زاوية إطلاق المقذوف: الارتفاع وزمن التحليق والمدى

ينطلق مقذوفان من سطح الأرض بالسرعة نفسها تمامًا. يُطلق أحدهما بزاوية \(30^\circ\)، والآخر بزاوية \(60^\circ\). أيهما يهبط على مسافة أبعد؟

يبقى المقذوف المنطلق بزاوية \(60^\circ\) في الهواء مدة أطول ويرتفع إلى علو أكبر بكثير، لذلك قد يبدو من المغري اختيار هذا المقذوف. لكن وفق الافتراضات المثالية المعتادة لحركة المقذوفات، يهبطان على المسافة الأفقية نفسها تمامًا.

هذه النتيجة هي المفتاح لفهم زاوية الإطلاق. فزيادة الزاوية تمنح المقذوف مركبة سرعة رأسية أكبر، لكنها تقلل مركبة سرعته الأفقية. يستمر الارتفاع وزمن التحليق في الزيادة كلما أصبح الإطلاق أكثر انحدارًا نحو الأعلى. أما المدى فلا يفعل ذلك.

01ابدأ بتحليل سرعة الإطلاق إلى مركبتين

افترض أن مقذوفًا ينطلق بسرعة \(u\) وبزاوية \(\theta\) فوق الأفقي.

يمكن تحليل سرعته الابتدائية إلى مركبتين متعامدتين:

\[
u_x=u\cos\theta
\]

\[
u_y=u\sin\theta
\]

حيث:

• \(u_x\) هي السرعة الأفقية الابتدائية بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)،
• \(u_y\) هي السرعة الرأسية الابتدائية بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)،
• \(u\) هي سرعة الإطلاق بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)، و
• \(\theta\) هي زاوية الإطلاق فوق الأفقي.

إذا كنت بحاجة إلى مراجعة سبب ظهور الجيب وجيب التمام هنا، فراجع مركبات السرعة الابتدائية للمقذوف في فيزياء HSC.

من الطرق المفيدة لتكوين تصور أولي أن تتعامل مع سرعة الإطلاق كما لو كانت مقدارًا ثابتًا من السرعة يمكن توزيعه بين الاتجاهين. فعندما تميل متجه السرعة إلى أعلى، يصبح جزء أكبر منه في المركبة الرأسية، بينما يصبح جزء أصغر في المركبة الأفقية.

لكن هذا التشبيه ليس دقيقًا تمامًا. فالمركبتان ليستا كميتين تُستهلكان أو تتبادلان أثناء الحركة. بعد أن يصبح المقذوف في الهواء، تغيّر الجاذبية سرعته الرأسية باستمرار، بينما تظل السرعة الأفقية ثابتة في النموذج المثالي.

وهذا الاختلاف يفسر تقريبًا كل تأثيرات زاوية الإطلاق.

02ماذا يحدث عندما تزداد الزاوية؟

أبقِ سرعة الإطلاق \(u\) ثابتة.

عندما تزداد \(\theta\) من \(0^\circ\) باتجاه \(90^\circ\):

• تنخفض \(\cos\theta\)، ولذلك تنخفض \(u_x\)،
• تزداد \(\sin\theta\)، ولذلك تزداد \(u_y\)،
• يرتفع المقذوف إلى علو أكبر،
• ويبقى في الهواء مدة أطول، لكن
• لا يقطع بالضرورة مسافة أفقية أكبر.

في الوقت الحالي، افترض أن:

• مقاومة الهواء مهملة،
• تسارع الجاذبية ثابت،
• المقذوف يهبط عند المستوى الرأسي نفسه الذي أُطلق منه، و
• \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).

هذه الافتراضات مهمة. وعلى وجه الخصوص، تعتمد النتيجة المعروفة التي تقول إن \(45^\circ\) تعطي المدى الأقصى على كون نقطتي الإطلاق والهبوط عند الارتفاع نفسه. يمكنك مراجعة النموذج في شرح افتراضات حركة المقذوفات في فيزياء HSC.

03زاوية الإطلاق والارتفاع الأقصى

تخيل كرتين تُطلقان بالسرعة نفسها. تنطلق إحداهما بزاوية \(20^\circ\)، والأخرى بزاوية \(70^\circ\).

