向心力：如何在 HSC 物理中辨識真正的作用力

一輛汽車以穩定的 15 m/s 繞過一個平坦彎道。它的速度表讀數沒有變化，因此很容易讓人以為它沒有加速度，也就沒有合力。但如果真的沒有合力，汽車就會繼續沿直線行駛。

在繼續閱讀之前，先預測汽車向左轉彎時合力的方向。向前？向後？向外？向內？

合力必須指向內側，也就是朝向圓形路徑的中心。這個向內的合力，就是我們所稱的向心力。

這裡重要的字是「合」。向心力不是某種神祕的額外力，並不會在物體沿圓周運動時突然出現。它是我們對摩擦力、張力、重力或正向力等真實作用力所產生的合併向內效果的稱呼。

01為什麼圓周運動需要力

想像把一顆球沿著完全光滑的地板滾動。在沒有水平力作用的情況下，球會沿直線運動。

現在想像你希望球沿著圓形路徑運動。你必須持續改變它的速度方向。這表示即使球的速率保持不變，它仍然在加速。

在每一個位置：

• 速度沿著圓的切線方向；
• 向心加速度指向圓心；
• 造成該加速度的合力也指向圓心。

如果向內的力突然消失，物體不會沿半徑方向向外飛出。它會沿著原本正在運動的方向繼續前進，也就是沿圓的切線方向。

這可以直接由牛頓第一運動定律推得。

如果你想先加強對這個運動情境中加速度部分的理解，請參閱向心加速度：為什麼在 HSC 物理中它指向內側。

02從向心加速度到向心力

對於以速率 \(\ v\ \) 沿半徑為 \(\ r\ \) 的圓形路徑運動的物體，其向心加速度的大小為

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(\ a_c\ \) 是向心加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)；
• \(\ v\ \) 是速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)；
• \(\ r\ \) 是圓形路徑的半徑，單位為公尺。

牛頓第二運動定律指出：

\[ F_{\text{net}}=ma \]

因此，所需的向內合力為

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(\ F_c\ \) 是向心力，單位為牛頓；\(\ m\ \) 是物體的質量，單位為公斤。

更精確地表達相同概念，可以寫成

\[ \sum F_{\text{inward}}=\frac{mv^2}{r} \]

在 HSC 考題中，這種寫法通常更實用，因為它提醒你，可能有多個真實作用力共同構成向內的合力。

03向心力是一種作用功能，而不是一種新力

把「向心力」想成一種工作職責。

如果有人說「那個扶著門的人」，這並不能告訴你對方是你的朋友、老師，還是某個尷尬地被困在那裡、眼睜睜看著十個人進出卻連一句謝謝都沒聽到的人。這句話只告訴你對方正在做什麼。

「向心力」的概念也是如此。它的作用是：

產生一個朝向圓形路徑中心的合力。

實際上負責這項作用的力，取決於具體情境。

不過，這個類比只能到此為止。真實作用力是向量，因此必須以數學方式將它們的方向與分量相加。

這是解答圓周運動題目時最重要的判斷原則之一：

1. 找出圓形路徑的中心。
2. 判斷圖示瞬間的向內方向。
3. 畫出所有真實作用力。
4. 求出這些真實作用力在向內方向上的分量。
5. 將它們的向內合力設為 \(\frac{mv^2}{r}\)。

如果你已經畫出真實作用力，就不要再另外畫一個標示為「向心力」的箭頭，否則就會把同一個物理效果計算兩次。

範例：汽車在平坦道路上轉彎

一輛質量為 \(\ 900\text{ kg}\ \) 的汽車，以 \(\ 14\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，沿半徑為 \(\ 35\text{ m}\ \) 的平坦圓形彎道行駛。計算維持汽車沿圓形路徑運動所需的水平力，並指出提供此力的作用力。

步驟 1：判斷方向及實際作用力。

所需的合力水平指向彎道的中心。在平坦道路上，能夠對輪胎施加側向力的作用力是靜摩擦力。

步驟 2：使用向心力公式。

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900)(14^2)}{35}\\ &=5040\text{ N} \end{aligned} \]

步驟 3：解釋結果。

道路對汽車施加的靜摩擦力為

\[ 5.04\times10^3\text{ N} \]

