HSC 物理中的拋體初速度分量

一個拋射體以 \(20.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率、相對水平線向上 \(30^\circ\) 發射。你知道它的速率和方向，但拋體運動方程需要更實用的資料：它一開始在水平方向移動得多快？在垂直方向又移動得多快？

在計算之前，先預測哪一個分量應該較大。由於發射方向比起垂直方向更接近水平方向，因此水平分量應該較大。如果之後的數學計算得出相反結果，這就是一個很有用的警示，表示某處可能出了問題。

01一個速度，從兩個方向來看

拋射體實際上並不是同時具有一個水平速度和另一個垂直速度，兩者彼此爭著決定它要往哪裡移動。它只有一個速度向量。

我們把這個向量分解成兩個互相垂直的分量，是因為發射之後，水平運動和垂直運動的行為不同。

把速度箭頭想像成直角三角形的斜邊。它的水平分量是三角形的寬度，而垂直分量則是三角形的高度。

若初速為 \(u\)，並以相對水平線向上 \(\theta\) 的角度發射，

\[ u_x=u\cos\theta \]

而

\[ u_y=u\sin\theta \]

其中：

• \(u\) 是初速，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)，
• \(u_x\) 是初始水平速度分量，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)，
• \(u_y\) 是初始垂直速度分量，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)，以及
• \(\theta\) 是從水平方向量起的發射角。

為甚麼水平方向用餘弦，而垂直方向用正弦？相對於角 \(\theta\)，\(u_x\) 是直角三角形的鄰邊，而 \(u_y\) 是對邊。

最後這句話比死記「水平用 cos」更重要。如果角度是從另一個方向量起，正弦和餘弦的關係也會改變。

02快速合理性檢查

假設 \(u=20.0\ \text{m s}^{-1}\)，而 \(\theta=30^\circ\)。

則

\[ u_x=(20.0)\cos30^\circ=17.3\ \text{m s}^{-1} \]

而

\[ u_y=(20.0)\sin30^\circ=10.0\ \text{m s}^{-1}. \]

這與我們的預測一致：水平分量較大。

注意，\(17.3+10.0\neq20.0\)。速度分量不能像普通數字那樣直接相加，因為它們指向互相垂直的方向。

相反地，

\[ u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}. \]

檢查一下，

\[ \sqrt{(17.3)^2+(10.0)^2}\approx20.0\ \text{m s}^{-1}. \]

這個畢氏定理檢查，是最快發現分量計算錯誤的方法之一。

03角度決定哪個分量使用正弦

一個常見的快捷記法是：

水平 \(=\cos\)，垂直 \(=\sin\)

只有當題目所給的角度是從水平方向量起時，這個方法才適用。

假設速度向量改為與垂直方向形成角 \(\phi\)。現在垂直分量是該角的鄰邊，因此

\[ u_y=u\cos\phi, \]

而水平分量是對邊：

\[ u_x=u\sin\phi. \]

因此，更可靠的規則是：

• 找出題目所給的角，
• 找出相對於該角的鄰邊，
• 鄰邊分量使用餘弦，
• 對邊分量使用正弦。

可以把正弦和餘弦想成只在意三角形本身，而不是某個方向被命名為「水平」還是「垂直」。

04分量除了大小，也有正負號

到目前為止，兩個分量都是正值。但情況不一定總是如此。

假設我們定義：

• 向右為正 \(x\) 方向，
• 向上為正 \(y\) 方向。

如果拋射體向右下方發射，則：

• \(u_x>0\)，
• \(u_y<0\)。

如果拋射體向左上方發射，則：

• \(u_x<0\)，
• \(u_y>0\)。

速率 \(u\) 本身是一個大小，因此不會是負數。速度分量則可以是負數，因為它們同時描述方向和大小。

05為甚麼分解速度如此有用

這種分解之所以很有用，是因為在標準拋體運動模型下，兩個分量隨時間的變化方式不同。

在水平方向，忽略空氣阻力時，

\[ a_x=0. \]

因此水平速度保持不變：

\[ v_x=u_x. \]

在垂直方向，

\[ a_y=-g, \]

其中 \(g\approx9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

所以垂直速度會持續改變：

\[ v_y=u_y-gt. \]

這就是為甚麼分解初速度通常是拋體運動題目的第一個實質步驟。知道 \(u_x\) 和 \(u_y\) 之後，就可以分別使用水平和垂直方向的運動方程，同時讓兩個方向共用相同的時間 \(t\)。