أيهما يصل إلى ارتفاع أكبر؟

المقذوف المنطلق بزاوية \(70^\circ\) هو الذي يصل إلى ارتفاع أكبر، لأن الارتفاع الأقصى يعتمد على المركبة الرأسية \(u_y\)، وليس مباشرة على سرعة الإطلاق الكلية.

عند الارتفاع الأقصى، تكون السرعة الرأسية قد انخفضت إلى الصفر. باستخدام

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

مع \(v_y=0\)، و\(a_y=-g\)، و\(\Delta y=H\)،

\[
0=u_y^2-2gH
\]

ومن ثم

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}.
\]

وبما أن \(u_y=u\sin\theta\)،

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}.
\]

هنا تمثل \(H\) الارتفاع الأقصى فوق نقطة الإطلاق، مقاسًا بالأمتار.

عند ثبات سرعة الإطلاق،

\[
H\propto\sin^2\theta.
\]

لذلك فإن زيادة زاوية الإطلاق تزيد الارتفاع الأقصى حتى \(90^\circ\).

ويعطي الإطلاق الرأسي أكبر ارتفاع ممكن لأن السرعة الابتدائية بأكملها تكون رأسية.

04زاوية الإطلاق وزمن التحليق

لننظر الآن إلى الزمن الذي يقضيه المقذوف في الهواء.

بالنسبة إلى مقذوف يهبط من جديد عند ارتفاع نقطة الإطلاق نفسها، يكون الجزآن الصاعد والهابط من الحركة الرأسية متناظرين.

يُحسب الزمن اللازم للوصول إلى الارتفاع الأقصى من

\[
v_y=u_y-gt.
\]

عند القمة، \(v_y=0\)، ولذلك

\[
t_{\text{up}}=\frac{u_y}{g}.
\]

زمن التحليق الكلي \(T\) يساوي ضعف ذلك:

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

وبالتعويض عن \(u_y=u\sin\theta\)،

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

إذن، عند ثبات سرعة الإطلاق،

\[
T\propto\sin\theta.
\]

يبقى الإطلاق الأكثر انحدارًا في الهواء مدة أطول.

وقد يُخلط أحيانًا بين ذلك وبين المدى. فقد يبدو أن البقاء في الهواء مدة أطول لا بد أن يعني قطع مسافة أفقية أكبر. لكن المقذوف الأكثر انحدارًا يمتلك أيضًا سرعة أفقية أصغر. والمدى يعتمد على التأثيرين معًا.

05زاوية الإطلاق والمدى الأفقي

التسارع الأفقي يساوي صفرًا في النموذج المثالي للمقذوفات، ولذلك

\[
R=u_xT,
\]

حيث \(R\) هو المدى الأفقي بالأمتار.

وباستخدام

\[
u_x=u\cos\theta
\]

و

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g},
\]

نحصل على

\[
R=(u\cos\theta)\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right).
\]

لذلك،

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
\]

وباستخدام المتطابقة

\[
2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta,
\]

تصبح معادلة المدى

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

تحتوي هذه المعادلة على النتيجة المهمة والمفاجئة.

فالمدى يعتمد على \(\sin2\theta\)، وليس ببساطة على \(\sin\theta\) أو \(\cos\theta\).

06لماذا تعطي \(45^\circ\) المدى الأقصى؟

عند ثبات \(u\) و\(g\)، فإن الجزء الوحيد من

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

الذي يمكن أن يتغير هو \(\sin2\theta\).

أكبر قيمة ممكنة للجيب هي \(1\). ولذلك يحدث المدى الأقصى عندما

\[
\sin2\theta=1.
\]

وهذا يعني أن

\[
2\theta=90^\circ
\]

وبالتالي

\[
\theta=45^\circ.
\]

إذن، يكون المدى أقصى ما يمكن لمقذوف مثالي يُطلق ويهبط عند الارتفاع نفسه عندما تكون زاوية الإطلاق \(45^\circ\).

