HSC Physics 法拉第定律：計算感應電動勢

假設一個線圈置於磁場中，而磁場強度增加至原來的兩倍。你可能會預測感應電動勢必定會增加。但如果線圈同時旋轉，使穿過線圈的磁場變少，又會怎樣？

在繼續之前，先作一個預測：磁場發生變化，是否一定會自動產生感應電動勢？

不一定。法拉第定律並不是單獨對磁場強度作出反應，而是對磁通鏈的變化率作出反應。如果一個變化使磁通量增加，而另一個變化恰好使磁通量減少相同的量，那麼感應電動勢可以是零。

法拉第定律所給出的計算就是：

\[ \mathcal{E}=-\frac{\Delta(N\Phi)}{\Delta t} \]

重點在於理解 \(N\Phi\) 代表甚麼、甚麼因素可以使它改變，以及負號告訴你甚麼。

01實際上改變的是甚麼？

想像一個單匝導線迴路置於磁場中。部分磁場會穿過迴路所包圍的面積。

一個有用的心像模型，是把一個圓環放在落下的雨中。如果圓環正面朝向雨水，會有很多雨穿過它；如果把它轉到幾乎側面朝向雨水，就幾乎沒有雨穿過。較大的圓環也會接到更多雨。

對磁場而言，相對應的物理量就是磁通量 \(\Phi\)。它量度有多少磁場穿過一匝線圈。

這個比喻有其限制。磁力線並不是實際穿過線圈的物質細線，而磁通量也不是會被困在線圈內的某種物質。這個圖像只是幫助我們思考面積和方向。

現在假設導線不是一匝，而是有 100 匝。每一匝都有相同的磁通量穿過，因此整體效果會乘以 100。這就得到磁通鏈：

\[ \lambda=N\Phi \]

其中：

• \(\lambda\) 是磁通鏈，通常以韋伯匝（weber-turns）描述，
• \(N\) 是線圈的匝數，而
• \(\Phi\) 是穿過一匝的磁通量，以韋伯 \(\text{Wb}\) 為單位。

法拉第定律關注的是這個磁通鏈改變得有多快。

02在法拉第定律之前，先看磁通量

對於穿過平面線圈的均勻磁場，

\[ \Phi=BA\cos\theta \]

其中 \(B\) 是以特斯拉 \(\text{T}\) 為單位的磁場強度，\(A\) 是一匝線圈的面積，以平方米 \(\text{m}^2\) 為單位，而 \(\theta\) 是磁場與垂直於線圈平面的直線之間的夾角。

最後這一句很容易造成錯誤。角度是從線圈的法線量起，而不是從線圈表面量起。

如果你對這個幾何關係仍不太掌握，可以先複習磁通量與 \(\Phi=BA\cos\theta\)，再繼續下去。

由於

\[ N\Phi=NBA\cos\theta, \]

所以磁通鏈可以因為 \(B\)、\(A\) 或 \(\theta\) 發生變化而改變。法拉第定律並不在乎是哪一個因素造成這個變化。

03法拉第定律把磁通量變化轉換成電動勢

對於匝數固定的線圈，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

或者等價地，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-\frac{\Delta(N\Phi)}{\Delta t}. \]

這裡，\(\mathcal{E}_{\text{平均}}\) 是以伏特 \(\text{V}\) 為單位的平均感應電動勢，而 \(\Delta t\) 是以秒 \(\text{s}\) 為單位的時間間隔。

其大小為

\[ |\mathcal{E}_{\text{平均}}| =\frac{|\Delta(N\Phi)|}{\Delta t}. \]

這本質上就像計算速度。速度告訴你位置改變得有多快；法拉第定律則告訴你磁通鏈改變得有多快。

如果磁通鏈在 \(1.0\ \text{s}\) 內改變 \(3.0\ \text{Wb-turn}\)，平均電動勢的大小就是 \(3.0\ \text{V}\)。如果相同大小的變化只需 \(0.10\ \text{s}\)，則會得到 \(30\ \text{V}\)。

相同的變化。較短的時間。較大的變化率。

以下單位關係很有用：

\[ 1\ \text{V}=1\ \text{Wb s}^{-1}. \]

