β 衰變解析：核反應方程式與釋放粒子

奇異的是，當你觀察某些放射性原子核時，會發現一些令人意想不到的現象。原子核可能含有過多的中子，但它並不會直接將中子排出。相反地，其中一個中子可能會轉變成質子，形成一種完全不同的元素。

試想一下，預測原子核會釋放出什麼粒子。如果一個中子消失，而一個質子出現，應該釋放出什麼粒子才能維持電荷平衡？原本那個中子不帶電荷，但轉變後，原子核便多了一個正電荷。因此，必須有某種帶負電荷的粒子離開。

這個推論引出了 β⁻ 衰變。

01β 衰變所解決的問題：不穩定的中子與質子比例

在原子核內，質子和中子透過強核力結合在一起。當這兩種粒子的數量比例適當時，原子核通常較容易保持穩定。

對於較輕的原子核，中子的數量通常與質子的數量相近。對於較重的原子核，額外的中子有助於減弱質子之間的排斥效應，因為中子能增加強核力的吸引作用，卻不會增加電性排斥。

然而，有些原子核含有過多的中子。你可以將這種情況想像成一支分工過度集中的隊伍，有太多隊員負責相同的工作。若其中一個中子轉變成質子，這支隊伍便可能達到更好的平衡。

中子的轉變過程如下：

\[ \text{中子} \rightarrow \text{質子} + \text{電子} + \text{反微中子} \]

釋放出的電子稱為 β⁻ 粒子，記作 \(\beta^-\)。

一個常見的推論是：

「電子非常微小，而且存在於原子內部，因此它大概不可能來自原子核內部。」

這種想法聽起來很合理，因為電子通常被描繪成在原子周圍運動。然而，在 β 衰變中，電子並不是原本存在於原子中的電子被釋放出來。它是在原子核內的中子轉變成質子的過程中產生的。

02建立核反應方程式

核反應方程式必須遵守兩個重要的守恆量：

• 質量數，\(A\)：質子與中子的總數
• 原子序，\(Z\)：質子的數量

β⁻ 衰變的方程式如下：

\[ {}^{A}_{Z}X \rightarrow {}^{A}_{Z+1}Y + {}^{0}_{-1}\beta + {}^{0}_{0}\bar{\nu}_e \]

其中：

• \(X\) 是原本的元素
• \(Y\) 是新形成的元素
• \(A\) 是質量數
• \(Z\) 是原子序
• \(\beta^-\) 是釋放出的電子
• \(\bar{\nu}_e\) 是電子反微中子

請注意以下變化：

• 質量數保持不變，因為一個中子轉變成一個質子，核子總數沒有改變。
• 原子序增加 1，因為原子核增加了一個質子。

這表示 β⁻ 衰變會產生一種新的元素。

例如，碳-14 會發生 β 衰變：

\[ {}^{14}_{6}\ce{C} \rightarrow {}^{14}_{7}\ce{N} + {}^{0}_{-1}\beta + {}^{0}_{0}\bar{\nu}_e \]

碳有 6 個質子。衰變後，原子核有 7 個質子，因此會變成氮。

03為什麼需要反微中子？

一開始，這個衰變過程看起來很簡單：

\[ \text{中子} \rightarrow \text{質子} + \text{電子} \]

但實驗顯示，釋放出的電子並不總是具有相同的能量。有一部分能量和動量似乎不知所終。

解決這個問題的關鍵是另一種粒子：電子反微中子。

反微中子具有以下特性：

• 質量幾乎為零，
• 不帶電荷，
• 攜帶能量和動量。

它會帶走原本看似缺失的能量，使各項守恆定律仍然成立。

這是一個物理學家逆向推理的好例子。起初，科學家並沒有直接觀察到反微中子。他們是根據測量結果與較簡單的預測不符，推斷出必定還有另一種粒子存在。

04實用比較：α 衰變與 β 衰變

β 衰變經常與 α 衰變混淆。判斷的關鍵問題是：

「原子核是要減小體積，還是要調整中子與質子的比例？」

你可以在此進一步比較 β 衰變與 α 衰變：Alpha decay: nuclear equations and radiation properties。

05這個粒子並不等同於原子中的電子

HSC 考試中常見的一個錯誤，是將 β⁻ 衰變寫成彷彿原子核內原本就存在一個電子。

學生可能會寫成：

\[ {}^{A}_{Z}X \rightarrow {}^{A}_{Z}Y + e^- \]