لاحظ ما لا تعنيه هذه النتيجة. فهي لا تعني أن \(45^\circ\) هي أفضل زاوية إطلاق في كل مسألة عن المقذوفات. فإذا كانت نقطة الهبوط أعلى أو أدنى من نقطة الإطلاق، أو إذا كانت مقاومة الهواء مؤثرة، أو إذا كان هناك عائق يفرض قيدًا على المسار، فقد تتغير الإجابة.

07الزوايا المتتامة تعطي المدى نفسه

لنعد إلى مسألة \(30^\circ\) و\(60^\circ\) الأصلية.

بالنسبة إلى \(30^\circ\)،

\[
\sin(2\theta)=\sin60^\circ.
\]

وبالنسبة إلى \(60^\circ\)،

\[
\sin(2\theta)=\sin120^\circ.
\]

لكن

\[
\sin60^\circ=\sin120^\circ.
\]

ولذلك يكون المدَيان متساويين.

وبشكل أعم، تعطي زاويتا إطلاق مجموعهما \(90^\circ\) المدى نفسه عندما تكون سرعة الإطلاق وارتفاع الهبوط متماثلين.

ومن الأمثلة:

• \(20^\circ\) و\(70^\circ\)،
• \(35^\circ\) و\(55^\circ\)،
• \(40^\circ\) و\(50^\circ\).

تُسمى هذه زوايا متتامة.

لها المدى نفسه، لكن مساريهما ليسا متماثلين.

يمتلك المقذوف ذو الزاوية المنخفضة مركبة أفقية أكبر، ولذلك يقطع المسافة الأفقية بسرعة.

أما المقذوف ذو الزاوية المرتفعة فله مركبة رأسية أكبر، ولذلك يقضي مدة أطول بكثير في الهواء.

ويتوازن هذان التأثيران تمامًا عندما تكون الزاويتان متتامتين.

08مقارنة الارتفاع والزمن والمدى مباشرة

عند ثبات سرعة الإطلاق وتساوي ارتفاعي الإطلاق والهبوط:

على سبيل المثال، خذ \(u=20\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

في هذا المثال، يرتفع المقذوف ذو زاوية \(60^\circ\) إلى ثلاثة أمثال ارتفاع المقذوف ذي زاوية \(30^\circ\)، ويبقى في الهواء مدة أطول بكثير، ومع ذلك فإن مداهما متساوٍ.

ولهذا قد يكون الحكم على المدى من شكل المسار مضللًا.

09أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً

من التوقعات الشائعة:

زاوية إطلاق أكبر تعني مدى أكبر لأن المقذوف يبقى في الهواء مدة أطول.

النصف الأول صحيح. فزيادة الزاوية تزيد بالفعل زمن التحليق، بشرط بقاء سرعة الإطلاق ثابتة.

لكن المشكلة هي أن السرعة الأفقية تنخفض في الوقت نفسه:

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

بالقرب من \(0^\circ\)، يمتلك المقذوف سرعة أفقية كبيرة، لكن زمنه في الهواء يكاد يكون معدومًا.

وبالقرب من \(90^\circ\)، يمتلك زمن تحليق كبيرًا، لكن سرعته الأفقية تكاد تكون معدومة.

يحدث المدى الأقصى بين هذين الحدين، حيث يتوازن التأثيران. وعندما يكون ارتفاعا الإطلاق والهبوط متساويين، يحدث هذا التوازن عند \(45^\circ\).

ومن الاختصارات المغرية الأخرى القول إن الزوايا المتتامة تعطي دائمًا مدى متساويًا. هذا غير صحيح.

فهذه النتيجة تعتمد على تساوي سرعة الإطلاق وتساوي ارتفاعي الإطلاق والهبوط. وإذا أطلقت المقذوف من جرف، فإن زمن السقوط الإضافي يغيّر هذا التوازن.

10ماذا لو هبط المقذوف عند ارتفاع مختلف؟

افترض أن مقذوفًا أُطلق من جرف.

لم يعد من الضروري أن يقطع إطلاق بزاوية \(30^\circ\) وإطلاق بزاوية \(60^\circ\) المسافة الأفقية نفسها قبل الاصطدام بالأرض، حتى إذا كانت سرعتا الإطلاق متساويتين.

لماذا؟

المعادلة

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

ناتجة عن التناظر الرأسي. وهي تفترض أن المقذوف يهبط عند ارتفاعه الأصلي.