方向朝向彎道的中心。

請注意，在這個情境中，「向心力」和「摩擦力」並不是兩個不同的力。摩擦力就是向心力。

04計算之前，公式已經告訴你什麼

公式

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

包含幾個實用的預測。

如果質量加倍，而 \(\ v\ \) 和 \(\ r\ \) 保持不變，所需的力也會加倍。

如果半徑加倍，而 \(\ m\ \) 和 \(\ v\ \) 保持不變，所需的力就會減半。

速率的影響則更顯著。如果速率加倍，

\[ F_c\propto v^2 \]

所需的力就會變成原來的四倍。

這也是為什麼以 100 km/h 通過彎道，並不只是比以 50 km/h 通過同一個彎道「要求高一倍」。在簡化的圓周運動模型中，所需的側向力會變成四倍。

05當有多個力沿徑向作用時

這正是許多向心力題目變得有趣的地方。

考慮一顆用繩子繫住、沿垂直圓周運動的球。當球經過圓周最低點時，圓心位於球的上方。

試著預測哪一個力較大：繩子的張力，還是所需的向心力？

實際上，張力必須較大。

為什麼？張力向上指向圓心，但重力向下，方向背離圓心。兩者的差值形成所需的向內合力。

將向內方向定為正方向，

\[ T-mg=\frac{mv^2}{r} \]

因此，

\[ T=\frac{mv^2}{r}+mg \]

所以，張力本身並不等於向心力。

範例：垂直圓周最低點的張力

一顆質量為 \(\ 0.50\text{ kg}\ \) 的球，以 \(\ 6.0\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，經過半徑為 \(\ 0.80\text{ m}\ \) 的垂直圓周最低點。計算繩子的張力。使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

步驟 1：選定向內方向。

在圓周最低點，向內方向是向上。

張力向上作用，而重力向下作用。

步驟 2：寫出徑向力方程式。

\[ T-mg=\frac{mv^2}{r} \]

步驟 3：代入數值。

\[ T-(0.50)(9.8) = \frac{(0.50)(6.0^2)}{0.80} \]

所需的向內合力為

\[ \frac{(0.50)(36)}{0.80}=22.5\text{ N} \]

而重力為

\[ mg=(0.50)(9.8)=4.9\text{ N} \]

因此，

\[ T=22.5+4.9=27.4\text{ N} \]

步驟 4：解釋結果。

張力為 \(\ 27.4\text{ N}\ \)，但所需的向心力只有 \(\ 22.5\text{ N}\ \)。

額外的 \(\ 4.9\text{ N}\ \) 是用來抵銷球向下的重力，這樣才能產生大小為 \(\ 22.5\text{ N}\ \)、方向向上的合力。

06向心方向會隨著垂直圓周上的位置改變

不要死記一條公式，例如 \(\ T-mg=\frac{mv^2}{r}\ \)，然後在所有情況下都使用它。

各個力的物理性質並沒有改變，但物體運動時，朝向圓心的方向會隨之改變。

對於一顆用繩子繫住的球：

在最高點，重力有助於提供向心力。在最低點，重力則會抵抗向心力。

因此，先辨認「向內」的方向，再寫出方程式，比起試圖記住一系列不同的公式，更為可靠。

07最容易犯的錯誤

錯誤 1：另外加上一個向心力箭頭

假設一輛汽車因為摩擦力而轉彎。常見的自由體圖會先畫出指向內側的摩擦力，然後又加上一個標示為 \(\ F_c\ \) 的向內箭頭。

這樣就把同一個力計算了兩次。

如果摩擦力是唯一的水平作用力，正確的寫法是

\[ F_{\text{friction}}=\frac{mv^2}{r} \]

錯誤 2：以為速率不變就代表加速度為零

加速度是指速度的改變，而不只是速率的改變。

速度包含方向。物體以固定速率沿圓周運動時，方向會不斷改變，因此它會持續加速。

錯誤 3：假設 \(\ F_c\ \) 必定是某一個單獨的力

有時，一個力就能提供全部的向內合力；有時，則是多個力共同作用。

例如，在垂直圓周的最高點，如果重力和張力都指向圓心，

\[ mg+T=\frac{mv^2}{r} \]

錯誤 4：認為向心力消失時，物體會被向外拋出

如果繩子斷裂，物體會沿著斷裂瞬間的切線方向離開圓形路徑。

若物體要沿半徑方向向外運動，那麼在繩子斷裂前的瞬間，它的速度本身就必須指向半徑方向的外側。但實際上並非如此。

08題目與解答

題目 1

一輛質量為 \(\ 1500\text{ kg}\ \) 的汽車，以 \(\ 12\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，沿半徑為 \(\ 60\text{ m}\ \) 的平坦圓形彎道行駛。

