HSC 物理磁通量：使用 Φ = BA cos θ

一個導線迴路位於磁場中。磁場很強，迴路也很大，但穿過它的磁通量卻可以恰好為零。

為甚麼？

繼續閱讀之前，先想像一個像相框一樣的平面迴路。如果磁場直接穿過相框中央，你會預期磁通量很大。現在把相框轉動，使磁場改為沿著它的表面方向延伸。同一個磁場仍然存在，但沒有任何磁場穿過迴路。

這就是磁通量所測量的概念：有多少磁場穿過一個表面。

01先從物理圖像開始

想像雨水垂直落到天窗上。

水平的天窗會接到很多雨水。把它傾斜，接到的雨水就會減少。把它完全轉成垂直方向，幾乎就沒有雨水穿過它的開口。

磁通量的表現很相似。磁場就是「雨水」，而迴路則提供了我們所關注的表面。

這個類比有一項重要的限制。磁力線並不是實際流過迴路的粒子流。它們只是表示磁場的一種方式。磁通量是一個數學量，用來衡量有多少磁場穿過所選定的表面。

假設三個迴路的面積都相同，而且都位於同一個磁場中。

哪一個應該有最大的磁通量？

第一個，也就是磁場直接穿過迴路的情況。傾斜的迴路磁通量較小，而磁場沿著迴路表面延伸時，磁通量為零。

這告訴我們，磁通量所取決的並不只有磁場強度。

02磁通量方程式

對於均勻磁場中的平面表面，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中：

• \(\Phi\) 是磁通量，單位為韋伯，\(\text{Wb}\)
• \(B\) 是磁通密度，單位為特斯拉，\(\text{T}\)
• \(A\) 是表面的面積，單位為平方米，\(\text{m}^2\)
• \(\theta\) 是磁場與表面法線之間的夾角

最後一點造成的錯誤，比方程式其他部分加起來還多。

角度是從法線量起的

法線是一條假想直線，與表面成 \(90^\circ\)。

因此，如果磁場直接穿過一個迴路，磁場就與法線平行。

這表示

\[ \theta = 0^\circ \]

所以

\[ \Phi = BA\cos 0^\circ = BA \]

此時磁通量的大小達到最大值。

如果磁場沿著迴路所在的平面延伸，它便與法線垂直。此時

\[ \theta = 90^\circ \]

因此

\[ \Phi = BA\cos 90^\circ = 0 \]

沒有磁通量穿過這個表面。

學生有時會這樣推理：「磁場與迴路成 \(90^\circ\)，所以我應該使用 \(90^\circ\)。」這聽起來很合理，因為日常語言會讓我們傾向把磁場和表面本身作比較。

但這個方程式不是這樣做的。它比較的是磁場與法線。

一個很有用的習慣，是在寫下 \(\theta\) 之前先畫出法線。

03為甚麼會出現餘弦？

與其死記餘弦，不如看看它從何而來。

假設迴路傾斜了。磁場不再直接穿過迴路完整的有效面積。

從磁場的角度來看，迴路就像具有一個較小的面積：

\[ A_{\perp} = A\cos\theta \]

其中 \(A_{\perp}\) 是相對於磁場而言有效垂直的面積。

於是磁通量為

\[ \Phi = B A_{\perp} \]

所以

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

這就是為甚麼當 \(\theta\) 從 \(0^\circ\) 增加並趨近 \(90^\circ\) 時，磁通量會減少。

迴路本身在物理上並沒有縮小。改變的是它相對於磁場的有效面積。

04改變磁通量的三種方式

方程式

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

顯示了三種直接改變磁通量的方法。

改變磁場強度

如果 \(A\) 和 \(\theta\) 保持不變，增加 \(B\) 會使磁通量增加。

例如，將 \(B\) 加倍，\(\Phi\) 也會加倍。

如果一個 \(0.020\,\text{m}^2\) 的迴路與磁場垂直，因此 \(\theta=0^\circ\)，那麼把磁場從 \(0.10\,\text{T}\) 改變至 \(0.30\,\text{T}\)，會使磁通量從

\[ \Phi_i=(0.10)(0.020)=2.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

變為

\[ \Phi_f=(0.30)(0.020)=6.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

磁通量的變化為

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=4.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

