + 2HCl -> MgCl2 + H2} \]

可知一莫耳 Mg 會產生一莫耳 \(\ce{H2}\)。因此，\(2.00\ \text{mmol}\) Mg 最多可產生 \(2.00\ \text{mmol}\) 的 \(\ce{H2}\)。

作為近似檢查，假設氣體在 \(25^\circ\text{C}\) 和 \(100\ \text{kPa}\) 下呈理想氣體行為。

使用

\[ PV=nRT \]

其中 \(P\) 是壓力，\(V\) 是氣體體積，\(n\) 是氣體的物質的量，\(R=8.314\ \text{L kPa mol}^{-1}\text{K}^{-1}\)，而 \(T\) 是以開爾文表示的溫度，

\[ V =\frac{nRT}{P} =\frac{(2.00\times10^{-3})(8.314)(298)}{100} =0.0496\ \text{L} =49.6\ \text{mL} \]

這與實測的平台區相當接近。

我們不應預期兩者完全一致。氣體可能逸出，溫度和壓力也可能略有差異，而且實驗讀數本身具有不確定度。真正有用的證據，是約略合理的氣體產量，加上在 HCl 約 \(4.00\ \text{mmol}\) 附近出現的明顯行為轉變。

05另一種實驗：由最大值找出比例

平台區並不是唯一能顯示反應比例的方法。

假設兩種溶液 A 和 B 反應形成不溶性產物。你準備一系列混合物，同時保持溶液總體積不變。

一開始，提高 A 的比例會形成更多沉澱，因為 A 是限量試劑。最後，混合物會達到化學計量比例。超過這一點後，B 變成限量試劑，因此再增加 A 就表示 B 的量同時減少，而沉澱質量也會下降。

結果會出現一個峰值。

只要反應進行得足夠完全，而且測量方法有效，峰值位置所對應的混合比例便能告訴你反應物的莫耳比。

這裡有一個陷阱：體積比不一定就是莫耳比。

除非兩種溶液的濃度相同，否則你需要使用

\[ n=cV \]

範例：體積比會造成誤導的情況

溶液 A 和 B 會形成固體產物。在每次試驗中，兩者的總體積都是 \(45.0\ \text{mL}\)。當使用 \(18.0\ \text{mL}\) 的 \(0.200\ \text{mol L}^{-1}\) A 和 \(27.0\ \text{mL}\) 的 \(0.100\ \text{mol L}^{-1}\) B 時，得到最大的沉澱質量。求最簡單的實驗莫耳比 A:B。

步驟 1：計算 A 的物質的量。

\[ n(\mathrm{A}) =cV =(0.200)(0.0180) =3.60\times10^{-3}\ \text{mol} \]

因此 \(n(\mathrm{A})=3.60\ \text{mmol}\)。

步驟 2：計算 B 的物質的量。

\[ n(\mathrm{B}) =(0.100)(0.0270) =2.70\times10^{-3}\ \text{mol} \]

因此 \(n(\mathrm{B})=2.70\ \text{mmol}\)。

步驟 3：求比例。

\[ \mathrm{A:B} =3.60:2.70 \]

兩個數值都除以 \(2.70\)：

\[ \mathrm{A:B} =1.333\ldots:1 \]

比例的兩部分都乘以 3：

\[ \mathrm{A:B}=4:3 \]

步驟 4：解釋結果。

數據支持此反應每三莫耳 B 需要四莫耳 A。

請注意，其體積比是

\[ 18.0:27.0=2:3 \]

這完全不同。由於兩種溶液的濃度不同，只比較體積會得出錯誤結論。

06從不完美的數據找出整數比

真實的實驗結果很少會剛好給你像 \(2.000:1.000\) 這樣的數字。

假設某個實驗得到

\[ 1.48:1.00 \]

這很接近

\[ 1.50:1.00=3:2 \]