04負號代表甚麼？

假設穿過線圈的正磁通量正在增加。相對於你在電路中所選定的正方向，法拉第定律會給出負的電動勢。

這個負號就是楞次定律的數學形式。感應效應所反抗的是磁通量的變化，而不一定是磁場本身。

如果正磁通量正在增加，感應電流會產生一個磁場，傾向於反抗這個增加。

如果正磁通量正在減少，感應電流會產生一個磁場，傾向於維持原有的磁通量。

因此，在題目要求方向時，通常最穩妥的做法是先計算大小，再另外分析方向。

05一套可靠的計算方法

當你遇到法拉第定律的計算題時，每次都可以依照相同的步驟：

1. 判斷甚麼發生了變化：\(B\)、\(A\)、\(\theta\)，或它們的某種組合。
2. 使用 \(\Phi=BA\cos\theta\) 計算初始和最終磁通量。檢查題目給出的角度是從線圈平面量起，還是從其法線量起。
3. 求磁通鏈的變化：\(\Delta(N\Phi)=N(\Phi_f-\Phi_i)\)。
4. 除以時間間隔，得到平均電動勢。
5. 如果題目要求方向，利用負號和楞次定律判斷感應效應必須反抗哪一個變化。

這個方法比嘗試直接找捷徑稍長，但面對困難得多的題目時仍然可靠。

06容易掉進的誤區：\(B\) 改變就代表會有感應電動勢

想像一個線圈完全靜止在穩定的 \(5.0\ \text{T}\) 磁場中。它的磁通量可能很大，但磁通鏈並沒有改變。

因此：

\[ \Delta(N\Phi)=0 \]

所以

\[ \mathcal{E}=0. \]

單單有很大的磁通量並不足夠。你需要的是磁通鏈的變化。

現在把情況反過來。假設磁場強度完全保持不變，但線圈旋轉。角度 \(\theta\) 發生變化，所以 \(BA\cos\theta\) 也會改變。即使 \(B\) 從未改變，仍會產生感應電動勢。

還有一種更不容易察覺的可能性。\(B\) 和 \(\theta\) 可以同時改變，而磁通量仍然保持不變。例如，如果 \(B\) 增加至兩倍，而 \(\cos\theta\) 減半，那麼 \(B\cos\theta\) 就不會改變。如果 \(N\) 和 \(A\) 也保持不變，磁通鏈就沒有改變，因此不會產生感應電動勢。

法拉第定律關注的是整個乘積，而不是孤立地看某一個變數。

07平均電動勢可能掩蓋中間發生的事

對於有限時間間隔內的變化，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-\frac{\Delta(N\Phi)}{\Delta t}. \]

這告訴你兩個端點之間的平均電動勢。

如果磁通鏈以恆定速率改變，那麼這個平均值也就是整個時間間隔內的電動勢。

但假設磁通鏈在前半秒上升，然後在下一個半秒下降回原來的數值。整整一秒內的總變化是零，因此這一整秒的平均電動勢也是零。

這並不代表整整一秒內的電動勢一直都是零。

在任何特定瞬間，法拉第定律可以寫成

\[ \mathcal{E}=-\frac{d(N\Phi)}{dt}. \]

對大多數 HSC 題目來說，你不需要使用複雜的微積分。重要的概念是，電動勢取決於當下的變化率。當你計算較長時間間隔內的平均值時，正、負電動勢可以互相抵消。

還有一個重要區別。即使電路是開路，也可以存在感應電動勢。只有在存在導電通路時，電流才會流動。法拉第定律預測電動勢；電路的電阻和連接方式則決定所產生的電流。

08問題與解答

題目 1

一個 120 匝線圈中，穿過每一匝的磁通量在 \(2.0\times10^{-2}\ \text{s}\) 內由 \(4.5\times10^{-4}\ \text{Wb}\) 減少至 \(1.5\times10^{-4}\ \text{Wb}\)。

計算平均感應電動勢的大小。

解答 1

平均感應電動勢為 \(1.8\ \text{V}\)。

穿過每一匝的磁通量變化為

\[ \Delta\Phi =1.5\times10^{-4}-4.5\times10^{-4} =-3.0\times10^{-4}\ \text{Wb}. \]

使用法拉第定律，

\[ \begin{aligned} |\mathcal{E}_{\text{平均}}| &=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\ &=120\frac{3.0\times10^{-4}}{2.0\times10^{-2}}\\ &=1.8\ \text{V}. \end{aligned} \]