改變暴露於磁場中的面積

較大的面積可以具有較大的磁通量。

這不一定表示要實際拉伸迴路。迴路可以移入或移出具有磁場的區域，因此實際位於磁場內的面積會發生變化。

假設一個平面迴路只有一半位於均勻磁場內。如果該區域以外的磁場為零，就不能直接在 \(\Phi=BA\cos\theta\) 中使用整個迴路的面積。

你應使用相關磁場實際穿過的面積。

在涉及迴路進入或離開磁場的電磁感應問題中，這項區別會變得非常重要。

改變角度

即使 \(B\) 和 \(A\) 保持不變，轉動迴路也會改變 \(\theta\)，因而改變 \(\cos\theta\)。

對於固定的迴路和磁場：

負值需要特別小心處理。

05負的磁通量代表甚麼？

一個表面有兩個可能的法線方向。一旦我們選定其中一個方向為正方向，若磁場有一部分朝向該方向，就會得到正磁通量。若磁場以相反方向穿過表面，就會得到負磁通量。

負磁通量並不表示「存在的磁場比較少」。

它表示磁場以與所選方向相反的方向穿過該表面。

在許多簡單的 HSC 計算中，你可能主要關心的是大小。不過，在追蹤磁通量的變化時，符號會變得很重要。

例如，假設一個迴路從

\[ \theta_i=0^\circ \]

轉動至

\[ \theta_f=180^\circ \]

而 \(B\) 和 \(A\) 保持不變。

起初，

\[ \Phi_i=BA \]

最後，

\[ \Phi_f=-BA \]

所以磁通量的變化為

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i=-BA-BA=-2BA \]

其大小為 \(2BA\)，而不是零。

一個很容易讓人信服的說法是：「迴路開始和結束時，都有相同的最大量磁場穿過它。」

這個說法忽略了方向。磁通量的符號已經反轉。

06磁通量並不等於磁場強度

磁通量 \(\Phi\) 和磁通密度 \(B\) 彼此相關，但它們並不是同一個物理量。

即使磁場為 \(2.0\,\text{T}\)，如果磁場沿著某個特定迴路所在的平面延伸，穿過該迴路的磁通量仍可以為零。

另一方面，如果較弱的磁場穿過方向適當的表面，也可以產生非零磁通量。

因此，以下說法是錯誤的：

較大的磁場總是代表較大的磁通量。

只有當相關面積和方向都沒有改變時，這個說法才成立。

一個更好的判斷方法，是檢查以下三個因素：

\[ B,\qquad A,\qquad \cos\theta \]

只要其中任何一個改變，磁通量就可能改變。

07小心包含多匝的線圈

磁通量 \(\Phi\) 指的是穿過一個表面的磁通量。

如果一個線圈包含 \(N\) 個相同的線匝，而且相同的磁通量穿過每一匝，則總磁通鏈為

\[ N\Phi \]

這項區別在電磁感應中會變得很重要。

例如，如果每一匝的磁通量都是 \(2.0\times10^{-3}\,\text{Wb}\)，而線圈有 \(50\) 匝，那麼穿過每一匝的磁通量仍然是

\[ 2.0\times10^{-3}\,\text{Wb} \]

而磁通鏈則為

\[ N\Phi=(50)(2.0\times10^{-3})=0.100\,\text{Wb-turn} \]

增加匝數並不會神奇地增加 \(B\)、迴路面積，或穿過單一線匝的磁通量。

它增加的是受到該磁通量影響的線匝數目。

08哪些情況下 \(\Phi=BA\cos\theta\) 已經不足夠

這個簡單方程式假設磁場在整個平面表面上都是均勻的。

如果表面的不同部分受到不同強度或不同方向的磁場作用，那麼單一的 \(B\) 值和單一的 \(\theta\) 值便無法精確描述整個表面。

更深層的概念仍然相同：磁通量取決於穿過表面每一部分的磁場分量。

對於 HSC 常見的均勻磁場題目，\(\Phi=BA\cos\theta\) 可以直接完成這項工作。

09問題與解答

問題 1

一個面積為 \(0.030\,\text{m}^2\) 的平面迴路被置於一個均勻的 \(0.50\,\text{T}\) 磁場中。磁場與迴路的法線平行。

計算穿過迴路的磁通量。

解答 1

磁通量為 \(1.5\times10^{-2}\,\text{Wb}\)。

因為磁場與法線平行，

\[ \theta=0^\circ \]

使用

\[ \Phi=BA\cos\theta \]

代入數值，

\[ \Phi=(0.50)(0.030)\cos0^\circ \]

\[ \Phi=0.015\,\text{Wb} \]

所以

\[ \boxed{\Phi=1.5\times10^{-2}\,\text{Wb}} \]