計算所需的向心力，並指出提供此力的真實作用力。

解答 1

所需的向心力為 \(\ 3.60\times10^3\text{ N}\ \)，方向朝向圓心，由輪胎與道路之間的靜摩擦力提供。

所需的向內合力為

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} F_c&=\frac{(1500)(12^2)}{60}\\ &=\frac{(1500)(144)}{60}\\ &=3600\text{ N} \end{aligned} \]

因此，

\[ F_c=3.60\times10^3\text{ N} \]

在平坦道路上，重力和正向力都沒有水平分量。因此，靜摩擦力提供水平的向內作用力。

一個容易犯的錯誤是說摩擦力和向心力都指向內側。在這個情境中，它們並不是兩個獨立的力。靜摩擦力正是提供所需向心力的作用力。

題目 2

一顆質量為 \(\ 0.25\text{ kg}\ \) 的球用繩子繫住，以 \(\ 4.5\text{ m s}^{-1}\ \) 的速率，經過半徑為 \(\ 0.75\text{ m}\ \) 的垂直圓周最高點。

計算繩子的張力。如果繩子在該瞬間斷裂，指出球在斷裂後最初的運動方向。使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 2

張力為 \(\ 4.30\text{ N}\ \)。繩子斷裂後，球會立即沿著圓形路徑的切線方向水平運動。

在圓周最高點，向內方向是向下。張力和重力都指向圓心。

因此，

\[ T+mg=\frac{mv^2}{r} \]

所需的向心力為

\[ \begin{aligned} \frac{mv^2}{r} &=\frac{(0.25)(4.5^2)}{0.75}\\ &=6.75\text{ N} \end{aligned} \]

球的重力為

\[ mg=(0.25)(9.8)=2.45\text{ N} \]

因此，

\[ T+2.45=6.75 \]

所以，

\[ T=4.30\text{ N} \]

學生可能會直接設 \(\ T=\frac{mv^2}{r}\ \)，得出 \(\ 6.75\text{ N}\ \)。這樣就忽略了重力的貢獻。在最高點，重力已經提供所需向內合力中的 \(\ 2.45\text{ N}\ \)。

如果繩子斷裂，張力就會消失。球的速度方向不會突然轉向外側。球在該瞬間的速度沿著圓形路徑的切線方向，而在最高點，這個方向是水平的。之後，重力會使球的運動軌跡逐漸向下彎曲。

題目 3

一輛汽車在半徑為 \(\ 50\text{ m}\ \) 的平坦圓形道路上行駛。輪胎與道路之間的靜摩擦係數為 \(\ 0.55\ \)。

計算汽車在不打滑的情況下所能達到的最大速率。解釋為什麼汽車的質量不會影響這個最大速率。使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 3

最大速率約為 \(\ 16.4\text{ m s}^{-1}\ \)。質量不會影響這個最大速率，因為可提供的最大摩擦力與所需的向心力都與質量成正比。

在臨界速率下，靜摩擦力已達到最大值：

\[ F_{\text{friction,max}}=\mu_sN \]

在平坦道路上，

\[ N=mg \]

因此，

\[ F_{\text{friction,max}}=\mu_smg \]

在最大速率下，這個摩擦力提供所需的向心力：

\[ \mu_smg=\frac{mv^2}{r} \]

約去 \(\ m\ \)：

\[ \mu_sg=\frac{v^2}{r} \]

因此，

\[ v=\sqrt{\mu_sgr} \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(0.55)(9.8)(50)}\\ &=\sqrt{269.5}\\ &\approx16.4\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

質量會約去，是因為較重的汽車需要較大的向內作用力，但它的正向力也會按相同比例增加，因此在這個模型中，可提供的最大靜摩擦力也會按相同比例增加。

一個常見的陷阱是，在每次轉彎時都直接寫出 \(\ F_{\text{friction}}=\mu_sN\ \)。只有當靜摩擦力達到臨界值時，它才會等於 \(\ \mu_sN\ \)。在較低的速率下，所需的摩擦力會比較小。

題目 4

一個質量為 \(\ 0.20\text{ kg}\ \) 的物體連接在一條長度為 \(\ 1.00\text{ m}\ \) 的繩子上，並作圓錐擺運動。它每隔 \(\ 1.50\text{ s}\ \) 完成一次水平圓周運動。