عند الإطلاق من جرف، يستمر المقذوف في السقوط بعد مروره بمستوى الإطلاق. ولذلك يجب إيجاد زمن التحليق الكلي بدلًا من ذلك باستخدام معادلة الإزاحة الرأسية

\[
\Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

وبعد معرفة زمن التحليق، يظل المدى الأفقي

\[
R=u_xt.
\]

إذن تظل فكرة المركبات صحيحة. أما الصيغ المريحة الخاصة بالحالة التي يكون فيها الإطلاق والهبوط عند المستوى نفسه فلا تظل صالحة.

وهذه عادة مهمة في HSC: قبل استخدام صيغة محفوظة للمقذوفات، تحقق من الشرط الفيزيائي الذي جعل الصيغة صحيحة.

11الأسئلة والحلول

السؤال 1

يُطلق مقذوف من سطح أرض مستوٍ بسرعة \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) وبزاوية \(40^\circ\) فوق الأفقي. أهمل مقاومة الهواء.

احسب:

a. ارتفاعه الأقصى،

b. زمن تحليقه الكلي، و

c. مداه الأفقي.

الحل 1

يصل المقذوف إلى ارتفاع أقصى مقداره \(6.83\ \mathrm{m}\)، ويبقى في الهواء لمدة \(2.36\ \mathrm{s}\)، ويقطع \(32.6\ \mathrm{m}\) أفقيًا.

أولًا حلّل السرعة الابتدائية:

\[
\begin{aligned}
u_x&=18\cos40^\circ\\
&=13.79\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

و

\[
\begin{aligned}
u_y&=18\sin40^\circ\\
&=11.57\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الارتفاع الأقصى،

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(11.57)^2}{2(9.8)}\\
&=6.83\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

وبالنسبة إلى زمن التحليق الكلي،

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(11.57)}{9.8}\\
&=2.36\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

إذن يكون المدى

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(13.79)(2.36)\\
&=32.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

من الأخطاء المغرية استخدام السرعة الكاملة \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) على أنها السرعة الأفقية. فالمركبة الأفقية وحدها هي التي تنقل المقذوف عبر الأرض.

السؤال 2

يطلق قاذف مقذوفًا من سطح أرض مستوٍ بسرعة \(28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). يجب أن يهبط المقذوف على بعد \(60.0\ \mathrm{m}\) عند الارتفاع نفسه.

مع إهمال مقاومة الهواء:

a. أوجد زاويتي الإطلاق الممكنتين،

b. أوجد زمن التحليق لكل مسار، و

c. أوجد الارتفاع الأقصى لكل مسار.

الحل 2

توجد زاويتا إطلاق ممكنتان: نحو \(24.3^\circ\) و\(65.7^\circ\). ولهما المدى نفسه، لكن زمني تحليقهما وارتفاعيهما الأقصيين مختلفان جدًا.

استخدم معادلة المدى للحالة التي يكون فيها الإطلاق والهبوط عند الارتفاع نفسه

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

عوّض \(R=60.0\ \mathrm{m}\)، و\(u=28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، و\(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\):

\[
\begin{aligned}
60.0&=\frac{28^2\sin2\theta}{9.8}\\
\sin2\theta&=\frac{(60.0)(9.8)}{28^2}\\
&=0.750.
\end{aligned}
\]

أحد الحلول هو

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.750)=48.59^\circ.
\]

لكن الجيب موجب أيضًا في الربع الثاني، ولذلك

\[
2\theta=180^\circ-48.59^\circ=131.41^\circ.
\]

إذن،

\[
\theta=24.30^\circ
\]

أو

\[
\theta=65.70^\circ.
\]

مجموع الزاويتين \(90^\circ\)، كما هو متوقع لمسارين متتامي الزاويتين ولهما المدى نفسه.