一個很誘人的做法，是把一匝的磁通量變化除以時間後就停下來。但這會忽略另外 119 匝。法拉第定律使用的是總磁通鏈的變化，所以每匝的變化必須乘以 \(N=120\)。

由於原來的磁通量正在減少，感應效應會反抗這個減少。

題目 2

一個 250 匝線圈的面積為 \(3.2\times10^{-3}\ \text{m}^2\)，置於一個均勻的 \(0.60\ \text{T}\) 磁場中。

起初，線圈平面垂直於磁場。之後線圈旋轉，使線圈平面與磁場形成 \(50^\circ\) 的夾角。旋轉需時 \(0.080\ \text{s}\)。

計算平均感應電動勢的大小，並說明感應磁場會嘗試對原來的磁通量產生甚麼作用。

解答 2

平均感應電動勢約為 \(1.4\ \text{V}\)，而感應磁場會反抗原來磁通量的減少。

起初，線圈平面垂直於磁場。因此，面積法線與磁場平行：

\[ \theta_i=0^\circ. \]

在最後，線圈平面與磁場形成 \(50^\circ\) 的夾角。因此，法線與磁場之間的夾角為

\[ \theta_f=90^\circ-50^\circ=40^\circ \]

。

穿過一匝的初始和最終磁通量分別為

\[ \begin{aligned} \Phi_i&=BA\cos0^\circ\\ &=(0.60)(3.2\times10^{-3})\\ &=1.92\times10^{-3}\ \text{Wb}, \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} \Phi_f &=(0.60)(3.2\times10^{-3})\cos40^\circ\\ &=1.47\times10^{-3}\ \text{Wb}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} |\mathcal{E}_{\text{平均}}| &=N\frac{|\Phi_f-\Phi_i|}{\Delta t}\\ &=250\frac{|1.47\times10^{-3}-1.92\times10^{-3}|}{0.080}\\ &\approx1.40\ \text{V}. \end{aligned} \]

一個很容易犯的錯誤，是直接把 \(50^\circ\) 代入 \(BA\cos\theta\)。題目給出的 \(50^\circ\) 是從線圈平面量起，而磁通量公式中的 \(\theta\) 是從其法線量起。

旋轉過程中磁通量減少，因此根據楞次定律，感應磁場的方向會傾向於維持原來的磁通量。

題目 3

一個 100 匝長方形線圈最初的面積為 \(5.0\times10^{-3}\ \text{m}^2\)。它的面積法線一直與磁場平行。

在最初的 \(0.10\ \text{s}\) 內，線圈面積保持不變，而磁場由 \(0.20\ \text{T}\) 均勻增加至 \(0.50\ \text{T}\)。

在接下來的 \(0.20\ \text{s}\) 內，磁場維持在 \(0.50\ \text{T}\)，而每一匝所包圍的面積由 \(5.0\times10^{-3}\ \text{m}^2\) 均勻減少至 \(2.0\times10^{-3}\ \text{m}^2\)。

求每一階段的平均感應電動勢，並判斷兩個階段的感應電動勢方向相同還是相反。

解答 3

第一階段的平均電動勢大小為 \(1.5\ \text{V}\)，第二階段為 \(0.75\ \text{V}\)，而兩個電動勢的方向相反。

由於 \(\theta=0^\circ\)，

\[ \Phi=BA. \]

在第一階段，面積保持不變：

\[ \begin{aligned} \Delta(N\Phi) &=NA(B_f-B_i)\\ &=100(5.0\times10^{-3})(0.50-0.20)\\ &=0.150\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

所以

\[ \mathcal{E}_{1} =-\frac{0.150}{0.10} =-1.5\ \text{V}. \]

其大小為 \(1.5\ \text{V}\)。

在第二階段，\(B=0.50\ \text{T}\) 保持不變，但面積改變：

\[ \begin{aligned} \Delta(N\Phi) &=NB(A_f-A_i)\\ &=100(0.50)(2.0\times10^{-3}-5.0\times10^{-3})\\ &=-0.150\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \mathcal{E}_{2} =-\frac{-0.150}{0.20} =+0.75\ \text{V}. \]

兩者符號相反，是因為第一階段的磁通鏈增加，而第二階段的磁通鏈減少。

很容易只尋找「正在改變的磁場」，然後認為一旦 \(B\) 變為恆定，電磁感應就會停止。法拉第定律實際限制的是 \(N\Phi=NBA\cos\theta\)。即使磁場本身不變，改變迴路面積仍會改變磁通量。