一個很容易犯的錯誤，是認為磁場與表面成 \(90^\circ\)，所以代入 \(90^\circ\)。磁通量方程式中的角度是從法線量起的，而不是從迴路所在的平面量起的。

問題 2

一個面積為 \(0.12\,\text{m}^2\) 的迴路被置於均勻磁場中。磁場強度從 \(0.25\,\text{T}\) 增加至 \(0.70\,\text{T}\)，同時磁場與迴路法線之間的夾角從 \(30^\circ\) 改變至 \(60^\circ\)。

計算初始磁通量、最終磁通量，以及磁通量的變化。並說明磁場強度增加是否能保證磁通量增加。

解答 2

磁通量由約 \(0.0260\,\text{Wb}\) 增加至 \(0.0420\,\text{Wb}\)，因此 \(\Delta\Phi\approx0.0160\,\text{Wb}\)。只增加 \(B\) 本身，並不能保證磁通量一定增加。

起初，

\[ \Phi_i=B_iA\cos\theta_i \]

\[ \Phi_i=(0.25)(0.12)\cos30^\circ \]

\[ \Phi_i=2.60\times10^{-2}\,\text{Wb} \]

最後，

\[ \Phi_f=B_fA\cos\theta_f \]

\[ \Phi_f=(0.70)(0.12)\cos60^\circ \]

\[ \Phi_f=4.20\times10^{-2}\,\text{Wb} \]

因此，

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=(4.20-2.60)\times10^{-2} \]

\[ \Delta\Phi=1.60\times10^{-2}\,\text{Wb} \]

一個很容易採用的錯誤思路，是只看 \(B\)，然後因為磁場變強，就立刻斷定磁通量必定增加。

但是

\[ \Phi=BA\cos\theta \]

同時取決於 \(B\) 和 \(\theta\)。在這裡，角度增加會使 \(\cos\theta\) 減少，因而部分抵銷較強磁場的影響。恰好 \(B\) 的增加幅度足夠大，所以最終磁通量仍然較大。

在另一組不同的數值下，磁場可能變強，但磁通量反而減少。

問題 3

一個正方形迴路的邊長為 \(0.20\,\text{m}\)。它有一部分位於一個均勻 \(0.60\,\text{T}\) 磁場的區域內。磁場垂直於迴路所在的平面。

起初，迴路面積的四分之一位於磁場內。接著迴路在不轉動的情況下移動，直到其面積的四分之三位於磁場內。

計算磁通量的變化。

解答 3

磁通量增加 \(0.012\,\text{Wb}\)。

整個迴路的面積為

\[ A=(0.20)^2=0.040\,\text{m}^2 \]

磁場垂直於迴路所在的平面，因此與法線平行，而且

\[ \theta=0^\circ \]

起初，只有四分之一的迴路位於磁場內：

\[ A_i=\frac14(0.040)=0.010\,\text{m}^2 \]

因此，

\[ \Phi_i=BA_i\cos0^\circ \]

\[ \Phi_i=(0.60)(0.010)=0.0060\,\text{Wb} \]

最後，

\[ A_f=\frac34(0.040)=0.030\,\text{m}^2 \]

所以

\[ \Phi_f=(0.60)(0.030)=0.018\,\text{Wb} \]

變化量為

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=0.018-0.0060 \]

\[ \boxed{\Delta\Phi=0.012\,\text{Wb}} \]

一個很容易犯的錯誤，是在兩個位置都使用完整的 \(0.040\,\text{m}^2\) 面積。這樣會預測磁通量沒有改變，因為 \(B\)、迴路的總面積和方向都沒有改變。

被忽略的限制條件是，磁場只存在於部分區域。當迴路跨過邊界時，實際受到磁場作用的有效面積會改變。

問題 4

一個面積固定為 \(A\) 的迴路位於均勻磁場中。起初，磁場大小為 \(B\)，而且與迴路的法線平行。

接著，在磁場強度同時加倍的情況下，把迴路轉動至與磁場成 \(60^\circ\) 的角度。

一名學生主張：

「把迴路轉動至 \(60^\circ\) 會使它的磁通量減半，但把 \(B\) 加倍又會使它加倍，所以最終磁通量一定等於初始磁通量。」

這名學生是否正確？接著判斷：如果磁場加倍時，迴路改為轉動至 \(120^\circ\)，會發生甚麼？

解答 4

對於 \(60^\circ\) 的情況，這名學生是正確的，但在 \(120^\circ\) 的情況下，磁通量大小相同而符號相反。

起初，

\[ \Phi_i=BA\cos0^\circ=BA \]

對於第一個最終狀態，

\[ B_f=2B \]