بالنسبة إلى المسار المنخفض،

\[
u_y=28\sin24.30^\circ=11.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

ومن ثم

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(11.52)}{9.8}\\
&=2.35\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

و

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(11.52)^2}{19.6}\\
&=6.77\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى المسار الأعلى،

\[
u_y=28\sin65.70^\circ=25.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

لذلك،

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(25.52)}{9.8}\\
&=5.21\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

و

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(25.52)^2}{19.6}\\
&=33.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

من الطرق المغرية التوقف بعد أن تعطي الآلة الحاسبة \(2\theta=48.59^\circ\). لكن ذلك يفقد المسار الفيزيائي الثاني. ولأن الجيب يأخذ القيمة الموجبة نفسها عند زاويتين بين \(0^\circ\) و\(180^\circ\)، فإن هدفًا يمكن الوصول إليه عند مستوى الإطلاق نفسه تكون له عادةً إجابة بزاوية منخفضة وأخرى بزاوية مرتفعة.

السؤال 3

يُطلق مقذوف من مستوى الأرض بسرعة \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). يوجد هدف على الأرض على مسافة أبعد، لكن يوجد جدار رأسي على بعد \(20.0\ \mathrm{m}\) من القاذف. ارتفاع الجدار \(8.00\ \mathrm{m}\).

يجري النظر في زاويتي إطلاق: \(30^\circ\) و\(60^\circ\).

a. بيّن أن زاويتي الإطلاق تعطيان المدى نفسه في غياب العائق.

b. حدّد ارتفاع كل مقذوف عندما يصل إلى الجدار.

c. اذكر أي المسارين يستطيع تجاوز الجدار والاستمرار إلى الجهة التي يوجد فيها الهدف.

الحل 3

كلا المقذوفين له المدى نفسه في غياب العائق، وهو \(55.2\ \mathrm{m}\)، لكن المقذوف المنطلق بزاوية \(60^\circ\) وحده يتجاوز الجدار الذي ارتفاعه \(8.00\ \mathrm{m}\).

بالنسبة إلى المدى،

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

عند \(30^\circ\)،

\[
\begin{aligned}
R_{30}&=\frac{25.0^2\sin60^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

وعند \(60^\circ\)،

\[
\begin{aligned}
R_{60}&=\frac{25.0^2\sin120^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

المدَيان متساويان لأن \(30^\circ\) و\(60^\circ\) زاويتان متتامتان.

لكن تساوي المدى لا يعني تساوي المسار. لإيجاد الارتفاع عند الموضع الأفقي \(x\)، استخدم

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta},
\]

حيث يُقاس كل من \(x\) و\(y\) من نقطة الإطلاق.

بالنسبة إلى المقذوف ذي زاوية \(30^\circ\) عند \(x=20.0\ \mathrm{m}\)،

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan30^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^230^\circ}\\
&=7.37\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

وبما أن \(7.37\ \mathrm{m}<8.00\ \mathrm{m}\)، فإنه يصطدم بالجدار.

بالنسبة إلى المقذوف ذي زاوية \(60^\circ\)،

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan60^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^260^\circ}\\
&=22.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

وبما أن \(22.1\ \mathrm{m}>8.00\ \mathrm{m}\)، فإنه يتجاوز الجدار.

من الاستنتاجات المغرية أن تساوي المدى يجعل زاويتي الإطلاق قابلتين للاستبدال. لكنهما تكونان قابلتين للاستبدال فقط إذا كانت نقطة الهبوط هي القيد الوحيد. بمجرد وجود عائق يعتمد تجاوزه على ارتفاع المسار عند موضع وسيط، يتصرف المساران بشكل مختلف جدًا.

السؤال 4

أُطلق مقذوف من سطح أرض مستوٍ. يُظهر تحليل بالفيديو أنه عندما يكون على بعد \(30.0\ \mathrm{m}\) أفقيًا من نقطة الإطلاق، تكون مركبتا سرعته

\[
v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

و

\[
v_y=+3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

أهمل مقاومة الهواء.

حدّد:

a. الزمن المنقضي منذ الإطلاق،

b. مركبتي السرعة الابتدائية الأفقية والرأسية،

c. سرعة الإطلاق وزاوية الإطلاق،

d. ارتفاع المقذوف عند لحظة الرصد،

e. ارتفاعه الأقصى، و

f. مداه الأفقي النهائي.

الحل 4

أُطلق المقذوف بسرعة تقارب \(27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) وبزاوية \(56.4^\circ\)، وليس في الاتجاه \(11.3^\circ\) الذي يشير إليه متجه سرعته لحظة الرصد. يبلغ ارتفاعه الأقصى نحو \(26.1\ \mathrm{m}\)، ومداه نحو \(69.2\ \mathrm{m}\).