這些結論取決於一般的拋體運動模型。尤其是，它們依賴一些假設，例如空氣阻力可忽略，以及重力加速度近似保持不變。這些假設在 HSC 物理中的拋體運動假設詳解 中有更詳細的說明。

06最容易犯的錯誤：利用位移求發射角

假設一個拋射體之後到達某一點，該點在水平方向距離發射點 \(20\ \text{m}\)，並高出發射點 \(10\ \text{m}\)。

很容易讓人直接寫成

\[ \tan\theta=\frac{10}{20} \]

然後得出發射角為 \(26.6^\circ\)。

一般來說，這樣做並不正確。

從發射點指向拋射體之後位置的直線代表位移向量。初速度則沿著發射瞬間軌跡的切線方向。發射後，重力會使軌跡彎曲，因此位移方向和初速度方向通常並不相同。

可以把拋射體想像成一個人從家裡出發時向東北方向走，但每一秒都受到一次向南的推力。從他家直接畫一條直線連到他最後的位置，並不能告訴你他最初開始行走的方向。

這個比喻並不完全準確，因為重力是平滑地改變速度，而不是以一次又一次真正的推動來作用。真正重要的一點只是：之後的位置並不能直接告訴你初始方向。

07一套可靠的分量解題流程

對大多數 HSC 題目而言，以下簡短流程就足夠：

最後一列需要特別小心。計算機的反正切功能可能會給出一個角度，但它並不知道速度向量實際位於哪一個象限。一定要先畫圖確認 \(u_x\) 和 \(u_y\) 的正負號。

08問題與解答

問題 1

一個球以 \(25.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率、相對水平線向上 \(53.0^\circ\) 踢出。

求其初始水平和垂直速度分量。

解答 1

初始分量約為水平方向 \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\)，向上的垂直方向 \(u_y=20.0\ \text{m s}^{-1}\)。

由於角度是從水平方向量起，

\[ u_x=u\cos\theta, \qquad u_y=u\sin\theta. \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} u_x&=(25.0)\cos53.0^\circ\\ &=15.0\ \text{m s}^{-1}, \\[4pt] u_y&=(25.0)\sin53.0^\circ\\ &=20.0\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

一個很容易犯的錯誤是把正弦和餘弦對調。幾何關係可以幫你發現這個錯誤：\(53^\circ\) 的發射角比 \(45^\circ\) 更陡，因此垂直分量應該大於水平分量。

問題 2

一個拋射體從原點發射。經過 \(1.20\ \text{s}\) 後，它在水平方向距離發射點 \(18.0\ \text{m}\)，並高出發射點 \(8.00\ \text{m}\)。

忽略空氣阻力，並取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

求：

• 初始水平速度分量，
• 初始垂直速度分量，
• 初速，以及
• 相對水平線向上的發射角。

解答 2

拋射體發射時的分量為 \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\) 和 \(u_y=12.5\ \text{m s}^{-1}\)，因此初速為 \(19.6\ \text{m s}^{-1}\)，發射角約為相對水平線向上 \(39.9^\circ\)。

在水平方向，加速度為零，因此

\[ x=u_xt. \]

所以，

\[ u_x=\frac{x}{t} =\frac{18.0}{1.20} =15.0\ \text{m s}^{-1}. \]

在垂直方向，

\[ y=u_yt+\frac12a_yt^2, \]

其中 \(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\)。因此，

\[ 8.00=(u_y)(1.20)-\frac12(9.80)(1.20)^2. \]

整理後，

\[ \begin{aligned} u_y &=\frac{8.00+\frac12(9.80)(1.20)^2}{1.20}\\ &=\frac{8.00+7.056}{1.20}\\ &=12.5\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

初速就是速度向量的大小：

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(15.0)^2+(12.5)^2}\\ &=19.6\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

最後，

\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{u_y}{u_x}\\ &=\frac{12.5}{15.0}, \end{aligned} \]

所以

\[ \theta\approx39.9^\circ. \]

一個很有誘惑力的做法是計算 \(8.00/1.20=6.67\ \text{m s}^{-1}\)，然後把它當成初始垂直速度。這是不對的。這個數值是 \(1.20\ \text{s}\) 時間區間內的平均垂直速度。整個運動過程中，重力一直在降低向上的速度，因此初始垂直分量必須更大。

問題 3

一個拋射體從地面以 \(40.0\ \text{m s}^{-1}\) 的速率、相對正水平方向向上未知角度 \(\theta\) 發射。

恰好在 \(2.00\ \text{s}\) 之後，它的速度方向指向正水平方向下方 \(10.0^\circ\)。

忽略空氣阻力，並取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

求發射角 \(\theta\)。

解答 3

拋射體的發射角約為相對水平線向上 \(18.9^\circ\)。

重點在於要區分初速度與 \(2.00\ \text{s}\) 後的速度。水平分量一直保持不變，但重力已經改變了垂直分量。

起初，

\[ u_x=40.0\cos\theta \]