如果考慮測量不確定度後，\(1.50:1.00\) 是合理的數值，那麼 \(3:2\) 可能就是數據最支持的簡單比例。

但不要把這變成一場「把每個小數硬湊成漂亮分數」的遊戲。

如果經過仔細測量後，反覆得到類似

\[ 1.27:1.00 \]

的結果，就不能只因為 \(1.25\) 剛好很接近，而直接宣稱比例是 \(5:4\)。你需要考慮測量不確定度、系統誤差、反應不完全、副反應，以及你所採用的反應模型本身是否正確。

一個合理的處理流程是：

07這個簡單實驗無法控制的因素

前面的鎂實驗有一項重要弱點。我們暗中假設了最終氣體體積真的能測量反應的總進行量。

有幾種因素會干擾這項假設。

氣體可能逸出

如果氫氣在到達氣體注射器之前逸出，測得的體積就會偏低。

使用氣密裝置可以減少這種誤差。在系統密封後才開始反應也同樣重要。

反應可能尚未完成

假設學生在加入酸後剛好 30 秒時記錄氫氣體積。

這時，它就不再是單純的化學計量實驗。

較高的酸濃度可能提高反應速率。酸較少的試驗在 30 秒時可能只是反應得比較慢。學生可能會把速率效應誤認為莫耳比效應。

正確的比較方式，是比較每次反應達到完成後的最終氣體量，而不是在任意設定的相同時間後比較已形成的氣體量。

氣體體積取決於溫度和壓力

相同莫耳數的氣體，在不同溫度和壓力下會佔據不同的體積。

因此，各次試驗應在相近條件下進行比較，或使用適當的氣體關係式對氣體體積進行修正。

實驗間隔可能太大

如果只測試了 2 mmol、4 mmol 和 6 mmol 的酸，數據可能會顯示轉折點「大約在 4 mmol 附近」，但無法非常精確地找出其位置。

更好的研究方法是先用較大的間隔進行初步測量，再於疑似轉換區附近以較小增量重複實驗。

例如，在確認變化約出現在 \(4.0\ \text{mmol}\) 附近後，第二組試驗可以研究 \(3.6\)、\(3.8\)、\(4.0\)、\(4.2\) 和 \(4.4\ \text{mmol}\)。

重複進行這些測量，也有助於判斷某個異常結果究竟是真實現象，還是單純的實驗數據離散。

08證據實際上能證明甚麼

很容易會想說：

實驗證明所有化學物質都會以整數莫耳比反應。

這個說法太過廣泛。

較好的表述是：

對於由配平方程式表示、定義明確的化學反應，化學計量係數指定了參與反應粒子的相對數目，因此也指定了相對莫耳數。這些係數可以表示成簡單的整數比。

鎂的數據支持所研究反應中酸與鎂之間為 \(2:1\) 的化學計量比。

這並不表示每個燒杯在一開始都必須恰好裝入這個比例。你可以故意加入過量的酸。這也不表示在可逆系統中，每一個粒子最後都必須被消耗。

這個比例描述的是反應關係。

09從實驗比例推導方程式

實驗數據可以告訴我們，每一莫耳鎂需要兩莫耳酸，但僅靠莫耳比並不能辨認出所有產物。

仍然需要化學知識。

以鎂與鹽酸反應為例，觀察到的氣體可以確認為氫氣，而鎂會形成 \(\mathrm{Mg}^{2+}\) 離子。淨離子方程式為

\[ \ce{Mg(s) + 2H+(aq) -> Mg^2+(aq) + H2(g)} \]

檢查哪些量守恆：

氯離子不參與淨變化。把這些旁觀離子加回去，就得到

\[ \ce{Mg(s) + 2HCl(aq) -> MgCl2(aq) + H2(g)} \]

因此，實驗所得的 \(2:1\) 比例與配平後的方程式，只是用兩種不同方式描述同一件事。

10問題與解答

問題 1

取 \(1.50\ \text{mmol}\) 的金屬 Z，讓它與逐漸增加用量的酸 HX 反應。當加入 \(3.00\ \text{mmol}\) 的 HX 後，最終氣體產量便停止增加。