繩子與鉛直方向的夾角為 \(\ \theta\ \)。

計算：

a. 角度 \(\ \theta\ \)；

b. 圓形路徑的半徑；

c. 物體的速率；

d. 繩子的張力。

接著，將另一個質量為原來兩倍的擺球連接到長度相同的繩子上，並使它以相同的週期旋轉。判斷新擺球的角度會變大、變小，還是保持不變。

使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 4

角度約為 \(\ 56.1^\circ\ \)，圓形路徑的半徑為 \(\ 0.830\text{ m}\ \)，速率為 \(\ 3.48\text{ m s}^{-1}\ \)，張力為 \(\ 3.51\text{ N}\ \)。如果週期和繩長保持不變，將質量加倍並不會改變角度。

關鍵在於理解：整個張力並不是向心力。

張力的鉛直分量平衡重力：

\[ T\cos\theta=mg \]

張力的水平分量提供向心力：

\[ T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

角速度為

\[ \omega=\frac{2\pi}{P} \]

其中 \(\ P=1.50\text{ s}\ \)。因此，

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{1.50}\\ &\approx4.19\text{ rad s}^{-1} \end{aligned} \]

由於

\[ v=\omega r \]

水平作用力方程式可以寫成

\[ T\sin\theta=m\omega^2r \]

水平圓形路徑的半徑為

\[ r=L\sin\theta \]

其中 \(\ L=1.00\text{ m}\ \)。因此，

\[ T\sin\theta = m\omega^2L\sin\theta \]

對於圖示的非零角度，\(\ \sin\theta\ \) 可以約去：

\[ T=m\omega^2L \]

使用鉛直方向的方程式，

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

約去 \(\ m\ \)：

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} \cos\theta &=\frac{9.8}{(4.19)^2(1.00)}\\ &\approx0.558 \end{aligned} \]

因此，

\[ \theta\approx56.1^\circ \]

半徑為

\[ \begin{aligned} r&=L\sin\theta\\ &=(1.00)\sin56.1^\circ\\ &\approx0.830\text{ m} \end{aligned} \]

速率為

\[ \begin{aligned} v&=\omega r\\ &=(4.19)(0.830)\\ &\approx3.48\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

可以利用

\[ T\cos\theta=mg \]

求出張力，因此

\[ \begin{aligned} T&=\frac{(0.20)(9.8)}{\cos56.1^\circ}\\ &\approx3.51\text{ N} \end{aligned} \]

對於第二個擺球，

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

這個方程式不包含質量。由於週期不變，\(\ \omega\ \) 也不變，而 \(\ L\ \) 同樣保持不變。因此，第二個擺球的角度仍然約為 \(\ 56.1^\circ\ \)。

一個容易讓人誤入歧途的做法，是把 \(\ T=\frac{mv^2}{r}\ \) 當成完整的張力方程式。這會忽略張力還必須具有鉛直分量來平衡重力。只有張力的水平分量才是向心力。

題目 5

一輛雲霄飛車車廂沿著無摩擦的垂直圓形迴圈內側運動，迴圈半徑為 \(\ 12.0\text{ m}\ \)。

在迴圈最低點，軌道對車廂施加的正向力為 \(\ 5mg\ \)，其中 \(\ m\ \) 是車廂的質量。

令 \(\ \theta\ \) 為從迴圈最低點開始沿圓周量度的角度，因此最低點的 \(\ \theta=0^\circ\ \)，最高點的 \(\ \theta=180^\circ\ \)。

求出：

a. 車廂在最低點的速率；

b. 車廂是否能在整個過程中保持與軌道接觸，直到抵達最高點；

c. 如果車廂失去接觸，求出發生此情況時的 \(\ \theta\ \) 值，以及該瞬間的速率；

d. 為什麼在車廂失去接觸後，繼續進行圓周運動計算，可能得到數學上可行、但物理上不可能的結果。

使用 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \)。

解答 5

車廂在最低點的速率約為 \(\ 21.7\text{ m s}^{-1}\ \)。它會在抵達最高點之前失去接觸，脫離軌道的位置約為從最低點量起的 \(\ 132^\circ\ \)，脫離瞬間的速率約為 \(\ 8.85\text{ m s}^{-1}\ \)。在此之後，如果計算要求正向力為負值，結果在物理上就不可能成立，因為軌道無法拉著車廂朝向自己。