以及

\[ u_y=40.0\sin\theta. \]

經過 \(2.00\ \text{s}\) 後，

\[ v_x=40.0\cos\theta \]

以及

\[ v_y=40.0\sin\theta-(9.80)(2.00). \]

最終速度方向位於水平線下方 \(10.0^\circ\)，因此

\[ \frac{v_y}{v_x}=\tan(-10.0^\circ). \]

所以，

\[ \frac{40.0\sin\theta-19.6}{40.0\cos\theta} =-\tan10.0^\circ. \]

整理後，

\[ \sin\theta+\tan10.0^\circ\cos\theta =\frac{19.6}{40.0}. \]

利用

\[ \sin\theta+\tan10^\circ\cos\theta =\frac{\sin(\theta+10^\circ)}{\cos10^\circ}, \]

可得

\[ \sin(\theta+10.0^\circ) =\frac{19.6}{40.0}\cos10.0^\circ. \]

因此，

\[ \sin(\theta+10.0^\circ)\approx0.4826. \]

對於向右發射且 \(0^\circ<\theta<90^\circ\) 的情況，

\[ \theta+10.0^\circ\approx28.9^\circ, \]

所以

\[ \theta\approx18.9^\circ. \]

一個很有誘惑力的做法，是把兩秒後的 \(10^\circ\) 方向當成可以直接決定原本速度分量比例的資料。但這並不成立。重力已經改變了 \(v_y\)，而 \(v_x\) 仍與其初始值相同。

問題 4

一個拋射體從原點發射。之後它通過點 \(P\)，該點在水平方向距離發射點 \(20.0\ \text{m}\)，並高出發射點 \(10.0\ \text{m}\)。接著它到達點 \(Q\)，該點在水平方向距離發射點 \(40.0\ \text{m}\)，而且與發射點處於相同的垂直高度。

忽略空氣阻力，並取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

判斷或求出：

• \(P\) 是否為軌跡的最高點，
• 初始水平和垂直速度分量，
• 初速，以及
• 發射角。

解答 4

點 \(P\) 是最高點，而拋射體發射時 \(u_x=14.0\ \text{m s}^{-1}\)、\(u_y=14.0\ \text{m s}^{-1}\)，因此 \(u=19.8\ \text{m s}^{-1}\)，發射角為 \(45.0^\circ\)。

這題較細微的部分，是要證明 \(P\) 為最高點，而不是因為它的位置看起來剛好很方便，就直接假設它是最高點。

水平加速度為零，因此相同的水平距離對應相同的時間間隔。點 \(P\) 位於從 \(x=0\) 到 \(x=40.0\ \text{m}\) 的正中間，所以拋射體到達 \(P\) 的時間，是到達 \(Q\) 的總飛行時間的一半。

由於 \(Q\) 與發射點高度相同，垂直運動的上升和下降部分在時間上對稱。拋射體會在整段飛行時間的一半時到達最高點。

因此，\(P\) 就是最高點。

在最高點，

\[ v_y=0. \]

利用

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y, \]

其中 \(\Delta y=10.0\ \text{m}\)，且 \(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\)，

\[ 0=u_y^2-2(9.80)(10.0). \]

因此，

\[ \begin{aligned} u_y&=\sqrt{196}\\ &=14.0\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

回到原本高度所需的總時間為

\[ T=\frac{2u_y}{g} =\frac{2(14.0)}{9.80} =2.86\ \text{s}. \]

在水平方向，

\[ x=u_xT, \]

所以

\[ u_x=\frac{40.0}{2.86} =14.0\ \text{m s}^{-1}. \]

初速為

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(14.0)^2+(14.0)^2}\\ &=19.8\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

發射角滿足

\[ \tan\theta=\frac{14.0}{14.0}=1, \]

所以

\[ \theta=45.0^\circ. \]

一個很容易做出的判斷是：水平射程的中點一定就是最高點。對任意運動而言，這並不一定正確。這裡之所以成立，是因為水平速度保持不變，而且拋射體最後回到與發射點相同的垂直高度。

問題 5

一個拋射體從原點以固定速率 \(25.0\ \text{m s}^{-1}\) 發射。它必須通過一個目標，該目標在水平方向距離發射點 \(30.0\ \text{m}\)，並高出發射點 \(5.00\ \text{m}\)。