假設此轉折點代表反應已完全達到化學計量關係，求莫耳比 HX:Z。

解答 1

莫耳比 HX:Z 為 \(2:1\)。

在轉折點，

\[ n(\mathrm{HX}):n(\mathrm{Z}) =3.00\ \text{mmol}:1.50\ \text{mmol} \]

兩個數值都除以 \(1.50\ \text{mmol}\)：

\[ \mathrm{HX:Z}=2.00:1.00=2:1 \]

這表示在反應中，每一莫耳 Z 需要兩莫耳 HX。

關鍵在於，這個比例來自 HX 為限量試劑與 Z 為限量試劑之間的轉換點所對應的物質的量。

問題 2

溶液 P 和 Q 的濃度相同，都是 \(0.120\ \text{mol L}^{-1}\)。每次試驗中，兩者的總體積都是 \(50.0\ \text{mL}\)。

當 \(20.0\ \text{mL}\) 的 P 與 \(30.0\ \text{mL}\) 的 Q 混合時，產物產率達到最大值。

求最簡單的莫耳比 P:Q。

解答 2

莫耳比 P:Q 為 \(2:3\)。

由於兩種溶液的濃度相同，它們的莫耳比與體積比相同。

我們仍然可以使用 \(n=cV\) 驗證。

對 P 而言，

\[ n(\mathrm{P}) =(0.120)(0.0200) =2.40\times10^{-3}\ \text{mol} \]

對 Q 而言，

\[ n(\mathrm{Q}) =(0.120)(0.0300) =3.60\times10^{-3}\ \text{mol} \]

因此，

\[ \mathrm{P:Q} =2.40:3.60 =2:3 \]

峰值表示，在這個組成下，兩種反應物正好以其化學計量比例存在。

問題 3

一個連續變化實驗使用 \(0.250\ \text{mol L}^{-1}\) 的溶液 A 和 \(0.100\ \text{mol L}^{-1}\) 的溶液 B。

當 \(12.0\ \text{mL}\) 的 A 與 \(30.0\ \text{mL}\) 的 B 混合時，產物產率最大。

一名學生認為反應比例是 \(12:30=2:5\)。

求實際的莫耳比 A:B，並解釋該學生的錯誤。

解答 3

實際的莫耳比 A:B 是 \(1:1\)，而不是 \(2:5\)。

對 A 而言，

\[ n(\mathrm{A}) =cV =(0.250)(0.0120) =3.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

對 B 而言，

\[ n(\mathrm{B}) =(0.100)(0.0300) =3.00\times10^{-3}\ \text{mol} \]

因此，

\[ \mathrm{A:B} =3.00:3.00 =1:1 \]

學生得到的 \(2:5\) 比較的是體積，而不是以莫耳表示的物質的量。

對溶液而言，只有在濃度相同時，體積比才等於莫耳比。這裡，溶液 A 的濃度是溶液 B 的 2.5 倍，因此較小體積的 A 也能含有相同莫耳數。

問題 4

某實驗估計，要與 \(3.00\ \text{mmol}\) 的反應物 Y 反應，需要 \(4.44\pm0.12\ \text{mmol}\) 的反應物 X。

一名學生說：「比例是 1.48:1，所以這個反應沒有簡單的整數莫耳比。」

評估這個說法。

解答 4

這個說法並沒有得到數據支持。測量結果與 \(3:2\) 的莫耳比一致。

實驗比例為

\[ \mathrm{X:Y} =\frac{4.44}{3.00}:1 =1.48:1 \]

\(3:2\) 的比例為

\[ \frac{3}{2}:1 =1.50:1 \]

測得的 X 物質的量為 \(4.44\pm0.12\ \text{mmol}\)，因此可能範圍從

\[ 4.32\ \text{mmol} \]