而且

\[ \theta_f=60^\circ \]

因此，

\[ \Phi_f=(2B)A\cos60^\circ \]

由於

\[ \cos60^\circ=\frac12 \]

可得

\[ \Phi_f=(2B)A\left(\frac12\right)=BA \]

所以磁通量不變：

\[ \Delta\Phi=0 \]

在這個情況下，這名學生的推理是成立的。

現在考慮 \(120^\circ\)：

\[ \Phi_f=(2B)A\cos120^\circ \]

而

\[ \cos120^\circ=-\frac12 \]

所以

\[ \Phi_f=-BA \]

最終磁通量與初始磁通量的大小相同，但符號相反。

因此，

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

\[ \Delta\Phi=-BA-BA \]

\[ \boxed{\Delta\Phi=-2BA} \]

一個很容易採用的錯誤方法，是只使用 \(\cos120^\circ\) 的大小，把 \(120^\circ\) 當作與 \(60^\circ\) 等同。

從幾何上看，有效面積的大小確實相同。然而在方向上，磁場現在是以相反方向穿過所選定的表面。這個符號反轉會完全改變 \(\Delta\Phi\)。

問題 5

兩個相同的平面迴路 X 和 Y，各自的面積都是 \(A\)。

迴路 X 位於大小為 \(B\) 的均勻磁場中。它的法線起初與磁場指向相同方向。接著它轉動 \(90^\circ\)。

迴路 Y 位於大小為 \(2B\) 的均勻磁場中。它的法線起初與磁場成 \(60^\circ\)。接著它以相同的轉動方向轉動 \(60^\circ\)，所以最終角度為 \(120^\circ\)。

一名學生認為，Y 的磁通量變化必定較大，因為它所在的磁場更強，而且轉過了相當大的角度。

求每個迴路的磁通量變化，並比較兩者的大小。

解答 5

兩個迴路的磁通量變化大小完全相同，都是 \(BA\)，即使迴路 Y 所在的磁場是兩倍強。

對迴路 X，初始磁通量為

\[ \Phi_{Xi}=BA\cos0^\circ=BA \]

轉動 \(90^\circ\) 之後，

\[ \Phi_{Xf}=BA\cos90^\circ=0 \]

因此，

\[ \Delta\Phi_X=\Phi_{Xf}-\Phi_{Xi} \]

\[ \Delta\Phi_X=0-BA=-BA \]

所以

\[ |\Delta\Phi_X|=BA \]

現在考慮迴路 Y。

它的磁場強度為 \(2B\)，初始角度為 \(60^\circ\)：

\[ \Phi_{Yi}=(2B)A\cos60^\circ \]

\[ \Phi_{Yi}=(2B)A\left(\frac12\right)=BA \]

它的最終角度為 \(120^\circ\)：

\[ \Phi_{Yf}=(2B)A\cos120^\circ \]

\[ \Phi_{Yf}=(2B)A\left(-\frac12\right)=-BA \]

因此，

\[ \Delta\Phi_Y=\Phi_{Yf}-\Phi_{Yi} \]

\[ \Delta\Phi_Y=-BA-BA=-2BA \]

所以

\[ |\Delta\Phi_Y|=2BA \]

因此，迴路 Y 的磁通量變化大小實際上是兩倍：

\[ \boxed{|\Delta\Phi_Y|=2|\Delta\Phi_X|} \]

不過，一開始那種看似合理的比較仍然是不完整的。只說「Y 的磁場較強」並不足以確立這個結果。只比較轉動角度也同樣不夠。

決定性的特點是，迴路 Y 從正磁通量跨越到負磁通量。它的磁通量從 \(+BA\) 變成 \(-BA\)，所以總變化跨越了 \(2BA\)。

迴路 X 則只由 \(+BA\) 變為零。

因此，在處理磁通量問題時，最穩妥的方法是分別計算帶符號的初始值和最終值：

\[ \Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i \]

而不是嘗試只根據迴路轉動了多大的角度來判斷變化量。

10磁通量接下來能幫助你理解甚麼

當磁通量發生變化時，它尤其有用。

改變 \(B\)、改變暴露於磁場中的面積，或改變角度，都可以使 \(\Phi\) 發生變化。這讓我們能用同一種方式描述表面上看似不同的情況：把迴路移入磁場、轉動線圈，或改變磁場本身。

下一步是法拉第定律。它把磁通量的變化率與感應電動勢連結起來。到了那時，只問「磁通量是多少？」已經不夠。你還需要問：「磁通量改變了多少，而這個變化發生得有多快？」