HSC 物理：淨力與平衡計算

一輛手推車正以穩定速度向右滾動。有人向右推它，而摩擦力向左作用。淨力朝哪個方向？

很容易會回答「向右」，因為手推車正向右移動。但如果它的速度保持不變，它的加速度就是零。根據牛頓第二定律，這告訴我們一件重要的事：各個力合成後必須得到零淨力。

這就是合力的作用。我們不必把每個力分開處理，而是把它們合成為一個對物體運動具有相同整體效果的力。

01先把力想成箭頭

力是一個向量。它同時具有大小和方向。

想像兩個人拉著一個有輪子的箱子。一個人以 40 N 向右拉，另一個人以 25 N 向左拉。這兩個拉力會部分抵消，整體效果等同於一個 15 N 向右的力。

我們把這個單一的合成力稱為合力（resultant force），或淨力（net force）。

\[
\vec F_{\text{net}}=\sum \vec F
\]

這裡，\(\vec F_{\text{net}}\) 是淨力，單位為牛頓（N），而 \(\sum \vec F\) 表示作用在物體上的所有力的向量和。

\(F\) 上方的箭頭提醒我們，力具有方向。

這裡已經有一個常見陷阱：淨力不一定指向物體正在移動的方向。

速度告訴你物體目前如何運動。淨力則告訴你這個速度如何改變。

02一維中的合力

當所有相關的力都沿同一直線作用時，計算主要就是處理正負號。

選擇一個方向為正方向。另一個方向就是負方向。

例如，我們可以選擇：

• 向右為正
• 向左為負

那麼，30 N 向右的力就是 \(+30\text{ N}\)，而 12 N 向左的力就是 \(-12\text{ N}\)。

因此：

\[
F_{\text{net}}=30+(-12)=18\text{ N}
\]

正值表示合力為 18 N，方向向右。

你也可以選擇向左為正方向。數值的正負號會改變，但物理答案不會改變。重要的是先選定一套正負方向約定，然後一致地使用它。

範例：器材箱所受的合力是多少？

一個 8.0 kg 的器材箱受到 52 N 向右的推力。摩擦力為 19 N 向左，而一條纜繩另外施加 11 N 向左的拉力。求器材箱所受的合力及其加速度。

步驟 1：選擇向右為正方向。

因此，三個水平方向的力分別是 \(+52\text{ N}\)、\(-19\text{ N}\) 和 \(-11\text{ N}\)。

步驟 2：把所有力連同其正負號相加。

\[
F_{\text{net}}=52-19-11=22\text{ N}
\]

合力是22 N 向右。

步驟 3：利用牛頓第二定律，把合力與加速度聯繫起來。

\[
F_{\text{net}}=ma
\]

這裡，\(m\) 是以公斤為單位的質量，而 \(a\) 是以米每二次方秒為單位的加速度。

重新整理：

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{22}{8.0}
=2.75\text{ m s}^{-2}
\]

所以，器材箱以\(2.75\text{ m s}^{-2}\) 向右加速。

52 N 的推力本身並不能決定加速度。把相反方向的力也計算在內後，器材箱實際上是對22 N 的淨力作出反應。

03零淨力究竟代表甚麼？

假設向右和向左的力大小相等：

\[
F_{\text{net}}=0
\]

根據牛頓第二定律，

\[
F_{\text{net}}=ma
\]

所以，對於質量不為零的物體，

\[
a=0
\]

這就是平移平衡。

物體會怎樣？

有兩種可能：

• 如果它本來靜止，就會繼續保持靜止。
• 如果它本來以恆定速度運動，就會繼續以該恆定速度運動。

第二種情況常常令人犯錯。

學生可能會想像一輛向東行駛的汽車，並認為一定需要一個向東的淨力來「讓它繼續前進」。這聽起來似乎合理，因為日常生活中的物體通常會在我們停止推動後慢下來。但它們之所以減速，是因為摩擦力和阻力提供了不平衡的力。