在最低點，向內方向是向上。正向力向上，而重力向下，因此

\[ N-mg=\frac{mv_b^2}{r} \]

已知 \(\ N=5mg\ \)，

\[ 5mg-mg=\frac{mv_b^2}{r} \]

因此，

\[ 4mg=\frac{mv_b^2}{r} \]

約去 \(\ m\ \)：

\[ v_b^2=4gr \]

代入 \(\ g=9.8\text{ m s}^{-2}\ \) 及 \(\ r=12.0\text{ m}\ \)，

\[ \begin{aligned} v_b&=\sqrt{4(9.8)(12.0)}\\ &\approx21.7\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

現在考慮車廂位於角度 \(\ \theta\ \) 的位置。

車廂相對於最低點的高度為

\[ h=r(1-\cos\theta) \]

由於軌道沒有摩擦力，機械能守恆：

\[ \frac12mv_b^2 = \frac12mv^2+mgh \]

代入 \(\ v_b^2=4gr\ \) 及 \(\ h=r(1-\cos\theta)\ \)，

\[ \frac12m(4gr) = \frac12mv^2 + mgr(1-\cos\theta) \]

化簡後，

\[ v^2=2gr(1+\cos\theta) \]

接著，沿向內的徑向方向套用牛頓第二運動定律。

在角度 \(\ \theta\ \) 的位置，徑向方程式為

\[ N-mg\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

當正向力恰好降至零時，車廂就會失去接觸。接觸力可以推動車廂，但不能變成負值，進而將車廂拉回軌道。

令 \(\ N=0\ \)：

\[ -mg\cos\theta=\frac{mv^2}{r} \]

因此，

\[ v^2=-gr\cos\theta \]

在脫離軌道的瞬間，這個結果也必須符合能量守恆所得到的方程式：

\[ v^2=2gr(1+\cos\theta) \]

因此，

\[ 2gr(1+\cos\theta)=-gr\cos\theta \]

約去 \(\ gr\ \)：

\[ 2(1+\cos\theta)=-\cos\theta \]

所以，

\[ 2+3\cos\theta=0 \]

因此，

\[ \cos\theta=-\frac23 \]

所以，

\[ \theta=\cos^{-1}\left(-\frac23\right)\approx131.8^\circ \]

因此，車廂會在從最低點量起約

\[ 132^\circ \]

的位置失去接觸，並且在抵達最高點之前就已經脫離軌道。

脫離瞬間的速率滿足

\[ v^2=-gr\cos\theta \]

因此，

\[ \begin{aligned} v^2 &=-(9.8)(12.0)\left(-\frac23\right)\\ &=78.4\text{ m}^2\text{s}^{-2} \end{aligned} \]

所以，

\[ v\approx8.85\text{ m s}^{-1} \]

其中微妙的關鍵，在於接下來會發生什麼事。

如果你不加思索地繼續在方程式中強制假設車廂沿著圓形路徑運動，計算出的正向力最終會變成負值。這並不是代數運算出錯，而是模型不再適用。

正向力是一種接觸力。軌道可以推動車廂，但當車廂與軌道分離後，軌道就無法再向內拉住車廂。因此，\(\ N=0\ \) 是一個物理上的界限。

脫離軌道後，車廂不再沿著圓形軌道運動。它在分離瞬間的速度沿著迴圈的切線方向，而重力則決定它接下來的拋體運動軌跡。

這就是向心力題目背後更深層的觀念：\(\ \frac{mv^2}{r}\ \) 告訴你，如果物體正在沿著該圓形路徑運動，它需要多大的向內合力。你仍然必須檢查，實際存在的作用力是否真的能提供這個所需的向內合力。

09接下來，這個觀念能幫你理解什麼

當你習慣用

\[ \sum F_{\text{inward}}=\frac{mv^2}{r} \]

取代含糊的「向心力」一詞後，較困難的圓周運動題目就會變得更有系統。

下一步是將這個徑向力方程式與其他物理概念結合：垂直圓周運動中的能量守恆、彎道上的摩擦力限制、軌道運動中的重力，以及接觸或繩子的約束條件即將失效時的 \(\ N=0\ \) 或 \(\ T=0\ \) 條件。通常，計算並不是最困難的部分。真正重要的技巧，是判斷哪些實際作用力能夠指向圓心，以及它們在物理上是否足以提供所需的向內合力。