題目 4

一個 200 匝線圈的面積為 \(1.0\times10^{-2}\ \text{m}^2\)。其初始磁通鏈為

\[ \lambda_i=+0.50\ \text{Wb-turn}. \]

使用以下符號約定

\[ \mathcal{E}=-\frac{d\lambda}{dt}, \]

電壓表記錄如下：

• \(+4.0\ \text{V}\)，持續 \(0.10\ \text{s}\)，
• 接下來 \(0.20\ \text{s}\) 為 \(0\ \text{V}\)，
• 再接下來 \(0.30\ \text{s}\) 為 \(-1.0\ \text{V}\)。

假設在每一個指定時間間隔內，電動勢皆保持恆定。

求最終磁通鏈和 \(B\cos\theta\) 的最終數值。零電動勢的時間間隔是否能證明線圈和磁場都沒有發生變化？另外，判斷磁通鏈在任何時刻是否曾改變符號。

解答 4

最終磁通鏈為 \(+0.40\ \text{Wb-turn}\)，\(B\cos\theta\) 的最終數值為 \(0.20\ \text{T}\)。零電動勢的時間間隔不能證明物理條件保持靜止，而磁通鏈從未改變符號。

對於電動勢保持恆定的時間間隔，

\[ \Delta\lambda=-\mathcal{E}\Delta t. \]

在第一個時間間隔內，

\[ \Delta\lambda_1 =-(+4.0)(0.10) =-0.40\ \text{Wb-turn}. \]

所以

\[ \lambda_1 =0.50-0.40 =+0.10\ \text{Wb-turn}. \]

在零電動勢的時間間隔內，

\[ \Delta\lambda_2=0, \]

因此磁通鏈保持為

\[ \lambda_2=+0.10\ \text{Wb-turn}. \]

在最後一個時間間隔內，

\[ \Delta\lambda_3 =-(-1.0)(0.30) =+0.30\ \text{Wb-turn}. \]

因此，

\[ \lambda_f =0.10+0.30 =+0.40\ \text{Wb-turn}. \]

現在，

\[ \lambda=N\Phi=NBA\cos\theta. \]

所以

\[ \begin{aligned} B\cos\theta &=\frac{\lambda_f}{NA}\\ &=\frac{0.40}{(200)(1.0\times10^{-2})}\\ &=0.20\ \text{T}. \end{aligned} \]

零電動勢的時間間隔只告訴我們磁通鏈保持不變：

\[ \frac{d\lambda}{dt}=0. \]

它並不能證明 \(B\)、\(A\) 和 \(\theta\) 各自都保持不變。例如，\(B\) 可以增加，同時線圈旋轉，使 \(B\cos\theta\) 保持不變。

磁通鏈由 \(+0.50\) 降至 \(+0.10\ \text{Wb-turn}\)，維持在該數值，然後再上升至 \(+0.40\ \text{Wb-turn}\)。因此，它從未到達零，也從未改變符號。

一個很容易產生的錯誤理解，是認為電動勢讀數能直接顯示磁場本身正在發生甚麼變化。其實並非如此。這個量度限制的是組合量 \(NBA\cos\theta\) 的變化率，因此多種不同的物理運動或磁場變化都可以產生相同的電動勢數據。

題目 5

兩個實驗使用同一個 200 匝、面積為 \(1.0\times10^{-2}\ \text{m}^2\) 的線圈，並連接至一個 \(4.0\ \Omega\) 電阻器。忽略所有其他電阻和自感效應。

在兩個實驗中，初始條件均為

\[ B_i=0.20\ \text{T},\qquad \theta_i=0^\circ. \]

經過 \(0.20\ \text{s}\) 後，最終條件均為

\[ B_f=0.40\ \text{T},\qquad \theta_f=60^\circ. \]

在實驗 A 中，\(B\) 和 \(\theta\) 同時調整，使得在每一瞬間都有 \(B\cos\theta=0.20\ \text{T}\)。

在實驗 B 中，最初的 \(0.10\ \text{s}\) 內，線圈保持在 \(\theta=0^\circ\)，而 \(B\) 由 \(0.20\ \text{T}\) 增加至 \(0.40\ \text{T}\)。在接下來的 \(0.10\ \text{s}\) 內，\(B\) 保持在 \(0.40\ \text{T}\)，而線圈旋轉至 \(60^\circ\)。假設每一階段的磁通鏈均勻改變。