القيد الأساسي هو أن السرعة الأفقية تظل ثابتة. ولذلك،

\[
u_x=v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

يمكن إيجاد الزمن المنقضي من الحركة الأفقية:

\[
\begin{aligned}
x&=u_xt\\
30.0&=(15.0)t\\
t&=2.00\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

رأسيًا،

\[
v_y=u_y-gt.
\]

لذلك،

\[
\begin{aligned}
u_y&=v_y+gt\\
&=3.00+(9.8)(2.00)\\
&=22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

سرعة الإطلاق هي

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{15.0^2+22.6^2}\\
&=27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

وتحقق زاوية الإطلاق

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}.
\]

ومن ثم،

\[
\begin{aligned}
\theta&=\tan^{-1}\left(\frac{22.6}{15.0}\right)\\
&=56.4^\circ.
\end{aligned}
\]

الآن أوجد الارتفاع عند \(t=2.00\ \mathrm{s}\):

\[
\begin{aligned}
y&=u_yt-\frac{1}{2}gt^2\\
&=(22.6)(2.00)-\frac{1}{2}(9.8)(2.00)^2\\
&=25.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

الارتفاع الأقصى هو

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(22.6)^2}{19.6}\\
&=26.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

وهذا منطقي: فالمقذوف موجود بالفعل على ارتفاع \(25.6\ \mathrm{m}\) ولا يزال يتحرك إلى أعلى بسرعة مقدارها \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) فقط، ولذلك لا بد أنه قريب من أعلى نقطة في مساره.

زمن التحليق الكلي هو

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(22.6)}{9.8}\\
&=4.61\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

لذلك يكون المدى

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(15.0)(4.61)\\
&=69.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

من الطرق المغرية حساب زاوية السرعة الحالية:

\[
\tan^{-1}\left(\frac{3.00}{15.0}\right)=11.3^\circ
\]

ثم اعتبارها زاوية الإطلاق. لكن الجاذبية سبق أن خفّضت السرعة الرأسية من \(22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) إلى \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). واتجاه الحركة الحالي ليس اتجاه الإطلاق الأصلي.

السؤال 5

يُطلق مقذوف من مستوى الأرض بسرعة \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). ولوحظ أنه يمر بالنقطة الواقعة على بعد \(20.0\ \mathrm{m}\) أفقيًا من القاذف وعلى ارتفاع \(10.0\ \mathrm{m}\) فوق مستوى الإطلاق.

أهمل مقاومة الهواء.

a. أوجد جميع زوايا الإطلاق الممكنة بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\).

b. لكل زاوية إطلاق، حدّد ما إذا كان المقذوف يتحرك إلى أعلى أم إلى أسفل عند مروره بالنقطة المرصودة.

c. أوجد المدى النهائي لكل مسار.

d. فسّر لماذا زاويتا الإطلاق ليستا متتامتين، رغم أن سرعة إطلاق واحدة تنتج مسارين ممكنين يمران بالنقطة نفسها.

الحل 5

توجد زاويتا إطلاق ممكنتان، نحو \(36.6^\circ\) و\(79.9^\circ\). يمر المقذوف ذو زاوية \(36.6^\circ\) بالنقطة أثناء صعوده، ويهبط في النهاية على بعد نحو \(61.1\ \mathrm{m}\) من القاذف. أما المقذوف ذو زاوية \(79.9^\circ\) فيمر بالنقطة نفسها أثناء هبوطه، ويهبط على بعد نحو \(21.9\ \mathrm{m}\) فقط من القاذف.

القيد المهم هنا هو أن المطلوب من المقذوف المرور بنقطة وسيطة، وليس الهبوط عندها. ولذلك لا تنطبق نتيجة الزوايا المتتامة المألوفة.