並認為：「原子核只是釋放出一個電子。」

問題在於，這種寫法無法解釋質子數量為什麼會改變。

實際的過程是：

\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]

中子的身分發生了轉變。電子是在這個過程中產生的。

一個有用的比喻是某個人轉換隊伍。想像有一個人離開「中子隊」，加入「質子隊」。隊伍的變動會產生一張「收據」，用來表示這項變化已經發生。電子就像這張收據：它會離開這個系統，但它是在變化發生的過程中產生的。

不過，這個比喻並不完全適用，因為粒子並不是像人一樣轉換工作。中子並不是由一個質子、一個電子和一個反微中子組成，然後讓它們各自分離。這種轉變是透過弱核作用發生的。

06詳解範例：辨認衰變後的原子核

一個磷-32 原子核發生 β⁻ 衰變。寫出核反應方程式。

步驟 1：辨認 β⁻ 衰變會造成什麼變化。

β⁻ 衰變會使原子序增加 1，但質量數保持不變。

磷的數值為：

\[ A = 32, \qquad Z = 15 \]

步驟 2：改變原子序。

新的原子序為：

\[ Z = 15 + 1 = 16 \]

原子序為 16 的元素是硫。

步驟 3：寫出方程式。

\[ {}^{32}_{15}\ce{P} \rightarrow {}^{32}_{16}\ce{S} + {}^{0}_{-1}\beta + {}^{0}_{0}\bar{\nu}_e \]

結果表示，磷-32 會變成硫-32，因為其中一個中子已轉變成質子。

07詳解範例：找出原本的原子核

β⁻ 衰變會產生氮-16：

\[ {}^{16}_{7}\ce{N} \rightarrow {}^{16}_{8}\ce{O} + {}^{0}_{-1}\beta + {}^{0}_{0}\bar{\nu}_e \]

一名學生偵測到衰變後的原子核是氧-16。原本的原子核是什麼？

步驟 1：從衰變後的原子核反向推算。

β⁻ 衰變會使原子序增加 1。

因此，母原子核的原子序必須是：

\[ Z = 8 - 1 = 7 \]

步驟 2：辨認元素。

原子序為 7 的元素是氮。

質量數不會改變，因此：

\[ A = 16 \]

步驟 3：寫出原本的原子核。

原本的原子核是：

\[ {}^{16}_{7}\ce{N} \]

這表示，即使放射性衰變本身不可逆，我們仍然可以透過反向推理來分析衰變過程。

08β 衰變與能量的關係

放射性衰變所釋放的能量，來自原本的原子核與產物的質量之間的差異。

少量質量會轉換成能量：

\[ E = mc^2 \]

其中：

• \(E\) 是以焦耳為單位的釋放能量，
• \(m\) 是以千克為單位的質量虧損，
• \(c\) 是以公尺每秒為單位的光速。

對於核反應而言，質量差異非常微小，但 \(c^2\) 的數值極大，因此釋放的能量可能相當可觀。

你可以在此探索質量虧損與核能之間的關係：Mass defect: how missing mass becomes nuclear binding energy。

放射性原子核的衰變速率，與衰變的類型是兩個不同的概念。了解 β 衰變如何改變原子核後，下一步就是理解樣本的變化速度，而這可以透過衰變常數和半衰期來描述：Decay constant and half-life: HSC Physics explained。

09問題與解答

問題 1

一個碘-131 原子核發生 β⁻ 衰變。求出衰變後的原子核。

解答 1

衰變後的原子核是氙-131。

β⁻ 衰變會使質量數保持不變，並使原子序增加 1。

碘的原子序為 53，因此：

\[ Z = 53 + 1 = 54 \]