如果所有力確實互相平衡，就不需要額外的向前淨力來維持恆定速度。

留意第二列的措辭：是恆定速度，而不只是速率恆定。方向也很重要。

04二維中的合力

現在假設一個力向東拉，另一個力向北拉。因為它們指向不同方向，所以不能像普通數字那樣直接相加。

相反，我們要分別處理水平和垂直方向。

我們通常把它們稱為 \(x\) 方向和 \(y\) 方向：

\[
\Sigma F_x = \text{水平力分量的總和}
\]

\[
\Sigma F_y = \text{垂直力分量的總和}
\]

知道這兩個分量後，合力的大小就是

\[
F_{\text{net}}=\sqrt{(\Sigma F_x)^2+(\Sigma F_y)^2}
\]

這其實就是把畢氏定理應用在力的三角形上。

接著可以利用三角函數求出方向。如果角度 \(\theta\) 是從正 \(x\) 方向量起，

\[
\tan\theta=\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}
\]

各分量的正負號會告訴你合力實際位於哪一個象限。不要在沒有檢查圖示的情況下，直接讓計算機上的反正切功能替你決定實際方向。

05把斜向力分解成分量

一個斜向的力可以用水平和垂直分量來表示。

若一個大小為 \(F\) 的力，與正水平方向成向上 \(\theta\) 的角度：

\[
F_x=F\cos\theta
\]

\[
F_y=F\sin\theta
\]

這裡：

• \(F_x\) 是水平分量
• \(F_y\) 是垂直分量
• \(F\) 是原本力的大小
• \(\theta\) 是從水平方向量起的角度

這些分量並不是額外的力。它們只是同一個原始力在數學上分解出的兩個部分。

範例：求二維合力

一輛低摩擦力的手推車由三條繩索拉動。其中一條以 50 N、東偏北 \(30^\circ\) 的方向拉動。第二條以 18 N 向西拉，第三條以 12 N 向南拉。求合力的大小和方向。

步驟 1：選擇向東為正 \(x\) 方向，向北為正 \(y\) 方向。

首先必須把 50 N 的斜向力分解成分量。

\[
F_x=50\cos30^\circ=43.3\text{ N}
\]

\[
F_y=50\sin30^\circ=25.0\text{ N}
\]

所以，這條繩索提供 43.3 N 向東和 25.0 N 向北的分量。

步驟 2：把所有水平分量相加。

18 N 向西的力為負值。

\[
\Sigma F_x=43.3-18=25.3\text{ N}
\]

所以淨水平分量為 25.3 N 向東。

步驟 3：把所有垂直分量相加。

12 N 向南的力為負值。

\[
\Sigma F_y=25.0-12=13.0\text{ N}
\]

所以淨垂直分量為 13.0 N 向北。

步驟 4：求合力的大小。

\[
F_{\text{net}}
=\sqrt{25.3^2+13.0^2}
=28.4\text{ N}
\]

步驟 5：求其方向。

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{13.0}{25.3}\right)
=27.2^\circ
\]

兩個分量都是正值，所以力的方向為東偏北。

因此，合力為28.4 N，方向為東偏北 \(27.2^\circ\)。

這一個向量所產生的平移效果，會與三條繩索共同作用時相同。

06判斷二維平衡

在一維中，要達到平衡，相反方向的力必須互相抵消。

在二維中，還多了一個條件：

\[
\Sigma F_x=0
\]

以及

\[
\Sigma F_y=0
\]

兩個條件都必須成立。

假設一個懸掛物體所受的向左和向右的力完全平衡，但向上的力比向下的力多 20 N。它並不處於平衡狀態。它的水平加速度可能為零，但垂直加速度並不是零。

由此可以得到一個實用的判斷原則：

只有當合力向量為零時，物體才處於平移平衡。

並不需要每一個力都各自有一個大小完全相同、方向相反的力與它配對。幾個力可以共同合成，抵消另一個力。

例如，兩條斜向纜繩的張力，其水平分量可能互相抵消，而垂直分量則相加，以平衡物體的重量。

07求達到平衡所需的力

有時候，未知量並不是合力。題目反而會問，需要額外施加甚麼力才能使合力變成零。

方法很簡單：

1. 求出目前已作用的各個力的合力。
2. 所需的平衡力應具有相同大小，但方向相反。

如果現有各力的合力是 40 N 向東，那麼再施加 40 N 向西的力就可以達到平衡。

在二維中，如果現有合力的分量為

\[
\vec F_{\text{net}}=(30\text{ N 向東},40\text{ N 向北}),
\]