忽略空氣阻力，並取 \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\)。

求：

• \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之間所有可能的發射角，
• 每種發射方式的初始水平和垂直速度分量，
• 每種發射方式到達目標所需的時間，以及
• 每種情況下，拋射體通過目標時的速率。

解釋最後一個結果。

解答 5

共有兩種可能的發射方式：角度約為 \(24.2^\circ\) 和 \(75.3^\circ\)。它們分別約在 \(1.32\ \text{s}\) 和 \(4.72\ \text{s}\) 後到達目標，但通過目標時的速率相同，皆約為 \(23.0\ \text{m s}^{-1}\)。

令人意外之處在於，其中一條軌跡在空中停留的時間長得多，但到達目標時的速率大小卻相同。

先從分量方程開始：

\[ x=(u\cos\theta)t \]

以及

\[ y=(u\sin\theta)t-\frac12gt^2. \]

由水平方程，

\[ t=\frac{x}{u\cos\theta}. \]

把它代入垂直方程：

\[ y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}. \]

利用

\[ \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta, \]

並代入 \(x=30.0\ \text{m}\)、\(y=5.00\ \text{m}\) 和 \(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\)，

\[ 5.00 =30.0\tan\theta -\frac{(9.80)(30.0)^2}{2(25.0)^2} \left(1+\tan^2\theta\right). \]

數值係數為

\[ \frac{(9.80)(900)}{1250}=7.056. \]

令

\[ T=\tan\theta. \]

則

\[ 5.00=30.0T-7.056(1+T^2), \]

所以

\[ 7.056T^2-30.0T+12.056=0. \]

解這個二次方程可得

\[ T\approx0.4494 \]

或

\[ T\approx3.802. \]

因此，

\[ \theta\approx24.2^\circ \]

或

\[ \theta\approx75.3^\circ. \]

對於較低的軌跡，

\[ \begin{aligned} u_x&=(25.0)\cos24.2^\circ\\ &=22.8\ \text{m s}^{-1}, \\ u_y&=(25.0)\sin24.2^\circ\\ &=10.2\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

它到達目標所需的時間為

\[ t=\frac{30.0}{22.8}=1.32\ \text{s}. \]

對於較高的軌跡，

\[ \begin{aligned} u_x&=(25.0)\cos75.3^\circ\\ &=6.36\ \text{m s}^{-1}, \\ u_y&=(25.0)\sin75.3^\circ\\ &=24.2\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

它到達目標所需的時間為

\[ t=\frac{30.0}{6.36}=4.72\ \text{s}. \]

現在比較兩種情況下到達目標時的速率。

對任何一種發射方式而言，水平加速度都是零，而垂直分量滿足

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

由於 \(a_y=-g\)，而 \(\Delta y=5.00\ \text{m}\)，

\[ v_y^2=u_y^2-2g(5.00). \]

總速率滿足

\[ v^2=v_x^2+v_y^2. \]

由於 \(v_x=u_x\)，

\[ \begin{aligned} v^2 &=u_x^2+u_y^2-2g(5.00)\\ &=u^2-2g(5.00). \end{aligned} \]

兩個拋射體一開始的速率都相同，均為 \(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\)，而且我們比較它們時，兩者都位於相同的最終高度。因此，

\[ \begin{aligned} v^2 &=(25.0)^2-2(9.80)(5.00)\\ &=527, \end{aligned} \]

所以

\[ v=23.0\ \text{m s}^{-1}. \]

較低的軌跡到達目標時約有

\[ v_x=22.8\ \text{m s}^{-1}, \qquad v_y=-2.65\ \text{m s}^{-1}, \]

而較高的軌跡到達時約有

\[ v_x=6.36\ \text{m s}^{-1}, \qquad v_y=-22.1\ \text{m s}^{-1}. \]

它們的方向非常不同，但速率大小相同。

一個很容易產生的預測是：較高的軌跡一定會以較慢的速率到達，因為重力作用的時間長得多。重力的確作用了更長時間，但拋射體也上升到高得多的位置，之後下落時又重新獲得相應的垂直速率。在這個理想拋體運動模型下，若初速相同且最終高度相同，最終速率的大小就是固定的。

當你能熟練地把 \(u\) 分解成 \(u_x\) 和 \(u_y\) 之後，拋體運動就會變成兩個彼此相關的一維運動問題。下一個實用步驟，是學會選擇適當的水平或垂直方程來求出兩個方向共用的時間，再利用同一個時間把兩個方向的運動連結起來。