原子序為 54 的元素是氙。

核反應方程式為：

\[ {}^{131}_{53}\ce{I} \rightarrow {}^{131}_{54}\ce{Xe} + {}^{0}_{-1}\beta + {}^{0}_{0}\bar{\nu}_e \]

常見的陷阱是改變質量數。β 粒子的質量數為零，因為它不是核子，而原子核內的核子總數並沒有改變。

問題 2

一名學生聲稱：

「因為 β 粒子就是電子，所以 β⁻ 衰變是電子從原子中逃逸的過程。」

解釋為什麼這個說法不正確。

解答 2

這個說法不正確，因為 β 粒子是在原子核內的中子轉變成質子的過程中產生的。

這個過程是：

\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]

原子中的電子原本就存在於原子核外，但釋放出的 β 粒子是在原子核內透過弱作用產生的。

這個看似合理的想法之所以容易令人相信，是因為 β 粒子與電子具有相同的電荷和質量特性。然而，關鍵線索是原子序增加了 1。這只有在中子轉變成質子的情況下才會發生。

問題 3

一個放射性樣本最初含有某種原子核，該原子核透過 β⁻ 衰變形成矽-31。

找出原本的原子核，並寫出衰變方程式。

解答 3

原本的原子核是鋁-31。

β⁻ 衰變會使原子序增加 1，因此母原子核的質子數必須少 1 個。

矽的原子序為 14：

\[ Z_{\text{parent}} = 14 - 1 = 13 \]

原子序為 13 的元素是鋁。

質量數保持為 31：

\[ {}^{31}_{13}\ce{Al} \rightarrow {}^{31}_{14}\ce{Si} + {}^{0}_{-1}\beta + {}^{0}_{0}\bar{\nu}_e \]

這題的陷阱是只注意釋放出的 β 粒子。真正重要的資訊，是原子核在釋放粒子前後發生了什麼變化。

問題 4

兩個放射性原子核具有相同的質量數。原子核 A 比原子核 B 多一個中子。原子核 A 發生 β⁻ 衰變。

解釋衰變後的中子數和質子數會如何變化，並比較衰變後的新原子核與原子核 B。

解答 4

β⁻ 衰變後，原子核 A 的中子數減少 1，質子數增加 1，因此它的中子與質子數量會與原子核 B 相同。

β⁻ 衰變會造成以下變化：

\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]

對於原子核 A：

• 中子數減少 1，
• 質子數增加 1，
• 核子總數保持不變。

由於 A 起初比 B 多一個中子，衰變後的原子核便可能與 B 具有相同的中子數和質子數。

這題的陷阱是以為原子核只是失去一個中子。如果真是如此，原子序便不會增加。實際上，中子是轉變了身分。

問題 5

一名科學家觀察到某個未知原子核正在發生 β⁻ 衰變。衰變後的原子核是穩定的。科學家注意到，衰變後的原子核比原本的原子核少了中子，但質量數相同。

另一名科學家提出以下說法：

「原本的原子核一定是失去了一個中子，因此衰變後的原子核應該是同一元素的另一種同位素。」

判斷哪一種解釋正確，並運用守恆定律說明理由。

解答 5

第一種解釋正確：中子轉變成了質子，而不是單純離開原子核。

在 β⁻ 衰變中：

\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]

質量數保持不變，因為核子總數沒有改變。然而，中子數減少 1，質子數則增加 1。

第二名科學家的解釋之所以容易令人相信，是因為衰變後的原子核確實含有較少的中子。如果只是單純釋放出一個中子，衰變後的原子核便會保留相同的原子序，並成為同一元素的另一種同位素。然而，β⁻ 衰變的特徵是會釋放電子，而且質子數會增加。

決定性的條件是電荷守恆。中子轉變成質子會使原子核多出一個正電荷，因此釋放出的電子會帶走一個負電荷。元素必須改變。

這就是為什麼 β 衰變並不是讓原子核變小的過程，而是讓原子核改變身分的過程。理解這個概念後，核反應方程式就會容易得多，因為你是在追蹤哪些量發生了變化，而不是單純背誦符號。