استخدم معادلة المسار

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}.
\]

عوّض \(x=20.0\ \mathrm{m}\)، و\(y=10.0\ \mathrm{m}\)، و\(u=25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\):

\[
10.0
=
20.0\tan\theta
–
\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^2\theta}.
\]

وبما أن

\[
\frac{(9.8)(20.0)^2}{2(25.0)^2}=3.136,
\]

فإن

\[
10.0=20.0\tan\theta-3.136\sec^2\theta.
\]

استخدم الآن

\[
\sec^2\theta=1+\tan^2\theta.
\]

لتكن

\[
p=\tan\theta.
\]

إذن

\[
10.0=20.0p-3.136(1+p^2).
\]

وبإعادة الترتيب،

\[
3.136p^2-20.0p+13.136=0.
\]

وباستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية،

\[
p=
\frac{20.0\pm\sqrt{20.0^2-4(3.136)(13.136)}}
{2(3.136)}.
\]

ينتج عن ذلك

\[
p=0.743
\]

أو

\[
p=5.63.
\]

لذلك،

\[
\theta=\tan^{-1}(0.743)=36.6^\circ
\]

أو

\[
\theta=\tan^{-1}(5.63)=79.9^\circ.
\]

حدّد الآن ما يفعله كل مقذوف عندما يصل إلى \(x=20.0\ \mathrm{m}\).

بالنسبة إلى الإطلاق بزاوية \(36.6^\circ\)،

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos36.6^\circ\\
&=20.06\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

و

\[
u_y=25.0\sin36.6^\circ=14.92\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

الزمن اللازم للوصول إلى \(x=20.0\ \mathrm{m}\) هو

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{x}{u_x}\\
&=\frac{20.0}{20.06}\\
&=0.997\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

سرعته الرأسية عند ذلك الموضع هي

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y-gt\\
&=14.92-(9.8)(0.997)\\
&=+5.15\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

تشير الإشارة الموجبة إلى أنه لا يزال صاعدًا.

مداه الكلي هو

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{u^2\sin2\theta}{g}\\
&=\frac{25.0^2\sin(73.2^\circ)}{9.8}\\
&=61.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى الإطلاق بزاوية \(79.9^\circ\)،

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos79.9^\circ\\
&=4.37\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

و

\[
u_y=25.0\sin79.9^\circ=24.62\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

الزمن اللازم للوصول إلى \(x=20.0\ \mathrm{m}\) هو

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{20.0}{4.37}\\
&=4.58\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

وتكون سرعته الرأسية عند ذلك الحين

\[
\begin{aligned}
v_y&=24.62-(9.8)(4.58)\\
&=-20.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

تشير الإشارة السالبة إلى أنه يهبط.

مداه الكلي هو

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{25.0^2\sin(159.9^\circ)}{9.8}\\
&=21.9\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

إذن يمر المقذوف ذو الزاوية المرتفعة بالنقطة المرصودة قبل اصطدامه بالأرض بوقت قصير فقط.

من التوقعات المغرية أن زاويتي إطلاق صحيحتين لا بد أن تكونا متتامتين. لكن هذه القاعدة تخص شرطًا مختلفًا: إطلاقين بالسرعة نفسها يهبطان عند الموضع الأفقي نفسه وعند ارتفاع الإطلاق.

أما هنا، فالنقطة \((20.0\ \mathrm{m},10.0\ \mathrm{m})\) ليست نقطة هبوط. يصل إليها أحد المسارين مبكرًا أثناء الصعود، بينما يصل إليها الآخر بعد وقت أطول بكثير أثناء الهبوط. ولا يوجد سبب يجعل مجموع الزاويتين \(90^\circ\)، وفي الواقع

\[
36.6^\circ+79.9^\circ=116.5^\circ.
\]

وهذا هو الدرس الأوسع في مسائل زاوية الإطلاق. فالزاوية لا تتحكم في الارتفاع والزمن والمدى بصورة مستقلة. بل تغيّر المركبتين الأفقية والرأسية للسرعة الابتدائية نفسها، وتحدد شروط المسألة كيف يجب أن تعمل هاتان المركبتان معًا. والخطوة المفيدة التالية هي تعلم التمييز بين الحالات التي تنطبق فيها الصيغ المريحة الخاصة بتساوي مستوى الإطلاق والهبوط، والحالات التي تحتاج فيها إلى الرجوع بدلًا من ذلك إلى معادلات الحركة الأفقية والرأسية.