那麼平衡力的分量必須為

\[
(-30\text{ N},-40\text{ N}),
\]

也就是 30 N 向西和 40 N 向南。

這個方向相反的力有時稱為平衡力（equilibrant）。

08要避免的錯誤觀念：運動方向不等於淨力方向

想像一個冰球正向東滑動，但有一個淨力向西作用。

它向哪個方向加速？

向西。

這個力開始作用後，冰球立即向哪個方向移動？

仍然向東。

這並不矛盾。向西的加速度會改變原本向東的速度。冰球首先會減速。如果向西的力持續足夠長的時間，冰球最終可能停下來，然後開始向西移動。

要把以下幾個物理量分清楚：

• 速度告訴你物體目前運動的方向和快慢
• 加速度告訴你速度如何改變
• 淨力與加速度指向相同方向，因為 \(\vec F_{\text{net}}=m\vec a\)

因此，你不能只看物體的運動方向，就判斷淨力的方向。

09HSC 力學題的可靠解題方法

當一道題目中出現多個力時，每次都使用相同的步驟。

1. 選定研究物體。 明確決定你正在把哪一個物體所受的力相加。
2. 選定正方向。 在二維問題中，通常取向右為 \(+x\)，向上為 \(+y\)。
3. 分解斜向力。 有需要時，把它們分解成 \(x\) 和 \(y\) 分量。
4. 分別相加各方向的分量。 求出 \(\Sigma F_x\) 和 \(\Sigma F_y\)。
5. 如有需要，再把分量合成。 用畢氏定理求大小，用三角函數求方向。
6. 解釋結果。 合力為零表示平移加速度為零。合力不為零時，其方向就是加速度的方向。

計算本身通常不是最困難的部分。最困難的是判斷哪些力應該包括在總和中，以及把速度、加速度和力清楚區分開來。

10題目與解答

題目 1

一名單車手受到 180 N 向前的驅動力。空氣阻力為 145 N 向後，滾動阻力為 35 N 向後。計算水平方向的合力。這對單車手的水平加速度有甚麼含意？

解答 1

水平方向的合力為 0 N，所以單車手的水平加速度為零。

選擇向前為正方向。合力為

\[
F_{\text{net}}
=180-145-35
=0\text{ N}
\]

根據牛頓第二定律，

\[
F_{\text{net}}=ma,
\]

淨力為零表示 \(a=0\)。

這並不代表單車手是靜止的。如果單車手原本已經在移動，他可以繼續以恆定速度運動。常見的錯誤是認為向前運動必須有向前的合力。

題目 2

一輛 2.0 kg 的實驗室小車在水平面內受到四個力：24 N 向東、10 N 向北、8 N 向西，以及 4 N 向南。求合力的大小和方向，再計算小車的加速度。

解答 2

合力為 17.1 N，方向為東偏北 \(20.6^\circ\)，因此加速度為 \(8.54\text{ m s}^{-2}\)，方向相同。

取向東為正 \(x\) 方向，向北為正 \(y\) 方向。

水平方向的合力為

\[
\Sigma F_x=24-8=16\text{ N}
\]

而垂直方向的合力為

\[
\Sigma F_y=10-4=6\text{ N}.
\]

合力的大小為

\[
F_{\text{net}}
=\sqrt{16^2+6^2}
=\sqrt{292}
=17.1\text{ N}.
\]

其方向為

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{6}{16}\right)
=20.6^\circ.
\]

兩個分量都是正值，所以方向是東偏北 \(20.6^\circ\)。

現在使用牛頓第二定律：

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{17.1}{2.0}
=8.54\text{ m s}^{-2}.
\]

加速度與淨力指向相同方向，但不一定與小車原本的速度方向相同。

題目 3

有兩個力作用在一個小物體上：30 N 向東和 40 N 向北。求使物體達到平移平衡所需的單一額外作用力。

解答 3

所需的力為 50 N，方向為西偏南 \(53.1^\circ\)。

首先求出現有兩個力的合力。

其大小為

\[
F_{\text{resultant}}
=\sqrt{30^2+40^2}
=50\text{ N}.
\]