一名學生認為，兩個實驗的初始和最終磁通鏈相同，因此兩者在電學上等效，而且感應電動勢為零。

評估這個說法。計算每個實驗的電動勢、電流，以及電阻器所耗散的熱能。

解答 5

這兩個實驗在電學上並不等效。實驗 A 在整個過程中的感應電動勢為零、電流為零，熱能耗散也為零。實驗 B 在兩個階段的電動勢分別為 \(-4.0\ \text{V}\) 和 \(+4.0\ \text{V}\)，電流大小均為 \(1.0\ \text{A}\) 但方向相反，而總共耗散 \(0.80\ \text{J}\) 的熱能。儘管如此，兩個實驗在完整的 \(0.20\ \text{s}\) 內，平均電動勢均為零。

先計算初始磁通鏈：

\[ \begin{aligned} \lambda_i &=NBA\cos\theta_i\\ &=(200)(0.20)(1.0\times10^{-2})\cos0^\circ\\ &=0.40\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

最終磁通鏈為

\[ \begin{aligned} \lambda_f &=(200)(0.40)(1.0\times10^{-2})\cos60^\circ\\ &=0.40\ \text{Wb-turn}. \end{aligned} \]

因此，從開始到結束的總變化確實為零。

然而，在實驗 A 中，有一個更強的條件成立。題目告訴我們

\[ B\cos\theta=0.20\ \text{T} \]

在每一瞬間都成立。由於 \(N\) 和 \(A\) 保持不變，

\[ \lambda=NBA\cos\theta \]

也在每一瞬間保持不變。

因此，

\[ \mathcal{E}=0, \qquad I=\frac{\mathcal{E}}{R}=0. \]

由於沒有電流，

\[ E_{\text{熱}}=0. \]

現在考慮實驗 B。

在第一階段，\(\theta=0^\circ\)，所以磁通鏈由

\[ 0.40\ \text{Wb-turn} \]

增加至

\[ \lambda =(200)(0.40)(1.0\times10^{-2}) =0.80\ \text{Wb-turn}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_1 &=-\frac{0.80-0.40}{0.10}\\ &=-4.0\ \text{V}. \end{aligned} \]

電流為

\[ I_1=\frac{-4.0}{4.0}=-1.0\ \text{A}. \]

在第二階段，磁通鏈由 \(0.80\) 降回 \(0.40\ \text{Wb-turn}\)：

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_2 &=-\frac{0.40-0.80}{0.10}\\ &=+4.0\ \text{V}. \end{aligned} \]

因此，

\[ I_2=\frac{+4.0}{4.0}=+1.0\ \text{A}. \]

由於磁通鏈變化的方向反轉，電流方向也會反轉。

在任一階段，電阻器所耗散的功率為

\[ P=I^2R=(1.0)^2(4.0)=4.0\ \text{W}. \]

這種情況總共持續 \(0.20\ \text{s}\)，因此

\[ E_{\text{熱}} =P\Delta t =(4.0)(0.20) =0.80\ \text{J}. \]

為甚麼這與磁通鏈的整體變化為零並不矛盾？

在整個時間間隔內，

\[ \mathcal{E}_{\text{平均}} =-\frac{\lambda_f-\lambda_i}{0.20} =0. \]

但這是一個帶符號的平均值。前半段的 \(-4.0\ \text{V}\) 貢獻，會被後半段的 \(+4.0\ \text{V}\) 貢獻抵消。

熱能卻不會以相同方式抵消，因為電阻加熱取決於 \(I^2R\)。不論是 \(+1.0\ \text{A}\) 的電流還是 \(-1.0\ \text{A}\) 的電流，都會使電阻器發熱。

一個很誘人的做法，是只比較初始和最終狀態，然後認為 \(\Delta(N\Phi)=0\) 就代表從未出現過電動勢。真正的限制其實更細緻：總變化為零，只能保證完整時間間隔內的平均電動勢為零。要知道這段時間內是否曾發生電磁感應，你需要知道磁通鏈如何隨時間改變。

這個區別正是通往發電機概念的橋樑。當線圈持續旋轉時，它的磁通鏈也會持續改變。法拉第定律於是讓你從不斷變化的 \(BA\cos\theta\) 推導出不斷變化的感應電動勢，而楞次定律則告訴你所產生電流的方向。