到

\[ 4.56\ \text{mmol} \]

如果 Y 為 \(3.00\ \text{mmol}\)，而比例恰好為 \(3:2\)，則預期的 X 物質的量為

\[ n(\mathrm{X}) =\frac{3}{2}(3.00\ \text{mmol}) =4.50\ \text{mmol} \]

\(4.50\ \text{mmol}\) 落在實驗不確定度範圍內。

因此，結果與 \(3:2\) 一致。它們並不能以完全確定的方式證明這個比例，但也絕對不能只因測得的比例為 \(1.48:1\)，就否定簡單整數化學計量關係。

陷阱在於把實驗測量值當成精確數字。

問題 5

一名學生重複鎂與鹽酸的研究，每次試驗都使用相同量的鎂。

學生沒有等待各次反應完成，而是在加入酸後剛好 30 秒時記錄氫氣體積。圖表一直增加到 HCl 約 \(5.0\ \text{mmol}\) 才停止上升，因此學生得出結論：\(2.00\ \text{mmol}\) Mg 與 \(5.0\ \text{mmol}\) HCl 以 \(2.5:1\) 的比例反應。

這個結論有效嗎？

解答 5

無效。這個實驗無法可靠地測定化學計量比，因為它把反應速率與總反應產量混在一起。

在剛好 30 秒後進行測量，告訴我們的是到那個時間點為止已形成多少氫氣，而不一定是反應完成後最終能形成多少氫氣。

增加酸的量或濃度，可能提高鎂表面上有效碰撞的頻率。因此，含有較多酸的試驗可能反應得更快。

酸較少的試驗最終仍可能產生其完整的化學計量氫氣量，只是無法在 30 秒的測量期間內完全產生。

這會使其氣體體積看起來人為偏低，並可能使表面上的轉折點向較大的 HCl 用量偏移。

要測定莫耳比，學生應比較各次試驗完成後的最終氫氣產量，同時控制其他重要變因。

容易犯的錯誤，是假設相同反應時間就代表相同的反應完成程度。

問題 6

一個可逆反應表示為

\[ \ce{2A(g) + B(g) <=> 2C(g)} \]

以化學計量的 \(2:1\) 莫耳比混合 A 和 B。在達到平衡時，測量顯示 A 和 B 都仍然存在。

一名學生因此認為，這個方程式不可能真的表示 \(2:1\) 的反應比例，因為反應物並沒有被完全消耗。

解釋為甚麼這個結論不正確。

解答 6

\(2:1\) 的化學計量比仍然正確。在可逆反應中，化學計量比並不要求反應物完全被消耗。

方程式

\[ \ce{2A + B <=> 2C} \]

表示每當正向反應進行一個反應單位時，每消耗一莫耳 B，就會消耗兩莫耳 A。

例如，如果正向反應的淨反應進度為 \(0.30\ \text{mol}\)，則變化量為

\[ \Delta n(\mathrm{A})=-2(0.30)=-0.60\ \text{mol} \]

\[ \Delta n(\mathrm{B})=-1(0.30)=-0.30\ \text{mol} \]

以及

\[ \Delta n(\mathrm{C})=+2(0.30)=+0.60\ \text{mol} \]

A 和 B 被消耗的物質的量仍然符合比例

\[ 0.60:0.30=2:1 \]

在平衡狀態下，正向反應和逆向反應仍以相同速率持續進行。因此，沒有任何要求規定某一種反應物必須完全用盡。

整數係數描述的是反應所造成的相對變化量，而不是容器中最後必須剩餘多少物質。

一旦知道某反應的整數莫耳比，下一個有用的問題通常就不再是「比例是多少？」，而是對於實際提供的反應物用量，哪一種反應物會先用完？ 這就是限量試劑問題。你從實驗數據中找出的那些係數，也正是用來預測過量反應物與理論產率時所使用的比較數值。