該合力相對於東方向向北偏的角度為

\[
\theta
=\tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right)
=53.1^\circ.
\]

所以，現有的力合成後產生 50 N、方向為東偏北 \(53.1^\circ\) 的合力。

要達到平衡，額外作用力必須使總向量和為零。因此，它必須具有相同大小，而且方向完全相反：

\[
F_{\text{additional}}=50\text{ N，方向為 }53.1^\circ\text{ 西偏南}.
\]

它的分量為 30 N 向西和 40 N 向南，分別抵消原本的兩個分量。

常見陷阱是隨意選一個方向，再加上一個 50 N 的力。只有大小相等並不足夠。各力的方向必須使向量和等於零。

題目 4

一輛 4.0 kg 的小車起初以 \(3.0\text{ m s}^{-1}\) 向西運動。接著，一個恆定的 8.0 N 向東合力作用 2.0 s。小車是否處於平衡狀態？求 2.0 s 後的速度。

解答 4

小車不處於平衡狀態，而且在 2.0 s 後以 \(1.0\text{ m s}^{-1}\) 向東運動。

淨力為 8.0 N 向東，並不等於零。因此小車具有加速度，並不處於平衡狀態。

利用牛頓第二定律，

\[
a=\frac{F_{\text{net}}}{m}
=\frac{8.0}{4.0}
=2.0\text{ m s}^{-2}\text{ 向東}.
\]

取向東為正方向。因此，初始向西的速度為

\[
u=-3.0\text{ m s}^{-1}.
\]

使用

\[
v=u+at,
\]

可得

\[
v=-3.0+(2.0)(2.0)
=+1.0\text{ m s}^{-1}.
\]

正號表示向東。

值得注意的是中間發生了甚麼。力向東作用，而小車起初向西移動，所以小車會先減速。它在以下時間達到零速度：

\[
0=-3.0+(2.0)t,
\]

因此

\[
t=1.5\text{ s}.
\]

此時力仍然在作用，所以小車接著向東加速。這再次提醒我們：力決定的是加速度，而不是物體在某一瞬間的運動方向。

題目 5

一輛 900 kg 的汽車以恆定速率 \(12\text{ m s}^{-1}\) 沿一條水平圓形跑道行駛。跑道半徑為 30 m。一名學生認為，因為汽車的速率恆定，所以汽車所受的力一定處於平衡。評估這個說法，並計算合力。

解答 5

這個說法不正確。汽車受到大小為 \(4.32\times10^3\text{ N}\)、方向指向圓心的合力，所以它並不處於平移平衡。

陷阱在於速率這個詞。速率沒有方向，但速度有。

雖然汽車的速率保持在 \(12\text{ m s}^{-1}\)，但它在沿圓周行駛時，運動方向持續改變。因此它的速度正在改變，也就是說它具有加速度。

對於圓周運動，向內的加速度大小為

\[
a=\frac{v^2}{r},
\]

其中 \(v\) 是速率，\(r\) 是圓形路徑的半徑。

代入數值：

\[
a=\frac{12^2}{30}
=\frac{144}{30}
=4.8\text{ m s}^{-2}.
\]

利用牛頓第二定律，

\[
F_{\text{net}}=ma
=(900)(4.8)
=4320\text{ N}.
\]

所以

\[
F_{\text{net}}=4.32\times10^3\text{ N}
\]

方向指向圓心。

恆定的速度表示加速度為零，因此合力為零。速率恆定但方向改變則不是如此。

11淨力能讓你進一步做甚麼

一旦你能把多個力替換成一個合力向量，牛頓定律就會更容易使用。受力圖讓你找出各個力，向量相加讓你得到 \(\vec F_{\text{net}}\)，而牛頓第二定律則把這個合力轉換成加速度。

當你分析張力、正向力、摩擦力、斜面和圓周運動時，也會再次用到同樣的推理流程。關鍵的判斷始終一樣：在問物體將如何運動之前，先算出所有力合起來等於甚麼。